小學(xué)六年級上冊 數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識點(diǎn)講解第7課 旋轉(zhuǎn)體的計算 試題附答案

小學(xué)六年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)講解第7課《旋轉(zhuǎn)體的計算》試題附答案

例1甲、乙兩個圓柱形水桶，容積一樣大，甲桶底圓半徑是乙桶的L5倍,

乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙兩桶的高度.

例2一塊正方形薄鐵板的邊長是22厘米，以它的一個頂點(diǎn)為圓心，邊長為

半徑畫弧，沿弧剪下一個扇形，用這塊扇形鐵板圍成一個圓錐筒，求它的容積

（結(jié)果取整數(shù)部分）.

例3在倉庫一角有一堆谷，呈?圓錐形（如下圖），量得底面弧長為2

4

米，圓錐的高為1米，這堆谷重約多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，

吉果取整數(shù)部分）？

例4有一個倒圓錐形的容器，它的底面半徑是5厘米，高是10厘米，

容器內(nèi)放著一些石子，石子的體積為哼冗立方厘米，在容器內(nèi)倒?jié)M水后，再把

石子全部拿出來，求此時容器內(nèi)水面的高度.

例5有一草垛，如下圖，上部是圓錐形，下部是圓臺形，圓錐的高為0.7

米，底面圓周長為628米，圓臺的高為1.5米，下底面周長為4.71米.如果每立

方米草約重150公斤，求這垛草的重量（結(jié)果取整數(shù)部分）.

例6如下右圖，在長為35厘米的圓筒形管子的橫截面上，最長直線段為20

厘米，求這個管子的體積.

例7一個長方形的長為16厘米，寬為12厘米.以它的一條對角線為軸旋轉(zhuǎn)

此長方體，得到一個旋轉(zhuǎn)體.求這個旋轉(zhuǎn)體的體積.（結(jié)果中保留兀，即不用

近似值代替兀.）

答案

例1甲、乙兩個圓柱形水桶，容積一樣大，甲桶底圓半徑是乙桶的L5倍,

乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙兩桶的高度.

分析與解答如下圖.

由題意，設(shè)乙桶半徑為r,則甲桶半徑為L5r；

甲桶高度為h,則乙桶高度為h+25,

則;r(1.5r)2h=Jtr(h+25),

2.25rh=r:(h+25),

2.25h=h+25,

.■?h=20（厘米）,h+25=45C厘米）.

答：甲桶高度為20厘米，乙桶高度為45厘米.

例2一塊正方形薄鐵板的邊長是22厘米，以它的一個頂點(diǎn)為圓心，邊長為

半徑畫弧，沿弧剪下一個扇形，用這塊扇形鐵板圍成一個圓錐筒，求它的容積

（結(jié)果取整數(shù)部分）.

解:如下圖，扇形弧長=5X2兀X22=11兀厘米，因此所作的圓錐

筒底的周長=2nr=11兀，解得r=5.5厘米.

因?yàn)槟妇€長是22厘米，所以圓錐的高

h=J22?-552和21.3厘米,

2（立方厘米）.

Vs^=1nX5.5X21.3^674

答：所求圓錐筒的容積約為674立方厘米.

例3在倉庫一角有一堆谷，呈9圓錐形（如下圖），量得底面弧長為2

代，圓錐的高為1米，這堆谷重約多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤,

吉果取整數(shù)部分）？

解：因?yàn)榈酌婊￠L為2米，所以*X2兀r=2,

求得（米），因此，

谷堆體積為V=：X；兀X（，）2xi=?xJ（立方米），

45八5兒

41

谷子重量為720X5X弁=306（公斤）.

5兒

答：這堆谷子重約306公斤.

例4有一個倒圓錐形的容器，它的底面半徑是5厘米，高是10厘米，

容器內(nèi)放著一些石子，石子的體積為可■兀立方厘米，在容器內(nèi)倒?jié)M水后，再把

石子全部拿出來，求此時容器內(nèi)水面的高度.

解：如上頁圖，設(shè)石子取出后，容器內(nèi)水面高度為遮米，則倒圓錐容器

的容積等于水的體積加上石子的體積.根據(jù)體積公式有

11x196

-XnX52x10=-xK(-)2Xx+—K,

x:=(52X10-196)X4=54X4=27X8=3JX25,

；.x=6.

