（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（十二大題型）（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（十二大題型）（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（十二大題型）（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）8.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（十二大題型）（原卷版）8.2離散型隨機(jī)變量及其分布列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過具體實(shí)例,理解離散型隨機(jī)變量的概率分布.(2)會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值,反映離散型隨機(jī)變量的取值水平,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題．(3)能利用n重伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題．(4)掌握二項(xiàng)分布的概率表達(dá)形式.(5)理解超幾何分布的概念及特征.(1)能列出隨機(jī)變量的取值所表示的事件．(2)掌握離散型隨機(jī)變量概率分布的表示方法和性質(zhì)(3)理解兩點(diǎn)分布(4)理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.(5)掌握超幾何分布的均值的計(jì)算.2.了解二項(xiàng)分布同超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．知識點(diǎn)01離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列為…………則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．【即學(xué)即練1】(2024·全國·模擬預(yù)測)從1-20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),記隨機(jī)變量為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)組的個(gè)數(shù)．如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11,12,14時(shí),;當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7,8,9時(shí),．則的值為(

)A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5知識點(diǎn)02兩點(diǎn)分布的期望一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么;【即學(xué)即練2】(2024·高二·陜西漢中·期末)某校舉行圍棋友誼賽,甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽,每局比賽甲獲勝的概率是,乙獲勝的概率是,規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分,負(fù)方記0分,先得3分者獲勝,比賽結(jié)束．(1)求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率;(2)若甲以領(lǐng)先乙時(shí),記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望．知識點(diǎn)03離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為．一般地,下面的結(jié)論成立：．【即學(xué)即練3】(2024·高二·江蘇·課時(shí)練習(xí))隨機(jī)變量的概率分布為1240.40.30.3則等于(

)A．11 B．15 C．35 D．39知識點(diǎn)04離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………考慮所有可能取值與的偏差的平方,因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值的偏離程度,我們稱為隨機(jī)變量的方差,有時(shí)也記為,并稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,記為．【即學(xué)即練4】(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))若p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量的分布列如下表,則的最大值為,Dξ的最大值為．012知識點(diǎn)05n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、定義一般地,在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行;②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的;③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生．2、特點(diǎn)(1)每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的;(2)每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的,其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．【即學(xué)即練5】愛,在民間經(jīng)常開展各種乒乓球比賽．現(xiàn)有甲乙二人爭奪某次乒乓球比賽的冠軍,根據(jù)以往比賽記錄統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù),可以認(rèn)為在每局比賽中甲勝乙的概率為,若比賽為"五局三勝”制,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立且沒有平局,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進(jìn)行了四局的概率為(

)A． B． C． D．知識點(diǎn)06二項(xiàng)分布1、定義一般地,在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用表示事件發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為,不發(fā)生的概率,那么事件恰好發(fā)生次的概率是(,,,…,)于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對應(yīng)項(xiàng)的值,稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布,記作,并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn),兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布,即時(shí)的二項(xiàng)分布,所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)(1)適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．(2)本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題,在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若,則,．【即學(xué)即練6】(2024·全國·模擬預(yù)測)中醫(yī)藥學(xué)是中國古代科學(xué)的瑰寶,也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度,某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷,得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低,成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高.(1)從這100位市民中隨機(jī)抽取1人,求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率;(2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人,記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù),求的分布列和期望.知識點(diǎn)07超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有件次品,則事件發(fā)生的概率為,,1,2,…,,其中,且,,,,,稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列,則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)(1)適用范圍：①考察對象分兩類;②已知各類對象的個(gè)數(shù);③從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題,在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別(1)超幾何分布需要知道總體的容量,而二項(xiàng)分布不需要;(2)超幾何分布是"不放回”抽取,在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的;而二項(xiàng)分布是"有放回”抽取(獨(dú)立重復(fù)),在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．【即學(xué)即練7】(2024·高二·湖南長沙·期末)某袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的6個(gè)球,其中4個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球,記取出白球的個(gè)數(shù)為X．(1)寫出X的分布列,并求出和的值;(2)若取出一個(gè)白球得一分,取出一個(gè)黑球得兩分,最后得分為Z,求出和的值．題型一：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【典例1-1】(2024·高二·全國·課后作業(yè))已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下表：則數(shù)學(xué)期望等于(

)A． B． C． D．【典例1-2】(2024·高二·河南駐馬店·階段練習(xí))已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望(

