2023-2024學年江蘇省蘇州市高二年級上冊冊一月學業(yè)質量內(nèi)調研數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省蘇州市高二上冊一月學業(yè)質量內(nèi)調研數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{。,},0102a3=5,—10,則4a54=

A.5&B.7C.6D.4a

【正確答案】A

【詳解】試題分析：由等比數(shù)列的性質知I,aia2a3,a4a5a（）,a7a8a9成等比數(shù)歹U，所以a4a5a6=

572

故答案為58

等比數(shù)列的性質、指數(shù)累的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉化與化歸的數(shù)學思想.

2.拋物線y=上一點4（天,2）到其對稱軸的距離為（）

8

A.4B.2C.72D.1

【正確答案】A

【分析】利用代入法進行求解即可.

【詳解】把義天,2）代入拋物線方程中，得2=9其=/=±4,

O

因為該拋物線的對稱軸為縱軸，

所以拋物線y=上一點A（%”2）到其對稱軸的距離為4,

O

故選：A

3.直線x+y-l=0被圓（x+1）2+y2=3截得的弦長等于（）

A.V2B.2C.20D.4

【正確答案】B

【詳解】

如圖，圓。+1尸+丫2=3的圓心為M(T,O),

圓半徑|AM=6，

圓心M(-1,0)到直線x+廠1=0的距離：

1-1+0-11廣

|MC|=J_1=6,

V2

...直線x+y-l=0被圓(x+l)2+y2=3截得的弦長：

|AB|=2j(石口-詆2=2.

故選B.

點睛：本題考查圓的標準方程以及直線和圓的位置關系.判斷直線與圓的位置關系一般有兩

種方法：1.代數(shù)法：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二元方程組轉化為一元二次

方程，該方程解的情況即對應直線與圓的位置關系.這種方法具有一般性，適合于判斷直

線與圓錐曲線的位置關系，但是計算量較大.2.幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較

大小，即可判斷直線與圓的位置關系.這種方法的特點是計算量較小.當直線與圓相交時，

可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離，弦長和半徑的勾股關系.

4.圓C為過點P(4,3),Q(2,5)的圓中最小的圓，則圓C上的任意一點M到原點。距離的取

值范圍為()

A.[2,5]B.[3,6|C.[5-2夜,5+2近]D.[5-0,5+0]

【正確答案】D

【分析】要使圓最小則圓心為P、。的中點，求出圓心坐標及其半徑，由圓心到原點的距離

結合圓的性質即可確定圓C上的任意一點M到原點。距離的范圍.

【詳解】以PQ為直徑的圓最小，則圓心為C(3,4),半徑為近，圓心到原點的距離為5,

，M到原點O距離的最小值為[5-72,5+72].

故選：D.

5.“天問一號”推開了我國行星探測的大門，通過一次發(fā)射，將實現(xiàn)火星環(huán)繞、著陸、巡視，

是世界首創(chuàng)，也是我國真正意義上的首次深空探測.2021年2月10B,天間一號探測器順

利進入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）.2月15日

17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道“遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平

面機動”，同時將近火點高度調整至約265公里.若此時遠火點距離約為11945公里，火星

半徑約為3395公里，則調整后“天問一號”的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的離心率約為（）

A.0.61B.0.67C.0.71D.0.77

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題中的信息列出關于4，c的方程，然后解方程并求離心率即可.

dy2

【詳解】設橢圓的方程為=1(<3>Z?>0),

由橢圓的性質可得橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a-c,最大值為a+c,

根據(jù)題意可得近火點滿足a-c=3395+265=3660,a+c=3395+11945=15340,

解得a=9500,c=5840,

所以橢圓的離心率為e=￡=繆=0.61,

a9500

故選：A.

6.直三棱柱ABC-A,用G中，AB±BC,四=8C=CG,點。為線段AC的中點，若點P

在線段CG上，則直線OP與平面AOB所成角的正弦值的取值范圍是（）

A.凈］B.忤用C.［到D.［刊

【正確答案】A

【分析】如圖所示：以為x,y,z軸建立空間直角坐標系，計算平面4。8的法向

2+加

量為“=（1,7,1）,根據(jù)向量夾角公式得到正弦值為用工方，設2+m=f,根據(jù)二次函

數(shù)的性質得到最值.

