新高考數(shù)學二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）32 橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題（含解析）

素養(yǎng)拓展32橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、橢圓、雙曲線中的焦點三角形面積公式1.如圖1所示，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓的焦點，設P為橢圓上任意一點，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.證明：如圖，由余弦定理知SKIPIF1<0．①由橢圓定義知：SKIPIF1<0，②則②·2－①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．2.如圖2所示，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上任意一點，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.證明：如圖，由余弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．二、橢圓、雙曲線的焦點三角形中的離心率1．如圖1所示，在焦點三角形背景下求橢圓的離心率，一般結(jié)合橢圓的定義，關(guān)鍵是運用已知條件研究出SKIPIF1<0的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.公式：SKIPIF1<02.如圖2所示，在焦點三角形背景下求雙曲線的離心率，一般結(jié)合雙曲線的定義，關(guān)鍵是運用已知條件研究出SKIPIF1<0的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.公式：SKIPIF1<0.二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，點P在橢圓上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為________.【解析】由焦點三角形面積公式，SKIPIF1<0.【典例2】已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點P在C上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為________.【解析】由焦點三角形面積公式，SKIPIF1<0.【典例3】（2018·新課標Ⅱ卷）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上的一點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則C的離心率為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】解法1：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以C的離心率SKIPIF1<0.解法2：如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例4】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，點P在C上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】解法1：如圖，由題意，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：如圖，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型訓練-刷模擬】1.橢圓中的焦點三角形①離心率公式的直接應用一、填空題1.設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，P在C上且SKIPIF1<0軸，若SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故可設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的離心率SKIPIF1<0.解法2：如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<02.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以B、C為焦點，且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.過橢圓SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，橢圓的右焦點為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法1：如圖，SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若以B、C為焦點的橢圓經(jīng)過點A，則該橢圓的離心率的取值范圍為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解析：如圖，設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以A、B為焦點，且經(jīng)過點P的橢圓的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，由題意，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.6.設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點P在C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.7.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若以B、C為焦點的橢圓經(jīng)過點A，則該橢圓的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓的離心率SKIPIF1<0.8.過橢圓SKIPIF1<0的左焦點F作x軸的垂線交橢圓C于A、B兩點，若SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，設橢圓C的右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的離心率SKIPIF1<0.解法2：SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.9.設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線l與橢圓C交于A、B兩點，SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法l：如圖，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的離心率SKIPIF1<0.解法2：如圖，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓C的離心率SKIPIF1<0.10.設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，以SKIPIF1<0為直徑的圓與橢圓的4個交點和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0恰好構(gòu)成一個正六邊形，則橢圓E的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，由題意，SKIPIF1<0是正六邊形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓E的離心率SKIPIF1<0.11.已知P、Q為橢圓SKIPIF1<0上關(guān)于原點對稱的兩點，點P在第一象限，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓C的左、右焦點，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率的取值范圍為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，SKIPIF1<0顯然四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又點P在第一象限，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，橢圓C的離心率SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.②綜合應用一、單選題1．設SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出SKIPIF1<0的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B.方法二：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由橢圓方程可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平方得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B.2．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的面積為9，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【詳解】由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的一點，則SKIPIF1<0內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由橢圓定義得到SKIPIF1<0，從而利用面積列出方程，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑的最大值.【詳解】設SKIPIF1<0內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的一點，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C4．已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點，并滿足SKIPIF1<0面積等于4，則SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0三點共圓，且SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0面積等于4，結(jié)合橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：由條件可知SKIPIF1<0三點共圓.且以SKIPIF1<0為直徑.故SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因為點SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立以上式子可解得：SKIPIF1<0，故選：C.5．已知一個離心率為SKIPIF1<0，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在橢圓上存在一個點P，使得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為r，則r的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】在SKIPIF1<0中，利用余弦定理求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求解.【詳解】解：因為橢圓的離心率為SKIPIF1<0，長軸長為4，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D6．已知SKIPIF1<0是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則E的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0得焦點三角形為直角三角形，結(jié)合勾股定理與橢圓定義可得SKIPIF1<0，再由面積公式SKIPIF1<0可得齊次方程，進而求出離心率【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由橢圓定義可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故E的離心率為SKIPIF1<0.故選：C.7．設O為坐標原點，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，點P在C上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出SKIPIF1<0的面積，即可得到點SKIPIF1<0的坐標，從而得出SKIPIF1<0的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出SKIPIF1<0，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出SKIPIF1<0，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，由橢圓方程可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．故選：B．方法二：因為SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②，解得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：B．方法三：因為SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②，解得：SKIPIF1<0，由中線定理可知，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故選：B．8．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，I是SKIPIF1<0的內(nèi)切圓圓心，若SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0的面積的4倍，則橢圓C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為l，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，根據(jù)面積法求得SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0的面積的4倍，列出方程可得SKIPIF1<0的關(guān)系，從而可得離心率.【詳解】設橢圓方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為l，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即離心率SKIPIF1<0.故選：A9．設F1，F(xiàn)2是橢圓C：SKIPIF1<0=1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1|=|PQ|，若SKIPIF1<0PF1F2的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用焦點三角形的面積公式及橢圓的定義可得SKIPIF1<0，進一步得SKIPIF1<0F1PQ為等邊三角形，且SKIPIF1<0軸，從而可得解.【詳解】由橢圓的定義，SKIPIF1<0，由余弦定理有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡整理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由以上兩式可得：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知SKIPIF1<0軸，所以SKIPIF1<0.故選：B.