高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：2 . 2 直線方程

2.2直線方程

【題組一點(diǎn)斜式方程】

1.（2020?江蘇建鄴.高一期中）已知直線/過(guò)點(diǎn)（0,3）且與直線x+y-1=0垂直，貝U的方程是（）

A.x+y-3=0B.x—y+3=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€/與直線x+y—1=。垂直，所以勺=1.

所以直線/的方程為y=X+3,即x-y+3=0,故選B.

2.（2020?云南高一期末）過(guò)點(diǎn)（—1,3）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為（）

A.2x+y-l=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D,x-2y+l=0

【答案】A

【解析】因?yàn)樗笾本€垂直于直線X-2y+3=o,又直線X-2y+3=o的斜率為

2

所以所求直線的斜率左=—2,所以直線方程為y—3=—2（%+1）,即2x+y—1=0.故選：A

3.（2020?林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期中（文））過(guò)點(diǎn)4（3,3）且垂直于直線4x+2y—7=。的直線方程為

1cr1513

A.y=—x+2B.y=—2x+7C.y=-x+—D.y=—x+一

22222

【答案】D

113

【解析】過(guò)點(diǎn)43,3）且垂直于直線4x+2y—7=0的直線斜率為一，代入過(guò)的點(diǎn)得到y(tǒng)=—x+—.

2.22

故答案為D.

4.（2020?全國(guó)高二單元測(cè)試）過(guò)點(diǎn)（1,-3）且平行于直線x+2y-3=0的直線方程為（）

A.x-2y-7=0B.2x+y+l=0C.2%-y-5=0D,x+2y+5=0

【答案】D

【解析】由題意可設(shè)所求直線方程為x+2y+c=0,

直線過(guò)點(diǎn)（1,-3）,代入x+2y+c=0可得l-6+c=0,解得c=5,

.?.所求直線方程為x+2y+5=0,故選D.

【題組二斜截式方程】

1.（2019?大通回族土族自治縣第一完全中學(xué)高二期中）直線2x-3y+6=0的斜率為左，在》軸上的截距

為。，則有（）

22

A.k=—，b=2B.k=-，b=2

33

一22

C.k=—,b=—2D.k=----,6=—2

33

【答案】A

22

【解析】由直線方程2x—3y+6=0化為斜截式：y=§x+2.可得斜率左=],在》軸上的截距為6=2.

故選：A.

2.（2018?新疆高二學(xué)業(yè)考試）直線/的斜率是-2,在》軸上的截矩是4,則直線/的方程是（）

A.y=2九一4B.y=3x+3C.y=-2x+4D.y=-2x-4

【答案】C

【解析】由題意直線的斜率為-2,在》軸上的截距為4,則直線的斜截式方程為：y=-2尤+4.故選：C.

3.（2019?江蘇昆山.高二期中）過(guò)點(diǎn)P（-2,3）且與直線3x—4y+l=0垂直的直線方程為.

【答案】4x+3y—1=。

34

【解析】由題意直線3x—4y+l=0的斜率為1,故所求直線的斜率左=一§,

4

所以所求直線方程為y—3=-§（%+2）即4x+3y—1=0.故答案為：4x+3y—1=0.

4.（2020?甘肅省岷縣第一中學(xué)高二月考（文））過(guò)點(diǎn)4（2,3）且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為

【答案】x-2y+4=0

【解析】直線2x+y-5=0的斜率為一2,所以所求直線斜率為-2,直線方程為y-3=-2（x-2）,整理得

x-2y+4=0

【題組三兩點(diǎn)式方程】

1.（2020.江蘇省南通中學(xué)高一期中）若直線過(guò)點(diǎn)（百,-3）和點(diǎn)（0,-4）,則該直線的方程為（）

A.y=^-x-4B.y—^-x+4

?3-3

C.y=y[3x-6D,y=?x+2

【答案】A

【解析】（法一）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（百,-3）和點(diǎn)（O,T）,

所以直線的方程為一>/=-整理得y=^x-4；

y-（-4）x-0-3

（法二）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（、行3）和點(diǎn)（0,—4）,所以直線的斜率為左二坐，

所以直線的方程為y+4=^x,整理得y=4;故選：A.

