《數(shù)學(xué)歸納法》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

歸納法

前面學(xué)生己經(jīng)通過(guò)數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得

出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確,

這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法一一數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法亮點(diǎn)就在于，通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取無(wú)限多個(gè)正整數(shù)的情形，這也是

無(wú)限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?、?xùn)練學(xué)生的抽象

思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的很好的素材。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)

建模的的核心素養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)歸納法的原理

B.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命2.邏輯推理：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題

題.3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用多米諾骨牌建立數(shù)學(xué)歸納

法概念

【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

重點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題

難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理.

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、知識(shí)回顧

在數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差

數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d等，但并沒(méi)有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證

明，那么，對(duì)于這類(lèi)與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題，我們?cè)鯓幼C明它對(duì)每一個(gè)正

整數(shù)n都成立呢？本節(jié)我們就來(lái)介紹一種重要的證明方法——數(shù)學(xué)歸納通等差數(shù)列通項(xiàng)

法公式的獲得，引出

探究1.已知數(shù)列｛a｝滿足，a1=1,a=-—(nGN*)問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)

nn+12-an

學(xué)抽象、邏輯推

計(jì)算a2,a3,a4,猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.

理、數(shù)學(xué)建模的核

分析：計(jì)算可得a?=1,a3=1,a4=1,再結(jié)合a1=1,由此猜想：

心素養(yǎng)。

at=l(nGN*)如何證明這個(gè)猜想呢？

思路1.我們可以從開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證。一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命

題，當(dāng)比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但n當(dāng)較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩。特別

當(dāng)n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需

要另辟蹊徑，尋求一種方法。

問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

我們先從多米諾骨牌游戲說(shuō)起，碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，

若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊

骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒卜；而第2塊骨牌倒卜，就可導(dǎo)致第3塊骨

牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。

問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

類(lèi)比多米諾骨牌，

經(jīng)歷觀察、分析、

比較、抽象出數(shù)學(xué)

歸納法的原理。發(fā)

W(1)第一塊骨牌倒下；

展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、

(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

問(wèn)題2：你認(rèn)為條件(2)的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述它？邏輯推理、數(shù)學(xué)建

可以看出，條件(2)給出一個(gè)遞推根據(jù)(關(guān)系)，當(dāng)?shù)趉塊倒下，模的核心素養(yǎng)。

相鄰的第k+1塊也倒下。

探究2.你認(rèn)為證明前面的猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1(neN*)”與

上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)

題嗎？

(1)第一塊骨牌倒下；

(2)若第K塊骨牌倒下時(shí)，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下

根據(jù)(1)和(2),可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。

(1)當(dāng)n=l時(shí)猜想成立；ai=1

(2)若n=k時(shí)猜想成立，即ak=1,

則當(dāng)n=k+l時(shí)，a=—=1,,猜想也成立，

k+12—ak

根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)任意的正整數(shù)n,猜想都成立.

所以，對(duì)于任意正整數(shù)n,猜想都成立，即數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式是a_n=L

數(shù)學(xué)歸納法的定義

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行：

歸納奠基一證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n°eN*)時(shí)命題成立

歸納遞推一以當(dāng)"n=k(k2n0,keN*)時(shí)命題成立”為條件，

推出“當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立”

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n。開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.

通過(guò)典型例題，幫

二、典例解析

例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果｛an｝是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么，助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)

an=a1+(n-l)d①歸納法在證明關(guān)

對(duì)任何neN*都成立.于正整數(shù)有關(guān)的

分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明命題。發(fā)展學(xué)生數(shù)

的第一步應(yīng)證明n=1時(shí)命題成立。第二步要明確證明目標(biāo)，即要證明一學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)

