北京首都師大附中2022年數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．8的立方根是（）A．2 B．±2 C．±2 D．22．如圖，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．65° B．60°C．55° D．45°3．我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖①可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖②中陰影部分面積的計(jì)算驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是()A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b24．對(duì)于命題“若a2＞b2，則a＞b”，下面四組關(guān)于a，b的值中，能說明這個(gè)命題是假命題的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝2 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣2 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣35．已知△ABC的一個(gè)外角為70°，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形6．下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．7．若是一個(gè)完全平方式，則k的值為（）A． B．18 C． D．8．今年校團(tuán)委舉辦了“中國(guó)夢(mèng)，我的夢(mèng)”歌詠比賽，張老師為鼓勵(lì)同學(xué)們，帶了50元錢取購(gòu)買甲、乙兩種筆記本作為獎(jiǎng)品．已知甲種筆記本每本7元，乙種筆記本每本5元，每種筆記本至少買3本，則張老師購(gòu)買筆記本的方案共有A．3種 B．4種 C．5種 D．6種9．如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA＝8米，OB＝6米，A、B間的距離不可能是（）A．12米 B．10米 C．15米 D．8米10．某市出租車計(jì)費(fèi)辦法如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．出租車起步價(jià)是10元B．在3千米內(nèi)只收起步價(jià)C．超過3千米部分（x＞3）每千米收3元D．超過3千米時(shí)（x＞3）所需費(fèi)用y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=2x+411．若4x2+（k﹣1）x+25是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)k的值為（）A．11 B．21 C．﹣19 D．21或﹣1912．如圖，在三角形ABC中，已知AB=AC，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AB=BD，AD=CD，則∠ABC等于（）A．36° B．38° C．40° D．45°二、填空題（每題4分，共24分）13．若x+2（m-3）x+16是一個(gè)完全平方式，那么m應(yīng)為_______.14．如圖，已知，AB=BC，點(diǎn)D是射線AE上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD+CD最短時(shí)，的度數(shù)是_________．15．如圖，已知,要使,還需添加一個(gè)條件，則可以添加的條件是．（只寫一個(gè)即可，不需要添加輔助線）16．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_______．17．已知，，則=_________.18．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(3,－2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).（1）若的值最小，求的值；（2）若直線將分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)求出的值，并說明理由.20．（8分）如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)、兩點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，且．求證：．21．（8分）已知A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，試在上找兩點(diǎn)C和D（CD的長(zhǎng)度為定值），使得AC+CD+DB最短（保留作圖痕跡，不要求寫畫法）．22．（10分）因式分解:（1）；（2）23．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，與關(guān)于軸對(duì)稱，與與與對(duì)應(yīng).（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出；（2）在平面直角坐標(biāo)系中作出，并寫出的坐標(biāo).24．（10分）如圖是某臺(tái)階的一部分，并且每級(jí)臺(tái)階的寬等于高．請(qǐng)你在圖中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；（2）如果臺(tái)階有級(jí)（第個(gè)點(diǎn)用表示），請(qǐng)你求出該臺(tái)階的高度和線段的長(zhǎng)度．25．（12分）如圖（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝2時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．26．閱讀下列題目的解題過程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)：；（2）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋?；?）本題正確的結(jié)論為：．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【詳解】解：根據(jù)立方根的定義，由23=8，可得8的立方根是2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查立方根．2、A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=95°，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意可得：MN是AC的垂直平分線，則AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3、B【解析】圖（4）中，∵S正方形=a1-1b（a-b）-b1=a1-1ab+b1=（a-b）1，∴（a-b）1=a1-1ab+b1．