高中數(shù)學(xué)《組合的綜合應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用

卜課前自主預(yù)習(xí)

R知識(shí)導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)6排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別

排列與組合的共同點(diǎn)都是“從〃個(gè)不同元素中，任取加個(gè)元素”，如果交換

兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，就是畫(huà)排列問(wèn)題;反之，如果交換兩個(gè)元素

的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，就是畫(huà)組合問(wèn)題.簡(jiǎn)而言之,畫(huà)排列問(wèn)題與順序有

關(guān)，畫(huà)組合問(wèn)題與順序無(wú)關(guān).

知識(shí)點(diǎn)匚解排列組合綜合題的思路

解決該問(wèn)題的一般思路是先選后排，先囤組合后畫(huà)排列,解題時(shí)應(yīng)靈活

運(yùn)用畫(huà)分類加法計(jì)數(shù)原理和叵1分步乘法計(jì)數(shù)原理.分類時(shí)，注意各類中是否

分步，分步時(shí)注意各步中是否分類.

5］知識(shí)拓展

利用組合知識(shí)解決與幾何有關(guān)的問(wèn)題，要注意：

(1)將已知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是間接法；

(2)要使用分類方法，至于怎樣確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，這是一個(gè)難點(diǎn)，要具體問(wèn)題

具體分析；

(3)常用間接法解決該類問(wèn)題.

H自診小測(cè)

1.判一判(正確的打"，錯(cuò)誤的打"X")

(1)3個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同的盒子中，每盒至多放一個(gè)球，這個(gè)問(wèn)題是

排列問(wèn)題.()

(2)3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子中，每盒至多放一個(gè)球，這個(gè)問(wèn)題是

組合問(wèn)題.()

(3)將9本不同的書(shū)分成三堆是平均分組問(wèn)題.()

答案(1)X(2)X(3)V

2.做一做

(1)4種不同的種子，選出3塊不同的土地，每一塊地只能種一種，則不同的

種法有種.

(2)從3名女生、4名男生中選4人擔(dān)任奧運(yùn)會(huì)志愿者，若選出的4人中既有

男生又有女生，則不同的選法共有種.

(3)將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有

種不同的分法.

答案(1)24⑵34(3)360

解析⑴C?A§=24(種).

(2)G-C才=34(種).

(3)C&CgdAW=360(種).

卜課堂互動(dòng)探究

探究1有限制條件的組合問(wèn)題

例1男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出

比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？

(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；

(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；

(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.

［解］(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有Cg種選法；第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，

有C2種選法，故共有Cg-C3=12O種選法.

(2)解法一：(直接法)“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況，1女4男，

2女3男，3女2男，4女1男.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有Cl-a+C￡Cg+C3cW+C，.CA=246種選法.

解法二：(間接法)不考慮條件，從10人中任選5人，有C%種選法，其中全

是男運(yùn)動(dòng)員的選法有3種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C%)—以=

246(種).

(3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C8種選法；不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男

隊(duì)長(zhǎng)，共有a種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有3種，故不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有

cg-d種選法.所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有c8+d-c4=i9i(種).

拓展提升

解答有限制條件的組合問(wèn)題的基本方法是“直接法”和“間接法(排除

法)”，其中用直接法求解時(shí)，應(yīng)依據(jù)“特殊元素優(yōu)先安排”的原則，即優(yōu)先安排

特殊元素，再安排其他元素.而選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正

面問(wèn)題分類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大時(shí)，不妨從反面問(wèn)題入手，試一試看是否

簡(jiǎn)單些，特別是涉及“至多”“至少”等組合問(wèn)題時(shí)更是如此.此時(shí)正確理解“都

不是”“不都是““至多至少”等詞語(yǔ)的確切含義是解決這些組合問(wèn)題的關(guān)

鍵.

［跟蹤訓(xùn)練1］有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中5名是英語(yǔ)譯員，4名是日語(yǔ)譯員，

另外兩名英、日都精通，從中找出8

人，使他們可以組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英語(yǔ)，4人翻譯日語(yǔ)，這

兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問(wèn)這樣的8人名單共可開(kāi)出幾張？

解解法一：按“英、日都會(huì)的人”的參與情況，可分為三類：

第一類，“英日都會(huì)”的人不參加，有del種；

第二類，“英日都會(huì)”的人有1人參加，該人可參加英語(yǔ)，也可參加日語(yǔ)，

共有acgca+acgca種；

第三類，“英日都會(huì)”的均參加共有cSc3A3+cgc?+d&種.

由分類加法原理可得共有de?+cJege?+?del+egeiA3+cscHdc2=

185種.

解法二：按“英日都會(huì)”的人參加英語(yǔ)翻譯的人數(shù)可分為三類.

