2022屆四川省重點中學高三第二次調研數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．2．若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．3．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．4．已知橢圓的焦點分別為，，其中焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．6．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．7．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．68．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．9．已知是雙曲線的左、右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調遞增，則（）A． B．C． D．11．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．1412．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團活動），排課要求為：語文、數(shù)學、外語、物理、化學各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié).若數(shù)學必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有__________種.14．已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足，且，，，存在，對于任意的實數(shù)，不等式，則實數(shù)的取值范圍是______.15．若關于的不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____16．已知拋物線的焦點為，其準線與坐標軸交于點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，.函數(shù)的導函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.18．（12分）已知的內角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若的面積為，求的周長的最小值.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：（）的焦點F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準線于D，E兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點，證明：.20．（12分）設等差數(shù)列的首項為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項為0，公差為b，.由數(shù)列和構造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設，，請計算，，；（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設，，對于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.21．（12分）已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是1．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項和,求使成立的正整數(shù)的值．22．（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設，，則.因為平面，平面，所以.又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因為，當且僅當，時等號成立，所以.故選：C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想，涉及線面垂直的判定和性質，屬中檔題.2．C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間，上，，，則當最大時，，求得，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．3．B【解析】

作出圖形，設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導出，由線面平行的性質定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結合中位線的性質可求得的值.【詳解】如下圖所示：設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質的應用，解答的關鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4．B【解析】

根據(jù)題意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【詳解】易知，且故有，則故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、拋物線的幾何性質，考查了學生的計算能力，屬于中檔題5．A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.6．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎題.7．D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．8．D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.9．B【解析】

先利用對稱得，根據(jù)可得，由幾何性質可得，即，從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：為的中點，且，所以，因為，所以，故而由幾何性質可得，即，故漸近線方程為，故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出是解題的關鍵，屬于中檔題.10．C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，，又由，結合函數(shù)的單調性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，有，又由在上單調遞增，則有，故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，注意函數(shù)奇偶性的應用，屬于基礎題．11．A【解析】

設等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.12．D【解析】

由已知可得，結合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1344【解析】

分四種情況討論即可【詳解】解：數(shù)學排在第一節(jié)時有：數(shù)學排在第二節(jié)時有：數(shù)學排在第三節(jié)時有：數(shù)學排在第四節(jié)時有：所以共有1344種故答案為：1344【點睛】考查排列、組合的應用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎題.14．【解析】

由題意可設，，，由向量的坐標運算，以及恒成立思想可設，的最小值即為點，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設，，，，可得，可得的終點均在直線上，由于為任意實數(shù)，可得時，的最小值即為點到直線的距離，可得，對于任意的實數(shù)，不等式，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．15．【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調性，將不等式去掉對數(shù)符號，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉化成求構造函數(shù)最值問題，進而求得的取值范圍?！驹斀狻坑傻?，兩邊同除以，得到，，，設，，由函數(shù)在上遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍是。【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。16．【解析】

求出拋物線焦點坐標，由，結合向量的坐標運算得，直線方程為，代入拋物線方程后應用韋達定理得，，從而可求得，得斜率．【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運算的坐標表示．直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應用韋達定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．；4；12.【解析】

由題意可知，，求導函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設，則，所以在上單調遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，①當，即時，恒成立，所以在上單調遞增，不符題意；②當時，令，解得：，當時，，單調遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當時，，解得：，且當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，若，則在上單調遞減，所以，若，則上單調遞減，在上單調遞增，由題意可知，，即，整理得，因為存在，符合上式，所以，解得，綜上，的最大值為4；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程整理得：由題意可知，，即，即，解得所以切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因為，解得，設，則，所以在上單調遞增，因為，所以，所以，即.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的研究，導數(shù)的幾何意義，屬于難題.18．（1）（2）【解析】

（1）因為，所以，由余弦定理得，化簡得，可得，解得，又因為，所以.（6分）（2）因為，所以，則（當且僅當時，取等號）.由（1）得（當且僅當時，取等號），解得.所以（當且僅當時，取等號），所以的周長的最小值為.19．（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標，進而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設，，則，根據(jù)直線的斜率不為0，設出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結合韋達定理，分別求出，，化簡，即可得證.【詳解】（1）拋物線C的焦點坐標為，且該點在直線上，所以，解得，故所求拋物線C的方程為（2）法一：由點F在線段上，可設直線，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線的方程為，即.又點在線段上，∴.∵P是的中點，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設，，則當直線的斜率為0時，不符合題意，故可設直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點睛】本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．20．（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數(shù)，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù)．反證法：假設集合中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合中每一元素關于7的余數(shù)可以為1，2，3，4，5，6，又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關于7的余數(shù)相同，不妨設為，，其中，，．則這兩個元素的差為7的倍數(shù)，即，所以，與矛盾，所以假設不成立，即原命題成立．即集合中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設該元素為，，，則存在，使，，，即，，，由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負整數(shù)，設，則，且，，，，所以，當，時，對于整數(shù)，若，則成立．（3）下面用反證法證明：若對于整數(shù)，，則，假設命題不成立，即，且．則對于整數(shù)，存在，