2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題37程序框圖的應(yīng)用含解析

PAGEPAGE1專題37程序框圖的應(yīng)用一．學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解算法的含義，了解算法的思想；理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：依次結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)．2．理解幾種基本算法語(yǔ)句——輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義．3．初步了解幾個(gè)典型的算法案例．二．學(xué)問(wèn)要點(diǎn)1．算法通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決某一類問(wèn)題的程序或步驟，必需是明確和有序的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成．2．程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明來(lái)精確、直觀地表示算法的圖形．通常程序框圖由程序框和流程線組成，一個(gè)或幾個(gè)程序框的組合表示算法中的一個(gè)步驟，流程線帶方向箭頭，依據(jù)算法進(jìn)行的依次將程序框連接起來(lái)．3．三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(1)依次結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，其結(jié)構(gòu)形式為：(2)條件結(jié)構(gòu)是指算法的流程依據(jù)給定的條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流向的結(jié)構(gòu)形式，即：(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)是指從某處起先，依據(jù)肯定的條件反復(fù)執(zhí)行處理某一步驟的狀況．反復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體．循環(huán)結(jié)構(gòu)又分為當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)．結(jié)構(gòu)形式為：4．基本算法語(yǔ)句(1)輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句：輸入語(yǔ)句格式：INPUT“提示內(nèi)容”；變量；輸出語(yǔ)句格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式；賦值語(yǔ)句格式：變量＝表達(dá)式．(2)條件語(yǔ)句：①框圖：②條件語(yǔ)句格式：IF—THEN格式eq\x(\a\al(IF條件THEN,語(yǔ)句體,ENDIF))IF—THEN—ELSE格式eq\x(\a\al(IF條件THEN,語(yǔ)句體1,ELSE語(yǔ)句體2,ENDIF))5．循環(huán)語(yǔ)句循環(huán)語(yǔ)句的格式①UNTIL語(yǔ)句②WHILE語(yǔ)句eq\x(\a\al(DO,循環(huán)體,LOOPUNTIL條件))eq\x(\a\al(WHILE條件,循環(huán)體,WEND))③依次結(jié)構(gòu)是每個(gè)算法結(jié)構(gòu)都含有的，而對(duì)于循環(huán)結(jié)構(gòu)有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒(méi)有重復(fù)性，并且循環(huán)結(jié)構(gòu)中必定包含一個(gè)條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時(shí)終止循環(huán)體．循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)都含有依次結(jié)構(gòu)．④利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，第一要先確定是利用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；其次要選擇精確的表示累計(jì)的變量；第三要留意在哪一步起先循環(huán)，滿意什么條件不再執(zhí)行循環(huán)體．6．算法案例(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)①輾轉(zhuǎn)相除法：求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到余數(shù)r，反復(fù)操作，直到余數(shù)為0為止，即m＝nt＋r(0≤r＜n)．因此要用“后測(cè)試型”循環(huán)語(yǔ)句表示，其程序如下：INPUTm，nDOr＝mMODnm＝nn＝rLOOPUNTILr＝0PRINTmEND(2)秦九韶算法n次多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0得到遞推公式v0＝an且vk＝vk－1x＋an－k，其中k＝1，2，…，n其算法可用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)．(3)進(jìn)位制①將十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)的算法稱為除2取余法；將十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的算法稱為除k取余法．