)A． B．2 C． D．3【變式1-1】(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量的分布列為：1230.20.5則的均值是(

)A．2 B．2.1C．2.3 D．隨的變化而變化【變式1-2】(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))某班舉行了一次"心有靈犀”的活動(dòng),教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué),這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對得1分,猜錯(cuò)得0分,則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次,得分之和X的均值(

)A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1【方法技巧與總結(jié)】求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列,一般分為四步：(1)確定X的可能取值;(2)計(jì)算出P(X＝k);(3)寫出分布列;(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算E(X)．題型二：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【典例2-1】(2024·高三·全國·專題練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且,若,則等于(

)A． B． C． D．【典例2-2】(2024·高二·吉林白城·期末)元宵節(jié)廟會(huì)上有一種摸球游戲：布袋中有15個(gè)大小和形狀均相同的小球,其中白球10個(gè),紅球5個(gè),每次摸出2個(gè)球．若摸出的紅球個(gè)數(shù)為,則(

)A． B． C． D．【變式2-1】(2024·高二·湖南長沙·期末)隨機(jī)變量X的分布列如表,則的值為(

)X123P0.2A0.4A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2【變式2-2】(2024·高二·黑龍江綏化·期末)設(shè)的分布列如表所示,又設(shè),則等于()1234A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機(jī)變量與的關(guān)系為為常數(shù),一般思路是先求出,再利用公式求．也可以利用的分布列得到的分布列,關(guān)鍵是由的取值計(jì)算的取值,對應(yīng)的概率相等,再由定義法求得．題型三：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用【典例3-1】(2024·高三·江蘇南通·期末)袋中裝有5個(gè)乒乓球,其中2個(gè)舊球,現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗(yàn)．(1)若直到取到新球?yàn)橹?求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值;(2)若將題設(shè)中的"無放回”改為"有放回”,求檢驗(yàn)5次取到新球個(gè)數(shù)X的均值．【典例3-2】(2024·高三·廣東肇慶·階段練習(xí))為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,榮造良好的文化氛圍,某高中校團(tuán)委組織非畢業(yè)年級開展了"我們的元宵節(jié)”主題知識競答活動(dòng),該活動(dòng)有個(gè)人賽和團(tuán)體賽,每人只能參加其中的一項(xiàng),根據(jù)各位學(xué)生答題情況,獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別個(gè)人賽團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)高一20206050高二162910550(1)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng),求抽到的學(xué)生來自高一的概率;(2)從高一和高二獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人,以表示這2人中團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;【變式3-1】(2024·福建漳州·模擬預(yù)測)2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京舉行,會(huì)議再次強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車消費(fèi).發(fā)展新能源汽車是我國從"汽車大國”邁向"汽車強(qiáng)國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經(jīng)過多項(xiàng)檢測,檢測合格后方可銷售,其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試,測試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格,優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分,該型號新能源汽車在碰撞測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為,良好的概率為;在續(xù)航測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為,良好的概率為,兩項(xiàng)測試相互獨(dú)立,互不影響,該型號新能源汽車兩項(xiàng)測試得分之和記為.(1)求該型號新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格的概率;(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.【變式3-2】(2024·全國·模擬預(yù)測)2023年國慶節(jié)假期期間,某超市舉行了購物抽獎(jiǎng)贏手機(jī)活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期間,消費(fèi)金額(單位：元)不低于100元的顧客可以參與一次活動(dòng)(假設(shè)每名顧客只消費(fèi)一次),每5人一組,每人可以隨機(jī)選取A或B兩個(gè)字母,其中選取相同字母的人數(shù)較少者每人獲得10元購物券,其他人獲得抽取價(jià)值6999元手機(jī)的資格(例如5人中有2人選取A,則這2人每人獲得10元購物券,另外3人獲得抽取手機(jī)的資格;5人全部選取A,則這5人均獲得抽取手機(jī)的資格),根據(jù)統(tǒng)計(jì),在此活動(dòng)期間,顧客在該超市消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示．(1)從活動(dòng)期間在該超市購物的顧客中隨機(jī)選取2名,求這2名顧客中恰有1人獲得10元購物券的概率(2)設(shè)每5人組獲得購物券的人數(shù)為X．(ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望：(?、?若超市計(jì)劃投入的活動(dòng)經(jīng)費(fèi)(購買手機(jī)的費(fèi)用與發(fā)放的購物券金額總和)不超過顧客消費(fèi)總金額的10%,則每1000名顧客最多送出多少部手機(jī)?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)【方法技巧與總結(jié)】解答實(shí)際問題時(shí),(1)把實(shí)際問題概率模型化;(2)利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出分布列;(3)利用公式求出相應(yīng)均值．