【詳解】如圖所示：以8c,84,即為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設AB=BC=CG=2,

則以0,0,0）,0（1,1,0）,A（0,2,2）,P（2,0,m）,me［o,2］,

設平面的法向量為〃=（x,y,z）,則/2}+2一八0,

v7n-BO=x+y=0

取x=l得至一1,1),OP=(\,-\,m),

當f=3時，有最大值為1,當t=2時有最小值為四.

3

22

7.已知耳，鳥是雙曲線￡:=一與=1（。>0,〃>0）的左，右焦點，點尸在E上，。是線段耳公

a'b'

jr

上點，若262居=§，6。:6。=1:2,P。=4,則當aPK用面積最大時，雙曲線E的方程是

()

【正確答案】C

【分析】在PFQ和.P巴。分別利用余弦定理得21+療=6/+48,再在△尸耳名利用余弦

定理，消去x,根據(jù)均值不等式求耳瑪面積最大時PJPg的關系，結合雙曲線的性質即

可求解.

【詳解】如圖所示

設尸耳=〃，PF,=m,Z.PDFX=a,F^D=x,則/尸￡)鳥=兀一。，F(xiàn)2D=2xf

在】尸"。中由余弦定理得〃2=x2+16-8xcosa?,

22

在dPF2D中由余弦定理得〃/=4x+16-16xcos(n-a)=4x+16+16xcos?(2),

2x①+②得2〃2+>=6/+48③,

在耳耳中由余弦定理得9丁=n2+m2-2nmcos^=n2+ITT-inn?,

③④聯(lián)立消去x得2"+g機2+zw?=72,

1-IT

因為s"出=]加〃sing，當△?耳馬面積最大時即機“最大，

由均值不等式可得72=2n2+—nr+mn>2.2n2x—m2+mn=3mn，

2V2

當且僅當2/=g/即2〃="7時等號成立，〃2〃取得最大值，

此時由④9f=/+4/?2-2n2=3n2解得無=乎〃,所以=百〃,

所以尸即△Pf；瑪為直角三角形，且2尸耳。=],

所以在尸工。中〃2+/〃=16,解得“=2百，

a=G

PF2_PF｝=2a=n

由雙曲線的性質可得耳鳥=2c=上〃解得.人遍,

22I->

c=a'+h-c=3

?>2

所以雙曲線E的方程為工-±=1,

36

故選：C

8.已知數(shù)列｛%｝滿足(〃一l)/+l=〃4,(〃wN*),且前〃項和為S“，若T〃eN*,56>S,,,

則臬的取值范圍為（）

A.3%B.C.4D.[0,3]

【正確答案】A

="，即數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，結合條件得

［分析】利用遞推關系可得2???+|-na,1+2

a?=l+5dN0

二1+6公。,再利用等差數(shù)列求和公式即得

[詳解1；(〃-1)6用+1=na?(〃eN"),

當〃=1時，6=1,

又("T)a“+i+1=；/①，，叫"2+1=(〃+1)%②,

由①一②，得2"。,川-"4L〃+2=na?,即2a向=4*2+4,

???數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

由SsNS”,設"為公差，則

4=1+542011

3+6公。,解得一丁屋飛

7

則3WS6=6+15d<].

故選：A.

9.已知函數(shù)〃x)=2，，則f'(x)=()

2、

X

A.X-2-'B。2'In2C.2'ln2D.

In2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式進行求解即可.

【詳解】由/(x)=2'=/'(x)=2'ln2,

故選：C

10.已知等差數(shù)列｛4“｝滿足”3+4+a8+””=12’則的值為()

A.—3B.3C.-12D.12

【正確答案】B

［分析］根據(jù)等差數(shù)列的性質若加+〃=則4“+4,=4+%可得.

【詳解】由等差中項的性質可得，4+&+4+即=4%=12,解得%=3,

：%+%=2%，工2%一即=%=3.

