2022屆高考二輪復(fù)習(xí)新高考題型之導(dǎo)數(shù)解答題+含解析

2022屆高考二輪復(fù)習(xí)新高考題型之導(dǎo)數(shù)解答題

學(xué)校：姓名：班級:

一、解答題

1.已知函數(shù)/(x)=e"sinx->/2?sin^x-^,xe[0,7i].

⑴若，<1,判斷函數(shù)F(x)的單調(diào)性；

(2)證明：ex(7i-x)+l>sinx-cosx.

2.已知函數(shù)/(%)=-x+lnx,g(x)=xex-2x-m.

(1)求函數(shù)r(x)的極值點；

(2)若/(%)<g(x)恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.已知函數(shù)/(x)=l-ln(x+l),g(x)=Q%2一x+]

⑴求證：1—X</(X)<~；

(2)當(dāng)時,若f(x"g(x)恒成立，求〃的取值范圍.

4.已知函數(shù)"x)=e'+sin尤(其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求證：當(dāng)xw[-l,+co)時，f(x)>-g；

(2)若不等式/10)2辦+1對任意xeR恒成立，求實數(shù)a的值.

5.設(shè)函數(shù)〃x)=;t+a?+blnx,曲線y=過P(1,O),且在尸點處的切線斜率為2.

(1)求a,6的值；

(2)證明：f(x)<2x-2.

6"已知函數(shù)f(x)=尤：一尤2+x+2

⑴求曲線/(x)在點(1,/(1))處的切線方程

⑵求經(jīng)過點4(1,3)的曲線的切線方程

7.已知函數(shù)/(x)=ln兀-2ox+l.

⑴若％=1是/(%)的極值點，確定。的值；

(2)當(dāng)％之1時，/(x)>0,求實數(shù)。的取值范圍.

.設(shè)函數(shù)ex

8/(x)=alnx+x，g(x)=+x.

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)令"(%)=/(%)-g(%)，當(dāng)a=2時，證明h(x)<21n2-4.

9.已知函數(shù)/(%)=-a)-a(lnx-a)(a>0).

(1)若々=已，討論/(%)的單調(diào)性;

(2)證明：f(x)>2a.

10.已知函數(shù)y(x)=e，-2_x.

(1)求函數(shù)/(尤)的極值；

(2)求證：/(幻…3.

11.已知函數(shù)/(x)=e2'-a(x-l).

(1)討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性；

(2)若a>0,設(shè);(%)為“X)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)〃尤)有兩個不同的零點占，%,求證:

廣(胃］〈0.

12.已知函數(shù)/(%)=4山%—芯+!(。W0,Q>0).

X

(1)當(dāng)a=2時，比較/(%)與0的大小，并證明；

(2)若/(%)存在兩個極值點七,馬，證明：/&)"(尤2)<。?

13.己知函數(shù)/(幻=(尤2-4)(尤-a),aeR,且/(-1)=0.

(1).討論函數(shù)/(元)的單調(diào)性；

⑵.求函數(shù)/(尤)在［-2,2］上的最大值和最小值.

14.已知函數(shù)〃x)=x/+L

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

⑵若直線丁=%與函數(shù)/(x)的圖象有兩個不同交點AQ，M),見々,%),求證:

%+Zv—2.

參考答案

1.答案：(1)04*<三ATT時，r(x)>0,/(元)為增函數(shù)；A.ir<x4兀時，r(x)<0,/(無)為

44

減函數(shù).

⑵證明過程見解析.

解析：⑴因為/(x)=e*sinx-aasin(x-：J,

所以f'(x)=e*sinx+ercosx-a(sinx+cosx)=(e*-a)(sinx+cosx).

因為a41,所以在［0,無］上e，-a20,

由/'(x)=0,解得x=—.

4

ATT

當(dāng)OWxv—時，r(x)>0,/(%)為增函數(shù)；

4

37r

當(dāng)衛(wèi)<X4TI時，f'(x)<0,/(無)為減函數(shù).

4

(2)證明：由(1)知，當(dāng)a=l時，

/(x)=e*sinx-夜sin(x-二］在0,［J上為增函數(shù)，在］,，兀上為減函數(shù).

因為/(0)=1"(兀)=一1，

所以/(x)2/(兀),

71

故e"sinx一枝sinx~~>-1

所以e"sinxNsinx-cosx-1,

所以e"sinx+1>sinx-cosx.

設(shè)gW=TT—x—sin=-1—cosx<0，

所以g(X)在［0,7T］上為減函數(shù).

又g(7t)=0，所以7r-x>sinx,

所以e"(兀一無)+12e"sinx+12sin%—cosx.

