新高考一輪復(fù)習導(dǎo)學(xué)案第38講 復(fù)數(shù)（解析版）

第38講復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的意義：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1，a叫做實部，b叫做虛部，復(fù)數(shù)集記作C，數(shù)集N、Z、Q、R、C的關(guān)系(2)復(fù)數(shù)的模：z＝a＋bi，|z|＝eq\r(a2＋b2)．(3)復(fù)數(shù)相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，則a1＝a2，b1＝b2．(4)共軛復(fù)數(shù)：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z與z－互為共軛復(fù)數(shù)．2、復(fù)數(shù)的四則運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．3、復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的概念：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．(2)實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．4、復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系．1、【2022年全國甲卷】若z=1+i．則|A．45 B．42 C．2【答案】D【解析】因為z=1+i，所以iz+3z故選：D.

2、【2022年全國甲卷】若z=?1+3i，則A．?1+3i B．?1?3i【答案】C【解析】zz故選：C

3、【2022年全國乙卷】設(shè)(1+2i)a+b=2iA．a(chǎn)=1,b=?1 B．a(chǎn)=1,b=1 C．a(chǎn)=?1,b=1 D．a(chǎn)=?1,b=?1【答案】A【解析】因為a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以故選：A.

4、【2022年全國乙卷】已知z=1?2i，且z+az+b=0，其中aA．a(chǎn)=1,b=?2 B．a(chǎn)=?1,b=2 C．a(chǎn)=1,b=2 D．a(chǎn)=?1,b=?2【答案】A【解析】z由z+az+b=0,得1+a+b=0故選:A

5、【2022年新高考1卷】若i(1?z)=1，則z+A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】D【解析】由題設(shè)有1?z=1i=ii故選：D

6、【2022年新高考2卷】(2+2iA．?2+4i B．?2?4i C．6+2【答案】D【解析】(2+2i故選：D.7、（2021·全國高三專題練習（理））已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，且SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)點的軌跡方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)點的軌跡方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C．8、（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標全國Ⅰ卷））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.0 D.1【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：A．9、（2023年全國新高考Ⅱ卷）在復(fù)平面內(nèi)，SKIPIF1<0對應(yīng)的點位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，位于第一象限.故選：A.1、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（其中i為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，又因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：A2、（2022·河北張家口·高三期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，故選：A.3、（2022·山東棗莊·高三期末）已知SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0（）．A．1 B．SKIPIF1<0 C．I D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B.4、（2022·山東德州·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點坐標為SKIPIF1<0，在第一象限.故選：A5、（2022·山東臨沂·高三期末）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1、已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，試求實數(shù)m分別取什么值時，z分別為：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．【解析】：(1)當z為實數(shù)時，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－5m－6＝0，,m2－1≠0.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1或m＝6，,m≠±1，))所以m＝6，即m＝6時，z為實數(shù)．(2)當z為虛數(shù)時，則有m2－5m－6≠0且eq\f(m2－7m＋6,m2－1)有意義，所以m≠－1且m≠6且m≠1．∴m≠±1且m≠6．所以當m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)時，z為虛數(shù)．(3)當z為純虛數(shù)時，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－5m－6≠0，,\f(m2－7m＋6,m2－1)＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠－1且m≠6，,m＝6且m≠±1.))故不存在實數(shù)m使z為純虛數(shù)．變式1、（1）（2022·廣東潮州·高三期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，則z的虛部為（）A．0 B．－1 C．－i D．1【答案】B【解析】SKIPIF1<0.則z的虛部為－1.故選：B.（2）（2022·山東淄博·高三期末）已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，SKIPIF1<0是實數(shù)，則SKIPIF1<0（）A．－SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．－2SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是實數(shù)，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B（3）（2022·江蘇常州·高三期末）SKIPIF1<0是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足等式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的模SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0變式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多選題）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0是z的共扼復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】解：對于A選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；對于B選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故錯誤；對于C選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故正確；對于D選項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故錯誤.故選：AC方法總結(jié)：(1)解決復(fù)數(shù)問題，首先要看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．(2)對于復(fù)數(shù)的分類問題，可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組．特別要注意：純虛數(shù)的充要條件是：a＝0且b≠0.考向二復(fù)數(shù)的運算例2、（1）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的實部為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：B.（2）SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0.故選：A．（3）已知i是虛數(shù)單位，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題可知：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：D變式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0.故選：B（2）（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2i B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B方法總結(jié)：(1)要熟練掌握復(fù)數(shù)的乘法、除法的運算法則．(2)遇到復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先設(shè)z＝a＋bi，再通過四則運算，計算出a，b的值．考向三復(fù)數(shù)的幾何意義例3、(1)已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為____【答案】eq\r(3)【解析】∵|z－2|＝eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).變式1、設(shè)復(fù)數(shù)z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R對應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→)).(1)若eq\o(OZ,\s\up6(→))的終點Z在虛軸上，求實數(shù)m及|eq\o(OZ,\s\up6(→))|的值；(2)若eq\o(OZ,\s\up6(→))的終點Z在第二象限內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由題意，得log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－3>0，,m－2>0，))所以m＝4，此時z＝i，eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，1)，|eq\o(OZ,\s\up6(→))|＝1.(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(m2－3m－3)<0，,log2(m－2)>0，,m2－3m－3>0，,m－2>0，))解得eq\f(3＋\r(21),2)<m<4，所以實數(shù)m的取值范圍是（eq\f(3＋\r(21),2)，4）.變式2、（2021·陜西西安市·西安中學(xué)高三月考（文））已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為虛數(shù)單位SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列結(jié)論不正確的是（）A．SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】D【解析】A：因為復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為虛數(shù)單位SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0，因此本選項結(jié)論正確；B：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此本選項結(jié)論正確；C，D：設(shè)SKIPIF1<0，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離為1，因此點SKIPIF1<0是在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，SKIPIF1<0表示圓SKIPIF1<0上的點到SKIPIF1<0點距離，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以選項C的結(jié)論正確，選項D的結(jié)論不正確，故選：D方法總結(jié)：準確理解復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．(3)進行簡單的復(fù)數(shù)運算，將復(fù)數(shù)化為標準的代數(shù)形式；(4)把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面上的點(a，b)一一對應(yīng)．1、（2022·江蘇海安·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2＋3i（i為虛數(shù)單位），則z＝（）A．－SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0i B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0iC．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0i D．－SKIPIF1<0－SKIPIF1<0i【答案】A【解析】∵(1－i)z＝2＋3i,∴SKIPIF1<0.故選：A.2、（2022·江蘇如東·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿足SKIPIF1<0，則z＝（）A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：C.3、（2022·江蘇蘇州·高三期末）設(shè)SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是純虛數(shù)，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0為純虛數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選:A．4、（2022·江蘇無錫·高三期末）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0）為純虛數(shù)，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0為純虛數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：C.5、（2022·廣東東莞·高三期末）已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】對于A：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以A正確；對于B：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以B正確；對于C：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以C正確；對于D：如下圖所示，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以D錯誤.故選：ABC6、（2022·江蘇蘇州·高三期末）（多選題）下列命題正確的是（）A．若SKIPIF1<0為復(fù)數(shù)，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0為向量，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為復(fù)數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1