第一類，“英日都會(huì)”的人不參加英語(yǔ)翻譯，有c4a種；

第二類，“英日都會(huì)”的人恰有一人參與英語(yǔ)翻譯，共有?cgd種；

第三類，“英日都會(huì)”的人全部參與英語(yǔ)翻譯共有egea種.

由分類加法原理可得共有C4a+C3CgCg+CgC3=185種.

探究2與幾何有關(guān)的組合問(wèn)題

例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A,B的六個(gè)點(diǎn)G,C2,

C3,C4,。5,C6,直徑45上有異于A,8的四個(gè)點(diǎn)。2,。3,。4.

問(wèn)：（1）以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作多少個(gè)？其中含。點(diǎn)的

有多少個(gè)？

（2）以圖中的12個(gè)點(diǎn)（包括A,B）中的4個(gè)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？

［解］⑴C2+CbC3+C有?=116（個(gè)）.

其中以G為頂點(diǎn)的三角形有

Cg+C卜C3+C1=36（個(gè)）.

⑵C2+CZa+CW-CZ=36O（j）.

拓展提升

(1)解決幾何圖形中的組合問(wèn)題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問(wèn)題的常規(guī)方法分

析解決問(wèn)題，其次要注意從不同類型的幾何問(wèn)題中抽象出組合問(wèn)題，尋找一個(gè)組

合的模型加以處理.

(2)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形,

防止多算.常用直接法，也可采用排除法.

(3)在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)

造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象

成組合問(wèn)題來(lái)解決.

[跟蹤訓(xùn)練2](1)四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A,從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn),

使它們和點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？

(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少

種不同的取法.

解(1)(直接法)如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，

從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有3cs種取法；含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，

它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A

共面的三點(diǎn)的取法有3Cg+3=33(種).

(2)(間接法)如圖，從10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有C%種，除去4點(diǎn)共面的取

法種數(shù)可以得到結(jié)果.從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出的4點(diǎn)必定共面.有4a

=60(種)，四面體的每一棱上3點(diǎn)與相對(duì)棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6

條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形(對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分)，

故4點(diǎn)不共面的取法為Cfo-(60+6+3)=法1(種).

探究3分組、分配問(wèn)題

角度1：不同元素分組、分配問(wèn)題

例36本不同的書(shū)，按下列要求各有多少種不同的選法：

(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

(2)分為三份，每份兩本；

(3)分為三份，一份一本，?一份兩本，一份三本；

(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；

(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

［解］(1)先從6本書(shū)中選2本給甲，有C*種選法；再?gòu)钠溆嗟?本中選2本

給乙，有C3種選法；最后從余下的2本書(shū)中選2本給丙，有C芬中選法；所以分

給甲、乙、丙三人，每人2本，共有C支支2=90種方法.

(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有C支寬涮方法，這個(gè)過(guò)程可以分兩步完

成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、

丙三名同學(xué)有A3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：ClClCi=xM,所以x=

盤祟=15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法.

(3)這是“不均勻分組”問(wèn)題，一共有dC3d=6O種方法.

(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有C&CgdA?=360種方法.

(5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有CWC?C3=9O

種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有C&C支執(zhí)3=360種方法；③“1、

1、4型”，有CgAW=90種方法.所以一共有90+360+90=540種方法.

拓展提升

“分組”與“分配”問(wèn)題的解法

(1)本題中的每一個(gè)小題都提出了一種類型的問(wèn)題，搞清楚類型的歸屬對(duì)解題

大有裨益.要分清是分組問(wèn)題還是分配問(wèn)題，這個(gè)是很關(guān)鍵的.

(2)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題，常見(jiàn)的分組問(wèn)題有三種：

①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等，最后必須除以組數(shù)的階乘；

②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有〃組均勻，最后必須除以〃!；

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.

(3)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題，分配問(wèn)題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組

后再分配.

［跟蹤訓(xùn)練3］按下列要求把12個(gè)人分成3個(gè)小組，各有多少種不同的分法？

(1)各組人數(shù)分別為2,4,6人；

(2)平均分成3個(gè)小組；

(3)平均分成3個(gè)小組，進(jìn)入3個(gè)不同車間.

解(l)C?2CtoC^=13860.

-C2c心一

(2)人？—5775.

(3)分兩步：第一步平均分三組，第二步讓三個(gè)小組分別進(jìn)入三個(gè)不同車間,

故有Ch警1.A?=cf2.C篦C4=34650種不同的分法.

角度2：相同元素分配問(wèn)題

例46個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù).

(1)每個(gè)盒子都不空；

(2)恰有一個(gè)空盒子；

(3)恰有兩個(gè)空盒子.