②將k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的算法步驟為：第一步：從左到右依次取k進(jìn)制數(shù)anan－1…a1a0(k)各位上的數(shù)字乘以k的冪，k的冪從n起先取值，每次遞減1，遞減到0，即an·kn，an－1·kn－1，…，a1·k，a0·k0其次步：把全部積加起來(lái)，就得到十進(jìn)制數(shù)．三．高考類型分析例1.(1)執(zhí)行下面的程序框圖，假如輸入的t∈[－1，3]，則輸出的s屬于( )A．[－3，4] B．[－5，2]C．[－4，3] D．[－2，5](2)執(zhí)行下面的程序框圖，若輸入的ε的值為0.25，則輸出的n的值為_(kāi)___．(3)閱讀如下程序框圖，假如輸出i＝5，那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語(yǔ)句為()A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1C．S＝2*i D．S＝2*i＋4【分析】(1)條件結(jié)構(gòu)、框圖功能是求分段函數(shù)的值域．(2)依據(jù)運(yùn)行依次計(jì)算出eq\f(1,F1)的值，當(dāng)eq\f(1,F1)≤ε時(shí)輸出n的值，結(jié)束程序．n為循環(huán)次數(shù)．(3)依據(jù)程序框圖表示的算法對(duì)i的取值進(jìn)行驗(yàn)證．【解析】(1)因?yàn)閠∈[－1，3]，當(dāng)t∈[－1，1)時(shí)，s＝3t∈[－3，3)；當(dāng)t∈[1，3]時(shí)，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3，4]，所以s∈[－3，4]．(3)當(dāng)i＝2時(shí)，S＝2×2＋1＝5＜10；當(dāng)i＝3時(shí)，仍舊循環(huán)，解除D；當(dāng)i＝4時(shí)，S＝2×4＋1＝9＜10；當(dāng)i＝5時(shí)，不滿意S＜10，即此時(shí)S≥10，輸出i.此時(shí)A項(xiàng)求得S＝2×5－2＝8，B項(xiàng)求得S＝2×5－1＝9，C項(xiàng)求得S＝2×5＝10，故只有C項(xiàng)滿意條件．【評(píng)析】(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)中的條件推斷循環(huán)結(jié)構(gòu)中的條件是高考?？嫉膶W(xué)問(wèn)點(diǎn)，主要是限制循環(huán)的變量應(yīng)當(dāng)滿意的條件是什么．滿意條件則進(jìn)入循環(huán)或者退出循環(huán)，此時(shí)要特殊留意當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)分．(2)條件結(jié)構(gòu)中的條件推斷條件結(jié)構(gòu)中條件的推斷關(guān)鍵是明確條件結(jié)構(gòu)的功能，然后依據(jù)“是”的分支成立的條件進(jìn)行推斷．eq\a\vs4\al(例2)(1)下面程序運(yùn)行的結(jié)果為()n＝10S＝100DOS＝S－nn＝n－1LOOPUNTILS<＝70PRINTnENDA．4B．5C．6D．7【解析】第一次循環(huán)后，S＝90，n＝9，90>70，不滿意要求，接著運(yùn)行；其次次循環(huán)后，S＝81，n＝8，81>70，不滿意要求，接著運(yùn)行；第三次循環(huán)后，S＝73，n＝7，73>70，不滿意要求，接著運(yùn)行；第四次循環(huán)后，S＝66，n＝6，66<70，滿意條件，結(jié)束循環(huán)．【點(diǎn)評(píng)】1.在用WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句編寫(xiě)程序解決問(wèn)題時(shí)，肯定要留意它們的格式及條件的表述方法．WHILE語(yǔ)句中是當(dāng)條件滿意時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，而UNTIL語(yǔ)句中是當(dāng)條件不滿意時(shí)執(zhí)行循環(huán)體．(2)下面程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為()a＝0j＝1WHILEj<＝5a＝(a＋j)MOD5j＝j(luò)＋1ENDaA．0B．1C．2D．4【解析】當(dāng)j＝1時(shí)，余數(shù)a＝1；當(dāng)j＝2時(shí)，余數(shù)a＝3；當(dāng)j＝3時(shí)，余數(shù)a＝1；當(dāng)j＝4時(shí)，余數(shù)a＝0；當(dāng)j＝5時(shí)，余數(shù)a＝0；當(dāng)j＝6時(shí)，不滿意條件，此時(shí)退出循環(huán)．【點(diǎn)評(píng)】1.在解答本題時(shí)，易錯(cuò)選D而導(dǎo)致錯(cuò)誤，錯(cuò)誤緣由是：對(duì)循環(huán)過(guò)程不理解，誤認(rèn)為j＝1時(shí)，余數(shù)a＝0，即j＝1時(shí)，沒(méi)有執(zhí)行第一次循環(huán)．其錯(cuò)誤過(guò)程如下：當(dāng)j＝1時(shí)，余數(shù)a＝0；當(dāng)j＝2時(shí)，余數(shù)a＝2；當(dāng)j＝3時(shí)，余數(shù)a＝0；當(dāng)j＝4時(shí)，余數(shù)a＝4；當(dāng)j＝5時(shí)，余數(shù)a＝4.2．解決算法語(yǔ)句的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)易造成失誤，備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)對(duì)基本算法語(yǔ)句的功能及格式要求不熟識(shí)．(2)條件語(yǔ)句中的嵌套結(jié)構(gòu)混亂，不能用分段函數(shù)eq\a\vs4\al(例3)(1)用輾轉(zhuǎn)相除法或更相減損術(shù)求375和85的最大公約數(shù)；(2)用秦九韶算法計(jì)算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝2時(shí)的值；(3)將七進(jìn)制數(shù)235(7)轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制數(shù)．