四川省成都市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷性檢測(cè)試題文含解析

PAGE19-四川省成都市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷性檢測(cè)試題文（含解析）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用復(fù)平面的對(duì)稱得到答案.【詳解】數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)平面的對(duì)稱問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為()A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合并集的定義即可得到答案.【詳解】集合，，且，所以或.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合并集的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)得到，再利用二倍角公式得到答案.【詳解】，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.4.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】干脆利用全稱命題的否定定義得到答案.【詳解】命題：，，則為：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，意在考查學(xué)生的推斷實(shí)力.5.某校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類"的問(wèn)卷測(cè)試，測(cè)試結(jié)果發(fā)覺(jué)這100名同學(xué)的得分都在[50，100]內(nèi)，按得分分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)頻率分布直方圖求得中位數(shù)即可.【詳解】在頻率分步直方圖中，小正方形的面積表示這組數(shù)據(jù)的頻率，中位數(shù)為：.故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)學(xué)問(wèn)，直方圖中的各個(gè)矩形的面積代表了頻率，全部各個(gè)矩形面積之和為1，也考查了中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將S9，S5轉(zhuǎn)化為用a5，a3表達(dá)的算式即可得到結(jié)論.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，＝＝，且，∴＝×3＝.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，，且，則B.若，，且，則C.若，，且，則D.若，，且，則【答案】C【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n異面，故A錯(cuò)誤；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯(cuò)誤；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假推斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系的判定與應(yīng)用，考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，屬于中檔題．8.將函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果即可.【詳解】函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再把所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)f（x）＝的圖象.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】拋物線到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可求出橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出結(jié)果即可.【詳解】由拋物線方程，得其準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，由拋物線的性質(zhì)得，，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為：.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.已知，，，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得a，b的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出c＜1．【詳解】∵＝，且=＝，∴，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．11.已知直線與雙曲線：相交于不同的兩點(diǎn)，，為雙曲線的左焦點(diǎn)，且滿意，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示：為雙曲線右焦點(diǎn)，連接，計(jì)算得到，再利用余弦定理得到，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】如圖所示：為雙曲線右焦點(diǎn)，連接，依據(jù)對(duì)稱性知，，在和中，分別利用余弦定理得到：，兩式相加得到故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，依據(jù)條件計(jì)算出是解題的關(guān)鍵.12.已知定義在上的函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，．若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性畫出函數(shù)圖像，過(guò)定點(diǎn)，計(jì)算直線和曲線相切的狀況計(jì)算斜率得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，過(guò)定點(diǎn)如圖所示，畫出函數(shù)圖像：當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為則依據(jù)對(duì)稱性考慮左邊圖像，依據(jù)圖像驗(yàn)證知是方程唯一解，此時(shí)故答案為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.已知實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最大值為_(kāi)______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的學(xué)問(wèn)，通過(guò)平移即可求z的最大值．【詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由得y＝﹣x+z，平移直線y＝﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y＝﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列滿意，，則_______.【答案】【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量a1，q的方程組，解方程組得到a1，q，進(jìn)而可以得到an．【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，得，解得，∴an＝＝3?3n﹣1＝3n.故答案為：3n【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知平面對(duì)量，滿意，，且，則向量與的夾角的大小為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.16.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，邊，的中點(diǎn)分別為，，現(xiàn)將，，分別沿，，折起使點(diǎn)，，重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐．則三棱錐的外接球體積為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩兩垂直得到，代入體積公式計(jì)算得到答案.【詳解】易知兩兩垂直，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體內(nèi)得到故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件結(jié)合余弦定理可求cosA的值，進(jìn)而依據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面積公式可求bc的值，由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，依據(jù)余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長(zhǎng)．詳解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面積為，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，則a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18.某公司有l(wèi)000名員工，其中男性員工400名，采納分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行5G手機(jī)購(gòu)買意向的調(diào)查，將安排在今年購(gòu)買5G手機(jī)的員工稱為“追光族”，安排在明年及明年以后才購(gòu)買5G手機(jī)的員工稱為“觀望者”調(diào)查結(jié)果發(fā)覺(jué)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.（Ⅰ）完成下列列聯(lián)表，并推斷是否有把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān)；屬于“追光族”屬于“觀望者”合計(jì)女性員工男性員工合計(jì)100（Ⅱ）已知被抽取的這l00名員工中有6名是人事部的員工，這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機(jī)抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率．附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（Ⅰ）表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān).（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）完善列聯(lián)表，計(jì)算得到結(jié)論.（Ⅱ）設(shè)人事部的這6名中的3名“追光族”分別為“，，”，3名“觀望者”分別為“，，，列出全部狀況計(jì)算得到答案.詳解】（Ⅰ）由題，列聯(lián)表如下：屬于“追光族”屬于“觀望者”合計(jì)女性員工204060男性員工202040合計(jì)4060100∵，∴沒(méi)有的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān).（Ⅱ）設(shè)人事部的這6名中的3名“追光族”分別為“，，”，3名“觀望者”分別為“，，”.則從人事部的這6名中隨機(jī)抽取3名的全部可能狀況有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20種.其中，抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的全部可能狀況有“；；；；；；；；”共9種.∴抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點(diǎn)在棱上，且，證明：平面．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）依據(jù)相像得到證明平面.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形為正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，連接.∵為的中點(diǎn)，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和推斷實(shí)力.20.已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）探討函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)隨意的都成立.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)得到探討，，和四種狀況得到答案.（Ⅱ）要證明即，求導(dǎo)得到函數(shù)得到證明.【詳解】（Ⅰ）.∵，，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，.∴.令，則.令，∵函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，，，∴存在唯一的，使得.∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又∵，，∴，即對(duì)隨意的都成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵21.已知橢圓：右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線：與軸相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.（Ⅰ）求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；（Ⅱ）證明直線與軸平行.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）令直線：，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，，換元帶入化簡(jiǎn)得到答案.（Ⅱ）直線的方程為，令得，.代入（Ⅰ）中式子化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】（Ⅰ）由題，，令直線：，，.聯(lián)立消去，得.∵，，，∴.∴四邊形的面積.令，∴，∴.∵（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)），∴.∴四邊形面積的取值范圍為.（Ⅱ）∵，，∴.∴直線的斜率，直線的方程為.令得，.……①由（Ⅰ），，.∴，.化簡(jiǎn)①，得.∴直線與軸平行.【點(diǎn)睛】本題考查了面積的范圍，直線的平行問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.請(qǐng)考生在第22，23題中任選擇一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線與曲線，分別相交于異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）曲線：，曲線：；（2）【解析】【分析】（1）由題意，點(diǎn)Q