新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單+鞏固練習(xí)專題09 平面向量及其應(yīng)用（解析版）

專題09平面向量及其應(yīng)用一、知識速覽二、考點速覽知識點1向量的有關(guān)概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2、零向量：長度為0的向量，記作SKIPIF1<0.3、單位向量：長度等于1個單位長度的向量．4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：SKIPIF1<0與任一向量平行．5、相等向量：長度相等且方向相同的向量．6、相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：SKIPIF1<0；結(jié)合律：SKIPIF1<0減法求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的相反向量SKIPIF1<0的和的運算SKIPIF1<0數(shù)乘求實數(shù)λ與向量SKIPIF1<0的積的運算SKIPIF1<0，當(dāng)λ>0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同；當(dāng)λ<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相反；當(dāng)λ＝0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0知識點3向量共線定理與基本定理1、向量共線定理：如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，反之，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則一定存在唯一的實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.2、三點共線定理：平面內(nèi)三點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線的充要條件是：存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面內(nèi)一點。3、平面向量基本定理（1）定義：如果SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一對實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）基底：若SKIPIF1<0不共線，我們把SKIPIF1<0叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．（3）對平面向量基本定理的理解=1\*GB3①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．=2\*GB3②基底給定時，分解形式唯一．SKIPIF1<0是被SKIPIF1<0唯一確定的數(shù)值．=3\*GB3③SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．=4\*GB3④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．知識點4平面向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則∠AOB就是向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角．（2）范圍：設(shè)θ是向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，則0°≤θ≤180°.（3）共線與垂直：若θ＝0°，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向；若θ＝180°，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向；若θ＝90°，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直．2、平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，它們的夾角為θ，則數(shù)量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即SKIPIF1<0.（2）幾何意義：數(shù)量積SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的長度SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的方向上的投影SKIPIF1<0的乘積．【注意】（1）數(shù)量積SKIPIF1<0也等于SKIPIF1<0的長度|b|與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘積，這兩個投影是不同的．（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影也可以寫成SKIPIF1<0，投影是一個數(shù)量，可正可負(fù)可為0，取決于θ角的范圍．3、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個非零向量，SKIPIF1<0是單位向量，α是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：（1）SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向?SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向?SKIPIF1<0.特別地SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（4）若θ為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角，則SKIPIF1<0.4、平面向量數(shù)量積的運算律（1）SKIPIF1<0(交換律)．（2）SKIPIF1<0(結(jié)合律)．（3）SKIPIF1<0(分配律)．【注意】對于實數(shù)a，b，c有SKIPIF1<0，但對于向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而言，SKIPIF1<0不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律．這是因為SKIPIF1<0表示一個與c共線的向量，而SKIPIF1<0表示一個與a共線的向量，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不一定共線，所以SKIPIF1<0不一定成立．知識點5平面向量的坐標(biāo)運算1、向量的線性運算坐標(biāo)表示（1）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．（2）若SKIPIF1<0，則；結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。2、向量平行坐標(biāo)表示：已知SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線的充要條件是SKIPIF1<03、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模SKIPIF1<0SKIPIF1<0夾角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的充要條件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系SKIPIF1<0SKIPIF1<0一、解決向量概念問題的關(guān)鍵點1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．2、共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．5、非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0方向上的單位向量，因此單位向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相同．6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實數(shù)，可以比較大?。?、在解決向量的概念問題時，要注意兩點：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為單位向量，有下列命題：①若SKIPIF1<0為平面內(nèi)的某個向量，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中假命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時SKIPIF1<0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3．故選：D．【典例2】（2023秋·福建廈門·高三?？奸_學(xué)考試）下列命題不正確的是（）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都為非零向量，則使SKIPIF1<0成立的條件是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】A【解析】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C選項，因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是單位向量，所以只有當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是相反向量，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是反向共線時SKIPIF1<0才成立，故C正確；D選項，由向量相等的定義知D正確.故選：A【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列命題，不正確的有（）A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B．若A，B，C，D是不共線的四點，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則四邊形ABCD為平行四邊形C．SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0D．已知λ，μ為實數(shù)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線【答案】ACD【解析】A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；B正確，因為SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)SKIPIF1<0且方向相反時，即使SKIPIF1<0，也不能得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的充要條件，而是必要不充分條件；D錯誤，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可以為任意向量，滿足SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不一定共線．