【解析】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法：375＝85×4＋3585＝35×2＋1535＝15×2＋515＝3×5＋0∴375與85的最大公約數(shù)為5.用更相減損術(shù)：375－85＝290290－85＝205205－85＝120120－85＝3585－35＝5050－35＝1535－15＝2020－15＝515－5＝1010－5＝5.∴375與85的最大公約數(shù)為5.(3)先化成十進(jìn)制，再化成八進(jìn)制．235(7)＝2×72＋3×7＋5＝124∴124＝174(8)，即235(7)＝174(8)．【點(diǎn)評(píng)】駕馭三種特殊算法的求解思想和方法是順當(dāng)解決問(wèn)題的前提和必要條件．eq\a\vs4\al(例4)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率Pi(i＝1，2，3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3014610…………21001027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3012117…………21001051696353當(dāng)n＝2100時(shí)，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并推斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫(xiě)程序符合算法要求的可能性較大；(3)按程序框圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)當(dāng)n＝2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)甲eq\f(1027,2100)eq\f(376,2100)eq\f(697,2100)乙eq\f(1051,2100)eq\f(696,2100)eq\f(353,2100)比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大．(3)隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2，3.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,27)，故ξ的分布列為ξ0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)所以，Eξ＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1.即ξ的數(shù)學(xué)期望為1.eq\a\vs4\al(例5)依據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y的值依次分別記為x1，x2，x3，…，xk…；y1，y2，y3，…，yk….(1)分別求數(shù)列{xk}和{yk}的通項(xiàng)公式；(2)令zk＝xkyk，求數(shù)列{zk}的前k項(xiàng)和Tk，其中k∈N*，k≤2017.(2)Tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]．令Sk＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k，①則3Sk＝1×32＋3×33＋…＋(2k－1)·3k＋1，②①－②得－2Sk＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k－1)·3k＋1＝2(3＋32＋…＋3k)－3－(2k－1)·3k＋1＝2×eq\f(3×（1－3k）,1－3)－3－(2k－1)·3k＋1＝3k＋1－6－(2k－1)·3k＋1＝2(1－k)·3k＋1－6，∴Sk＝(k－1)·3k＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k－1)＝eq\f(k（1＋2k－1）,2)＝k2，∴Tk＝(k－1)·3k＋1＋3－k2.【點(diǎn)評(píng)】以程序框圖或算法語(yǔ)句為題設(shè)條件常與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題綜合，求解時(shí)關(guān)鍵是將程序框圖或算法語(yǔ)句轉(zhuǎn)化翻譯．四．方法總結(jié)1．了解算法思想，理解算法含義的關(guān)鍵在于體現(xiàn)程序或步驟的明確性和有限性．2．深刻理解算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)特征，需通過(guò)實(shí)際例子體會(huì)算法流程的全過(guò)程，認(rèn)清所解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)．如解決分段函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，一般采納條件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算法；如累加求和，累乘求積等問(wèn)題，往往包含循環(huán)過(guò)程，特別適合計(jì)算機(jī)處理，這類問(wèn)題許多程序框圖都用循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，同時(shí)也要留意三種基本結(jié)構(gòu)的共同特點(diǎn)．3．特殊提示的是，程序框圖主要包括三個(gè)部分：(1)弄清相應(yīng)操作框的內(nèi)容；(2)帶箭頭的流程線及推斷框的條件；(3)框內(nèi)外必要的文字