故選：B

11.已知函數(shù)/。)=/一以2-法+/,則“a+/?=7”是"函數(shù)/(x)在x=l處有極值10”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

條件

【正確答案】B

fr⑴=。

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得即可得到方程組，解得。、人再檢驗,

最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】解：f(x')=xi-ax2-bx+a2,所以尸(x)=3x?-2or-￡>,

'/,(l)=3-2?-ib=0a=3..l?=-4

所以解得6=-3或*=11

〃l)=l-“-b+a2=10

當§時f(x)=x3-3x2+3x+9,/,(X)=3X2-6X+3=3(X-1)2>0,即函數(shù)在定義域上單

調遞增，無極值點，故舍去；

(ci——4

當J]]H;tf(x)=x3+4x2-1lx+16,/z(x)=3x2+8x—11=(3x+ll)(x—1),

當x>l或時r(x)>0,當時r(x)<0,滿足函數(shù)在處取得極值，

所以a+6=7,

所以由a+b=7推不出函數(shù)在x=l處有極值10,即充分性不成立；

由函數(shù)/(x)在x=l處有極值10推得出。+匕=7,即必要性成立；

故"a+b=7”是“函數(shù)/(x)在x=l處有極值10”的必要不充分條件；

故選：B

12.如圖，正方形數(shù)表中對角線的一列數(shù)2,5,10,17,26,37,構成數(shù)列{%},則%?3=()

234567

35791113

4710131619

5913172125

61116212631

71319253137

A.20222-1B.20232-1

C.20222+1D.20232+1

【正確答案】D

【分析】由題意得出數(shù)列｛4｝的遞推公式，再通過累加法得出數(shù)列｛4｝的通項，即可得出答

案.

【詳解】由題意得數(shù)列｛4｝的遞推公式為：見“-4=2〃+1,

則an~an-l=2?-1,

4I_%=2〃_3,

a2-a,=3,

“22累力口得：q=3+5+7++(2M-1)=----"？)("—-=n:-1;

則a“+1,n-\成立

則02023=20232+1,

故選：D.

13.設函數(shù)f(x)是定義在(0,+8)上的可導函數(shù),且礦(x)>2/(x),則不等式

4/(x-2022)<(x-2022)2*2)的解集為()

A.(2022,2023)B.(2022,2024)C.(2022,物)D.(0,2023)

【正確答案】B

【分析】構造函數(shù)g(x)=坐，根據(jù)礦(x)>2f(x)得到g(x)=綽的單調性，再變形不等

XX

式由單調性求解即可.

【詳解】由題知，函數(shù)/(X)是定義在(0,+8)上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f(x),且有

xf'M>2/(x),即礦(x)-2/(x)>0,

、&,、A?

設g(x)=,x?-1，

所以g'3="(x)-2?(x)=步(x)-2/(x)>o

x4x3

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增，

因為4f(x-2022)-(x-2022產(chǎn)/⑵<0,

)(x-2022)//⑵

所以

(x-2022)222

x-2022>0

所以,解得2022cx<2024,

x-2022<2

所以不等式4/(x-2022)-(x-2022)7(2)<0的解集為(2022,2024),

故選：B

關鍵點睛：根據(jù)不等式0”（x）＞2/（x）構造函數(shù)是解題的關鍵.

14.若函數(shù)〃x）=sin[s+1J（＜y＞0）在區(qū)間（0,兀）上既有極大值又有極小值，則”的取值

范圍為（）

A.住,+814

B.-,+ooC.(2,+oo)D.[2,-KO)

【正確答案】A

【分析】求函數(shù)的極值點，由條件列不等式，求。的取值范圍.

【詳解】因為"x）=sin（ox+￡|（0＞O）,

所以當=+時，即犬=，（2阮+父.丘2時函數(shù)〃另取最大值，

當8+2=2/+ZeZ時，即x=（（2E+：）,a€Z時函數(shù)〃x）取最小值，

故函數(shù)/（X）的極大值點為X=+極小值點為工=：（2&兀+.）,/€2,

因為函數(shù)/（x）=sin（0x+.）3＞O）在區(qū)間（0㈤上既有極大值又有極小值，

所以4?＜兀，故。＞:，

co33

所以0的取值范圍為（g，+8）.

故選：A.

15.已知函數(shù)“X）滿足=當xe1,1時，〃x）=lnx,若在；,4上，方程

f(x)=區(qū)有三個不同的實根，則實數(shù)%的取值范圍是()

4"|

A.-41n4,—B.［Tln4,-ln4］

4一

C.--,-ln4D.--,-ln4

e

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意求出“X)的解析式，再畫出圖形，轉化成“X)與產(chǎn)行的交點問題即可

得出答案.