2.答案：(1)x=l是/(%)的極大值點，無極小值點

(2)m<l

解析：(1)由已知可得，函數(shù)/(元)的定義域為(0,+00),且廣。)=上三,

X

當(dāng)0<尤<1時，fXx)>0；當(dāng)％>1時，ff(x)<0,

所以了(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+00),

所以X=1是F(x)的極大值點，無極小值點.

(2)解法一：設(shè)/z(x)=/(x)—g(x)=Inx+x—xe*+機(jī)，xe(0,+oo),

則"(x)=,+1一(尤+l)ex=(x+l)|--ex

X)

令f(x)=L-e*,X6(O,-K?),

X

則t\x)=--y-ex<0對任意XG(0,+oo)恒成立，

X

所以t(x)=』-eX在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

x

又fg)=2一&>0,r(l)=l-e<0,

所以改0e化,1］，使得［尤o)=，-e跖=0,即，=e~,則ln'-=h

即-In^Q=X0.

<2)xQx0x0

因此，當(dāng)0<X<M時，t(x)>0,即〃(x)>0,則/i(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>4時,f(x)<0,即〃(x)<0,則/z(x)單調(diào)遞減,

故"(x)max="(x())=lnxo+與一與匕與+m=0-l+m<0,解得m<l,

所以當(dāng)相W1時，/(x)<g(x)恒成立.

解法二：令皿%)=e'-x-1,mr(x)=ex-1,當(dāng)xvO時，mr(x)<0；x>0時,

mr(x)>0,

所以根(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，在(0,4w)上單調(diào)遞增，

所以m(x)>m(0)=0，

即e*2x+1.

因為^1二^+比工,

所以％eX=e%+m-%+in%+l,當(dāng)x+lnx=O時等號成立，

即xex-x-\nx>l,當(dāng)元+lnx=O時等號成立，

所以y=xe"-x-lnx的最小值為1.

若/(x)<g(x)恒成立，則xex-x-\nx>m,

所以當(dāng)相41時，/(%)<g(x)恒成立.

3答案:⑴證明過程見解析；(2)6ze(-a),l-ln2],

解析：(1)令/z(x)=/(x)-(l-x)=x—ln(x+l),貝=

當(dāng)一1〈元<0時，/?,(%)<0,函數(shù)力(x)遞減

當(dāng)尤>0時，〃(九)〉0,函數(shù)/i(%)遞增，故/z(x)在1=0處取得最小值"(0)=0

即,對%>-1,W7z(x)>/i(0)=0,故-冗

令/⑺“⑺一占一g+1),貝小一島

當(dāng)一1<1<0時，/'(x)>0,函數(shù)/(%)遞增

當(dāng)尤>0時,r(x)<o,函數(shù)/(x)遞減，故/("在無=o處取得最大值/(o)=o

即，對X>-1,有/(x)M/(O)=O,故〃尤)《占

(2)^F(x)=g(x)-/(x)=In(x+1)+or2-x,貝!JF'(x)=+(^

①當(dāng)aVO時，2a-l<0,.,.當(dāng)xNO,.-.x+l>0,2ax+2a-l<0:.F'(x)<0,函數(shù)

y=F(x),xe[0,l]為減函數(shù)，.?.當(dāng)04x41時，F(xiàn)(x)<F(0)=0,

即a<0時，/(%)>.?(x)成立

②當(dāng)0<a4!時，i—^>l

42a

貝U對X/x￡[0,1],X—-~~—<x—1<0,.,.尤+1>0,2ax+—1<0

2a

Fz(x)<0,函數(shù)y=((兀),xe[0,1]為減函數(shù),

.?.當(dāng)時，F(xiàn)(x)<F(0)=0,即0<aV：時，”x)2g(x)成立

③當(dāng)L<aWl—ln2時，由l—ln2<L,知

422a

.,.當(dāng)~~^時，x+1>0,lax+2<2—1<0,「.F(x)W0

當(dāng)^__時，/.%+1>0,2(xr+2a-lN0,F'(x)>0,

2a

1-26Zl-2a

二.函數(shù)》=/(“，入目?！坏臏p區(qū)間為0,,增區(qū)間為

2a2a5

又?.?尸(0)=0,F(l)=ln2-l+?<0

.?.對X/X￡[O,1],F(x)<max{F(0),F(l)}<0

故，當(dāng)。〈尤<1時，成立

④當(dāng)a>l-ln2時，有Q+1H2-1>0,F(l)=ti+ln2-l>0

即g(l)>/。)，與題意矛盾

綜合①②③④,?G(-oo,l-ln2],對OWLW/(x)>)?(%).

