高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第02講事件的關(guān)系和運(yùn)算(原卷版+解析)

第2講事件的關(guān)系和運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1事件的關(guān)系定義記法圖示包含關(guān)系一般地，如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)注：事件B包含事件A，其含義就是事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，而事件B發(fā)生，事件A不一定發(fā)生.A?B或B?A相等關(guān)系如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時(shí)，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作A＝B.A＝B?A?B且B?A?A與B有相同的樣本點(diǎn)注：兩個(gè)相等事件總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生，所謂事件A=B，就是說(shuō)事件A，B是同一事件.A＝B互斥事件給定事件A，B，若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥AB＝?或A∩B＝?對(duì)立事件給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件eq\x\to(A)A∩eq\x\to(A)＝?且A∪eq\x\to(A)＝Ω知識(shí)點(diǎn)2事件的運(yùn)算定義記法圖示事件A與事件B的并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中A∪B(或A＋B)事件A與事件B的交事件(積事件)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中A∩B(或AB)[說(shuō)明]1.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生．而兩個(gè)事件A，B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對(duì)立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對(duì)立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè)．(2)聯(lián)系：互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立．2．從集合的角度理解互斥事件與對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．知識(shí)點(diǎn)3隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系符號(hào)事件的運(yùn)算集合的運(yùn)算A隨機(jī)事件子集eq\x\to(A)A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集AB事件A與B的交事件集合A與B的交集A∪B事件A與B的并事件集合A與B的并集考點(diǎn)一事件間關(guān)系的判斷解題方略：判斷事件間關(guān)系的方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事件首先是互斥事件，且一次試驗(yàn)中必有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合觀點(diǎn)設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①若事件A與B互斥，則集合A∩B＝?；②若事件A與B對(duì)立，則集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.注：(1)要考慮試驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立其發(fā)生的條件都是一樣的．(2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析．【例1】同時(shí)擲兩枚硬幣，向上面都是正面的事件為A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A<B【例2】一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶【例3】抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品變式1：從1,2，…，9中任取兩數(shù)：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的有幾對(duì)？并指出是哪幾對(duì)．變式2：在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動(dòng)卡B．恰有一張移動(dòng)卡C．都不是移動(dòng)卡D．至少有一張移動(dòng)卡【例4】給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則()A．A?BB．A?BC．A與B互斥D．A與B互為對(duì)立事件變式1：某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．變式2：從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”．變式3：已知盒中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，從盒中任取2個(gè)球，下列說(shuō)法中正確的是()A．全是白球與全是紅球是對(duì)立事件B．沒(méi)有白球與至少有一個(gè)白球是對(duì)立事件C．只有一個(gè)白球與只有一個(gè)紅球是互斥關(guān)系D．全是紅球與有一個(gè)紅球是包含關(guān)系變式4：把紅、黑、藍(lán)、白四張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是________.變式5：[多選]從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論中正確的是()A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．A與B對(duì)立考點(diǎn)二事件的運(yùn)算解題方略：事件運(yùn)算應(yīng)注意的2個(gè)問(wèn)題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷．但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理．【例5】給出以下結(jié)論：①互斥事件一定對(duì)立；②對(duì)立事件一定互斥；③互斥事件不一定對(duì)立；④事件A與B的和事件一定大于事件A.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3變式1：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則()A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3變式2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件E＝{向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，F(xiàn)＝{向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)}，則E∩F＝{______}．變式3：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，則事件A與事件B的關(guān)系是()A．A?B B．A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}C．事件A與B互斥 D．事件A與B是對(duì)立事件變式4：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球觀察顏色．設(shè)事件A為“所取兩個(gè)球至少有一個(gè)白球”，事件B為“所取兩個(gè)恰有一個(gè)紅球”，則A∩B表示的事件為________．變式5：打靶三次，事件Ai表示“擊中i次”，i＝0,1,2,3，則“至少有一次擊中”這一事件用事件的交、并運(yùn)算應(yīng)表示為________．變式6：擲一枚骰子，下列事件：A＝“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，C＝“點(diǎn)數(shù)小于3”，D＝“點(diǎn)數(shù)大于2”，E＝“點(diǎn)數(shù)是3倍數(shù)”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記為事件H的對(duì)立事件，求，C，∪C，＋.變式7：在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．變式8：盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．問(wèn)：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？