【詳解】由題意得，當時，/(X)=lnx

當xe(l,4］時，1),所以/(x)=4/(L)=41nL=-41nx

X4\XyX

~11....huje—,1

即在-,4上，方程〃x)=依有三個不同的實根等價與函數(shù)〃x)=14」與函數(shù)

-41nx,xe(l,4］

)二丘的圖像有三個交點，函數(shù)圖像如下

由圖像可得，當直線產(chǎn)區(qū)過點M時，直線產(chǎn)區(qū)與/(x)=Tlnx,xe(l,4］恰有兩個交點,

此時％=-ln4

當直線產(chǎn)履與/(x)=-41nx,xw(l,4］相切時，設切點為(天,-41nxJ

44

則切線斜率為￡>=/(*))=-—,所以切線方程為y+41n%=~(x-x0)

工0xo

因為該切線過原點，所以41nxo=4=/=e

此時亳=二4

e

所以當-±<kWTn4時，直線產(chǎn)履與/(另=-4111m工€(1,4］恰有兩個交點，

e

又當直線產(chǎn)履過點時，k=-41n4<-g

即直線產(chǎn)履與/(x)=Tlnx,x?l,4］恰有交點時，必與〃x)=lnx,xe有交點，綜上

ke——,-ln4.

ke.

故選:D.

16.已知4=等，b=B,C=則()

32/r96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

【正確答案】B

【分析】由題可得b<與,c>￡然后構造函數(shù)〃》)=吧”(0,父，利用導

666X\2.J

數(shù)研究函數(shù)的單調性即得.

【詳解】vsin1sin5石b=￡B,c=土土昱=土工皂>皂,

a=-r<-T-=-r2萬6969366

/.c>a,c>b,

對于函數(shù)〃X)=浮,xd0，￡|,人)-「

令g(x)=xcosx-sinx,I,則r(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,

.?.g(x)在(o,9上單調遞減，

.?.g(x)<g(O)=O,即廣(力<0,〃x)在(0e)上單調遞減，

.71

/\sin—

???川)>/［卦即sinl>-^

3

sinly/3

a=---->b=—,

32冗

c>a>b.

故選：B.

二、多選題

17.在等差數(shù)列｛q｝中，已知為=10,%=-6,5"是其前"項和，貝IJ().

A.0-)=2B.S=54C.d——2D.-->—

lo78

【正確答案】ACD

根據(jù)己知條件得出q、d的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式與求和公

式可判斷各選項的正誤.

[%=q+2d=10[a.=14

【詳解】由已知條件得31「，解得】?

必1=4+10。=-6=-2

對于A選項，%=4+6d=14-6x2=2,A選項正確；

10x9

對于B選項，S|o=lOq+—--d=140-90=50,B選項錯誤；

對于C選項，d=-2,C選項正確；

對于D選項，與二勺-；21"=>+34=]4—3x2=8,

So84+2847.7bi/SS8TH-T*必

-4=———=a,+-4/=14--x2=7,所以，7譚，D選項正確.

oo227o

故選：ACD.

18.下列結論錯誤的是（）

A.過點A（l,3）,B（-3,l）的直線的傾斜角為30。

2

B.若直線2x-3y+6=0與直線ox+y+2=0垂直，則“=

C.直線x+2y-4=0與直線2x+4y+l=0之間的反巨離是亞

2

D.已知A（2,3）,3（-1,1）,點P在x軸上，則|必|+|冏的最小值是5

【正確答案】ABC

【分析】由斜率公式求出直線AB的斜率即可判斷A,

根據(jù)兩條直線垂直求出“，進而判斷B,

利用平行線間的距離公式即可求出答案，進而判斷C,

作B關于x軸的對稱點C,進而利用對稱性得到答案，進而判斷D.

3-1]

【詳解】對A,—=-^tan30°,故A錯誤；

3

對B,若兩條直線垂直，則24-3=0,得。=]，故錯誤；

對C,直線x+2y-4=0可化為2x+4y—8=0,則兩條直線間的距離“=42鼻=黑1,

V22+4210

故C錯誤；

對D,如圖，設點8關于x軸的對稱點為C（-1,-1）,

貝++當且僅當A,P,C三點共線時取“="，故D正

確.

