【青松雪】中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型11】阿氏圓問題

初中數(shù)學(xué)（北師大版）中考數(shù)學(xué)幾何模型【模型11】阿氏圓問題主講人：王建林【模型介紹】阿氏圓：又稱“阿波羅尼斯圓”．如圖，已知

A、B

是兩定點，動點

P

滿足

PA

:PB=k

(k為定值，且

k≠1)，則滿足條件的所有點

P

的軌跡構(gòu)成的圖形是一個圓．這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”．接下來我們用初中的方法解釋一下這個軌跡．首先要了解一下初中的兩個角平分線定理．【模型介紹】角平分線內(nèi)分定理：外角平分線定理：A、B

為定點，k為定值，由角平分線定理易知：M、N

為定點．【模型介紹】【模型建立】如圖，已知⊙O

的半徑為

R，點

A、B

都在⊙O

外，P為⊙O上一動點，

且

R=OP=kOB，連接

PA、PB，則當“PA+kPB”的值最小時，P

點的位置如何確定？【問題解決】在OB

上截取

OC，使得

OC=kOP=kR，連接PC，由母子型相似易得：

△OPB∽△OCP，且PC:PB=k，即

PC=kPB，∴PA+kPB=PA+PC，當

A、P、C

三點共線時有最小值．【核心方法】構(gòu)造母子型相似使其相似比等于

k，從而構(gòu)造出和

kPB相等的線段．【典型例題】【例1】如圖，在

Rt△ABC

中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圓

C

的半徑為2，點P

為

圓C上一動點，連接

AP、BP．(1)求

2AP+BP

的最小值.(2)求

AP+3BP

的最小值.【典型例題】【例2】(1)如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點C

為圓心，2為半徑

作⊙C，分別交

AC、BC

于

D、E

兩點，點

P

是⊙C上一個動點，則0.5PA+PB

的最小

值為_______．(2)如圖，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，⊙B

的半徑為2，點

P是⊙B

上一動點，

則：①PD+0.5PC的最小值為

；②PD+4PC

的最小值為

；

③PD-0.5PC

的最大值為

．【典型例題】【例3】(1)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，以點B

為圓心作圓與AC

相

切，⊙B

的半徑為根號2，點

P

為⊙B

上的一動點，求

的最小值.(2)如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O

上一動點，則：

的最小值為________.(3)如圖，等邊△ABC

的邊長為6，內(nèi)切圓記為⊙O，P

是⊙O上一動點，則：

2PB+PC

的最小值為________.【典型例題】【例4】(1)如圖，在平面直角坐標系中，A(2,0)，B(0,2)，C(4,0)，D(3,2)，P

是

△AOB

外部第一象限內(nèi)的一動點，且∠BPA=135°，則2PD+PC

的最小值為______．(2)如圖，點

C

坐標為(2,5)，點

A的坐標為(7,0)，⊙C的半徑為

，點

B

是

⊙C上一動點，

的最小值為________．(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(6,-1)，M(4,4)，以

M

為圓心，

為半徑

畫圓，O為原點，P

是⊙M

上一動點，則

PO+2PA

的最小值為________．【例5】如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以C

為頂點的正方形

CDEF(C、D、E、F

四個頂點按逆時針方向排列)可以繞點

C

自由轉(zhuǎn)動，且

，連

接

AF，BD．(1)求證：△BDC≌△AFC；(2)當正方形CDEF

有頂點在線段AB

上時，直接寫出

的值；(3)直接寫出正方形

CDEF

旋轉(zhuǎn)過程中，

的最小值．【典型例題】【課堂小結(jié)】【核心方法】構(gòu)造母子型相似使其相似比