新高考數(shù)學一輪復習講義 第42講 直線與橢圓（原卷版）

第42講直線與橢圓（精講）題型目錄一覽①點與橢圓的位置關系②直線與橢圓的位置關系③橢圓的弦長問題、面積問題④橢圓的中點弦問題一、知識點梳理一、知識點梳理一、點與橢圓的位置關系點和橢圓的關系SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、直線和曲線聯(lián)立1.橢圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0與過定點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，設為SKIPIF1<0，如此消去SKIPIF1<0，保留SKIPIF1<0，構(gòu)造的方程如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0注意：=1\*GB3①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出SKIPIF1<0，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關系．②韋達定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點共線問題，角度問題等常考內(nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標表達，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑?、直線與橢圓的位置關系設直線SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去SKIPIF1<0得到一個關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0.SKIPIF1<0方程有兩個不同的實數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個交點；SKIPIF1<0方程有兩個相同的實數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個交點；SKIPIF1<0方程無實數(shù)解，即直線與圓錐曲線無交點.四、根的判別式和韋達定理SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立，兩邊同時乘上SKIPIF1<0即可得到SKIPIF1<0，為了方便敘述，將上式簡記為SKIPIF1<0．該式可以看成一個關于SKIPIF1<0的一元二次方程，判別式為SKIPIF1<0可簡單記SKIPIF1<0SKIPIF1<0．同理SKIPIF1<0和SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0，為了方便敘述，將上式簡記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可簡記SKIPIF1<0．SKIPIF1<0與C相離SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與C相切SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與C相交SKIPIF1<0．注意：（1）由韋達定理寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，注意隱含條件SKIPIF1<0．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互換位置即可．五、弦長公式設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)兩點距離公式SKIPIF1<0．1.若SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，代入化簡，得SKIPIF1<0；2.若SKIPIF1<0所在直線方程為SKIPIF1<0，代入化簡，得SKIPIF1<03.構(gòu)造直角三角形求解弦長，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0斜率，SKIPIF1<0為直線傾斜角．注意：（1）上述表達式中，當為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為SKIPIF1<0，判別式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用求根公式推導也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．六、已知弦SKIPIF1<0的中點，研究SKIPIF1<0的斜率和方程SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的一條弦，中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，運用點差法求SKIPIF1<0的斜率；設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在橢圓上，所以SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0二、題型分類精講二、題型分類精講題型一點與橢圓的位置關系策略方法點與橢圓的位置關系問題的一般思路點SKIPIF1<0在橢圓外SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0>1;

點SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0<1;

點SKIPIF1<0在橢圓上SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1.【典例1】（單選題）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0總有公共點，則m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．點SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的位置關系為（

）A．在橢圓上 B．在橢圓內(nèi) C．在橢圓外 D．不能確定2．若點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，則下列說法正確的是（

）A．點SKIPIF1<0不在橢圓上 B．點SKIPIF1<0不在橢圓上C．點SKIPIF1<0在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系3．點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0的外部，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若直線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0沒有公共點，則過點SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0的交點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定5．已知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的右焦點，點SKIPIF1<0為C內(nèi)一點，若在C上存在一點P，使得SKIPIF1<0，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知橢圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸均對稱，焦點在SKIPIF1<0軸上，且焦距為SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0不在橢圓SKIPIF1<0的外部，則橢圓SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知橢圓SKIPIF1<0，若橢圓上存在兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二直線與橢圓的位置關系策略方法直線與橢圓位置關系判斷的步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程．(2)消元得出關于x(或y)的一元二次方程．(3)當Δ＞0時，直線與橢圓相交；當Δ＝0時，直線與橢圓相切；當Δ＜0時，直線與橢圓相離．【典例1】（單選題）已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若直線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0沒有交點，則過點SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0的交點個數(shù)為（）A．0個 B．至多有一個 C．1個 D．2個3．已知SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能4．）已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若點A在橢圓C外，則直線l與橢圓C相離B．若點A在橢圓C上，則直線l與橢圓C相切C．若點A在橢圓C內(nèi)，則直線l與橢圓C相交D．若點A在直線l上，則直線l與橢圓C的位置關系不確定5．已知橢圓M：SKIPIF1<0的上頂點為A，過點A且不與y軸重合的直線l與M的另一個交點為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），過B作l的垂線，交y軸于點C．若SKIPIF1<0，則l的斜率SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知橢圓ESKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓E相切，則橢圓E的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知交于點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互垂直，且均與橢圓SKIPIF1<0相切，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的上頂點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知橢圓SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線分別與SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則直線SKIPIF1<0方程為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多選題9．在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（