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點，若在橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用三角形的面積公式，結(jié)合橢圓的定義和基本不等式求解即可.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，由橢圓定義可得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，于是有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：A.11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦點，點M在橢圓E上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則橢圓E的離心率e的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由橢圓的定義與三角形的面積公式即可列出關(guān)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程，利用基本不等式即可列出關(guān)于a，c的不等式，即可求出離心率e的取值范圍；【詳解】由橢圓的定義知，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：D．12．已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點，點SKIPIF1<0是橢圓上的一個動點，若SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑的最大值是SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】依題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)等面積法得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的最大值，從而求出SKIPIF1<0，即可求出橢圓的離心率；【詳解】解：由橢圓SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，如圖，設SKIPIF1<0內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0內(nèi)切圓半徑最大，則需SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0內(nèi)切圓半徑的最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．則橢圓的離心率SKIPIF1<0故選：B．二、填空題13．已知橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為．【答案】3【分析】根據(jù)已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)橢圓的定義有SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0有SKIPIF1<0.即可求出SKIPIF1<0，進而求出三角形的面積.【詳解】由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為點SKIPIF1<0在橢圓上，由橢圓的定義可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：3.14．SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的一點,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是其左右焦點,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的面積為.【答案】SKIPIF1<0【分析】先利用橢圓定義和余弦定理證明焦點三角形的面積公式,再代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】設SKIPIF1<0,由橢圓定義SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中,由余弦定理得SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.由題知SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<015．設點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是該橢圓的兩個焦點，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】在SKIPIF1<0中，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義建立含SKIPIF1<0的關(guān)系等式，再與三角形面積關(guān)系聯(lián)立即可求解.【詳解】在橢圓SKIPIF1<0中，長半軸SKIPIF1<0，半焦距SKIPIF1<0，由橢圓定義得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<016．已知點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的點，點SKIPIF1<0是橢圓的兩個焦點，若SKIPIF1<0中有一個角的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0/SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】由橢圓方程可求得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，由焦點三角形面積公式可求得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得SKIPIF1<0，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；同理可得：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.綜上所述：SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.17．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為4，則橢圓的標準方程為．【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意得到SKIPIF1<0為直角三角形．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓的離心率，定義，直角三角形的面積公式，勾股定理建立方程SKIPIF1<0的方程組，消元后可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】由題可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，代入上式整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0為直角三角形．又SKIPIF1<0的面積為4，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0．18．已知橢圓C:SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第一象限點P在C上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意列方程組解出SKIPIF1<0點坐標，由面積與周長關(guān)系求內(nèi)切圓半徑【詳解】由已知條件得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（－1，0），SKIPIF1<0（1，0）.設點P的坐標為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，∵第一象限點P在C上，∴則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，聯(lián)立解得SKIPIF1<0由橢圓的定義得SKIPIF1<0設SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為r，則SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<019．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用橢圓的定義、余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可求得SKIPIF1<0的值，結(jié)合橢圓的離心率可求得SKIPIF1<0的值，即可得出橢圓SKIPIF1<0的方程.【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.因此，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.20．SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于頂點的一點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)切圓圓心，若SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0的面積的3倍，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，即可求出離心率.【詳解】由于橢圓關(guān)于原點對稱，不妨設點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方.設點SKIPIF1<0縱坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0縱坐標為SKIPIF1<0，內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，橢圓長軸長為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得離心率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.21．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0使三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0即可求SKIPIF1<0得范圍.【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若存在點SKIPIF1<0使三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0的取值范圍是：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<02.雙曲線中的焦點三角形①離心率公式的直接應用一、單選題1.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，點M在E上，SKIPIF1<0與x軸垂直，SKIPIF1<0，則E的離心率為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.2【答案】A【解析】解法1：如圖，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.二、填空題2.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法1：SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，雙曲線C的離心率SKIPIF1<0.解法2：SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0.3.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，點P在C上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.4.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若SKIPIF1<0是正三角形，則雙曲線C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法1：如圖，SKIPIF1<0是正三角形，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0.解法2：如圖，SKIPIF1<0是正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線C的離心率SKIPIF1<0.5.過雙曲線SKIPIF1<0的左焦點F作x軸的垂線交C于A、B兩點，若SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，設雙曲線C的右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以C的離心率SKIPIF1<0.②綜合應用一、單選題1．已知：雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為其右支上一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線中，焦點三角形的面積公式求解即可.【詳解】由雙曲線焦點三角形面積公式可得：SKIPIF1<0故選：C.【點睛】本題考查雙曲線焦點三角形面積的求解，屬基礎題.2．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左?右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用余弦定理求得c，再利用雙曲線的定義求得a即可.【詳解】解：設雙曲線SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0.由題意，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線定義得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0.故選：D3．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積等于（

）A．6 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，再求出焦距SKIPIF1<0即可計算作答.【詳解】雙曲線SKIPIF1<0的實半軸長SKIPIF1<0，半焦距SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，由雙曲線定義得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.故選：A4．設F1，F(xiàn)2是雙曲線C:SKIPIF1<0的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若SKIPIF1<0，且△PF1F2的面積為9，則C的離心率等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知條件，結(jié)合雙曲線的簡單性質(zhì)求出SKIPIF1<0，由此可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為F1，F(xiàn)2是雙曲線C:SKIPIF1<0的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若SKIPIF1<0，且△PF1F2的面積為9，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故雙曲線的離心率為SKIPIF1<0.故選：C.5．設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0為正三角形，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出SKIPIF1<0，利用雙曲線的定義求出SKIPIF1<0，進而可求得SKIPIF1<0