個(gè)新命題：如果n=k時(shí)，①式正確的，那么n=k+1時(shí)①式也是正確的.算、數(shù)學(xué)建模的核

證明：(1)當(dāng)n=k時(shí)，左邊=a1，右邊=a1+0Xd=a1,①式成立.心素養(yǎng)。

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k€N*)時(shí)，①式成立，即

ak=a1+(k-l)d

根據(jù)等差數(shù)列的定義，有

ak+l-ak=d,

于是ak+i=ak+d

=[a]+(k—l)d]+d

=a1+[(k—1)+1]d

=a[+[(k+1)—1]d

即當(dāng)n=k+l時(shí)，①式也成立

由(1)(2)可知，①式對(duì)任何neN*都成立

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：

(1)弄清n取第一個(gè)值n。時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況；

(2)弄清從n=k到n=k+l等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng)；

(3)證明n=k+l時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝

n=k+l證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.

跟蹤訓(xùn)練1求證：1」+---+-1------=-―■1——+—1--(nN*).

2342n-l2nn+ln+22n

證明:①當(dāng)n=l時(shí),左邊=1苫=i右邊三,所以等式成立.

②假設(shè)n=k(k￡N*)時(shí),『1+:?…a=擊+全+…+表成立?

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

%.??+」__2__1________」=」_+J_...±+」-_

2+342k-l2k+2(k+l)-l2(k+l)k+lk+2++2k2k+l

1

2(k+l)

=—+—+—+A+-+[—...-]

k+2k+32k2k+lk+12(+1)

?

=/「+7^3—+“+7?」77+一工,所以11=1i+1時(shí),等式也成立.

(k+l)+l(k+1)+2(k+l)+k2(k+1)

綜上所述,對(duì)于任何ndN*,等式都成立.

例2已知數(shù)歹島，言短…,"前…，計(jì)算Su%,Ss,S’,根據(jù)

計(jì)算結(jié)果,猜想S”的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

解：S|=E=；；

1X44

S="+—=";

244X77

c_2.13

77X1010

1010X1313

可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，

分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+l.

于是可以猜想S?=-^-.

3n+l

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

⑴當(dāng)n=l時(shí),左邊二Si=3

4

f.n11

3n+l-3X1+1-4，

猜想成立.

⑵假設(shè)當(dāng)n二k（k￡N*）時(shí)猜想成立，

BP—+—H————y—―當(dāng)n=k+1時(shí),—+—+

1X44X77X10（3k-2）（3k+l）3k+l1x44x7

-^―+???+-----------------1----------------------------=-^―-]------------------

7X10（3k-2）（3k+l）[3（k+1）-2][3（k+1）+1]3k+l（3k+l）（3k+4）

_3k2+4k+l_（3k+l）（k+1）_k+1

-（3k+l）（3k+4）-（3k+l）（3k+4）-3（k+l）+l'

所以，當(dāng)n=k+l時(shí)猜想也成立.

根據(jù)⑴和⑵，可知猜想對(duì)任何n￡N*都成立.

(1)“歸納一猜想一證明”的一般環(huán)節(jié)

(2)“歸納一猜想一證明”的主要題型

①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.

②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題,求使命題成立的參數(shù)值

是否存在.

③給出一些簡(jiǎn)單的命題(n=l,2,3,…)，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立

的一般性命題.

跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列｛aj滿足Sn=2n-a”(S“為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列

的前4項(xiàng),再猜想a”,并證明.

解:由ai=2-ai,得ai-1;

—

由ai+a?=2X2ci2,(導(dǎo)a2=~;

由a"2+a3=2X3a,得as1;

由@1+02+期+@4=2X4~0,4,￡L4~—.

8

猜想a”=常.

下面證明猜想正確：

(1)當(dāng)n=l時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜想成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，

則有二號(hào)，

當(dāng)n=k+l時(shí)，Sk+ak+i=2(k+1)-ak+i,Aak+i=-[2(k+1)-Sk]

=k+l-|(2k-|^i)=篇―

所以，當(dāng)n=k+l時(shí),等式也成立.

