6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理2課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.1

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理復(fù)習(xí)回顧分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法

如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數(shù)為N＝m1＋m2＋…＋mn.推廣：復(fù)習(xí)回顧分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.

如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)為N＝m1×m2×…×mn.推廣：4、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法例題解析分析：要完成的一件事情是“3幅不同的畫中選出2幅，并分別掛在左右兩邊墻上”，可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)N=3×2=6.

6種掛法如圖所示左邊

右邊相應(yīng)的掛法甲乙丙乙丙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲乙甲丙分析：先定斜率，再定縱截距，共4×4=16條直線；1、(P11T6)(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在A={0，1，2，3，4，5}內(nèi)取值的不同點(diǎn)共有多少個？(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合B={1，3，5，7}內(nèi)取值，y軸上的截距在集合C={2，4，6，8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條？分析：先選橫坐標(biāo)，再選縱坐標(biāo)，共6×6=36個不同的點(diǎn).隨堂練習(xí)5、給程序模塊命名，需要用3個字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個字符要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序模塊命名？例題解析在解題時有時既要分類又要分步分析：要完成的一件事是給一個程序模塊命名，可以分三個步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，而首字符又可以分為兩類.由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是13×9×9=1053，解:由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13.后兩個字符從1~9中選，因為數(shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.即最多可以給1053個程序模塊命名.6、電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成．(1)1個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符例題解析分析：要完成的一件事情是“確定1個字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”，由于每個字節(jié)有8個二進(jìn)制，每一位上的值有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解.如圖所示.第1位第2位第3位第4位第5位第6位第7位第8位

解：(1)1個字節(jié)最多可以表示不同字符的個數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2=28=2566、電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成．(2)計算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示例題解析解：(2)因為一個字節(jié)可以表示256個不同的字符，所以兩個字節(jié)可以表示256×256=65536個不同字符，所以要表示6763個漢字，每個漢字至少要2個字節(jié)表示7、計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．(1)圖6.1-4是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑(2)為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)．你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎例題解析開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑結(jié)束A圖6.1-4分析：整個模塊，任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)，第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第1步可以由子模塊1、2、3的任何一個完成，第2步可以由子模塊4、5的任何一個完成。因此，分析一條命令在子模塊中的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。7、計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．(1)圖6.1-4是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑(2)為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)．你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎例題解析解：(1)由分類加法計數(shù)原理可知，子模塊1、2、3中子路徑的條數(shù)共有：18+45+28=91條子模塊4、5中子路徑的條數(shù)共有：38+43=81條又由分步乘法計數(shù)原理可知，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共有：91×81=7371條開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑結(jié)束A圖6.1-4例題解析在實(shí)際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.①先分別單獨(dú)測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常.

總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.②再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3×2=6.開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑結(jié)束A圖6.1-4如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常.這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178.8、通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的、省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號，如圖6.1-5所示.其中，序號的編碼規(guī)則為：(1)由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個英文字母組成；(2)最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌？例題解析分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的號牌數(shù)，按序號編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號分為三類：沒有字母、有一個字母、有兩個字母.以字母所在的位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個字母的序號分為五個子類，將有兩個字母的序號分為十個子類.8、通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的、省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號，如圖6.1-5所示.其中，序號的編碼規(guī)則為：(1)由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個英文字母組成；(2)最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌？例題解析解：①沒有字母時，5位序號都是從0-9這10個數(shù)字中選1個，且必須5位序號都選好才算完成，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知有：105=100000張②有一個字母時，可以分為字母在序號的第1位、第2位、第3位、第4位、第5位這5類；當(dāng)?shù)?位是字母時，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知有：24×104=240000張

同理其余4類也有240000種，所以這類號牌合計有240000×5=1200000張③有兩個字母時，可以根據(jù)字母在第1和第2位、第1和第3位、第1和第4位、第1和第5位、第2和第3位、第2和第4位、第2和第5位、第3和第4位、第3和第5位、第4和第5位分為10類，每類有：24×24×103=576000張，合計：5760000張2、(P7T5)由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個三位數(shù)：①各位上的數(shù)字可以重復(fù)：②各位上的數(shù)字不可以重復(fù)：隨堂練習(xí)①5×5×5=125(種)②5×4×3=60(種)3、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個 B．120個C．96個 D．72個隨堂練習(xí)解：①首位為5，末位為0：4×3×2＝24(個)；②首位為5，末位為2：4×3×2＝24(個)；③首位為5，末位為4：4×3×2＝24(個)；④首位為4，末位為0：4×3×2＝24(個)；⑤首位為4，末位為2：4×3×2＝24(個)．由分類加法計數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個)．B4、(P7T4)在1，2，…，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個？隨堂練習(xí)分析：被5除余2的數(shù)為5n+2(n∈N)，令1≤5n+2≤500，得0≤n≤99.共100個5、(P11T1)乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后有多少項？隨堂練習(xí)分析：展開后每一項都是aibjck的形式.分步確定aibjck，共3×3×5=45(項)6、(P11T2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個？分析：按個位數(shù)分類，共9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(種)7、(P11T3)某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進(jìn)入商場，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式？分析：先選進(jìn)入的門，再選出去的門，共6×5=30(種)8、(P11T4)任意畫一條直線，在直線上任取n個分點(diǎn).(1)從這n個分點(diǎn)中任取2個點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段？(2)從這n個分點(diǎn)中任取2個點(diǎn)形成一個向量，可得到多少個向量？隨堂練習(xí)分析：共得