故選B4、C【分析】說明命題為假命題，即a、b的值滿足a2＞b2，但a＞b不成立，把四個(gè)選項(xiàng)中的a、b的值分別代入驗(yàn)證即可．【詳解】解：當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，a2＞b2，而a＞b成立，故A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＝3，b＝﹣2時(shí)，a2＞b2，而a＞b成立，故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣2時(shí)，a2＞b2，但a＞b不成立，故C選項(xiàng)符合題意；當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣3時(shí)，a2＞b2不成立，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查假命題的判斷，舉反例是說明假命題不成立的常用方法，但需要注意所舉反例需要滿足命題的題設(shè)，但結(jié)論不成立．5、C【分析】利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】∵△ABC的一個(gè)外角為70°，∴與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為110°，∴該三角形一定是鈍角三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角、外角的關(guān)系及三角形的分類，熟練掌握分類標(biāo)準(zhǔn)是解題的關(guān)鍵．6、D【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、3.14是有限小數(shù)，是有理數(shù)；B、，是有理數(shù)；C、，是有理數(shù)；D、，屬于開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的定義和分類，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．7、C【分析】根據(jù)完全平方公式形式，這里首末兩項(xiàng)是和9這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去和9乘積的2倍．【詳解】解：是一個(gè)完全平方式，首末兩項(xiàng)是和9這兩個(gè)數(shù)的平方，，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)平方和再加上或減去它們乘積的2倍，是完全平方式的主要結(jié)構(gòu)特征，本題要熟記完全平方公式，注意積得2倍的符號(hào)，有正負(fù)兩種情況，避免漏解．8、D【分析】設(shè)甲種筆記本購(gòu)買了x本，乙種筆記本y本，由題意，得7x+5y≤1．【詳解】解：∵x≥3，y≥3，∴當(dāng)x=3，y=3時(shí)，7×3+5×3=36＜5；當(dāng)x=3，y=4時(shí)，7×3+5×4=41＜1；當(dāng)x=3，y=5時(shí)，7×3+5×5=46＜1；當(dāng)x=3，y=6時(shí)，7×3+5×6=51＞1舍去；當(dāng)x=4，y=3時(shí)，7×4+5×3=43＜1；當(dāng)x=4，y=4時(shí)，7×4+5×4=4＜1；當(dāng)x=4，y=5時(shí)，7×4+5×5=53＞1舍去；當(dāng)x=5，y=3時(shí)，7×5+5×3=1=1．綜上所述，共有6種購(gòu)買方案．故選D．9、C【解析】試題分析：根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，AB的長(zhǎng)度在2和14之間，故選C．考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系．A10、A【分析】根據(jù)圖象信息一一判斷即可解決問題．【詳解】解：由圖象可知，出租車的起步價(jià)是10元，在3千米內(nèi)只收起步價(jià)，設(shè)超過3千米的函數(shù)解析式為y=kx+b，則，解得，∴超過3千米時(shí)（x＞3）所需費(fèi)用y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=2x+4，超過3千米部分（x＞3）每千米收2元，故A、B、D正確，C錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，正確由圖象得出正確信息是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題.11、D【解析】∵4x2+（k﹣1）x+25是一個(gè)完全平方式，∴k-1=±2×2×5,解之得k=21或k=-19.故選D.12、A【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ADB=2∠C=2∠B，于是得到∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故選A．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1或7【詳解】∵x+2（m-3）x+16是一個(gè)完全平方式，∴，∴m=-1或7.故答案是：-1或714、【分析】作CO⊥AE于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)CO，使，通過含30°直角三角形的性質(zhì)可知是等邊三角形，又因?yàn)锳B=BC，根據(jù)等腰三角形三線合一即可得出，則答案可求．【詳解】作CO⊥AE于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)CO，使，則AE是的垂直平分線,此時(shí)BD+CD最短∴是等邊三角形∵AB=BC故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形三線合一，掌握含30°直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．15、可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．【分析】由AB=BC結(jié)合圖形可知這兩個(gè)三角形有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，添加一組邊利用SSS證明全等，也可以添加一對(duì)夾角相等，利用SAS證明全等，據(jù)此即可得答案.【詳解】.