由(1)和(2)可知,小=春對(duì)任意正整數(shù)n都成立.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明l+a+a?+…n￡N*),在驗(yàn)證n=l成立通過(guò)練習(xí)鞏固本

時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是()節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)

A.1B.1+a學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)

C.l+a+a~D.1+a+a+a3展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)

解析:當(dāng)n=l時(shí)，左邊=l+a+a"i=l+a+a；故C正確.算、邏輯推理、直

答案:C觀想象、數(shù)學(xué)建模

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+l)=(n+l)(2n+l)時(shí)，從“n=k”到的核心素養(yǎng)。

“n=k+l"，左邊需增添的代數(shù)式是()

A.(2k+l)+(2k+2)B.(2kT)+(2k+l)

C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)

解析：當(dāng)n=k時(shí)，左邊是共有2k+l個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即1+2+3+…+(2k+l),

所以當(dāng)n=k+l時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即1+2+3+-

+(2k+l)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故

選C.

答案:C

3.已知f(11)=1+工+工+…+NnGN*),計(jì)算得

23n

f(2)=|,f(4)>2,f(8)>|,f(16)>3,f(32)>|,由此推測(cè),當(dāng)n>2時(shí)，

有__________.

答案:f(2")>等

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:5+5+…2.假設(shè)n=k時(shí),不等式成

2"3”(n+1)2n+2

立,則當(dāng)n=k+l時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_________.

解析:從不等式結(jié)構(gòu)看,左邊n=k+l時(shí),最后一項(xiàng)為前面的分母的底

(k+2)

數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+l時(shí),式子為:-—4—,即目標(biāo)不等式為白+

21,KTi.)TZN"

±+-+1>1__L

32(k+2)22k+3*

1

答口案呆.W22十+A32+...+(k+2)2,＞2工_k工+3

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n22,nGN*時(shí),(1-i)(if(珠)…等.

證明：⑴當(dāng)n=2時(shí),左邊=1二=右邊=織=.-.n=2時(shí)等式成立.

442x24

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k》2,keN*)時(shí)等式成立，

即"(1機(jī)12???([*)摟，

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，(叫(吟)(1章)…(1噎[1--]

_k+l.口_1-|_(k+l)2-l_k+2_(k+l)+l

2k(k+1)22k(k+l)-2(k+l)―2(k+l)

:.當(dāng)n=k+l時(shí),等式也成立.

根據(jù)⑴和⑵知,對(duì)任意n22,n￡N*,等式都成立.

四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生

驗(yàn)證〃="時(shí)命題若宇=左(左2八0)時(shí)命題成立，進(jìn)一步鞏固本節(jié)

成立證明生紅J時(shí)命題也成立

、歸納奠基歸納遞推,所學(xué)內(nèi)容，提高概

土

7括能力。

命題對(duì)從口0開(kāi)始所

［有的正整

細(xì)都成工

【教學(xué)反思】

由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用

“問(wèn)題情景-一建立模型--求解--解釋一-應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的

親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲

取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一

桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.

2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.

【重點(diǎn)和難點(diǎn)】

重點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題

難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理.

【知識(shí)梳理】

數(shù)學(xué)歸納法的定義

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行：

歸納奠基一證明當(dāng)n取第一個(gè)值no(noeN,)時(shí)命題成立

歸納遞推一以當(dāng)"n=k(k3n0,keN*)時(shí)命題成立”為條件，

推出“當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立”

只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n。開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫

做數(shù)學(xué)歸納法.

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、新知探究

在數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公

式an=ai+(n-1)d等，但并沒(méi)有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，那么，對(duì)于這類(lèi)與正整數(shù)n有關(guān)

的問(wèn)題，我們?cè)鯓幼C明它對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n都成立呢？本節(jié)我們就來(lái)介紹一種重要的證明方

法——數(shù)學(xué)歸納法

探究1.已知數(shù)列｛a｝滿足，a1=1,a=-—(n6N*)

nn+12—an

計(jì)算a2,a3,a4,猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.