故選:ACD.二、平面向量共線定理的應(yīng)用1、證明向量共線：若存在實數(shù)λ，使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與非零向量SKIPIF1<0共線；2、證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有公共點A，則A，B，C三點共線；3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則一定共線的是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0有公共點B，有A，B，D共線，A是；SKIPIF1<0，不存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不共線，A，B，C不共線，B不是；SKIPIF1<0，不存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不共線，B，C，D不共線，C不是；SKIPIF1<0，不存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不共線，A，C，D不共線，D不是.故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量a與b不共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線的條件是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是兩個不共線向量，且向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0三、平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算．2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上靠近點SKIPIF1<0的三等分點，記SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題知SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①＋3×②得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故選：D.【典例2】（2023秋·河南焦作·高三博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形SKIPIF1<0的對角線AC和BD交于點M，E在BC上，且SKIPIF1<0，直線DE與AB的延長線交于點F，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

（1）試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；（2）試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）平行四邊形SKIPIF1<0的對角線AC和BD交于點M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）點E在BC上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3】（2023·湖南婁底·高三聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為SKIPIF1<0.如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的黃金分割點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D四、平面向量數(shù)量積的3種運算方法1、定義法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即SKIPIF1<0（2）適用范圍：已知或可求兩個向量的模和夾角。2、基底法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別用這組基底表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級的運算律和定義求解。（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可將已知模和夾角的兩個不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）適用范圍：=1\*GB3①已知或可求兩個向量的坐標(biāo)；=2\*GB3②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積?！镜淅?】（2023·四川宜賓·?？既＃┤羲倪呅蜸KIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：A【典例2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在邊長為2的正三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題知，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故選：B【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方形SKIPIF1<0的邊長是2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．3C．SKIPIF1<0D．5【答案】B【解析】方法一：以SKIPIF1<0為基底向量，可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；方法二：如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；方法三：由題意可得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.五、求向量?；蚱浞秶某Ｓ梅椒?、定義法：利用SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．【典例1】（2023·全國·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·四川遂寧·高三?？寄M預(yù)測）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：B.六、從動態(tài)角度理解三角形四心的向量表示1、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：=1\*GB3①OA?OB==2\*GB3②OA2+BC=3\*GB3③動點P滿足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC3、常用外心向量式：O是?ABC的外心，=1\*GB3①OA=OB==2\*GB3②OA+OB?=3\*GB3③動點P滿足OP=OB+OC2+λABABcosB+=4\*GB3④若OA+OB?AB=OB+OC4、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，=1\*GB3①ABPC+BCPA+CA其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，=2\*GB3②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【答案】B【解析】過點SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其垂足依次為SKIPIF1<0，如圖所示，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)奔馳定理就有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)心，B選項正確.故選：B【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【答案】C【解析】取BC的中點D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心．故選：C．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，給出如下命題:①SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一定點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡一定過SKIPIF1<0的重心．②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一定點，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡一定過SKIPIF1<0的內(nèi)心．③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一定點，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（4）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形．其中正確的命題有個．【答案】3【解析】對于①，令點SKIPIF1<0為BC的中點，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)極化恒等式就有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此動點SKIPIF1<0的軌跡是射線AD，過SKIPIF1<0的重心，故①正確．對于②，取一點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，并連接AD，如圖所示，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的內(nèi)心在射線AD上．由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是就有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此動點SKIPIF1<0的軌跡是射線AD，過SKIPIF1<0的內(nèi)心，故②正確．對于③，由SKIPIF1<0，可得設(shè)SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故③錯誤．對于④，根據(jù)SKIPIF1<0，結(jié)合②，可得SKIPIF1<0的平分線與BC垂直，于是就有SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0是等邊三角形，故④正確．綜上所述，正確的命題有3個．故答案為：SKIPIF1<0七、平面向量最值范圍問題的常用方法1、定義法第1步：利用向量的概念及其基本運算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；第2步：運用基本不等式求其最值問題；第3步：得出結(jié)論。