4.答案：(1)見解析

(2)實數(shù)〃的值為2

角軍析：(1)f\x)=e%+cosx,

當(dāng)了時,ex>0,cosx>0,則/'(%)>0；

當(dāng)xw(0,+oo)時，e*>l,-1<COSX<1,貝!J/'(x)>0,

.?"(%)在―上單調(diào)遞增，

/(%)之/(-1)=--sinl>--烏,

ee2

工6-'111

而-----=—<----v—，

2&12.73e

.1班、1.￡(、1

..--------->—,..f(x)>—.

e222

(2)令g(x)=/(x)-以一l=e'+sinx-tzx-1,則g(x)NO對任意xcR恒成立，

若a<0,貝！Jg(-兀)=」-+4兀一1<0,與題意不符.

e71

故只需考慮〃>。時的情況，g(0)=0,g，(x)=e'+COSX—Q,gr(0)=2-a,令

h(x)=ex+cosx-a,則/z'(x)=e*-sin%,顯然當(dāng)％>0時,hr(x)=ex-sinx>0,

故g\x)在[0,y)上單調(diào)遞增，

①當(dāng)a>2時，則g'(O)vO,gr(ln(a+1))=?+1+cos[ln(tz+1)]-^=1+cos[ln(ti+1)]>0,故

存在々￡(0,ln(a+l)],使得8'(用)=0,且當(dāng)1￡(0,與)時，g(x)單調(diào)遞減，

g(%o)vg(O)=O,與題意不符；

②當(dāng)0VQV2時，則g'(0)>0,當(dāng)一兀v%v0時，e*〉0,sinx<0,

故”(x)>0,g'(x)在(一私0)上單調(diào)遞增.又，(—兀)=?一兀-1—。<0,故存在再￡(-兀,0),使

得g'(%i)=。，「?當(dāng)光￡(不，。)時,g(%)單調(diào)遞增,，g(%i)<g(O)=。,與題意不符；

③當(dāng)a=2時，則g'(0)=0,當(dāng)Xv0時，g'(x)=e*+cosx—2<cos%—lW0,當(dāng)％>0時，

/(%)>g，(0)=0,故g(%)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

.?.g(_x)2g(0)=0恒成立.

綜上，實數(shù)〃的值為2.

5.答案：(1)a=—l9b=3.

(2)見解析

A

解析：(1)//(x)=l+2or+—.

由已知條件得y(1)=°gpii+a=o.

-⑴=2[l+2a+/?=2

解得a=—lJb=3.

(2)證明：/(力的定義域為(0,+8),

由1知/(x)=x-x2+31nx,

設(shè)g(x)-/(.^)-(2x-2)=2-x-x2+31nx,

貝I]g，(X)=一1一2x+3=_(1)(2無+3).

XX

當(dāng)0<xvl時，g'(x)〉0；當(dāng)%>1時，晨(x)<0.

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(L+oo)單調(diào)遞減.

而g(l)=0,故當(dāng)％>0時，g(x)40,BP/(x)<2x-2.

6.答案：(1)見解析

(2)y=x+2或y=2x+l.

解析:⑴函數(shù)一/+%+2的導(dǎo)數(shù)為尸(%)=3%2-2%+1,

可得曲線“力在點(I"⑴)處的切線斜率為3-2+1=2,

切點為(1,3),

即有曲線“X)在點(I"⑴)處的切線方程為3-2+1=2,

即為2%->+1=0；

(2)設(shè)切點為(內(nèi)幾)，可得〃二環(huán)-川+m+2,

由/(x)的導(dǎo)數(shù)f\x)=3x2-2x+l,

可得切線的斜率為3蘇-2根+1,

切線的方程為y-M+m+2)=(3m2-2m+l)(x-m),

由切線經(jīng)過點(1,3),可得3-(用-m2+根+2)=(3療一2機(jī)+1)(1-m)，

化為根(m一1)2=0,解得〃1=0或1.

貝!J切線的方程為y—2=1或y—3=2(%—1),

即為y=x+2或y=2%+l.

7.答案：⑴Q=L

2

(2)〃￡(-oo,0].

解析：(1)/(%)的定義域為(0,+oo).

f\x)=--2a>由題意/'(l)=Ona=L

x2

若〃=,，則/(%)=’一1=^~~-?當(dāng)0<工<1時，/(%)>0；

2xx

當(dāng)x>l時，尸(力<0,

所以x=l是/(尤)極大值點，故a=L

2

⑵Q/(工)=上生，

①若aVO，則/'0)20，/(尤)在口,+oo)上單調(diào)遞增，

.-./(x)>/(l)=l-2a>0,滿足題意.