問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

我們先從多米諾骨牌游戲說(shuō)起，碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒

下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下;

而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部

倒下。

問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

問(wèn)題2：你認(rèn)為條件(2)的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述它？

探究2.你認(rèn)為證明前面的猜想”數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1(neN*)”與上述多米諾骨牌游

戲有相似性嗎？你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

二、典例解析

例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果｛a/是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么,

an=+(n-l)d①

對(duì)任何nGN*都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：

(D弄清n取第一個(gè)值n。時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況；

(2)弄清從n=k到n=k+l等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);

(3)證明n=k+l時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n=k+l證明目標(biāo)的

表達(dá)式變形.

是艮蹤訓(xùn)練1求證：+工-1

2342n-l2nW+京

例2已知數(shù)列戲，白，品1…,計(jì)算Si,S,S,S,根據(jù)

（3n-2）（3n+l）234

計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

(1)“歸納一猜想一證明”的一般環(huán)節(jié)

(2)“歸納一猜想一證明”的主要題型

①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.

②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.

③給出一些簡(jiǎn)單的命題(n=l,2,3,…)，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.

跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列｛a?｝滿足Sn=2n-a.⑸為數(shù)歹U區(qū)｝的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想

an,并證明.

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明l+a+a2+…?上(aWl,nGN*),在驗(yàn)證n=l成立時(shí),左邊計(jì)算所得的

1-a

項(xiàng)是()

A.1B.1+a

C.1+a+a2D.l+a+a2+a3

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+l)=(n+l)(2n+l)時(shí)，從“n=k”到“n=k+l”，左邊需增

添的代數(shù)式是()

A.(2k+l)+(2k+2)B.(2k-l)+(2k+l)

C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)

3.已知f(n)=l+i+；+…+工(nGN*),計(jì)算得f(2)=|,f(4)>2,f(8)>f,f(16)>3,f(32)>|,由此推

23n222

測(cè)，當(dāng)n>2時(shí),有.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:芻+白+…+丁工7>；-」『假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+l時(shí)，

2/3”(n+1)2n+2

應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是.

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n22,neNW,(卜*")4)…。)喘

【課堂小結(jié)】

驗(yàn)證對(duì)命題若〃=4(左右麗)時(shí)命題成立，

成立一證明“M+1時(shí)命題也成立

、歸納奠基歸納遞推

------------X；~2-------

命題對(duì)從所開(kāi)始所

有的正整數(shù)幾都成工

【參考答案】

知識(shí)梳理

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、新知探究

探究1.分析：計(jì)算可得a?=1,a3=1,a4-1,再結(jié)合a1-1,由此猜想：at=

l(neN*)如何證明這個(gè)猜想呢？

思路1.我們可以從開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證。一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)比較小時(shí)可

以逐個(gè)驗(yàn)證，但n當(dāng)較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩。特別當(dāng)n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，

逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法。

問(wèn)題2：可以看出，條件(2)給出一個(gè)遞推根據(jù)(關(guān)系)，當(dāng)?shù)趉塊倒下，

相鄰的第k+1塊也倒下。

探究2.(1)第一塊骨牌倒下；

(2)若第K塊骨牌倒下時(shí)，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下

根據(jù)(1)和(2),可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。

(1)當(dāng)n=l時(shí)猜想成立；at=1

(2)若n=k時(shí)猜想成立，即ak=1,

則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=-^―=1,猜想也成立

2-ak

根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)任意的正整數(shù)n,猜想都成立.

所以對(duì)于任意正整數(shù)n,猜想都成立，即數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是an=1.

二、典例解析

例1.分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)

證明n=l時(shí)命題成立。第二步要明確證明目標(biāo)，即要證明一個(gè)新命題：如果n=k時(shí)，①式

正確的，那么n=k+l時(shí)①式也是正確的.

