2023人教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-強化練4 直線系方程及其應(yīng)用

2023人教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

專題強化練4直線系方程及其應(yīng)用

1.（2022廣東佛山順德期中）直線1:（k+l）x+2ky+3k-l=0經(jīng)過定點A,則A的縱坐

標為（）

A.-2B.-lC.1D.2

2.（2022江蘇南京鼓樓月考）兩直線3ax-y-2=0和（2aT）x+5ayT=0分別過定點

A,B,則|AB|二（）

A.警B年

C丫D1

L5“5

3.（2022福建福州八縣（市）協(xié)作校期中）已知直線mx-ny+l=0平行于直線

4x+3y+5=0,且在y軸上的截距為主則m,n的值分別為（）

A.4,3B.-4,3

C.-4,-3D.4,-3

4.（2022江西南昌灣里一中六校期中聯(lián)考）過直線x+y-3=0和2x-y=0的交點，且與

2x+y-5=0垂直的直線方程是（）

A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0

C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0

5.（2021福建廈門一中月考）設(shè)m￡R,動直線l,:x+my-l=0過定點A,動直線

12：mx-y-2m+遮=0過定點B,直線1與L相交于點P（異于點A,B）,則4PAB周長的

最大值為（）

A.V2+2B.2V2+1

C.V2+1D,2^2+2

6.(2022北京房山月考)直線1經(jīng)過直線l1:2x+3y+2=0與l2:3x-4y-2=0的交點,

且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線1的方程

為.

7.(2022甘肅金昌永昌第一高級中學期中)如圖，已知直線L：x+yT=0,現(xiàn)將直線

L向上平移到直線b的位置，若12,L和坐標軸圍成的梯形的面積為4,則k的方程

為.

8.(2022四川成都外國語學校期中)已知直線1的方程為3x+4y-12=0,求直線1'

的方程，使得：

⑴1'與1平行,且過點(T,3);

⑵1'與1垂直,且V與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4.

9.(2021山西懷仁一中月考)已知直線1:(l+2m)x+(m-l)y+7m+2=0.

(1)求證:無論m為何實數(shù),直線1恒過一定點M;

⑵過定點M作一條直線L,使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分,求直線L的

方程.

10.（2021上海建平中學期中）直線1過點P⑶2）且與X軸,y軸正半軸分別交于

A,B兩點.

（1）若直線1的斜率為-2,求AAOB的面積；

⑵若AAOB的面積S滿足求直線1的斜率的取值范圍；

⑶如圖,若點P分向量漏所成的比的值為2,過點P作平行于x軸的直線交y軸

于點M,動點E,F分別在線段MP和0A上,直線EF平分直角梯形OAPM的面積,求證:

直線EF必過一定點，并求出該定點的坐標.

答案全解全析

1.A直線1:(k+l)x+2ky+3kT=0可化為k(x+2y+3)+xT=0.

由｛二或3=。,解得屋，

，直線1過定點A(l,-2).，A的縱坐標為-2.故選A.

名師指點

直線系是指具有某種共同屬性的一類直線的集合，它的方程稱為直線系方

程.

幾種常見的直線系方程：

(1)過已知點P(x°,y。)的直線系方程為y-y°=k(x-x。)(k為參數(shù))，但不包括

X=Xo.

(2)斜率為k的直線系方程為y=kx+b(b是參數(shù)).

(3)與直線Ax+By+C=O(A,B不同時為0)平行的直線系方程為Ax+By+人=0(A,B

不同時為0,入WC).

(4)與直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)垂直的直線系方程為Bx-Ay+入=0(A,B

不同時為0).

(5)過直線L：Aix+Biy+3=0(Ai,Bi不同時為0)與k：Azx+Bzy+CzR凡,B?不同時

為0)交點的直線系方程為Aix+Bu+G+入(A2x+B2y+Cz)=0(人為參數(shù))，但不包括L

2.C直線3ax-y-2=0過定點A(0,-2).

(2a-l)x+5ay-l=0可化為a(2x+5y)-x-l=0,

由t到；0,解得匕二1'所以I).