②若0<a<L則

2

當(dāng)1<芯<~^-時,/(%)>0，/(兀)單調(diào)遞增；當(dāng)兀>‘■時,/'(九)<0,/(%)單調(diào)遞減.

2a2a

此時當(dāng)Xf+00時，f(x)<0,不合題意.

③若QN；,則x>1時,/(x)<0/(%)單調(diào)遞減.

/(x)</(l)=l-2a<0,不合題意.

綜上可知，當(dāng)々<0，時,7(%)之0，故aw(-oo,0].

8.答案：(1)在(-Q,+OO)上單調(diào)遞增，在(0,-〃)上單調(diào)遞減.

(2)證明過程見解析.

解析：(1)/(1)=。1口無+無，兀>0,

「，/、a1x+a

/(x)=-+l=----?

XX

當(dāng)a之。時，/⑶=二+〃〉0,函數(shù)/Cx)=Qlnx+%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)av0時，令/(X)='+"=0，解得x——a,

x

令/'(%)=葉￡>o,解得工〉一〃，

X

令f(X)="+"<0，解得。V%V—Q，

X

所以函數(shù)/(x)=aIn%+X在(-々,+OO)上單調(diào)遞增，在(0,-々)上單調(diào)遞減.

(2)h(x)=f(x)-g(x)=a\nx-ex,當(dāng)a=2時，A(x)=21nx-ex,

,222

"(%)=——ex,令y=/z(%)=---ex?貝Iy=——--ex<0

xxx

所以/z(x)=——靖在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

X

111

r

取玉=—,x2=1,則〃'(％)="(])=4—4>0,h\x2)=/z(l)=2-e<0,

71

所以函數(shù)”(X)=4-/存在唯一的零點不￡(二1),

x2

2

即〃(％0)=---e*=0,

7

所以當(dāng)工￡(0,%°),/(%)=--/>0,

X

2

當(dāng)xw(%0，+oo),hr(x)=——/V0,

故函數(shù)人(x)在(0,%)單調(diào)遞增，在(x0,+oo)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)％=不時，函數(shù)人》取得極大值，也是最大值人(%)=21nx0,

292

由---e"=0可得e*=—,In=In—BPx=In2—Inx,

玉)玉)/00

所以In%=In2-/0,

21

故h(x。)=2InXQ—e%=2(ln2—)-----2In2-2(玉)4)，

毛毛

?

由基本不等式可得xQ+—>2,1上=2,

%V七,

因為X。e(—,1),所以尤°H--->2,

2%

所以/2(Xo)=21n2-2(%+')<21n2-4,

又因為/7（x）V/7（x0）即〃（x）＜21n2-4,

所以當(dāng)a=2時，/z（x）＜21n2-4成立.

9.答案：（1）xe（0,l）時，fr（x）＜0,/（元）單調(diào)遞減，尤e（l,+oo）時，f（x）＞0,/（尤）單

調(diào)遞增

（2）見解析

解析：(1)當(dāng)〃=e時，/(%)=工卜"-e)-e(lnx-e),

e(x+l)(xe"-el

/,(x)=(x+l)e'-e——

Xx

令/'（兀）=。，得兀=1,

因為y=xe"-e在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以工￡(0,1)時，/z(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

xw(l,+oo)時，/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

(x+l)fxex-a\

(2)f(x)=------------L,且g(x)=%eX—〃在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

x

g(0)=-〃<0,g(a)=a(e"-1)>0,

所以存在唯一的玉￡(0,a),使得g(%o)=O,即廣(％)=0,

所以九°e*=a,%。+In/=Inq,

%￡(O,%o)時,f\x)<0,/(%)單調(diào)遞減,%￡(%o，+oo)時,ff(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

2

所以/(x)>/(x0)=x0—a^—a(lnx0—a)=a—alna+a,

22

f(^xQ^—2a=a—a]na+a—2a=a—a—alna=a(a—1—InQ).

1ZJ—1

設(shè)h(a)=a-l-lna,貝！Jh\a)=1——=----，

aa

a￡(0,1)時，〃(a)v0,/z(〃)單調(diào)遞減，

aw(l,+oo)時，〃(a)>0,力(〃)單調(diào)遞增.

所以/z(a)之飄1)=0,

所以/(%)之2〃，/(x)>2a.

10.答案：(1)函數(shù)/(%)的極小值為—1，沒有極大值；(2)證明見解析.

