人教a版高中數(shù)學必修1《函數(shù)的概念》知識梳理及典例分析

函數(shù)的概念※知識梳理1.函數(shù)的概念：設(shè)A，B是非空的_____，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的________數(shù)x，在集合B中都有________的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做______，x的取值范圍A叫做函數(shù)y＝f(x)的______；與x的值相對應(yīng)的y值叫做_____，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)y＝f(x)的______，則值域是集合B的____．2．常見函數(shù)的定義域和值域數(shù)函數(shù)關(guān)系式圖象定義域值域反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)3．相等函數(shù)：一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，其中值域是由______和________決定的．如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且________完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等．(1)只要兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則相同，其值域就________．故判斷兩個函數(shù)是否相等時，一看定義域，二看對應(yīng)法則．如y＝1與y＝eq\f(x,x)不是相等函數(shù)，因為____________．y＝3t＋4與y＝3x＋4是相等函數(shù)．(2)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．4．區(qū)間與無窮大：（1）區(qū)間的幾何表示定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點．（2）實數(shù)集R的區(qū)間表示：實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為____________，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．（3）無窮大的幾何表示定義符號數(shù)軸表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)※典例分析【題型一】函數(shù)的基本概念【例1】1.如圖所示，能夠作為函數(shù)y＝f(x)的圖象的有________．[答案]①⑤解：根據(jù)函數(shù)的定義，一個函數(shù)圖象與垂直于x軸的直線最多有一個交點，這是通過圖象判斷其是否構(gòu)成函數(shù)的基本方法.2.下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是()A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A={(x，y)|x，y∈R}，對任意的(x，y)∈A，(x,y)→x+y.C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：答案：D3.下列各對函數(shù)中，是相等函數(shù)的序號是________.①f(x)＝x＋1與g(x)＝x＋x0②f(x)＝與g(x)＝|2x＋1|③f(n)＝2n＋1(n∈Z)與g(n)＝2n－1(n∈Z)④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2⑤y＝x－1與y＝eq\f(x2－1,x＋1)[答案]②④4.已知一個函數(shù)的解析式為2，它的值域為{1，4}，這樣的函數(shù)有個.[答案]9[解析]列舉法:定義域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【課堂練習1】1.下列對應(yīng)是否為A到B的函數(shù)：=1\*GB3①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.答：(1)①③不是②④是2.以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？為什么？(1)f1：y＝eq\f(x,x)；f2：y＝1.(2)f1：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))f2：xx≤11<x<2x≥2y123(3)f1：y＝2x；f2：如圖所示．【解】(1)不同函數(shù)．f1(x)的定義域為{x∈R|x≠0}，f2(x)的定義域為R.(2)同一函數(shù)，x與y的對應(yīng)關(guān)系完全相同且定義域相同，它們是同一函數(shù)的不同表示方式．(3)同一函數(shù)．理由同(2)．【題型二】求函數(shù)定義域【例2】1.求下列函數(shù)的定義域：①y＝eq\r(4－x)；②y＝eq\f(1,|x|－x)；③y＝eq\r(5－x)＋eq\r(x－1)－eq\f(1,x2－9).[解析](1)①4－x≥0，即x≤4，故函數(shù)的定義域為{x|x≤4}．②分母|x|－x≠0，即|x|≠x，所以x＜0.故函數(shù)的定義域為{x|x＜0}．③解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3.))故函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5且x≠3}．【課堂練習2】1.將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．解：設(shè)矩形一邊長為x，則另一邊長為eq\f(1,2)(a－2x)，所以y＝x·eq\f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq\f(1,2)ax，定義域為(0，eq\f(a,2))．2.（2016年高考江蘇卷）函數(shù)y=的定義域是.【答案】3.若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是.4.已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是.【題型三】復合函數(shù)的定義域【例3】1.已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1，0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為()A.(－1,1)B.C.(－1,0)D.解析：由題意知－1<2x＋1<0，則－1<x<－eq\f(1,2).答案：B2.已知f(x2－1)的定義域為[0，3]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為__________．解析：∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，∴－1≤x2－1≤8，∴函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－1，8]．【課堂練習3】1.已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(0，1)，則f(x)的定義域是______________．[解析]因為f(2x＋1)的定義域為(0，1)，即其中的函數(shù)自變量x的取值范圍是0<x<1，令t＝2x＋1，所以1<t<3，所以f(t)的定義域為{t|1<t<3}，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|1<x<3}．2.已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，求g(x)=f(2x)＋f(x＋eq\f(2,3))的定義域；解：解不等式組，∴g(x)的定義域是[0,].【題型四】求函數(shù)的解析式【例4】1.已知f(x)＝，求f(2x＋1)；解析：f(2x＋1)＝.2.f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x).求f(x)的解析式；解：方法一：設(shè)u＝eq\r(x)＋1，則eq\r(x)＝u－1(u≥1)，∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二：∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x)＋1)2－1，由于x≥0，所以eq\r(x)＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)3.y＝f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝9x＋8，求f(x)的解析式；解：由條件可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f[f(x)]＝9x＋8，∴有a(ax＋b)＋b＝9x＋8.