）A．SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0的焦點，則SKIPIF1<0C．對任意實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0總有兩個互異公共點，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則一定存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有且只有一個公共點10．已知直線l：y=kx+m與橢圓SKIPIF1<0交于A，B兩點，點F為橢圓C的下焦點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三、填空題11．與橢圓SKIPIF1<0有相同的焦點且與直線SKIPIF1<0相切的橢圓的離心率為.12．已知橢圓SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的切線，則切線方程為.13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0為其過點SKIPIF1<0且斜率為1的弦，則SKIPIF1<0的值為．14．SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離之和與點SKIPIF1<0的位置無關，則SKIPIF1<0的取值范圍是.15．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過右焦點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的直線與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝．16．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點．若SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的最小距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為．17．已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線與C交于P，Q兩點，若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為鈍角，則k的取值范圍為．18．橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且上頂點到SKIPIF1<0軸的距離為1，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0兩點且SKIPIF1<0中點在坐標軸上，則直線SKIPIF1<0的方程為．四、解答題19．已知橢圓Ω：9x2+y2＝9，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與Ω有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.點K在橢圓Ω上，SKIPIF1<0分別為橢圓的兩個焦點，求SKIPIF1<0的范圍.20．設橢圓SKIPIF1<0上點P處的切線與x軸交于點M，A，B分別是長軸的左、右頂點．過M作x軸的垂線，與直線PA，PB分別交于C，D兩點，證明：CM＝MD．21．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個焦點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)已知過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0點，交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.22．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左頂點A與上項點B的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)點P在橢圓C上，且P點不在x軸上，線段SKIPIF1<0的垂直平分線與y軸相交于點Q，若SKIPIF1<0為等邊三角形，求點P的坐標．23．已知橢圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，斜率不為0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，與圓SKIPIF1<0相切且切點為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.(1)求圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0的取值范圍；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.24．已知圓SKIPIF1<0，圓上有一動點P，線段PF的中垂線與線段PE交于點Q，記點Q的軌跡為C．第一象限有一點M在曲線C上，滿足SKIPIF1<0軸，一條動直線與曲線C交于A、B兩點，且直線MA與直線MB的斜率乘積為SKIPIF1<0．(1)求曲線C的方程；(2)當直線AB與圓E相交所成的弦長最短時，求直線AB的方程．25．在xOy平面上，設橢圓SKIPIF1<0，梯形ABCD的四個頂點均在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.設直線AB的方程為SKIPIF1<0

(1)若AB為SKIPIF1<0的長軸，梯形ABCD的高為SKIPIF1<0，且C在AB上的射影為SKIPIF1<0的焦點，求m的值；(2)設SKIPIF1<0，直線CD經(jīng)過點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；26．已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的右頂點，過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點（點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的上方），直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點．當點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點時，SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．27．已知動圓P過點SKIPIF1<0，且與圓N：SKIPIF1<0相切(1)求圓心P的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)A，C為軌跡SKIPIF1<0上兩個動點且位于第一象限（不在直線SKIPIF1<0上），直線AN，CN分別與軌跡SKIPIF1<0交于B，D兩點，若直線AD，BC分別交直線SKIPIF1<0與E，F(xiàn)兩點，求證；SKIPIF1<0題型三橢圓的弦長問題、面積問題策略方法橢圓中的弦長問題（1）弦長公式：SKIPIF1<0．（2）涉及到面積的計算問題．【典例1】（單選題）斜率為1的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于A，B兩點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（單選題）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點（其中點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左側(cè)），記SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0 D．當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．斜率為1的直線l與橢圓SKIPIF1<0相交于A，B兩點，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知直線l是圓C：SKIPIF1<0的切線，且l與橢圓E：SKIPIF1<0交于A，B兩點，則|AB|的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．13．已知過點（0，1）的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，三角形SKIPIF1<0面積的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．14．已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左焦點，過SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若線段MN的長等于橢圓SKIPIF1<0短軸長的SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左右焦點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與C交于A，B兩點，若SKIPIF1<0面積是SKIPIF1<0面積的2倍，則SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知橢圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是橢圓第一象限上的點，直線SKIPIF1<0是橢圓在點SKIPIF1<0處的切線，直線SKIPIF1<0分別交兩坐標軸于點SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0面積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓C交于A，B兩點，則SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知橢圓SKIPIF1<0的左頂點和右焦點分別為A，F(xiàn)，點B，C為橢圓上關于原點O對稱的兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4二、多選題10．已知過點SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則弦長SKIPIF1<0可能是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．311．已知橢圓C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，直線SKIPIF1<0過F2交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為8，則（