【題組四截距式方程】

1.（2019?伊美區(qū)第二中學(xué)高二月考（理））設(shè)直線5x+3y-15=0在左軸上截距為a,在》軸上的截距為。，

則（）

A.a=5,b=3B.a=3,b=5C.a=-3,b=5D.a=-3,b=-5

【答案】B

【解析】由直線5x+3y-15=。令y=0,x=3令x=0,y=5即a=3力=5故選B

2.（2020.景東彝族自治縣第一中學(xué)高一月考）過(guò)點(diǎn)P（3,4）在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有多

少條（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】當(dāng)截距為。時(shí)，是直線OP,只有一條，

當(dāng)截距大于0時(shí)，設(shè)截距分別為仇則直線方程為二+2=1,..?直線過(guò)點(diǎn)p（3,4）,

ab

343434

???—+—二1①，???a>01>0,???一>0,—〉0,結(jié)合①可得，—<1,—<1,???〃>3*>4,

ababab

又???〃/為整數(shù)，.?.QN4,b>5,

A-ir\

由①解得人=’7=4+—？a—3為12的因數(shù)，

a—3ci—3

/.n-3=l,2,3,4,6,12，對(duì)應(yīng)a=4,5,6,7,9,15,相應(yīng)b=16,10,8,7,6,5,

對(duì)應(yīng)的直線又有6條，上所述，滿足題意的直線共有7條，故選：D.

3.(2020?福建高三其他(文))“直線/：y=Ax+2左-1在坐標(biāo)軸上截距相等”是“左=-1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

1_?k

【解析】由題知：左W0，由x=0得y=2左一1；由y=0得，x=--------.

k

1一2左1

因?yàn)樵谧鴺?biāo)軸上的截距相等，所以2左-1=-解得上=—或左=—1.

k2

所以直線l：y^kx+2k-l在坐標(biāo)軸上截距相等”是“左=-1”的必要不充分條件.故選：B.

4.(2020?黑龍江愛(ài)民牡丹江一中高一期末)經(jīng)過(guò)點(diǎn)河(1,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線是()

A.x+y=2B.x+y=lC.%+丁=2或,=》口.x=l或y=l

【答案】C

【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為1,由點(diǎn)斜式求得直線的方程是y-l=x-l,即丫=*；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程是：-+2=1,把點(diǎn)M(l,1)代入方程得a=2,直線的方程是x+y=2.

aa

綜上，所求直線的方程為y=x或x+y=2故選C.

5.(2020?定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一期末)已知直線ax+3my+2a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2,則直線

的斜率為()

12

A.1B.—C.----D.2

33

【答案】D

2a?a

【解析】令x=0,得y=-——，令y=0,得x=-2,因?yàn)樵趦勺鴺?biāo)軸上的截距之和為2,所以----+(-2)=2,所

3m3m

以a=-6m,原直線化為-6mx+3my-12m=0,所以k=2,故選D.

【題組五一般式方程】

1.(2019?四川德陽(yáng).高一期末(理))已知"BC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求

(1)過(guò)點(diǎn)A且平行于BC邊的直線的方程；

(2)BC邊的中線所在直線的方程.

【答案】(1)3x-4y-19=0(2)lx-y-11=0

A_no

【解析】(1)"BC中，(1,-4),B(6,6),C(-2,0),故3C的斜率為=—,

6+24

3

故過(guò)點(diǎn)A且平行于3c邊的直線的方程為y+4=—（x-1）,即3x-4y-19=0.

4

（2）的中點(diǎn)為。（2,3）,由兩點(diǎn)式求出BC邊的中線所在直線AD的方程為上三=3，

3+42-1

即7x-y-11=0.

2.（2020.赤峰二中高一月考（文））已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4-2,7）,5（2,4）,。（5,—1）.

（1）求邊A5上的中線所在直線的一般式方程；

（2）求邊A3上的高所在直線的一般式方程.