(3)設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？變式9：在實(shí)彈射擊訓(xùn)練中，連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中目標(biāo)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中目標(biāo)}，C＝{恰有一彈擊中目標(biāo)}，D＝{至少有一彈擊中目標(biāo)}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D【例7】如果事件A，B互斥，記eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么()A．A∪B是必然事件 B．eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定互斥 D.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定不互斥變式1：設(shè)H，E，F(xiàn)為三個(gè)事件，eq\x\to(H)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分別表示它們的對(duì)立事件，表示“三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生”的表達(dá)式為()A．H＋E＋F B．Heq\x\to(E)eq\x\to(F)＋eq\x\to(H)Eeq\x\to(F)＋eq\x\to(H)eq\x\to(E)FC．HEeq\x\to(F)＋Heq\x\to(E)F＋eq\x\to(H)EF D.eq\x\to(H)＋eq\x\to(E)＋eq\x\to(F)練習(xí)一事件間關(guān)系的判斷1、在擲骰子的試驗(yàn)中，可以得到以下事件：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；D＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；E＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；F＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}．請(qǐng)根據(jù)這些事件，判斷下列事件的關(guān)系：(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.2、擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記A為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是偶數(shù)”，C為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是3的倍數(shù)”．其中是互斥事件的是________，是對(duì)立事件的是________．3、許洋說(shuō)：“本周我至少做完三套練習(xí)題.”設(shè)許洋所說(shuō)的事件為A，則A的對(duì)立事件為()A.至多做完三套練習(xí)題 B.至多做完二套練習(xí)題C.至多做完四套練習(xí)題 D.至少做完二套練習(xí)題4、抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品5、某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.練習(xí)二事件的運(yùn)算1、盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)的白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件E＝{3個(gè)紅球}，那么事件C與A，B，E的運(yùn)算關(guān)系是()A．C＝(A∩B)∪EB．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩ED．C＝A∩B∩E2、某市體操隊(duì)有6名男生，4名女生，現(xiàn)任選3人去參賽，設(shè)事件A＝{選出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{選出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{選出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{選出的3人中既有男生又有女生}．問(wèn)：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？3、在擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1}；B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3或4}；C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}；D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果．4、5個(gè)相同的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取兩個(gè)小球.記事件A為“第一次抽取的小球上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“抽取的兩個(gè)小球上的數(shù)字至少有一個(gè)是偶數(shù)”，事件C為“兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，試用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq\x\to(A)∩eq\x\to(C)，eq\x\to(B)∩C.第2講事件的關(guān)系和運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1事件的關(guān)系定義記法圖示包含關(guān)系一般地，如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)注：事件B包含事件A，其含義就是事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，而事件B發(fā)生，事件A不一定發(fā)生.A?B或B?A相等關(guān)系如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時(shí)，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作A＝B.A＝B?A?B且B?A?A與B有相同的樣本點(diǎn)注：兩個(gè)相等事件總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生，所謂事件A=B，就是說(shuō)事件A，B是同一事件.A＝B互斥事件給定事件A，B，若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥AB＝?或A∩B＝?對(duì)立事件給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件eq\x\to(A)A∩eq\x\to(A)＝?且A∪eq\x\to(A)＝Ω知識(shí)點(diǎn)2事件的運(yùn)算定義記法圖示事件A與事件B的并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中A∪B(或A＋B)事件A與事件B的交事件(積事件)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中A∩B(或AB)[說(shuō)明]1.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生．而兩個(gè)事件A，B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對(duì)立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對(duì)立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè)．(2)聯(lián)系：互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立．2．從集合的角度理解互斥事件與對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．知識(shí)點(diǎn)3隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系符號(hào)事件的運(yùn)算集合的運(yùn)算A隨機(jī)事件子集eq\x\to(A)A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集AB事件A與B的交事件集合A與B的交集A∪B事件A與B的并事件集合A與B的并集考點(diǎn)一事件間關(guān)系的判斷解題方略：判斷事件間關(guān)系的方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事件首先是互斥事件，且一次試驗(yàn)中必有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合觀點(diǎn)設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①若事件A與B互斥，則集合A∩B＝?