故選：ABC.

22

19.已知橢圓工+[=1(0<6<2)的左，右焦點分別為耳,寫，過點”的直線/交橢圓于A和

4b“

B兩點，若|A段+忸段的最大值為5,則下列說法中正確的是()

A.橢圓的短軸長為4石

B.當|A段+忸閭最大時，|你|=|明|

C.橢圓的離心率為g

D.|A四的最小值為3

【正確答案】BCD

【分析】通過橢圓的定義得到|他|+|朋|+|朋=4a=8,即|你|+忸聞=8-|AB|,進而判

段當AB/x軸時，|川?|最小，此時8TAM最大，求出匕=6，c=l,即可對選項一一進行

判定得出答案.

【詳解】由題意可得：。=2,

根據(jù)橢圓定義可得|A用+忸閭+|45|=%=8,

|A周+忸周的最大值為5,

??.8-|明的最大值為5,

根據(jù)橢圓性質，當軸時，|AB|最小，此時8-|A5|最大，

此時直線/的方程為x=-c

22i2

將丫=-，代入橢圓方程得：（+馬=1,BPy=±y,則|陰"2=3,則6=百，c=l,

則對于選項A：短軸長為2?,故選項A錯誤；

對于選項B：當|A局+|明|最大時，|伍|=忸段,故選項B正確；

對于選項C：e，=g,故選項C正確；

a2

對于選項D：8TA同最大值為5,則|AB|的最小值為3,故選項D正確；

綜上所述，選項BCD正確，

故選：BCD.

20.如圖直角梯形ABC。，AB//CD,AB1BC,BC=CD=-AB=2.E為43的中點,

2

以OE為折痕把ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC=2G，則（）

A.平面夕￡）E_L平面EBCO

B.PCLED

TT

C.二面角P—OC—3的大小工

4

D.PC與平面尸￡D所成角的正切值為0

【正確答案】AC

【分析】A選項中，利用折前折后不變的量及勾股定理的逆定理，可證線線垂直，從而證得

線面垂直，進而證明面面垂直；

B選項中，先假設PCLED,從而證得再根據(jù)-4出不是直角即可推出矛盾，從而

得出結論；

C選項中，利用定義找出二面角尸-DC-8的平面角,從而求其值，即可得出結論；

D選項中，利用線面所成角的定義得出PC與平面FED所成角為NCPD,計算其正切值即可.

【詳解】A選項中，PD=A￡>=亞萬'=2四,在△POC中,

PD2+CD2=PC2,PCLCD,易知CE>J_DE,且POIDE=D,

\8八平面PED,CDu平面EBCD,：.平面_L平面E8C￡>,故A選項正確；

B選項中，先假設PCLED,易知E￡>，CD,尸CcC￡>=C，可得ED,平面尸DC,則PDYED,

JT

而NAOE=NEDP=r，顯然矛盾，故B選項錯誤；

C選項中，易知二面角尸-。C-B的平面角為ZPDE,根據(jù)折疊前后位于同一平面上的線線位

置關系不變知2%汨=/">￡=￡,故?選項正確；

D選項中，由上面的分析知，NCPD為PC與平面PED所成角，在HfVPCD中，

tanACPD=0=也，故D選項錯誤；

PD2

故選:AC

21.若函數(shù)〃力=2/—4加+1在區(qū)間（4—3,4）上不單調，則實數(shù)。的值可能是（）

A.2B.3C.2月D.4

【正確答案】BC

【分析】利用導函數(shù)判斷了（x）的單調區(qū)間進行求解即可.

【詳解】“X）的定義域為（0,+8）,所以aN3,A錯誤；

由題意可得:（x）=4x-q,令/'（x）=0解得x=也，

x2

所以當0<尤<乎時，r（x）<o,/（X）單調遞減，

當X>*時，/V）>01/（X）單調遞增，

因為“X）在區(qū)間（4-3,a）上不單調，所以,44-3,4）,即%（6-6。+9,明，

3

選項B：當。=3時，j?0,9）,正確；

選項C：當“=2百時，a2-6a+9=21-\2y[3=―,

21+12V3182

所以日€（21-126,12）,正確；

選項D：當a=4時，1任（1,16）,錯誤；

故選：BC

22.已知（l+x）6=%+q（x—1）+生（x—1T++4（犬_球，則下列說法正確的有（）

A.%=64

B.4+24+3%+44+545+64=18

C.4+出+/+4=365

D.%+2q+4a2+8%+16a4+32%+64tz6=2”

【正確答案】ACD

【分析】由賦值法以及求導運算依次判斷即可.