解析：(1)于(Q=ex~2-x，

???/⑴=廣2_1，令/(x)=0可得無=2，

當(dāng)%>2時，/(%)>0，函數(shù)/(%)在(2,+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng)尤<2時，f\x)<0,函數(shù)/(%)在(—oo,2)上單調(diào)遞減，

?,?當(dāng)％=2時，函數(shù)/(%)取極小值，極小值為_1，函數(shù)/(%)沒有極大值；

(2)設(shè)g(x)=x-l—Inx，貝|g<x)=i-J_=:^__1,

'XX

當(dāng)x>l時，g'(%)>0，函數(shù)g(x)在(1,+co)上單調(diào)遞增，

當(dāng)Ovxvl時，gQ)vO，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

g(x)>g(l)=0,即無一INln%，x(x-l)>xlnx

要證明f(x)>~^nX—―，只需證明4ex~2-x>xinx，

4

只需證明4/2-x>x(x—1)，只需證明e"之''，

4

只需證明色，設(shè)//(%)=e"-ex,則力(%)=靖—e，令/f(x)=0可得％=1,

2

當(dāng)了>1時，h\x)>0,函數(shù)/z(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，當(dāng)Ovxvl時，h\x)<0,函數(shù)/z(x)

在(0,1)上單調(diào)遞減，???/z(x)N/z⑴=0,???/2ex，???當(dāng)犬》0時:之竺成立，

2

?一、xlnx-3x

??f(x)>——-——

11.答案：(1)當(dāng)。(0時，/(尤)在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)4>0時，/(X)在日-招嗚)上單調(diào)遞減，在[嗚,+oo)上單調(diào)遞增.

(2)見解析

解析:⑴解：由/(尤)=e2*-。(尤-1),得((x)=2e"-a,

①當(dāng)a40時，廣(尤)>0，/(尤)在(-co,儀)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)。>0時，令/'(尤)=2e"-a=0,^x=-In—,

22

當(dāng)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[gln^,+oo]時，f,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a40時，/(X)在(一》,+<?)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，/(x)在xe[-oo,Jn￡j上單調(diào)遞減，在];ln￡,+ooj上單調(diào)遞增.

(2)解：由于函數(shù)/'(x)有兩個不同的零點為，%,

fe2x'=a(x,—1)

則如/<，

[e2=a(^x2—1)

2百_2%2

兩式相減得。——.

玉一兀2

2x2

EI/+-x+xe2x,-e

則/-一-=2eX1+X2--------------

V2J占一/

_巳再+叼

_eXi+超

_?再+%2

x2-x1

不妨設(shè)%，令，=%—%￡(。，+00)，

設(shè)9(t)=2t+(eT-e)?>0),則0⑺=2-(葭+1)<2-2=0,

故夕⑺在(0,4w)上單調(diào)遞減.

所以夕⑺<°(0)=0.

所以「國“。.

12.答案：(1)見解析

(2)見解析

解析：(1)當(dāng)a=2時，/(x)=21nx-x+—,

X

則仆)=2_]_3=_"+產(chǎn)_1=_生匚0,

XXXX

所以函數(shù)/(x)=21nx-x+工在(0,+s)上單調(diào)遞減，且〃1)=0,

X

所以當(dāng)Ovxvl時，f(x)>0；當(dāng)％>1時，/(%)<0；當(dāng)工=1時，/(x)=0.

(2)函數(shù)/(%)=aln%—％+工,貝！J/(%)=--1-^-=-———,

xxxx

當(dāng)0<aV2時，f\x)=-X—^+lV0在(0,+oo)上恒成立，

X

即在(0,+00)不存在極值，與題意不符，所以。>2,

又占,々是方程+6-1=。的兩根，不妨設(shè)3>玉，

由韋達(dá)定理得X]+X2=微>1,尤]尤2=1，

又/(X)在區(qū)間(%,%)上遞增，且/(I)=0,玉<1<尤2，

所以/(再)<0"值)>0，即/(玉)"(々)<0.

13.答案：⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(-oo,_i]4,q,y),單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,孑4.

(2)/(X)的最大值為|,最小值為一|2.

解析：(1)函數(shù)*x)=(%2一4)(%-a)(a￡R),

**-f\x)=2x(x-a)+x2-4=3x3-lax-4./(-I)=0/.3+-4=0，解得〃,：,a=—.

22

貝！Jf(x)=(x2—4)(x—^)=x3—4x+2(xGR)./*(x)=3x2—x—4=(3x-4)(x+1),

4

令/⑴=0,解得％=

44

由/,(x)＞0得尤＞§或x＜-l,此時函數(shù)單調(diào)遞增，由/''(x)＜0得-1＜尤＜耳，此時函數(shù)單

4