題型四：求離散型隨機(jī)變量的方差【典例4-1】(2024·高二·廣東廣州·期末)隨機(jī)變量有3個(gè)不同的取值,且其分布列如下：01則的值為．【典例4-2】(2024·浙江溫州·模擬預(yù)測)某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,恰全為黑球的概率為,則黑球的個(gè)數(shù)為.若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為,則.【變式4-1】(2024·高二·福建福州·期末)隨機(jī)變量的概率分布列如下：－101其中,,成等差數(shù)列,若隨機(jī)變量的期望,則其方差＝．【變式4-2】(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲,投籃者若投中,則繼續(xù)投籃,否則由對方投籃,第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為,.在前3次投籃中,乙投籃的次數(shù)為ξ,則ξ的方差為．【方法技巧與總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布)：直接利用定義求解,先求均值,再求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式求解．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識求得分布列,然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．題型五：方差的性質(zhì)的應(yīng)用【典例5-1】(2024·高二·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末)離散型隨機(jī)變量的分布列為,,2,3,…,6,其期望為,若,則.【典例5-2】(2024·高二·遼寧·期末)設(shè)隨機(jī)變量的方差,則的值為.【變式5-1】(2024·高二·江蘇·課時(shí)練習(xí))隨機(jī)變量的取值為,若,,則．【變式5-2】(2024·高二·四川眉山·期末)已知隨機(jī)變量,若,則.【變式5-3】(2024·高二·海南?？凇て谀?設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4,若,,且的均值為5,則方差為.【變式5-4】(2024·高二·山東·階段練習(xí))已知隨機(jī)變量,,則取最小值時(shí),.【方法技巧與總結(jié)】求隨機(jī)變量方差的方法求隨機(jī)變量的方差,一種方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一種方法是應(yīng)用公式求解．題型六：均值與方差的綜合應(yīng)用【典例6-1】(2024·高三·浙江金華·期末)某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)球,其中3個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球,記取出白球的個(gè)數(shù)為,(1)求的概率即(2)求取出白球的數(shù)學(xué)期望和方差【典例6-2】(2024·高二·甘肅天水·階段練習(xí))某超市試銷某種商品一個(gè)月,獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)頻率試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),超市決定正式營銷這種商品.設(shè)某天超市開始營業(yè)時(shí)有該商品件,當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存貨少于件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至件,否則不進(jìn)貨.將頻率視為概率.求當(dāng)天商品進(jìn)貨的概率.記為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù).求得分布列.求得數(shù)學(xué)期望與方差.【變式6-1】(2024·高二·江蘇·專題練習(xí))為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手,對甲?乙兩名射手進(jìn)行選拔測試.已知甲?乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X,Y,甲?乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求X,Y的概率分布;(2)求X,Y的數(shù)學(xué)期望與方差,以此比較甲?乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.【變式6-2】(2024·高二·北京昌平·期末)某網(wǎng)站為研究新聞點(diǎn)擊量的變化情況,收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點(diǎn)擊量變化數(shù)據(jù),如下表所示.在描述新聞點(diǎn)擊量變化時(shí),用"↑”表示"上漲”,即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量比前一天新聞點(diǎn)擊量高;用"↓”表示"下降”,即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量比前一天新聞點(diǎn)擊量低;用"－”表示"不變”,即當(dāng)天新聞點(diǎn)擊量與前一天新聞點(diǎn)擊量相同.時(shí)段新聞點(diǎn)擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計(jì)概率.(1)試估計(jì)該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量"下降”的概率;(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機(jī)抽取1天,記表示其中該網(wǎng)站新聞點(diǎn)擊量"上漲”的天數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)從樣本給出的30天中任取1天,用"”表示該天新聞點(diǎn)擊量"上漲”,"”表示該天新聞點(diǎn)擊量"下降”或"不變”,然后繼續(xù)統(tǒng)計(jì)接下來的10天的新聞點(diǎn)擊量,其中有6天"上漲”、3天"下降”、1天"不變”,相應(yīng)地,從這40天中任取1天,用"”表示該天新聞點(diǎn)擊量"上漲”,"”表示該天新聞點(diǎn)擊量"下降”或"不變”,直接寫出方差,大小關(guān)系.【方法技巧與總結(jié)】(1)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,在兩種產(chǎn)品相比較時(shí),只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?還需比較它們的取值的離散程度,即通過比較方差,才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛啵?2)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系,利用題目中所給出的條件,合理地列出方程或方程組求解,同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式,簡化問題的解答過程．題型七：n重伯努利試驗(yàn)的判斷【典例7-1】(2024·高二·全國·課后作業(yè))重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的;②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果;③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的;④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是(