答：石子取出后，容器內(nèi)水面的高為6厘米.

例5有T垛，如下圖，上部是圓錐蹩尊嚕鴕幻瞿的蠢％J

裝鶻然舒柒船獸鑫瀛舞

分析與解答

圓錐底面半徑：「=泮=1（米），

圓錐的體積：

117

V??=-n2h=-X7TXI2xo.7=—Ks^o.73（立方米）.

#*3r330

圓臺的下底半徑：,=等=|■（米），

圓臺上底半徑：r±=r=l米，

圓臺導(dǎo)：h=5米.

22

則Vg）&=〈冗h(yuǎn)（rT+rr+rhrT）

=.兀X^X[12+（2）2+1X^-]

,x37

216

37

=六兀=3.63（立方米）.

..?草垛體積為：

V圓椎+V圓臺=0.73+3.63=4.36（立方米），

故草垛的重量為：150X4.36=654（公斤）.

答：草垛約重654公斤.

例6如下右圖，在長為35厘米的圓筒形管子的橫截面上，最長直線段為20

厘米，求這個管子的體積.

20厘米

分析如上左圖，AB是截面圓環(huán)的最長直線段，O是截面圓環(huán)的圓心.過

O作AB的垂線，垂足是C,以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，即管截面的內(nèi)圓

周.連結(jié)AO,根據(jù)勾股定理有：AO』AC2+COJ

.,.AO;-OC;=AC:,同理AO2-OC2=BCJ

：

，S圓環(huán)=H?AO2-H?OC2=jr?（AO-OC:）

、/AB、）

=n?AC2=7T?（—）2.

2

解：先求出管子橫截面的圓環(huán)面積為

on

冗X（色）2=100冗（平方厘米），

則管子的體積為:

7r?/外徑?h-nr；內(nèi)徑h=圓環(huán)面積Xh

=1007tX35=3500兀（立方厘米）

答：這個管子的體積為3500兀立方厘米.

例7一個長方形的長為16厘米，寬為12厘米.以它的一條對角線為軸旋轉(zhuǎn)

此長方體，得到一個旋轉(zhuǎn)體.求這個旋轉(zhuǎn)體的體積.（結(jié)果中保留兀，即不用

近似值代替兀.）

分析與解答如下圖，

記這個長方形為ABCD,對角線AC的中點(diǎn)為O.過O作EF垂直于AC,分別

交BC、AD于E,F.由對稱性知道：

EO=OF.

設(shè)P為AO上的任一點(diǎn)，過昨AO的垂線，分別交折線ABE和線段AF于M

和N,那么

MP>PN.

因此，四邊形ABEF繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到

的立體.同樣，四邊形CDFE繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形CDFO繞AC旋轉(zhuǎn)

得到的立體.并且，由于對稱性，四邊形ABEO與CDFO是完全一樣的，因此由

它們繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體也是完全一樣的.這樣，這兩個立體的體積相等.所

以，長方形ABCD^AC旋轉(zhuǎn)得到的立體的體積等于四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到

的立體的體積的兩倍.

記由長方體ABCD繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體為W,由四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得

到的立體為U,由AABB,（B在A0上，BB唾直于A0）、四邊形BEOB繞AC旋

轉(zhuǎn)得到的立體分別記為Ul、U2.顯然，U1與U2有一條公共的邊界（由BB旋轉(zhuǎn)

而成的圓），且U1與U2合成U.

因此Vw=2\rU=2（Vui+VU2）.

由AB=12厘米，BC=16厘米及勾股弦定理得：

AC=20厘米，所以0=C0=；AC=10厘米.

再由SA謝=93*BC=1AC-BB'#

BB'=9.6厘米.

在直角三角形ABB中再用勾股弦定理，得

AB，=7.2厘米，所以3,0=人0一四'=2￡厘米.

U1是一個圓錐，底面半徑BB=9.6厘米，高AB'=7.2厘米，所以

2

Vni=1nx9.6X7.2（立方厘米）.