證明：(1)當(dāng)n=k時(shí)，左邊=a1，右邊=a1+0xd=a1,①式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(keN*)時(shí)，①式成立，即

ak=a1+(k—l)d

根據(jù)等差數(shù)列的定義，有

ak+l-ak=d,

于是ak+i=ak+d

=[a]+(k—l)d]+d

=a[+[(k—1)+1]d

=a[+[(k+1)—1]d

即當(dāng)n=k+l時(shí)，①式也成立

由(1)(2)可知，①式對(duì)任何neN*都成立

跟蹤訓(xùn)練1證明:①當(dāng)n=l時(shí),左邊右邊告所以等式成立.

②假設(shè)n二k(k￡N*)時(shí)，I--+--------號(hào)=-^―+^—+…+=成立.

2342k-l2kk+1k+22k

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

++—i_______」=L+…+L+」______」

2342k-l2k2(k+l)-l2(k+1)k+lk+22k2k+l2(k+1)

」+j”+，+[二_____一]

k+2k+32k2k+lk+12(k+1)

="^+7?\+?“+7?」?下+丁口,所以11=1<+1時(shí),等式也成立.

（k+l）+l（k+l）+2（k+l）+k2（k+l）

綜上所述,對(duì)于任何neN,.等式都成立.

例2解5=/=:；

S2=i+—=-;

44X77

c_2.13

77X1010

S4=-+」一=

1010X1313

可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，

分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+l.

于是可以猜想S?=-^-.

3n+l

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

（1）當(dāng)n=l時(shí),左邊二Si=；,

4

右/.邊=--n-=---1--=1

3n+l3x1+14

猜想成立.

⑵假設(shè)當(dāng)n=k（k￡N*）時(shí)猜想成立，

BP—+—4————y——-=當(dāng)n=k+1時(shí)，—+—d———+?,?+——y—~-+

1X44X77X10（3k-2）（3k+l）3k+l1x44x77X10（3k-2）（3k+l）

_________1___________k_______1_______3k2+4k+l_（3k+l）（k+1）_k+1

[3（k+l）-2][3（k+l）+l]-3k+l十（3k+l）（3k+4）-（3k+l）（3k+4）-（3k+l）（3k+4）-3（k+l）+l，

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.

根據(jù)⑴和(2),可知猜想對(duì)任何n￡N*都成立.

跟蹤訓(xùn)練2解：由ai=2-ai,得ai=l;

由ai+a2=2X2-a2,得a2=-;

由ai+@2+a3=2*3-助，得a3二一；

4

由ai+az+as+aF?X4—a,4,a，4=—.

8

猜想an二二.

下面證明猜想正確:

⑴當(dāng)n=l時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜想成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,

2k-l

則有ak=尹，

當(dāng)n=k+l時(shí)，Sk+ak+i=2(k+l)-ak+i,ak+i=|[2(k+1)-Sk]

2kl

xi-1fni-\-21+1-1

所以，當(dāng)n=k+l時(shí),等式也成立.

由(1)和(2)可知,a0=》對(duì)任意正整數(shù)n都成立.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.解析：當(dāng)n=l時(shí),左邊=l+a+a"'=l+a+a［故C正確.

答案:C

2.解析：當(dāng)n=k時(shí),左邊是共有2k+l個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即1+2+3+…+(2k+l),

所以當(dāng)n=k+l時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即1+2+3+―+(21<+1)+(21<+2)+(21<+3).所

以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.

答案:C

3.答案:f(2")〉等

4解析:從不等式結(jié)構(gòu)看,左邊n=k+l時(shí),最后一項(xiàng)為前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),

右邊n=k+l時(shí),式子為?講，即目標(biāo)不等式為?身…+壺>〉念

答案:《+導(dǎo)…+北>：京

5.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1」=右邊=四=.\n=2時(shí)等式成立.

442X24

⑵假設(shè)當(dāng)n=k(k22,kEN*)時(shí)等式成立，

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，(1哈)［卜舟K

2

—上+i.H--1—]=.(fc+l)-lk+2(k+l)+l

2kL(1+1)2」

2/c(k+l)2(k+1)2(k+1)

當(dāng)n=k+l時(shí),等式也成立.