；②若事件A與B對(duì)立，則集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.注：(1)要考慮試驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立其發(fā)生的條件都是一樣的．(2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析．【例1】同時(shí)擲兩枚硬幣，向上面都是正面的事件為A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A<B【解析】由事件的包含關(guān)系知A?B.故選A【例2】一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶【解析】事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況．由互斥事件的定義，可知“兩次都不中靶”與之互斥．故選B【例3】抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品【解析】至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結(jié)果，故它的對(duì)立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品．故選B.變式1：從1,2，…，9中任取兩數(shù)：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的有幾對(duì)？并指出是哪幾對(duì)．【解析】①，②，④可同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件；對(duì)于③至少有一個(gè)奇數(shù)包括有一個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，顯然與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件．故對(duì)立事件有1對(duì)，是③.變式2：在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動(dòng)卡B．恰有一張移動(dòng)卡C．都不是移動(dòng)卡D．至少有一張移動(dòng)卡【解析】至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件．故選A.【例4】給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則()A．A?BB．A?BC．A與B互斥D．A與B互為對(duì)立事件【解析】由互斥事件的定義可知，C正確．故選C.變式1：某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．【解析】從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí)，該兩事件都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事件“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1男1女時(shí)，“至少有一名男生”與“至少一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．變式2：從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”．【解析】(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對(duì)立事件．(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，因此它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽出牌的點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件.變式3：已知盒中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，從盒中任取2個(gè)球，下列說(shuō)法中正確的是()A．全是白球與全是紅球是對(duì)立事件B．沒(méi)有白球與至少有一個(gè)白球是對(duì)立事件C．只有一個(gè)白球與只有一個(gè)紅球是互斥關(guān)系D．全是紅球與有一個(gè)紅球是包含關(guān)系【解析】從盒中任取2球，出現(xiàn)球的顏色情況是，全是紅球，有一個(gè)紅球且有一個(gè)白球，全是白球，至少有一個(gè)的對(duì)立面是沒(méi)有一個(gè)．故選B.變式4：把紅、黑、藍(lán)、白四張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是________.【解析】因?yàn)榧t牌只有1張，甲、乙不能同時(shí)得到紅牌，所以兩事件為互斥事件，但甲、乙可能都得不到紅牌，即兩事件有可能都不發(fā)生，故兩事件互斥但不對(duì)立．答案：互斥但不對(duì)立變式5：[多選]從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論中正確的是()A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．A與B對(duì)立【解析】由題意知事件A，B，C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，因此兩兩互斥，因eq\x\to(A)＝{三件產(chǎn)品不全是正品}，故樣本點(diǎn)有三種情況：①{兩件正品一件次品}，②{一件正品兩件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A與B不對(duì)立，D錯(cuò)誤，故選A、B、C.考點(diǎn)二事件的運(yùn)算解題方略：事件運(yùn)算應(yīng)注意的2個(gè)問(wèn)題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷．但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理．【例5】給出以下結(jié)論：①互斥事件一定對(duì)立；②對(duì)立事件一定互斥；③互斥事件不一定對(duì)立；④事件A與B的和事件一定大于事件A.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】選C對(duì)立必互斥，互斥不一定對(duì)立，∴②③對(duì)，①錯(cuò)；對(duì)于④A?A∪B，即A與B的和事件包含事件A，但兩個(gè)事件不能比較大小，故④錯(cuò)．變式1：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則()A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【解析】A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.故選C.變式2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件E＝{向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，F(xiàn)＝{向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)}，則E∩F＝{______}．【解析】E＝{向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}＝{2,4,6}．F＝{向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)}＝{2,3,5}∴E∩F＝{向上的點(diǎn)數(shù)為2}．答案：向上的點(diǎn)數(shù)為2變式3：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，則事件A與事件B的關(guān)系是()A．A?B B．A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}C．事件A與B互斥 D．事件A與B是對(duì)立事件【解析】由題意事件A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}．故選B變式4：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球觀察顏色．設(shè)事件A為“所取兩個(gè)球至少有一個(gè)白球”，事件B為“所取兩個(gè)恰有一個(gè)紅球”，則A∩B表示的事件為________．【解析】因?yàn)閺难b有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(白、白)，(白、紅)，(紅、紅)}，且A＝{(白、紅)，(白、白)}，B＝{(白，紅)}．所以A∩B＝{(白、紅)}．故A∩B表示的事件為恰有一個(gè)紅球．答案：恰有一個(gè)紅球變式5：打靶三次，事件Ai表示“擊中i次”，i＝0,1,2,3，則“至少有一次擊中”這一事件用事件的交、并運(yùn)算應(yīng)表示為________．