(-X-1=o,(y『1S)

所以IAB|=J(-1一0)2+《+故選C.

3.B設(shè)與直線4x+3y+5=0平行的直線方程為4x+3y+t=0(tW5),即

y=qx-1(tW5).令得t=T,.?.所求直線方程為-4x-3y+l=0,.,.m=-4,n=3.故選

B.

4.D解法-:由朦二二瞰*

???兩直線的交點為(1,2).

易知直線2x+y-5=0的斜率為-2,

...所求直線的斜率為右

所求直線的方程為y-2=3x7),即x-2y+3=0.故選D.

解法二：設(shè)要求的直線方程為(x+y-3)+入(2x-y)=0,即(1+2入)x+(1-入)y-3=0.

該直線與直線2x+y-5=0垂直，

2(1+2入)+1X(1-入)=0,解得人=-1.

.??所求直線方程為-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.

故選D.

5.D直線L：x+myT=0過定點A(l,0).

直線l2:mx-y-2m+V3=0,即m(x-2)=y-/3,

???L過定點B(2,V3).

由于1?m+m,(-1)=0,li±l2,

又P是直線L,k的交點，

PAJ_PB,|PA12+1PB12=|AB12=4.

易知2(|PA/+|PB|2)》(|PA|+|PB|)2,

PA|+1PB|W后百=2位,當且僅當|PA|=|PB|=魚時取等號,

/.△PAB周長的最大值為2+2V2.故選D.

6.答案17x+17y+12=0或17x-17y-8=0

解析設(shè)直線1的方程為2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3

-4m)y+2-2m=0.

?.?直線1與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，，直線1的斜率為土1.

.,.2+3m=±(3-4m),解得m=^或m=5.

，直線1的方程為17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.

7.答案x+y-3=0

解析因為直線b平行于直線L,所以設(shè)直線k的方程為x+y-b=O,b>l,則

B(b,0),C(0,b),A(l,0),D(0,1),所以S梯形ABCD=SAOBC

-SA0AD=1b"-1=4,解得b=±3,又b>l,故b=3,故直線k的方程為x+y-3=0.

8.解析⑴設(shè)1'的方程為3x+4y+m=0(mWT2),由點(-1,3)在1'上，知

-3+12+m=0,解得m=-9.

直線1'的方程為3x+4y-9=0.

⑵設(shè)1'的方程為4x-3y+入=0.

令y=0,得x=q；令x=0,得y=|.

...三角形的面積-7?1=4,即入2=96,解得X=±4V6.

...直線1'的方程是4x-3y±4V6=0.

9.解析(1)證明：直線1:(1+2111”+(111-1)丫+7111+2=0可化為&-丫+2)+111(2*+丫+7)=0.

由以%+=7算解得｛2彳

故無論m為何實數(shù),直線1恒過點M(-3,-l).

(2)當直線L的斜率不存在或等于零時，顯然不合題意.

當直線L的斜率存在且不為零時，設(shè)直線L的方程為y=k(x+3)T,k#0.

設(shè)直線L與y軸,x軸的交點分別為A,B,

令x=0,則y=3kT;令y=0,則x△-3.

k

.*.A(0,3k-l),BQ-3,0).

???夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，

???點M為線段AB的中點，

3/c-l____]

(43).3解得T

故直線L的方程為y=-1x-2,即x+3y+6=0.

10.解析(1)由題意可得直線1的方程為y-2=-2(x-3),即y=-2x+8.

令x=0,可得y=8;令y=0,可得x=4.

故aAOB的面積為8X4=16.

⑵設(shè)直線1的斜率為k(k<0),則直線1的方程為y-2=k(x-3).

令x=0,則y=2-3k;令y=0,則x=3--k.

故S=(2-3k乂3-命-矢L

由12WS<?,得12W-筆匚哼,解得-

42k436

所以k的取值范圍是

⑶因為點P分向量荏所成的比的值為2,所以而=2而.

設(shè)A(a,0),B(0,b),又P(3,2),則(3—a,2)=2(-3,b-