)A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【典例7-2】(多選題)(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))對于伯努利試驗(yàn),以下說法其中正確的是(

)A．每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的B．每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對立的結(jié)果C．每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率相等D．各次試驗(yàn)中,各個(gè)事件是互斥的【變式7-1】(多選題)(2024·高二·全國·課后作業(yè))(多選)下列試驗(yàn)不是重伯努利試驗(yàn)的是(

)．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊,擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的,他連續(xù)射擊了次C．口袋中裝有個(gè)白球,個(gè)紅球,個(gè)黑球,依次從中抽取個(gè)球【變式7-2】(多選題)(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是(

)A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次,"射中9環(huán)”與"射中8環(huán)”B．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,"甲射中10環(huán)”與"乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,"甲、乙都射中目標(biāo)”與"甲、乙都沒射中目標(biāo)”D．在相同的條件下,甲射擊10次,5次擊中目標(biāo)【方法技巧與總結(jié)】n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行．(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,互不影響．題型八：n重伯努利試驗(yàn)概率的求法【典例8-1】在某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,一個(gè)口袋里裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球,所有球除顏色外無任何不同,每次從中摸出2個(gè)球,觀察顏色后放回,若為同色,則中獎(jiǎng).則摸球三次僅中獎(jiǎng)一次的概率為(

)A． B． C． D．【典例8-2】(2024·高二·湖南岳陽·開學(xué)考試)已知袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球、1個(gè)藍(lán)球,采取有放回的方式從袋中依次摸出3個(gè)球,則至少有1個(gè)白球被摸出的概率為(

)A． B． C． D．【變式8-1】(2024·重慶·一模)已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量(單位：小時(shí)),且,．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民,則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為(

)A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【變式8-2】(2024·高二·四川攀枝花·期末)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行圍棋比賽,約定五局三勝制(無平局),已知甲每局獲勝的概率都為,則最后甲獲勝的概率為(