【解析】因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次擊中”包含擊中一次A1，擊中二次A2或擊中三次A3這三個(gè)事件的并事件，應(yīng)表示為A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)．答案：A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)變式6：擲一枚骰子，下列事件：A＝“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，C＝“點(diǎn)數(shù)小于3”，D＝“點(diǎn)數(shù)大于2”，E＝“點(diǎn)數(shù)是3倍數(shù)”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記為事件H的對(duì)立事件，求，C，∪C，＋.【解析】(1)A∩B＝?，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，B＋C＝{1,2,4,6}．(3)eq\x\to(D)＝{1,2}；eq\x\to(A)C＝BC＝{2}；eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{1,2,4,5}．變式7：在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．【解析】(1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.(2)因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F(xiàn)＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.變式8：盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．問(wèn)：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？(3)設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？【解析】(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B.(2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故B?C，E?C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D.變式9：在實(shí)彈射擊訓(xùn)練中，連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中目標(biāo)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中目標(biāo)}，C＝{恰有一彈擊中目標(biāo)}，D＝{至少有一彈擊中目標(biāo)}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D【解析】“恰有一彈擊中目標(biāo)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，A∪C＝D＝{至少有一彈擊中目標(biāo)}，不是必然事件；“至少有一彈擊中目標(biāo)”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中目標(biāo)，一種是兩彈都擊中目標(biāo)，B∪D為必然事件，所以A∪C≠B∪D.故選D.【例7】如果事件A，B互斥，記eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么()A．A∪B是必然事件 B．eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定互斥 D.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定不互斥【解析】用Venn圖解決此類問(wèn)題較為直觀．如圖所示，eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件．故選B.變式1：設(shè)H，E，F(xiàn)為三個(gè)事件，eq\x\to(H)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分別表示它們的對(duì)立事件，表示“三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生”的表達(dá)式為()A．H＋E＋F B．Heq\x\to(E)eq\x\to(F)＋eq\x\to(H)Eeq\x\to(F)＋eq\x\to(H)eq\x\to(E)FC．HEeq\x\to(F)＋Heq\x\to(E)F＋eq\x\to(H)EF D.eq\x\to(H)＋eq\x\to(E)＋eq\x\to(F)【解析】選項(xiàng)A表示H，E，F(xiàn)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；選項(xiàng)B表示三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生；選項(xiàng)C表示三個(gè)事件恰有一個(gè)不發(fā)生；選項(xiàng)D為選項(xiàng)A的對(duì)立事件，即表示三個(gè)事件都不發(fā)生．故選B.練習(xí)一事件間關(guān)系的判斷1、在擲骰子的試驗(yàn)中，可以得到以下事件：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；B＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}；D＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；E＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；F＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；I＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}；J＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}．請(qǐng)根據(jù)這些事件，判斷下列事件的關(guān)系：(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.【解析】當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，H必然發(fā)生，故B?H；同理D?J，E?I，而事件A與G相等，即A＝G.答案：???＝2、擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記A為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是偶數(shù)”，C為事件“落地時(shí)向上的數(shù)是3的倍數(shù)”．其中是互斥事件的是________，是對(duì)立事件的是________．【解析】A，B既是互斥事件，也是對(duì)立事件．答案：A，BA，B3、許洋說(shuō)：“本周我至少做完三套練習(xí)題.”設(shè)許洋所說(shuō)的事件為A，則A的對(duì)立事件為()A.至多做完三套練習(xí)題 B.至多做完二套練習(xí)題C.至多做完四套練習(xí)題 D.至少做完二套練習(xí)題【解析】至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6，…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題.故選B4、抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品【解析】至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9種結(jié)果，故它的對(duì)立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.故選B5、某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【解析】(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E是對(duì)立事件．(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”，即有可能“不訂甲報(bào)”，也就是說(shuō)事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”．事件C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”．也就是說(shuō)事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件．練習(xí)二事件的運(yùn)算1、盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)的白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件E＝{3個(gè)紅球}，那么事件C與A，B，E的運(yùn)算關(guān)系是()A．C＝(A∩B)∪EB．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩ED．C＝A∩B∩E【解析】由題意可知C＝A∪B∪E.2、