2、坐標(biāo)法第1步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點的坐標(biāo)；第2步：將平面向量的運算坐標(biāo)化；第3步：運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。3、基底法第1步：利用基底轉(zhuǎn)化向量；第2步：根據(jù)向量運算化簡目標(biāo)；第3步：運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；4、幾何意義法第1步：結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；第2步：利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點的軌跡；第3步：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為BC的中點，點P在SKIPIF1<0斜邊BC的中線AD上，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0，因為D為BC的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，對角線相交于點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】記SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0內(nèi)動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】平面SKIPIF1<0內(nèi)動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，因為SKIPIF1<0，由勾股定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又向量SKIPIF1<0是長度為SKIPIF1<0的一個向量，由此可得，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線反向時，SKIPIF1<0取最小值，且這個最小值為一SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.易錯點1平面向量的概念模糊，尤其是零向量點撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．對于任意向量SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0D．對于任意向量SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0【答案】D【解析】對于A，當(dāng)SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不一定平行，故A錯誤；對于B，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，滿足SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不成立，故B錯誤；對于C，若非零向量SKIPIF1<0方向相反，則SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D，當(dāng)SKIPIF1<0中有零向量時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為非零向量時，若SKIPIF1<0共線且方向相同時，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為非零向量時，若SKIPIF1<0共線且方向相反時，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為非零向量時，且SKIPIF1<0不共線時，如圖所示，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，故D正確．故選：D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，下列說法不正確的是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相同或相反D．存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】A【解析】非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B，∵向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，∴向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，故B正確；對于C，∵向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相同或相反，故C正確；對于D，∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，∴存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故D正確．故選:A．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0都是單位向量，則SKIPIF1<0.B．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件C．若SKIPIF1<0都為非零向量，則使SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0成立的條件是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對A，SKIPIF1<0都是單位向量，則SKIPIF1<0模長相等，但方向不一定相同，所以得不到SKIPIF1<0，A錯誤；對B，“SKIPIF1<0”推不出“SKIPIF1<0”，但“SKIPIF1<0”能推出“SKIPIF1<0”，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，B正確；對C，因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都為單位向量，則SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，C正確；對D，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D正確，故選:BCD.易錯點2忽視兩個向量成為基底的條件點撥：如果SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一對實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件?！镜淅?】（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？级＃┰O(shè)SKIPIF1<0，下列向量中，可與向量SKIPIF1<0組成基底的向量是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】對于AB項，若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯誤；對于D項，若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯誤；對于C項，因為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0恒成立，說明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，復(fù)合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.故選：C【典例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則向量SKIPIF1<0可作為基底的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】對于A，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共線，所以SKIPIF1<0不能作為基底，所以A不合題意；對于B，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共線，所以SKIPIF1<0不能作為基底，所以B不合題意；對于C，若SKIPIF1<0共線，則存在唯一實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不存在，所以SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0可以作為基底，所以C符合題意；對于D，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共線，所以SKIPIF1<0不能作為基底，所以D不合題意，故選：C【典例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在下列向量組中，不能把向量SKIPIF1<0表示出來的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對于A：SKIPIF1<0是零向量與SKIPIF1<0共線，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不能表示SKIPIF1<0，故選項A符合題意；對于B：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0只能表示與它們共線的向量，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不能表示SKIPIF1<0，故選項B符合題意；對于C：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0能表示SKIPIF1<0，故選項C不符合題意；對于D：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0只能表示與它們共線的向量，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不能表示SKIPIF1<0，故選項D符合題意；故選：ABD.易錯點3錯誤使用向量平行的等價條件點撥：對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若是使用SKIPIF1<0，容易忽略0這個解.考生解題過程中要注意等價條件的完備性?！镜淅?】（2022秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題，有SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023春·甘肅張掖·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向相反，則SKIPIF1<0．【答案】3【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向相反，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符合題意，舍去