）A．橢圓焦距為SKIPIF1<0 B．橢圓方程為SKIPIF1<0C．弦長SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0共有四個交點，它們逆時針方向依次為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0時，四邊形SKIPIF1<0為正方形C．四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0D．若四邊形SKIPIF1<0為菱形，則SKIPIF1<0三、填空題13．已知橢圓SKIPIF1<0，過左焦點SKIPIF1<0作傾斜角為SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則弦SKIPIF1<0的長為．14．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線l與橢圓SKIPIF1<0有兩個不同的交點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.15．已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，橢圓的兩個焦點分別是SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為16．已知點SKIPIF1<0是橢圓C：SKIPIF1<0上的一點，SKIPIF1<0是橢圓的左、右焦點，且SKIPIF1<0，則橢圓C的方程是.若圓SKIPIF1<0的切線與橢圓C相交于M點，則SKIPIF1<0的最大值是.17．已知橢圓SKIPIF1<0，經(jīng)過左焦點F的直線和橢圓交于A，B兩點，則SKIPIF1<0面積的最大值為．四、解答題18．橢圓SKIPIF1<0的中心在坐標原點SKIPIF1<0，焦點在SKIPIF1<0軸上，橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0且短軸長為2.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)過點SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求線段SKIPIF1<0的長.19．已知拋物線E：SKIPIF1<0的焦點關于其準線的對稱點為SKIPIF1<0，橢圓C：SKIPIF1<0的左，右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且與E有一個共同的焦點，線段SKIPIF1<0的中點是C的左頂點．過點SKIPIF1<0的直線l交C于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．(1)求C的方程；(2)證明：SKIPIF1<0．20．已知橢圓SKIPIF1<0，左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，弦SKIPIF1<0被點SKIPIF1<0平分．(1)求直線SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0的面積．21．已知橢圓SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)判斷點SKIPIF1<0是否在橢圓上，并給出理由；(2)已知與線段SKIPIF1<0相交的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不同于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）兩點，求四邊形SKIPIF1<0面積的最大值．22．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左?右焦點分別為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0軸的直線被橢圓SKIPIF1<0所截得的線段長為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，連接SKIPIF1<0并交橢圓SKIPIF1<0于另一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.23．已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，且點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的面積最大時，求直線SKIPIF1<0的方程．24．已知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上不同的三個點.當點SKIPIF1<0，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓SKIPIF1<0標準方程；(2)若SKIPIF1<0為原點，且滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.25．已知平面內(nèi)動點M到兩定點E，F(xiàn)的距離之和為4，且E，F(xiàn)兩點間的距離為2．(1)以點E，F(xiàn)所在的直線為x軸，建立適當?shù)淖鴺讼?，求點M的軌跡C的方程．(2)直線l過點F，交曲線C于A，B兩點，AB的中點為SKIPIF1<0（異于坐標原點O）．若點Q的坐標之和SKIPIF1<0，求弦AB的長．26．設橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標原點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)是否存在圓心為原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓SKIPIF1<0恒有兩個交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0？若存在，寫出該圓的方程，并求SKIPIF1<0的取值范圍，若不存在，請說明理由.27．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.