比較系數(shù)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－4.))故f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4，4.f(x)＝2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)－1，求f(x)的解析式；解：在f(x)＝2f(eq\f(1,x))eq\r(x)－1中，用eq\f(1,x)代替x，得f(eq\f(1,x))＝2f(x)eq\f(1,\r(x))－1，將f(eq\f(1,x))＝－1代入f(x)＝2f(eq\f(1,x))eq\r(x)－1中，可求得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).(x>0)5.f(0)＝1，并且對任意實數(shù)x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式.解：令x=0,y=-x,則f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+課堂小結(jié)：函數(shù)解析式的求法：(1)湊配法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；(3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f(eq\f(1,x))或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．（5）賦值法：賦x,y特殊值，適用于解抽象函數(shù)?！菊n堂練習4】1.已知＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)的解析式；解：由于＝x2＋eq\f(1,x2)＝－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.2.如果f()＝，求f(x)的解析式.解：令eq\f(2,x)＋1＝t，由于x0，所以t1且x＝eq\f(2,t－1)，所以f(t)＝eq\f(2,t－1)，即f(x)＝eq\f(2,x－1)(x1)．3.若f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________．解：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－x＋3.4.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝eq\f(1,x)，求f(x)的解析式．解：∵2f(x)－f(－x)＝eq\f(1,x)，①將x用－x代替得2f(－x)－f(x)＝－eq\f(1,x)，②由①②消去f(－x)得f(x)＝eq\f(1,3x).※家庭作業(yè)1．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列圖形中能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是()[答案]B[解析]A、C、D的值域都不是[1,2]，故選B.2．給出下列從A到B的對應(yīng)：①A＝N，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系是：A中的元素除以2所得的余數(shù)②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，對應(yīng)關(guān)系是f：x→y＝x2③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，eq\f(1,2)}，對應(yīng)關(guān)系是f：x→y＝eq\f(1,x)其中表示從集合A到集合B的函數(shù)有()個.A．1 B．2C．3 D．0[答案]B[解析]由于③中，0這個元素在B中無對應(yīng)元素，故不是函數(shù)，因此選B.3．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示從A到B的函數(shù)是()A．f︰x→y＝eq\f(1,2)x B．f︰x→y＝eq\f(1,3)xC．f︰x→y＝eq\f(2,3)x D．f︰x→y＝eq\r(x)[答案]C[解析]對于選項C，當x＝4時，y＝eq\f(8,3)＞2不合題意．故選C.4.f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(x,1－x)的定義域是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案]D[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0,1－x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x≠1，))故定義域為[－1,1)∪(1，＋∞)，選D.5.若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1，2015]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x＋1）,x－1)的定義域是()A．[0，2014] B．[0，1)∪(1，2014]C．(1，2015] D．[－1，1)∪(1，2014]解析要使函數(shù)f(x＋1)有意義，則有1≤x＋1≤2015，解得0≤x≤2014，故函數(shù)f(x＋1)的定義域為[0，2014]．所以使函數(shù)g(x)有意義的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2014，,x－1≠0，))解得0≤x＜1或1＜x≤2014.故函數(shù)g(x)的定義域為[0，1)∪(1，2014]，故選B.6．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x解析：選B.用待定系數(shù)法，設(shè)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1,a－b＋c＝5，,c＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝－2，,c＝0))∴g(x)＝3x2－2x.7．下列函數(shù)中，不滿足：f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x[答案]C[解析]f(x)＝kx與f(x)＝k|x|均滿足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D滿足條件．8.若函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域為R，則a的取值范圍為__________．解析：因為函數(shù)f(x)的定義域為R，所以2x2＋2ax－a－1≥0對x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0]9.已知函數(shù)f(3－2x)的定義域為[－1,2]，則f(x)的定義域為．解：用換元思想，令3－2x＝t，f(t)的定義域即為f(x)的定義域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定義域為[－1,5]．10．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，則a＝________．[解析]令2x＋1＝a，則x＝eq\f(a－1,2)，則f(2x＋1)＝3x－4可化為f(a)＝eq\f(3（a－1）,2)－4，因為f(a)＝4，所以eq\f(3（a－1）,2)－4＝4，解得a＝eq\f(19,3).[答案]eq\f(19,3)11.已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________．解：∵2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①把①中的x換成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x).②①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．12.下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是.(填序號)①，；②，；③，；④，.答案：③13．求下列函數(shù)的定義域，并用區(qū)間表示：(1)y＝－eq