【詳解】對于A,令x=l可得%=26=64,A正確；

對于B,對(1+工)6=%+4(%一1)+〃2(工一1)2++&(工一1)6兩邊求導得

6(1+x)5=4+2%(x-l)++6〃6(工-1丫，

令x=2可得q+2a2+3%+4/+5%+64=6x35H18,B錯誤；

對于C,令x=0得。0-4+。2-。3+。4一。5+“6=1，令X=2得

4+4+。2+。3+。4+“5+。6=36=729,

兩式相加得2(4)+。2+4+4)=730,則4+。2+4+。6=365,C正確；

對于D,令x=3可得。o+24+44+8%+16%+32%+64%=4‘=2口，D正確.

故選：ACD.

23.己知數(shù)列｛q｝中，4嗎嗎9成等差數(shù)列，且3q-%+%+l=腔”""?若為＜°，則下列

說法正確的是()

A.圖＞同B.同＜同

C.闖＞同D.同＜㈤

【正確答案】AD

【分析】首先設/(x)=e、—x—1,利用導數(shù)求出〃力而小"0)=0,從而得到e-x+1在R

上恒成立，即可得到3q-4+4+1=e…%＞a2+a3-a4+l,化簡得到＞0,d＜0,再依

次判斷選項即可得到答案.

【詳解】設〃x)=e'-x—l,則/'(x)=e，—l,令7(x)=0,解得x=0.

當x?F,O)時，r(x)<0,〃x)為減函數(shù)，

當x?O,z。)時，/^x)>0,/(x)為增函數(shù).

所以“力由=f(0)=。，即e'2x+1在R上恒成立.

所以3q一4+4+1=物+"廠。4之外-%+1，即34-2a2+&NO.

所以3。］一2(4+d)+4+3J>0,即2q+d20,a}+a2>G.

因為％<0,所以q>0,d<0.

若4+4=0,貝！Jd=-24.

根據(jù)V，之出+%-%+1得到因為2%+1,當且僅當q=。時等號成立.

當q=0時，%=。，與已知條件生<。矛盾，4+%=。不成立.

所以q>0,生<0,又因為4+%>0,所以同>|聞，故A正確，B錯誤.

因為4>0,d<(),a2<0,所以4</<。，即|勾<|%］，故C錯誤，D正確.

故選：AD

24.已知函數(shù)〃x)=hu—^(aeR),則下列說法正確的是()

A.當時，函數(shù)/(x)恰有兩個零點

B.當”>(時，不等式/(“<0對任意x>0恒成立

C.若函數(shù)/(x)有兩個零點則占*2>e

D.當a=0時，若不等式e'-/(儂)“巾-l)x對xe(O,+a))恒成立，則實數(shù)用的取值范圍為

(0,e］

【正確答案】BCD

【分析】選項A分離參數(shù)，構造函數(shù)，求導，根據(jù)導數(shù)與單調性的關系，結合題意判斷即

可，選項B由選項A可知，當時，由。>整，整理可得/(力<0,對任意x>0恒成

立，選項C利用對數(shù)運算，換元，構造新函數(shù)，對新函數(shù)求導，利用分析法證明即可，選

項D,不等式變形得到，依+ln,nr4e，+lne，，令8(x)=x+lnx,根據(jù)函數(shù)單調性，將問題

轉化為切4厘，利用函數(shù)導數(shù)求Mx)=的最小值即可.