【答案】（1）x+5y=0（2）x+2y-3=0

【解析】（1）???A（—2,7）,5（2,4）；A5的中點(diǎn)為0（0,0）,

???邊AB的中線CO的斜率為左=一：，

邊A5上的中線CO的一般式方程為x+5y=0

=2,

（2）VA（-2,-4）,B（2,4）kAB=

故邊上的高所在直線斜率為k=--,

2

由點(diǎn)斜式得y+l=——（X—5）,

二邊A3上的高所在直線的一般式方程為x+2y-3=0

3.（2020?江蘇江陰。高一期中）已知直線/過(guò)點(diǎn)（2,3）,且在x軸上的截距是在》軸上截距的兩倍，則直線

/的方程為一

【答案］3%_2y=0或x+2y—8=0

【解析】若/在坐標(biāo)軸的截距均為0,即/過(guò)原點(diǎn)，滿足題意

3

此時(shí)/方程為：y=-x,即3x—2y=0

當(dāng)/在坐標(biāo)軸截距不為0時(shí)，設(shè)其在》軸截距為6

則/方程為：三+；=1，代入（2,3）,解得：b=4

2bb''

方程為：x+2y-8=0

綜上，直線/方程為：3x—2y=0或1+2丁-8=0

本題正確結(jié)果：3%—2y=0或x+2y-8=。

【題組六直線方程綜合運(yùn)用】

1.（2020?四川金牛成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末（理））已知直線依-y+2左-1=0恒過(guò)定點(diǎn)A,點(diǎn)A也在直

12

線mx+〃y+l=。上，其中根、〃均為正數(shù)，則一+一的最小值為（）

mn

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】西—y+2左—1=0變形為左（x+2）=y+l,所以過(guò)定點(diǎn)（—2,—1）,代入直線得2機(jī)+〃=1

12、/、n4m/-n4n7

一+—=—+—（2加+〃）=4H—+>4+2V4=8,當(dāng)且僅當(dāng)一=時(shí)等號(hào)成立，取得最小值8

mnn）mnmn

2.（2020?景東彝族自治縣第一中學(xué)高一月考）已知實(shí)數(shù)。涉滿足。+力=1,則直線改+3y+b=0必過(guò)定

點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A?！鯞.（黑）C.D,

【答案】D

【解析】Va-^2b=l,?直線〃x+3y+0=0,（1-2/7）x+3y+/?=0,即。（l-2x）+（x+3y）=0.

1

x=—

l-2x=02直線必過(guò)點(diǎn)（L-L.本題選擇D選項(xiàng).

x+3y-0r26

3.（2020?包頭市田家炳中學(xué)高二期中）直線Ax-y+1=3左，當(dāng)左變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn).

【答案】（3,1）

【解析】由Ax—y+l=3左，得左（x—3）=y—l,

x—3=0

對(duì)于任意上eR,式子恒成立，則有〈，八,解出％=3,丁=1,故答案為:（3,1）.

。一1=0

4.（2020?吉林長(zhǎng)春.高一期中）直線丁=辰-2左+3必過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)為.

【答案】（2、3）

［解析］,=而_2左+3變形為左（％_2）=y_3,令％_2=0,、_3=0得定點(diǎn)（2,3）

5.（2019?山東省北鎮(zhèn)中學(xué)高一期末）設(shè)直線/的方程為（a+l）x+y+2—a=0（xeR）.

⑴若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求/的方程；

(2)若/不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若/與％軸正半軸的交點(diǎn)為A,與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為從求AAOB(o為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值.

【答案】(1)3工+丁=0或%+丁+2=0；(2)(-00,—1](3)6.

【解析】(1)若2—a=0,解得a=2,化為3x+y=0.

若a+l=L解得a=0,可得直線/的方程為:x+y+2=0.

綜上所述，直線/的方程為3x+y=0或x+y+2=0.

(2)y=—(a+l)x+a—2,

-(a+l)>0

?../不經(jīng)過(guò)第二象限,I7，解得aW-L

6i-2<0

.??實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,—11

(3)令％=0,解得了=?！?<0,解得。<2;

/7—2

令y=o,解得x=---->0,解得a>2或a<—1.

a+1

a<2

因止匕<，解得av-l.

a>2或a<-1

11Ia—21t\9

S~--2----——a+1H-------6—3