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，①∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD，在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS），故答案為∠ABD=∠CBD或AD=CD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，結(jié)合圖形與已知條件靈活應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.熟記全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．16、且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根∴∴，即且．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義和判別式的性質(zhì)，從而完成求解．17、【解析】分析：根據(jù)同底數(shù)冪的除法及乘法進(jìn)行計(jì)算即可．詳解：xa﹣2b=xa÷（xb?xb）=4÷（3×3）=．故答案為：．點(diǎn)睛：本題考查的是同底數(shù)冪的除法及乘法，解答此題的關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的除法及乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．18、(3，2)【分析】關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).【詳解】解：點(diǎn)(3,－2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是故答案為：三、解答題（共78分）19、（1）；（2）5，理由見解析【分析】（1）先求出點(diǎn)A點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱最短確定出點(diǎn)M的位置，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，進(jìn)而可求出m的值；（3）分三種情況討論驗(yàn)證即可.【詳解】解：（1）解得，∴A(4，2).把y=0代入得，解得x=5，∴B(5，0)，取B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D(-5，0)，連接AD，交y軸于點(diǎn)M，連接BM，則此時(shí)MB+MA=AD的值最小.設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，∵A(4，2)，D(-5，0)，∴，解得，∴，當(dāng)x=0時(shí)，，∴m=；（2）當(dāng)x=0時(shí)，，∴C(0，10)，∵A(4，2)，∴AC=，AO=.如圖1，當(dāng)MO=MA=m時(shí)，則CM=10-m，由10-m=m，得m=5,∴當(dāng)m=5時(shí)，直線將分割成兩個(gè)等腰三角形；如圖2，當(dāng)AM=AO=時(shí)，則My=2Ay=4，∴M(0，4)，CM=6，此時(shí)CM≠AM，不合題意，舍去；如圖3，當(dāng)OM=AO=時(shí)，則CM=10-，AM=，∴CM≠AM，不合題意，舍去；綜上可知，m=5時(shí)，直線將分割成兩個(gè)等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定出點(diǎn)M的位置是解（1）的關(guān)鍵，分類討論是解（2）的關(guān)鍵.20、見解析【分析】先根據(jù)題意判斷，得到，之后因?yàn)?，即可得到，利用?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可解答．【詳解】解：證明：∵在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的主要是平行線的性質(zhì)和判定，在本題中，用到的相關(guān)知識(shí)有：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．21、作圖見解析．【解析】先作出點(diǎn)B關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)B′，A點(diǎn)向右平移到E（平移的長(zhǎng)度為定值a），再連接EB′，與l交于D，再作AC∥EB′，與l交于C，即可確定點(diǎn)D、C．【詳解】解：作圖如下：22、（1）；（2）.【分析】（1）兩次利用平方差公式分解因式即可；

（2）先提取公因式x，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【詳解】解：（1）==；（2）==．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．23、（1）詳見解析；（2）圖詳見解詳，【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中分別標(biāo)出位置即可；（2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，從而可得出D、E、F的坐標(biāo)．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖所示：【點(diǎn)睛】考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、軸對(duì)稱作圖，解答本題的關(guān)鍵是正確的找出三點(diǎn)的位置，另外要掌握關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)．24、（1），，；（2）該臺(tái)階的高度是，的長(zhǎng)度是【分析】(1)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的定義建立，然后寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可;(2)利用平移的性質(zhì)求出橫向與縱向的長(zhǎng)度，然后求解即可．【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．（1），，；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，每階臺(tái)階的高為，寬也為．階臺(tái)階的高為．．所以，該臺(tái)階的高度是，的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)確，主要利用了平面直角坐標(biāo)系，從平移的角度考慮求解是解題的關(guān)鍵．25、（1）△ACP與△BPQ全等，理由詳見解析；（2）PC⊥PQ，證明詳見解析；（3）當(dāng)t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s時(shí)，△ACP與△BPQ全等．【分析】（1）利用SAS定理證明△ACP≌△BPQ；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷線段PC和線段P