)A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】n重伯努利試驗(yàn)概率求解的關(guān)注點(diǎn)(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式,相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式．(2)運(yùn)用n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求概率時(shí),首先判斷問題中涉及的試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn),判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的,并且每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種(即要么發(fā)生,要么不發(fā)生),在任何一次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率都相等,然后用相關(guān)公式求概率．題型九：二項(xiàng)分布的均值與方差【典例9-1】(2024·山東日照·一模)隨著科技的不斷發(fā)展,人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會(huì)更加廣泛,它將會(huì)成為改變?nèi)祟惿鐣?huì)發(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件,它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對該交互軟件進(jìn)行測試時(shí),如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤,則軟件正確應(yīng)答的概率為;若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤,則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為．(1)求一個(gè)問題能被軟件正確應(yīng)答的概率;(2)在某次測試中,輸入了個(gè)問題,每個(gè)問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立,記軟件正確應(yīng)答的個(gè)數(shù)為X,的概率記為,則n為何值時(shí),的值最大?【典例9-2】(2024·高二·湖南邵陽·期末)某食品生產(chǎn)廠生產(chǎn)某種市場需求量很大的食品,這種食品有A、B兩類關(guān)鍵元素含量指標(biāo)需要檢測,設(shè)兩元素含量指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若A元素指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為,B元素指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為,按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩元素含量指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的食品才為合格品．(1)一個(gè)食品經(jīng)過檢測,AB兩類元素至少一類元素含量指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率;(2)任意依次抽取該種食品4個(gè),設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù),求分布列及．【變式9-1】(2024·全國·模擬預(yù)測)"男男女女向前沖”是一項(xiàng)熱播的闖關(guān)類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān),由以往的數(shù)據(jù)得,男生闖過一至四關(guān)的概率依次是,女生闖過一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙,女生丙、丁四人小組前往參加闖關(guān)挑戰(zhàn)(個(gè)人賽)．(1)求甲闖過四關(guān)的概率;(2)設(shè)隨機(jī)變量為該四人小組闖過四關(guān)的人數(shù),求．【變式9-2】(2024·高三·福建·開學(xué)考試)駕駛員考試(機(jī)動(dòng)車駕駛員考試)是由公安局車管所舉辦的資格考試,只有通過駕駛員考試才能取得駕照,才能合法的駕駛機(jī)動(dòng)車輛．考試內(nèi)容和合格標(biāo)準(zhǔn)全國統(tǒng)一,根據(jù)不同準(zhǔn)駕車型規(guī)定相應(yīng)的考試項(xiàng)目．機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)丝荚噧?nèi)容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關(guān)知識考武科目(以下簡稱"科目一”)、場地駕駛技能考試科目(以下簡稱"科目二”)、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識考試科目(以下簡稱"科目三”)．申請人科目一、科目二、科目三考試均合格后,就可以領(lǐng)取駕駛證．某駕校經(jīng)統(tǒng)計(jì),駕駛員科目一考試平均通過的概率為,科目二：平均通過的概率為,科目三平均通過的概率為．該駕校王教練手下有4名學(xué)員參加駕駛員考試．(1)記這4名學(xué)員參加駕駛員考試,通過考試并領(lǐng)取駕駛證的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差;(2)根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn),學(xué)員在學(xué)完固定的學(xué)時(shí)后,每增加一天學(xué)習(xí),沒有通過考試拿到駕駛證的概率會(huì)降為原來的0.4,請問這4名學(xué)員至少要增加多少天的學(xué)習(xí),才能保證這4名學(xué)員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證?(我們把概率超過0.99的事件稱為必然事件,認(rèn)為在一次試驗(yàn)中必然事件一定會(huì)發(fā)生)參考數(shù)據(jù)：,【變式9-3】(2024·高二·河南南陽·期末)中醫(yī)藥學(xué)是中國古代科學(xué)的瑰寶,也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度,某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷,得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低,成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高.(1)從這100位市民中隨機(jī)抽取1人,求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率;(2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人,記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù),求的分布列和期望.【方法技巧與總結(jié)】解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布,第二步代入相應(yīng)的公式求解．若X服從兩點(diǎn)分布,則,;若X服從二項(xiàng)分布,即,則,．題型十：利用超幾何分布的公式求概率【典例10-1】(2024·高二·遼寧·期末)某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽,設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為,則.【典例10-2】(2024·高三·上?！て谀?在高考志愿模擬填報(bào)實(shí)驗(yàn)中,共有9個(gè)專業(yè)可供學(xué)生甲填報(bào),其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個(gè)．若在實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)進(jìn)行填報(bào),則填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．【變式10-1】(2024·高二·甘肅武威·階段練習(xí))某無人機(jī)小組有3名男生,2名女生,從中任選2名同學(xué)參加科技節(jié)無人機(jī)表演,若X表示選出女生的人數(shù),則.【變式10-2】(2024·高二·陜西寶雞·期末)某企業(yè)生產(chǎn)的個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)一等品、個(gè)二等品,現(xiàn)從這些產(chǎn)品中任意抽取個(gè),則其中恰好有個(gè)二等品的概率為.【變式10-3】(2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí))(一題兩空)盒中共有10個(gè)球,其中有4個(gè)紅球,3個(gè)黃球和3個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同.(1)若用隨機(jī)變量Y表示任選3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),則Y的可能取值為.