根據(jù)（1）和（2）知,對(duì)任意n22,nGN*,等式都成立.

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》基礎(chǔ)同步練習(xí)

一、選擇題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+,+,+…+時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式

232"-1v'

是（）

1,11-

A.1H—<2B.1H----1—<2

223

11111,

C.1H--1—<3D.1H----1---1—<4

23234

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+3+5+…+（2〃—1）=1（nGN*）的過(guò)程中，第二步假設(shè)n=k

時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+l時(shí)應(yīng)得到（）

A.1+3+5+?一+（2左+1）=左2

B.1+3+5+…+（2左+1）=（左+lf

C.1+3+5+?一+（2左+1）=（左+2）2

D.1+3+5+?一+（2左+1）=（左+3）2

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式』+』+!+…+二>三―1（〃€"\〃..2）時(shí)，以下說(shuō)法正確

的是（）

A.第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)”=1時(shí)不等式成立

B.從“〃=左到〃=左+1”左邊需要增加的代數(shù)式是二

C.從“〃=左至U〃=左+1”左邊需要增加2上項(xiàng)

D.以上說(shuō)法都不對(duì)

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明"5"—2"（〃cN*）能被3整除”的過(guò)程中，〃=左+1時(shí)，為了使用假

設(shè)，應(yīng)將5"i-變形為（）

A.5（5"—2*）+3*2LB,（5*—2"）+4義5,—2/

C.（5—2乂5左一2&）D.2（5/-2&）—3x5為

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：—+—+---+^—>—,從左至IJk+1,不等式左邊

n+1n+2n+n14

需要（）

1增加兩項(xiàng)/—1

A.增加一項(xiàng)B.

2（1+1）2k+12（1+1）

1111

C.增加年IT且減少一項(xiàng)D.增加—~,且減少一項(xiàng)^—

女+12k+12（左+1）k+1

6.（多選題）用數(shù)學(xué)歸納法證明匕1>/_對(duì)任意〃2左（七左eN）的自然數(shù)都成立，則

2"+177+1

以下滿足條件的人的值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1+l+工+…+工〉”2缶6川，且n22）”時(shí)，第一步要證明

232"2

的結(jié)論是.

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于"的恒等式，當(dāng)"=左時(shí)，表達(dá)式為

Ix4+2x7+…+左（3%+1）=左（左+1）2,則當(dāng)〃=左+1時(shí)，表達(dá)式為.

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+2?+…+25i（〃eN*）能被31整除時(shí)，從左到左+1添加的項(xiàng)

數(shù)共有項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）.

10.已知/（〃）=1+1+1+…+［伍eN*）,用數(shù)學(xué)歸納法證明/（2"）>四時(shí),

23nx7v72

三、解答題

11.在數(shù)列｛4｝中，%=不，%用=----

（1）求出%并猜想4的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納方證明你的猜想.

12.觀察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子的規(guī)律：

（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式，并猜想第九（〃eN*）個(gè)等式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第〃eN*）個(gè)等式成立.

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》答案解析

一、選擇題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+,+,+…+^^<〃（〃6"*,〃>1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式

232"-1'）

是（）

1,11—

A.1H—<2B.1H1—<2

223

,11,111,

C.1H1—<3D.1H11—<4

23234

【答案】B

【詳解】,:MN*，〃>1,；.〃所取的第一個(gè)正整數(shù)為2,又22-1=3,故第一步應(yīng)驗(yàn)證

1+-+-<2,故選：B

23

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+3+5+…+（2”—1）="（nGN*）的過(guò)程中，第二步假設(shè)n=k