(1)若直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，求線段SKIPIF1<0的長；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合，SKIPIF1<0為坐標原點，求SKIPIF1<0面積的最大值；(3)若橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，求此時直線SKIPIF1<0的方程.28．已知橢圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，斜率不為0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，與圓SKIPIF1<0相切且切點為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.(1)求圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0的取值范圍；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.29．設橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且左焦點為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0內(nèi)接于橢圓SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的另一個交點為點SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.30．在直角坐標系xOy中，動點P到直線SKIPIF1<0的距離是它到點SKIPIF1<0的距離的2倍，設動點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)直線SKIPIF1<0與曲線C交于A，B兩點，求SKIPIF1<0面積的最大值．31．已知橢圓SKIPIF1<0的下焦點SKIPIF1<0、上焦點為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.過焦點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸不垂直的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點）面積的最大值.32．已知橢圓SKIPIF1<0的上頂點到右頂點的距離為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且點SKIPIF1<0到右焦點距離的最大值為3，過點SKIPIF1<0且不與SKIPIF1<0軸垂直的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)記SKIPIF1<0為坐標原點，求SKIPIF1<0面積的最大值.33．已知橢圓SKIPIF1<0，連接E的四個頂點所得四邊形的面積為4，SKIPIF1<0是E上一點．(1)求橢圓E的方程；(2)設斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓E交于A，B兩點，D為線段SKIPIF1<0的中點，O為坐標原點，若E上存在點C，使得SKIPIF1<0，求三角形SKIPIF1<0的面積．34．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，且經(jīng)過點SKIPIF1<0.(1)求橢圓E的方程；(2)設直線SKIPIF1<0與橢圓E交于A，B兩點，且橢圓E上存在點M，使得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形.試探究：四邊形OAMB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形SKIPIF1<0的面積；若不是定值，請說明理由.35．已知橢圓C：SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，且橢圓上任意一點到F的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設過點F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，M為橢圓C上一點且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求四邊形AOBM的面積.36．過橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0作兩條相互垂直的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：直線SKIPIF1<0過定點；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率均存在，求SKIPIF1<0面積的最大值.37．已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,上頂點為SKIPIF1<0，下頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0分別交橢圓SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0的面積的2倍，求t的值.38．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0的周長為8，且點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于C，D兩點，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0面積的取值范圍．題型四橢圓的中點弦問題策略方法中點弦問題常用“點差法”，即設出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率．【典例1】（單選題）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且斜率為1的直線交橢圓于SKIPIF1<0兩點.若SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知橢圓SKIPIF1<0四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓C交于A，B兩點，且線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則橢圓C的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知橢圓，點SKIPIF1<0為左焦點，點SKIPIF1<0為下頂點，平行于SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．）已知橢圓SKIPIF1<0，若橢圓上存在兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線與橢圓C交于A，B兩點，且滿足SKIPIF1<0，若M為直線AB上任意一點，O為坐標原點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<06．已知橢圓SKIPIF1<0的上頂點為B，斜率為SKIPIF1<0的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．已知橢圓SKIPIF1<0的焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線l與橢圓C交于M，N兩點，且點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．橢圓C的離心率為SKIPIF1<0C．直線l的方程為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<08．已知橢圓的方程為SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線不經(jīng)過原點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點），且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB與OM垂直B．若點M的坐標為SKIPIF1<0，則直線AB的方程為SKIPIF1<0C．若直線AB的方程為SKIPIF1<0，則點M的坐標為SKIPIF1<0D．若直線AB的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三、填空題9．已知橢圓C：SKIPIF1<0，若橢圓C上有不同的兩點關于直線SKIPIF1<0對稱，則實數(shù)m的取值范圍是.10．直線SKIPIF1<0截橢圓SKIPIF1<0所得弦的中點M與橢圓中心連線SKIPIF1<0的斜率為．11．已知橢圓SKIPIF1<0是橢圓上兩點，線段SKIPIF1<0的垂直平分線與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.12．已知SKIPIF1<0為坐標原點，雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過左焦點SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點（SKIPIF1<0在第一象限），SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，若SKIP