U2是一個圓臺，它是大、小兩個圓錐的差，大圓錐以BB，為底面半徑,

二B為高，小圓錐以EO為底面半徑，CO為高，容易知道

CB』CO+OB=12.8厘米，

由EO：OC=AB：BC可以求出EO=7.5厘米.

因此

22

VU2=1KX9.6X12.8-|KX7.5X10（立方厘米）.

所以

V=2X[lnx9.62X7.2+^KX9.62X12.8-^HX7.52xio

w122N

=853.871（立方厘米）

答：所求的旋轉(zhuǎn)體體積為853.8兀立方厘米.

習(xí)題七

一、填空題：

1.一個圓柱體的側(cè)面積是m平方厘米，底面半徑是2厘米，它的體積是—

立方厘米.

2.一個圓錐的母線長為8厘米，底面直徑為12厘米，那么這個圓錐的側(cè)面

積等于—平方厘米.

3.圓臺的上、下底面半徑分別為2厘米和5厘米，母線長為4厘米，那么這

個圓臺的表面積等于—.

4.用半徑為2厘米的半圓形鐵皮卷成的圓錐形容器，則它的底面半徑為

厘米，容積是一立方厘米.

5.一個圓錐的高是10厘米，側(cè)面展開圖是半圓，那么圓錐的側(cè)面積等于

二、選擇題:

1.一個圓柱體高80厘米，側(cè)面積為L5平方米，它的全面積是—（精確

到601平方米）.

（A）L78平方米（B）2.06平方米

（C）3一74平方米（D）525平方米

2.圓錐的側(cè)面積為427.2平方厘米，母線長為17厘米，那么圓錐的高是

_（精確到0.01厘米）.

（A）5一75厘米（B）15厘米

（C）1662厘米（D）5一25厘米

3.圓柱的一個底面積是S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)

面積是

（A）4nS（B）2nS

（C）HS（D）空兀S

4.母線和底面直徑相等的圓錐叫做等邊圓錐，一個等邊圓錐的底面半徑

是5厘米，那么它的側(cè)面積是.

（A）25平方厘米（B）50坪方厘米

（C）100評方厘米（D）250坪方厘米

5.把一個底面半徑是1厘米的圓柱體側(cè)面展開，得到一個正方形，這個圓

柱體的體積是立方厘米（取r=314）.

（A）1（B）3.14

（C）3.14X3.14（D）3.14X6.28

6.長、寬分別為6寸、4寸的長方形鐵片，把它圍成一個圓桶，另加一個

底，形成圓柱形的杯子，這個杯子的最大容積是—.

(A考(B泮

''TT''兀

46144

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三、解答題:

1.一個底面直徑是20厘米的圓柱形容器中裝著水，水中放置一個底面半

徑是9厘米，高20厘米的鐵質(zhì)圓錐體，當(dāng)圓錐從桶中取出后，桶內(nèi)的水將下降

多少厘米？

2.在一只底面半徑為20厘米的圓柱形小桶里，有一半徑為10厘米的圓柱

形鋼材浸在水中.當(dāng)鋼材從桶里取出后，桶里的水下降了3厘米.求這段鋼材

南后.

3.有A、B兩個容器，如下反圖，先將A容器注滿水，然后倒入B容器，求

B容器的水深.（單位：厘米）

4.從一個底面半徑為3厘米，高為4厘米的圓柱中，挖去一個以圓柱上底

面為底，下底面中心為頂點(diǎn)的圓錐，得到一個如下圖的幾何體.求這個幾何體

的表面積和體積.

5.圓錐形煙囪帽的底的半徑是40厘米，高是30厘米，計算它的側(cè)面面

積.若煙囪表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，問需油漆多少克?

六年級奧數(shù)上冊：第七講旋轉(zhuǎn)體的計算習(xí)題解答

習(xí)題七解答

1.m立方厘米；

2.48兀（平方厘米）；

3.57兀（平方厘米）.

4.1厘米，專幾立方厘米.

5.設(shè)圓錐母線為厘米，底面半徑為r厘米，根據(jù)題意有兀1=2m故

r=1l,又根據(jù)勾股定理有：

12-（11）2+102解得0=竽

=

5兀123

=