［解］(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然

后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有Cg=10(種).

(2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并

在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，^ri|O|OOO|OO|,有Cg種插法；然后將剩

下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|,有CL種插法，故共有

CgC=40(種).

(3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并

在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板，有Cg種插法，如|00|0000|,然后將剩

下的兩塊隔板插入形成空盒.

①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子，如||00||0000|,有△種插法.

②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00川0000|,有C4種插法.

故共有C卜?+C4)=3O(種).

拓展提升

相同元素分配問(wèn)題的處理策略

(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的

小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”.每一種插入隔板

的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相

同元素的分配問(wèn)題.

(2)將〃個(gè)相同的元素分給加個(gè)不同的對(duì)象(〃2m)，有05"種方法.可描述

為n―1個(gè)空中插入m―1塊板.

［跟蹤訓(xùn)練4］將4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中.

(1)每盒至多一球，有多少種放法？

(2)每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少

種放法？

(3)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？

(4)把4個(gè)不同的小球換成20個(gè)相同的小球，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不少于它

的編號(hào)數(shù)，有多少種放法？

解(1)這是全排列問(wèn)題，共有A?=24種放法.

(2)1個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的選法有C：種，當(dāng)1個(gè)球與1個(gè)盒子的編號(hào)

相同時(shí)，用局部列舉法可知其余3個(gè)球的投放方法有2種，故共有CM2=8種放

法.

(3)先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)

球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).由于球是相同的，即沒(méi)有順序，所以屬于組合問(wèn)題，

故共有C?C，=12種放法.

(4)(隔板法)先將編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒子分別放入0,1,2,3個(gè)球，再把剩下的

14個(gè)球分成四組，即在。這14個(gè)球中間的13個(gè)空

中放入三塊隔板，共有C3=286種放法，如

OO|OOOOO|OOO|OOOO,即編號(hào)為1,2,3,4的盒子分別放入2,6,5,7

個(gè)球.

探究4排列、組合的綜合應(yīng)用

例5有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，

求分別符合下列條件的選法數(shù).

(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；

(2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文科代表；

(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；

(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科

代表.

［解］(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CSC3

+C&C4種，后排有Ag種，共(CgC3+C支?A§=5400(種).

(2)除去該女生后，先取后排，有C4A4=840(種).

(3)先取后排，但先安排該男生，有C/CMA3=336O(種).

(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C2種，再安排該男生有C3種，

其中3人全排有A薪中,共C&C$A3=360(種).

拓展提升

解決排列、組合綜合問(wèn)題要遵循的兩個(gè)原則

(1)按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步；

(2)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類.解決時(shí)通常從三個(gè)途徑考慮：

①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；

②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；

③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合

數(shù).

［跟蹤訓(xùn)練5］有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字

123,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡

片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有多少種？

解分三類：

第1類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時(shí)，不同的排法有

A4種.

第2類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時(shí)，不同的排法有ClCaA才

種.

第3類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時(shí)，不同的排法有C%C%A?

種.

故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)共有C3CCC.A才+2C3-C%A4=432.

掰峨外1-------------------

f---------------------1

1.無(wú)條件限制的組合應(yīng)用題.其解題步驟為：

（1）判斷；（2）轉(zhuǎn)化；（3）求值；（4）作答.

2.有限制條件的組合應(yīng)用題

（1）“含”與“不含”問(wèn)題：

這類問(wèn)題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特

殊要先滿足，其余則“一視同仁”.若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題

的突破口，即采用排除法.解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少"''全

是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）幾何中的計(jì)算問(wèn)題：在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何

中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，

將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決.

（3）分組、分配問(wèn)題：分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要

元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同，

仍然是可區(qū)分的.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.市內(nèi)某公共汽車站有6個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個(gè)座

位上候車，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是（）

A.48B.54C.72D.84

答案C

解析根據(jù)題意，先將3名乘客進(jìn)行全排列，有A§=6（種）排法，排好后，有

4個(gè)空當(dāng)，再將1個(gè)空位和余下的兩個(gè)連續(xù)的空位插入4個(gè)空當(dāng)中，有A4=12（種）

方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6X12=72（種）候車方式.選C.

2.如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)

作為一組.其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為（）

A

-----------------------Ifi

A.208B.204

C.200D.196

答案C

解析任取的3個(gè)頂點(diǎn)不能構(gòu)成三角形的情形有3種：一是3條橫線上的4

個(gè)點(diǎn)，其組數(shù)為3C0；二是4條豎線上的3個(gè)點(diǎn)，其組數(shù)為4CW；三是4條對(duì)角

線上的3個(gè)點(diǎn)，其組數(shù)為43,所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為：Cb-3a-8C^=

200,故選C.