XX

【詳解】選項A,由x>0,令/(x)=lrir-ar=0=>〃=^-,

設8(力=竽

l-21nx

則g'(x)="…

令g'(x)=--^=0=>x=^,

當0cxe五時，g'(x)>。，當x>五時，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,五)上單調遞減，在(五+8)上單調遞增,

所以g(x)a=g(五)=*,

當x=l時，g(l)=罕=0,

所以當x<l,g(x)<0,當x->+8,g(x)f0,

所以g(x)的圖形如圖所示:

由圖可知，函數(shù)/(x)恰有兩個零點時，

即尸。與),=與有兩個不同的交點，此時0<“<，

x2e

故A不正確，

選項B,由選項A,=

x~2e

當〃>上時，a><=>ax2>lnx<^>Inx-^/x2<0,

2ed

即〃x)<0對任意x>0恒成立，故B正確，

選項C,由函數(shù)/(x)有兩個零點

即內(nèi)，工2為方程111%-以2=0的兩根,

BPInx=ax2<=>21nx=lax1=Inx2=2ax2,

\nx-2ax^,令：二片由=考,且；>t,

所以t2

Inx2=2ax?

Int=2ah

則l

]nt2=2at2

所以2〃=蹩二步

,1-2

欲證x/2>e,即證科>e?,

即證明ln%+lnf2>2,

只需證明ln《+Inq=2a[+f?)=0+q)?,

只需證明如「Inf?〉也11

6+12

(\

2J

即ln4>—/)

t

2ITT

t2

設機=}>1,

*2

則Inin>---------,m>1,

/n+1

令F(x)=Intn--、]，("?>1),

、12(6+1)-2(機-1)14

所以小)二T一

mzn+1)2

4m(加一八

~=2>°,

加("？+1)~〃？(/7?+1)-〃？(/%+1)-

所以尸(x)在上為增函數(shù),

又F(1)=O,所以尸(%)>尸(1)=0,

綜上所述，原不等式成立，故%*2>e,

故C正確,

選項D,當a=0時，/(x)=lnx,

則不等式e'-/(/nr)N(租-l)x對xe(0,+<?)恒成立,

即ev-lnnvc>(fn-l)x=i?vc-x,

HPev+x>In/nr+mr,

即eA+Inev>In/nr+/nr?

令姒x)=x+lnx,當x>0時，夕(x)單調遞增，

所以e"+InevNInmx+mxo°(e')>(p^tnx),

所以3Ke'=>mKJ對任意x>0恒成立，

x

即求力(司=?在(O,+8)上的最小值，

由〃(力=上聲=巴？1,

當0<x<l時，〃'(x)<0,當在x>l時，h'(x)>0,

所以〃(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,田)上單調遞增,

所以〃(x)mn=秋l)=e，

由er+x2In)nx+mx,得fnx>0,而x>0,

所以，”>o,所以加的取值范圍是：(o,e],

故選：BCD.

三、填空題

25.若無)，則與向量〃反方向的單位向量的坐標為.

【正確答案】

\/

【分析】先求出與向量〃同向的單位向量，在反方向的單位向量即可.

【詳解】a=(l,-l,x/2),

二忖=^12+(-1)2+(72)-=2

a__f2」正)

則與向量a反方向的單位向量的坐標為-；，；，

故答案為.

26.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線

段A8的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為.

【正確答案】4-1

y2=2px

【詳解】試題分析：由｛y1-2py-p2=0+y=2p=4;./?=2,準線下—1

v=x--p2

2

拋物線方程及性質

27.已知數(shù)列｛4｝滿足am=4+i-4!("eN")，且q=2,%=3，則。20”的值為.

【正確答案】2

【分析】首先判斷數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求物)23.

【詳解】由題意得，a3=a2-at=1,<z4=a)-a2=-2,%=q-%=-3,a6=a5-a4=-\,

%=4_%=2,%=%一/=3

.??數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列,

a2023=46*337+1=4=2?

故2.

22

28.已知直線y=r+l與橢圓］+g=l(a>b>0)相交于A,B兩點，且04,08(。為

燈

坐標原點)，若橢圓的離心率ew,則。的最大值為.

【正確答案】叵

2

【分析】將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，求得

2/=l+—L丁，由離心率的取值范圍，即可求得。的最大值.

\-e~

【詳解】解：設4&2),8(孫必),

y=-x+l

由,y2,消去y,可得+力2卜2_勿2尤+々2=0,

b+p-=1

.?.貝I]+_2/_6Z-（1-/?-）

222

由△=（-2?）-4a,2+"）（1_"）>0,整理得a2+b2>1

二X%=（F+1）（F+1）=3-（％+々）+1.

OAA.OB（其中。為坐標原點），可得0408=0，

/.xxx2+y}y2=0,即x]x2+（—%+1）（一赴+1）=0,化簡得2x1x2-（^+/）+1=0.