時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+l時(shí)應(yīng)得到（）

A.1+3+5+?一+（2左+1）=左2

B.1+3+5+…+（2++1）=（左+1）2

C.1+3+5+?一+（2左+1）=（左+2）2

D.1+3+5+?一+（2左+1）=（左+3）2

【答案】B

【解析】由數(shù)學(xué)歸納法知第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+l時(shí)應(yīng)得到

1+3+5+???+（2左+1）=（左+1）2

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式』+』+!+…+二>三―1（〃€"\〃..2）時(shí)，以下說(shuō)法正確

2342“T2,）

的是（）

A.第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)”=1時(shí)不等式成立

B.從“〃=左到〃=左+1”左邊需要增加的代數(shù)式是口

C.從“〃=左到〃=左+1”左邊需要增加2/項(xiàng)

D.以上說(shuō)法都不對(duì)

【答案】D

【詳解】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)〃=2時(shí)不等式成立，所以A不正確；因?yàn)?/p>

1111111111

--1---1---1-???H--：—（—I---1----F,??+1+1+---r，

2342及2342^+12t-+22k

11J,所以

所以從“〃=%到〃=左+1”左邊需要增加的代數(shù)式是--------1---------1-,■■+

2*1201+2

3不正確;

所以從“〃=左到〃=左+1”左邊需要增加項(xiàng)，所以C不正確。故選：D

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明"5"-2"（"eN*）能被3整除”的過(guò)程中，〃=左+1時(shí)，為了使用假

設(shè)，應(yīng)將51—變形為（）

A.5（5*—2"）+3*2*B,（5及一2"）+4x5?—2上

C.（5-2）（5"—2*）D,2（5"—2"）—3x5上

【答案】A

【詳解】解：假設(shè)當(dāng)"=左（丘”）時(shí)，命題成立，即5女—2人能被3整除，

則當(dāng)〃=左+1時(shí)，5八】一2Kl=5x5*—2x2^=5x5&—5x2*+5x2尢一2x2*

=5（5"-2A'）+5X2"-2X2"=5（5"-2^+3X2\故選：A.

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：—+—+---+^—>—,從左到上+1,不等式左邊

71+1n+2n+n14

需要（）

11

A.增加一項(xiàng)2(1+1)B.增加兩項(xiàng)----2-(1+1)

2k+l

11111

C.增加一且減少一項(xiàng)——D.增加—~,且減少一項(xiàng)----

2（左+1）左+12k+l2（左+1）左+1

【答案】D

11113

【詳解】由數(shù)學(xué)歸納法知：若“=4時(shí),不等式成立，則有:----+-----+?-?+----->一

左+1k+2k+k14

成立,

那么〃=左+1時(shí)，有:--------------1---------------1-???H---------------------1-----------------1-------------------->—

左+1+1左+1+2k+1+k-lk+1+kk+1+k+l14

1111113

------1----+---------1-------------\~>—

上+2左+32k2k+l2(4+1)14

11

綜上知：不等式左邊需要增加—~,且減少一項(xiàng)——，故選：D

2k+l2（左+1）左+1

6.（多選題）用數(shù)學(xué)歸納法證明2匚＞」一對(duì)任意〃2左5,左eN）的自然數(shù)都成立，則

2"+1n+1

以下滿足條件的人的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

2〃-11n_12〃-1n

【詳解】取〃=1,則^-->不成立;

2〃+1T+1n+1

2H-13n22〃-1

取〃=2,則nil-----=-,——=->—B—不成立;

2"+15n+132"+1n+1

?2"-17n32〃—1

取〃=3,貝nij--------=—,--------=一>一J成立;

2"+19n+142"+177+1

2n-l15n4竺口〉」一成立;

取〃=4,則nil-----=——，——=一，

2"+117n+152"+177+1

下證：當(dāng)〃23時(shí)，-2"~-1nL成立.