(2)若用隨機(jī)變量Z表示任選5個(gè)球中白球的個(gè)數(shù),則P(Z＝2)＝.【方法技巧與總結(jié)】超幾何分布是一種常見的隨機(jī)變量的分布,所求概率分布問題由明顯的兩部分組成,或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分.題型十一：超幾何分布的分布列【典例11-1】(2024·全國·高考真題)從裝有3個(gè)紅球,2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球,設(shè)其中有個(gè)紅球,則隨機(jī)變量的概率分布為：．012【典例11-2】(2024·高二·湖北·期末)已知某批產(chǎn)品共20件,其中二等品有8件.從中任意抽取2件,表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù),試填寫下列關(guān)于的分布列.012【變式11-1】(2024·天津?qū)幒印ひ荒?有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若表示取得次品的個(gè)數(shù),則;隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．【變式11-2】(2024·高二·江蘇·課前預(yù)習(xí))一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,以表示取出球的最大號碼,則是否服從超幾何分布?【方法技巧與總結(jié)】解決超幾何分布問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時(shí)可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶．(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k),從而求出X的分布列．題型十二：超幾何分布的綜合應(yīng)用【典例12-1】(2024·高二·上?！るA段練習(xí))為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神,推動(dòng)全市黨員干部群眾用好"學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái),激發(fā)干事創(chuàng)業(yè)熱情．某單位組織"學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽,競賽共有道題目,隨機(jī)抽取道讓參賽者回答．已知小明只能答對其中的道,試求：(1)抽到他能答對題目數(shù)的分布列;(2)求的期望和方差【典例12-2】(2024·北京·模擬預(yù)測)4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的"世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況,從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查,得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí)),并將樣本數(shù)據(jù)分成,,,,,,,,九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率;(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況,從日平均閱讀時(shí)間在,,三組內(nèi)的學(xué)生中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人,記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)以樣本的頻率估計(jì)概率,從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率,其中,1,2,…,10．當(dāng)最大時(shí),寫出k的值．(只需寫出結(jié)論)【變式12-1】(2024·高三·浙江紹興·期末)臨近新年,某水果店購入A,B,C三種水果,數(shù)量分別是36箱,27箱,18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱,進(jìn)行質(zhì)量檢查.(1)應(yīng)從A,B,C三種水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中,有5箱質(zhì)量上乘,4箱質(zhì)量一般,現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測.①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;②設(shè)A為事件"抽取的4箱水果中,既有質(zhì)量上乘的,也有質(zhì)量一般的水果”,求事件A發(fā)生的概率.【變式12-2】(2024·高三·河南南陽·階段練習(xí))假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者,某電子商務(wù)公司對該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示,若頻率分布直方圖中的a,b,c,d滿足,且從左到右6個(gè)小矩形依次對應(yīng)第一至六小組,第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a,b,c,d的值;(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查,①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù);②在前2組所抽取的人中,再隨機(jī)抽取3人,記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【變式12-3】(2024·高三·河南信陽·階段練習(xí))2022年二十國集團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)人第十七次峰會(huì)11月16日在印度尼西亞巴厘島閉幕,峰會(huì)通過《二十國集團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)人巴厘島峰會(huì)宣言》.宣言說,值此全球經(jīng)濟(jì)關(guān)鍵時(shí)刻,二十國集團(tuán)采取切實(shí)、精準(zhǔn)、迅速和必要的行動(dòng)至關(guān)重要,基于主席國印尼提出的"共同復(fù)蘇、強(qiáng)勁復(fù)蘇”主題,各國將采取協(xié)調(diào)行動(dòng),推進(jìn)強(qiáng)勁、包容、韌性的全球復(fù)蘇以及創(chuàng)造就業(yè)和增長的可持續(xù)發(fā)展、中國采取負(fù)責(zé)任的態(tài)度,積極推動(dòng)產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展,并對友好國家進(jìn)行技術(shù)授助、非洲某芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片Ⅰ有四道工序,前三道工序的生產(chǎn)互不影響,第四道是檢測評估工序,包括智能自動(dòng)檢測與人工抽檢.(1)在中國企業(yè)援助前,該芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分為.①求生產(chǎn)該芯片I的前三道工序的次品率;②第四道工序中,智能自動(dòng)檢測為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰,合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知芯片Ⅰ智能自動(dòng)檢測顯示合格率為98%,求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí),抽檢一個(gè)芯片,該芯片恰為合格品的概率;(2)該芯片企業(yè)在中國企業(yè)援助下,改進(jìn)生產(chǎn)工藝并生產(chǎn)了芯片Ⅱ.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得芯片Ⅰ與芯片Ⅱ,并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對使用這款手機(jī)的用戶回訪,對開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查,據(jù)統(tǒng)計(jì),回訪的100名用戶中,安裝芯片Ⅰ的有40部,其中對開機(jī)速度滿意的占70%;安裝芯片Ⅱ的有60部,其中對開機(jī)速度滿意的占.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從開機(jī)速度滿意的人群中抽取9人,再從這9人中選取4人進(jìn)行座談,記抽到對安裝芯片Ⅱ的手機(jī)開機(jī)速度滿意的人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【變式12-4】(2024·安徽安慶·二模)某小區(qū)為了加強(qiáng)對"新型冠狀病毒”的防控,確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響,小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng),超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查,得到了以下頻率分布直方圖.