-2,￡（L±）__至_+1=（）.整理得/+/一2。2〃=0.

a2+b2a2+b2

,b2=a2-c2a2-a2e2

...代入上式,化簡得"=1+占

211+占

才=一

2

-平方得*20

1341

:《1-/W：,可得彳4r44,

4431-e2

因此7:<2/=1+丁1可7得/的5最大值為：5，

3i-e622

滿足條件

.?.當橢圓的離心率e=正時，。的最大值為巫.

22

故答案為.叵

2

本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考

查計算能力，屬于中檔題.

29.已知函數(shù)/(x)=d,則過(1,1)的切線方程為

31

【正確答案】y=3x-2^y=-x+-

44

【詳解】由函數(shù)/a)=v，則尸(耳=3/,

當點（1,1）為切點時，則:⑴=3,即切線的斜率％=3,

所以切線的方程為y-l=3（x-l）,即y=3x-2,

當點（1,1）不是切點時，設切點「例加），則k=3〃?2=史二1,即2/_,"_i=o,

I3

解得〃?=-]或a=1（舍去），所以

所以切線的方程為即產(chǎn)

30.已知函數(shù)/（x）=gx3+2x-〃z+W（〃?>0）是口,+8）上的單調遞增函數(shù).當實數(shù)加取最大值

時，若存在點尸，使得過點尸的直線與曲線y=〃x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形

的面積總相等，則點P的坐標為.

【正確答案】（0,-3）

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出加的最大值，結合過點尸的直

線與曲線y=/（x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，判斷函數(shù)的對稱性

進行求解即可.

【詳解】由“》）=$3+2）一”+三，

得尸（x）=/+2-?,

“X）是[1,一）上的增函數(shù)，

???尸（萬）20在[1,”）上恒成立，

即：*2+2-?20在口,”0）上恒成立.

設/=[,xe[l,+a?）,A?€[1,+<?）,

設y=，+2-/,/e[l,+oo）,

y=i+^>o,

函數(shù)y=f+2-1在[,日）單調遞增，

'min=3_/n.

Win即3-機2。，m<3,

又m>0,0<m<3.

m的最大值為3.

i3

故得+2x-3+?xe（-<?,0）U（0,+8）.

將函數(shù)/（x）的圖像向上平移3個長度單位，

所得圖像相應的函數(shù)解析式為：

I3

x3+2x+—,XG（-OO,0）（0,+oo）,

由于9（一力=一研力，

夕（X）為奇函數(shù),

故夕（X）的圖像關于原點對稱,

由此即得函數(shù)“X）的圖像關于尸（（）,-3）成中心對稱.

這表明存在點P（o,-3）,使得過點P的直線與曲線y=〃x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封

閉圖形的面積總相等.

故答案為.（0,-3）

31.“牛頓迭代法”是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法.如圖，設,是/（x）=o的

根，選?。プ鳛?，?初始近似值，過點（七,/（毛））作y=/（x）的切線/,/與X軸的交點橫坐標為

芭=%一咎&（7'（與上0）,稱王是r的一次近似值；過點（知/（'））作y=的切線,

=%一^^（廣（演）*o），稱々是『的二次近似值;

則該切線與X軸的交點的橫坐標為W

X”一■，（'1.己知函數(shù)

重復以上過程，得到r的近似值序列｛%?｝為“牛頓數(shù)列”，即x向

fM

x+2

/（X）=2X2-8,數(shù)列優(yōu)｝為“牛頓數(shù)列”，設a“=ln」r，且q=1,七>2.數(shù)列｛叫的前〃項

X〃一2

和S〃—.

【正確答案】2n-l##-l+2"

再計算表|得至1=（笠|）2’左右兩邊同時取對

【分析】求出/（X）代入x的計算,

數(shù)得到，==2%,即｛%｝是等比數(shù)列，進而求得｛”“｝的前〃項和S”.

【詳解】=

f'(x)=4x,

.x-/Uy2」-8"+4

‘…"/區(qū))"4x?2x.’

X+2

:.3+2=2居=4+4%+4=(x“+2f=居+2猿

22

'?加-2y+42X?-4X?+4(X?-2)xn-2

2x,,一

又Yxn>2

In=in(^t2)2=21n^