條線段分析：共得n(n-1)個向量.9、(P11T2)如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線？隨堂練習(xí)分析：共2×3+4×2=14(條)10、(P11T3)如圖，要讓電路從A處到B處接通，可有多少條不同的路徑？隨堂練習(xí)分析：共得1+2×2+3=8條路徑.11、(P11T4)用1，5，9，13中的任意一個數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個數(shù)作分母，可構(gòu)成多少個不同的分?jǐn)?shù)？可構(gòu)成多少個不同的真分?jǐn)?shù)？分析：先定分子，再定分母，可構(gòu)成4×4=16個不同的分?jǐn)?shù)；按分子分類，可構(gòu)成4+3+2+1=10個不同的真分?jǐn)?shù)；12、(P12T7)一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有0～9共10個數(shù)字.現(xiàn)最后一個撥號盤出現(xiàn)了故障，只能在0～5這6個數(shù)字中撥號，這4個撥號盤可組成多少個四位數(shù)字號碼？隨堂練習(xí)分析：10×10×10×6=6000個四位數(shù)字號碼13、(P12T8)(1)4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運(yùn)動隊，不同報法的種數(shù)是是34還是43？隨堂練習(xí)[變式]4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每個運(yùn)動隊只選一名學(xué)生參加，不同的結(jié)果有____種.分析：人選運(yùn)動隊，每人有3種選擇，共3×3×3×3=34=81分析：運(yùn)動隊選人，每隊有4種選擇，共4×4×4=43=64(2)3個班分別從5個景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53？分析：各班選景點(diǎn)，每班有5種選擇，共5×5×5=53=125[變式]火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有_____種.510分析：乘客選車站，每人有5種選擇14、從5件不同的禮物中選出2件，分別送給甲、乙兩人，每人一件禮物，則不同的送法種數(shù)為_______.隨堂練習(xí)15、(P12T9)(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué)，每人一件，有多少種不同的送法？(2)有5個編了號的抽屜，要放進(jìn)3本不同的書，不同的放法有多少種？(一個抽屜可放多本書)分析：先選禮物給甲，再選禮物給乙，共5×4=20種選法分析：依次選禮物給4位同學(xué)，共5×4×3×2=120種選法分析：①3本書放1個抽屜，共5種放法；②3本書放2個抽屜，共3×(5×4)=60種放法；③3本書放3個抽屜，共5×4×3=60種放法；共5+60+60=125種放法.16、(P12T10)口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出2個球.(1)正好是白球、紅球各一個的取法有多少種？(2)正好是兩個白球的取法有多少種？(3)至少有一個白球的取法有多少種？(4)兩球的顏色相同的取法有多少種？隨堂練習(xí)8×10=80(8×7)÷2=288×10+28=10828+10×9÷2=73隨堂練習(xí)17、(P12T11)在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？18、(P12T12)

2160有多少個不同的正因數(shù)？分析：分步安排每天的值班人員，共7×6×6×6×6×6×6=7×66分析：∵2160=24×5×33，∴2160的正因數(shù)p=2a×5b×3c，其中a可取0，1，2，3，4；b可取0，1；c可取0，1，2，3.∴2160有5×2×4=40個不同的正因數(shù).隨堂練習(xí)19、某班有5人會唱歌，另有4人會跳舞，還有2人能歌善舞,從中任選1人表演一個節(jié)目，共可表演多少個節(jié)目？N＝5＋4＋2×2＝13(種)第1類：從會唱歌者中選1人唱歌；第2類：從會跳舞者中選1人跳舞；第3類：從能歌善舞者中選1人唱歌或跳舞；分析：任選1人表演，可以分為會唱歌、會跳舞、能歌善舞三類；隨堂練習(xí)20、有架樓梯共6級，每次只允許上一級或兩級，求上完這架樓梯共有多少種不同的走法？第1類：有3次上兩級要走3步第2類：有2次上兩級需走4步第3類：有1次上兩級需走5步第4類：有0次上兩級需走6步1種走法6種走法5種走法1種走法