(1)從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率,求至少有兩戶購買量在(單位：)的概率是多少?②若抽取的5戶中購買量在(單位：)的戶數(shù)為2戶,從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查,記3戶中需求量在(單位：)的戶數(shù)為,求的分布列和期望;(2)將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較,當(dāng)超出平均購買量不少于時(shí),則稱該居民戶稱為"迫切需求戶”,若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶,且抽到k戶為"迫切需求戶”的可能性最大,試求k的值.【變式12-5】(2024·高二·甘肅蘭州·期末)從2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對放開生二孩政策的態(tài)度,某市選取70后作為調(diào)查對象,隨機(jī)調(diào)查了10人,其中打算生二胎的有4人,不打算生二胎的有6人.(1)從這10人中隨機(jī)抽取3人,記打算生二胎的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若以這10人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率作為概率,從該市70后中隨機(jī)抽取3人,記打算生二胎的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【方法技巧與總結(jié)】超幾何分布均值的計(jì)算公式若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布,則.一、單選題1．(2024·高二·江蘇·課前預(yù)習(xí))設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為：若,則等于(

)A． B．C． D．2．(2024·高二·江蘇·課前預(yù)習(xí))下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是(

)①擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);②投籃一次的結(jié)果;③某同學(xué)在12：00至12：30到校的時(shí)間;④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件,其中合格品的件數(shù).A．1 B．2C．3 D．43．(2024·高二·江蘇·專題練習(xí))若隨機(jī)變量Z的分布列為Z123P0.5xy且,則等于()A． B． C． D．4．(2024·高二·山東德州·期末)離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,丟失數(shù)據(jù)以x,y(x,)代替,分布列如下：1234560.210.200.100.10則(

)A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.655．(2024·高二·全國·競賽)已知隨機(jī)變量,若使的值最大,則(

)．A．6或7 B．7或8 C．5或6 D．76．(2024·高二·全國·競賽)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為,則的值為(

).A． B． C． D．7．(2024·高二·廣東廣州·期末)泊松分布的概率分布列為,其中為自然對數(shù)的底數(shù),是泊松分布的均值．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,當(dāng)很大且很小時(shí),二項(xiàng)分布近似于泊松分布,其中,即,．現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01,抽檢100個(gè)該種元件,則次品率小于的概率約為(參考數(shù)據(jù)：)(

)A． B． C． D．8．(2024·全國·模擬預(yù)測)已知某多選題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對的得2分．若選項(xiàng)中有(其中)個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,記隨機(jī)作答該題時(shí)(至少選擇一個(gè)選項(xiàng))所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量,則(

)A．B．C．D．二、多選題9．(2024·高二·江西·開學(xué)考試)甲盒中裝有3個(gè)藍(lán)球、2個(gè)黃球,乙盒中裝有2個(gè)藍(lán)球、3個(gè)黃球,同時(shí)從甲、乙兩盒中取出個(gè)球交換,分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中藍(lán)球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為,,則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．C． D．10．(2024·高三·全國·專題練習(xí))已知X的分布列為X01P則下列結(jié)論正確的是(

)．A． B． C． D．11．(2024·高二·遼寧·期末)有款小游戲,規(guī)則如下：一小球從數(shù)軸上的原點(diǎn)0出發(fā),通過扔骰子決定向左或者向右移動(dòng),扔出骰子,若是奇數(shù)點(diǎn)向上,則向左移動(dòng)一個(gè)單位,若是偶數(shù)點(diǎn)向上,則向右移動(dòng)一個(gè)單位,則扔出次骰子后,下列結(jié)論正確的是(

)A．第二次扔骰子后,小球位于原點(diǎn)0的概率為B．第三次扔骰子后,小球所在位置是個(gè)隨機(jī)變量,則這個(gè)隨機(jī)變量的期望是C．第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D．第五次扔完骰子,小球位于1的概率大于小球位于3概率三、填空題12．(2024·高二·全國·競賽)隨機(jī)變量,當(dāng)取最大值時(shí),．