2"+1n+1

T-1

當(dāng)〃=3,則=〉—-成立;

2"+l9n+14T+1n+1

2"-1k

設(shè)當(dāng)〃=左（左》3）時(shí)，有---->-----成立,

2%+1k+1

2k-l

2k+1-13+1

2+1

則當(dāng)〃=左+1時(shí)，有

2k+'+1—2/-1

2r+l+3

2k-l2k+}-l3r+l\8

令/=，則nrlf—=----=3--------,

2k+l2k+1+lt+3t+3

2k+l~l44+1

因?yàn)?>—kJ

,故2川+144+3

左+1"-六

k+1

4左+1k+12k-l2k+l-lk+1k+1

因?yàn)?次+3一左+2-（4%+3）（左+2）>0,所以21+1>1+2=（Z+l）+l，

2"-1

所以當(dāng)〃=左+1時(shí)，不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知，-~^>/一對(duì)n任意的〃23都成

2"+1n+1

立.故選：CD.

二、填空題

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題"1+4+!+…+’〉”2（neN+,且n22）”時(shí)，第一步要證明

232"2

的結(jié)論是.

…小,1112+2

【答案11H------1------1---->---------

2342

【詳解】因?yàn)閚22,所以第一步要證的是當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立，即1+工+!+!〉2±^

2342

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于〃的恒等式，當(dāng)〃=左時(shí)，表達(dá)式為

Ix4+2x7+…+左（3左+1）=左（左+1）2,則當(dāng)〃=左+1時(shí)，表達(dá)式為一

【答案】Ix4+2x7+…+左（3左+1）+（左+1）（3%+4）=（左+1）（左+2）2

【詳解】當(dāng)〃=左+1時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為：1*4+2*7+…+左（3左+1）+（左+1）（3左+4）,

表達(dá)式右側(cè)為：（左+1）（左+2））則當(dāng)〃=左+1時(shí)，表達(dá)式為

Ix4+2x7+…+左（3左+1）+（左+1）（3左+4）=（左+1）（左+2）2.

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+2?+…+25'T(〃eN*)能被31整除時(shí)，從左至Uk+1添力口的項(xiàng)

數(shù)共有項(xiàng)(填多少項(xiàng)即可).

【答案】5

【詳解】當(dāng)〃=左時(shí)，原式為：1+2+22+...+25J,

當(dāng)”=左+1時(shí)，原式為1+2+2?+…+251+25"，+25L+2+25k+3+左+4,

r25k+\+

比較后可知多了2"+25A+1+25H2+25H3+y+4，共5項(xiàng).

10.已知F（〃）=l+1+1+…+用數(shù)學(xué)歸納法證明〃2"）＞己坦時(shí)，

23nx7\，2

f（2k+l）-f（2k）=.

…尹+不+…+而

【詳解】因?yàn)楫?dāng)〃=左時(shí)，/（2,）=1+萬(wàn)+§H---1-,

當(dāng)〃=氏+1時(shí),/（2*i）=l+g+g+……,所以

/（2”）-/（*=1+*…+擊-[l+g+…+分乙+/i+…+J

三、解答題

11.在數(shù)列｛4｝中，"1=3'4+1=三3

(1)求出。2，%并猜想句的通項(xiàng)公式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納方證明你的猜想.

【詳解】

1

解：⑴

+3

13

cJX。。JX。

物_2_3_5al_7_3

出―0+3_133—于%―%+3—3+3—§

2一7

3

因此可猜想：a=——neN

n"十5

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，a--,等式成立,

x2

假設(shè)〃=左時(shí)，等式成立，即/=

k+5

3.x---3---勺勺

33

則當(dāng)〃=左+1時(shí)，——y—k+5__

3?3-左+6-(/+D+5

ak+3

k+5

即當(dāng)〃=左+1時(shí)，等式也成立，

3

綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)〃eN*，an~

12.觀察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子的規(guī)律：

（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式，并猜想第〃（〃eN*）個(gè)等式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第〃僅eN*）個(gè)等式成立.

【詳解】

解析（1）第5個(gè)等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=92.第九個(gè)等式為

YI+（n+1）+（〃