3.若從1,2,3,…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不

同的取法共有（）

A.60種B.63種C.65種D.66種

答案D

解析分三種情況：（1）4個(gè)都是偶數(shù)；（2）兩個(gè)為偶數(shù)，兩個(gè)為奇數(shù)；（3）4個(gè)

都是奇數(shù).故共有C￡+C3Cg+Cg=66（種）.故選D.

4.2016年3月10日是第十一屆世界腎臟日，某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分

成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個(gè)不同的社區(qū)宣傳這屆腎臟日

的主題：“盡快行動(dòng)，盡快預(yù)防”，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）.

答案90

解析C*：；&A3=9O種.

5.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中

任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，求不同取

法的種數(shù).

解若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，

則有C2XCLXCJ=64（種），

若2張同色,則有C3XC3><C3xa=144^）；

若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有ClXC3xaxCj=192（種），

剩余2張同色，則有axc4xc?=72（種）,

所以共有64+144+192+72=472種不同的取法.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行直線尤=機(jī)（m=0,1,2,3,4）與平行直線y=

〃（〃=0,1,2,3,4）組成的圖形中，矩形共有（）

A.25個(gè)B.100個(gè)C.36個(gè)D.200個(gè)

答案B

解析可以組成Cg.Cg=10X10=100個(gè)矩形.故選B.

2.某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)

劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則

不同的選派方法共有（）

A.56種B.68種C.74種D.92種

答案D

解析根據(jù)劃左舷中有“多面手'’人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒(méi)有“多

面手”的選派方法有deb種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有c3c3cg種，有兩

個(gè)“多面手”的選派方法有種，即共有20+60+12=92種不同的選派方法.

3.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)

的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

答案C

解析按比賽局?jǐn)?shù)分類：3局時(shí)有2種，4局時(shí)有2d種，5局時(shí)有2c3種，

故共有2+2C3+2cz=20種.選C.

4.某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4

位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）

A.4種B.10種C.18種D.20種

答案B

解析分兩種情況：①選2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位朋友，有色=6種

方法；②選1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)送給4位朋友，有CL=4種方法，所以不同的

贈(zèng)送方法共有6+4=10（種）.故選B.

5.某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年

級(jí)各2名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)（乘同一輛車的4名同學(xué)不考

慮位置），其中大一的李生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名

同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的乘車方式共有（）

A.24種B.18種C.48種D.36種

答案A

解析第一類：大一的李生姐妹在甲車上，甲車上剩下2名同學(xué)要來(lái)自不同

的年級(jí)，從三個(gè)年級(jí)中選兩個(gè)年級(jí)，有C3種選法，然后從選出的兩個(gè)年級(jí)中再分

別選1名同學(xué)，有C3C3種選法，剩下的4名同學(xué)乘坐乙車，則有C?ClCi=3X2X2

=12種乘車方式；

第二類：大一的李生姐妹不在甲車上，則從剩下的三個(gè)年級(jí)中選同一個(gè)年級(jí)

的2名同學(xué)在甲車上，有de芬中選法，然后再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)年級(jí)中分別選1名同

學(xué)，有C4C）種選法，則有acac￡,=3XlX2X2=12種乘車方式.因此共有12

+12=24種不同的乘車方式.故選A.

二、填空題

6.有編號(hào)為1,2,3的3個(gè)盒子和10個(gè)相同的小球，現(xiàn)把這10個(gè)小球全部裝

入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這種裝法共有

答案15種

解析將編號(hào)為1,2,3的盒子分別放入1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)小球，將剩下4個(gè)球

放入三個(gè)盒子有四類情況，即“4+0+0”“3+1+0”“2+2+0”“1+1+2”，

故共有C4+A4+C4+C4=15（種）.

7.在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng)，將這8張獎(jiǎng)券分

配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有種（用數(shù)字作答）.

答案60

解析只需看3張有獎(jiǎng)的分配情況就可以，有兩類.

①4人中每人至多1張有獎(jiǎng)，共有A?=4X3X2=24種獲獎(jiǎng)情況.②4人中，

有1人2張有獎(jiǎng)，還有1人1張有獎(jiǎng)，其余的2人無(wú)獎(jiǎng).共有分法:C}A1=3X4X3

=36.

總之，共有24+36=60種不同的獲獎(jiǎng)情況.

8.將并排的有不同編號(hào)的5個(gè)房間安排給5個(gè)工作人員臨時(shí)休息，假定每個(gè)

人可以選擇任一房間，且選擇各個(gè)房間是等可能的，則恰有2個(gè)房間無(wú)人選擇且

這2個(gè)房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為.