高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))9.9超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布(精講)(原卷版+解析)

9.9超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布【題型解讀】【知識儲備】一、二項分布1．伯努利試驗只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.3．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．二、超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，三、正態(tài)分布1．定義若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線的特點(1)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；(2)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．3．3σ原則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【題型精講】【題型一超幾何分布】必備技巧求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）列出分布列．例1(2023·華師大二附中高三練習）某市移動公司為了提高服務質量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市n（）個人數(shù)超過1000人的大集團和4個人數(shù)低于200人的小集團中隨機抽取若干個集團進行調查，若一次抽取2個集團，全是小集團的概率為.(1)在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為大集團的概率；(2)若一次抽取3個集團，假設取出小集團的個數(shù)為X，求X的分布列和期望.例2北京某高校有20名志愿者報名參加2022年北京冬奧會服務工作，其中有2名老師，18名學生.若從中隨機抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).(1)若，求X的分布列與數(shù)學期望；(2)當n為何值時，的概率取得最大值?最大值是多少?【題型精練】1.(2023·貴州省思南中學高三月考）某班利用課外活動時間舉行了一次“函數(shù)求導比賽”活動，為了解本次比賽中學生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個小組的樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學成績不低于70分的人中任意抽取3人，設表示所抽取的3名同學的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.2．(2023·全國高三課時練習）北京時間2022年7月25日3時13分，問天實驗艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實驗艙艙門，順利進入問天實驗艙.8月，中國空間站第2個實驗艙段——夢天實驗艙已運抵文昌航天發(fā)射場，計劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學科交叉的空間科學實驗.為普及空間站相關知識，某部門門組織了空間站模擬編程闖關活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關成功的可能性更大.【題型二二項分布】例3(2023·四川模擬）金壇區(qū)主城區(qū)全新投放一批共享電動自行車．本次投放的電動自行車分紅、綠兩種，投放比例是3∶1．監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色電動自行車的性能，決定從中隨機抽取4輛電動自行車進行騎行體驗，假設每輛電動自行車被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4輛電動自行車中至少有3輛是綠色的概率；(2)在騎行體驗中，發(fā)現(xiàn)紅色電動自行車的綜合評分較高，監(jiān)管部門決定從該次投放的這批電動自行車中隨機地抽取一輛綠色電動自行車，送技術部門做進一步性能檢測，并規(guī)定，若抽到的是綠色電動自行車，則抽樣結束：若抽取的是紅色電動自行車，則將其放回后，繼續(xù)從中隨機地抽取下一輛電動自行車，且規(guī)定抽取的次數(shù)最多不超過次在抽樣結束時，設已抽到的紅色電動自行車的數(shù)量用表示，問：的數(shù)學期望能否超過3？例4(2023·武昌模擬）某地為了解高三學生運動量是否達標，隨機抽取了200名同學進行調查，得到數(shù)據(jù)如下：在120名男生中，運動量達標的有60人；在80名女生中，運動量未達標的有50人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為運動量達標與性別有關.運動量達標運動量未達標合計男生人數(shù)女生人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從該地的所有高三學生（人數(shù)眾多）中逐一隨機抽取3人，記這3人中運動量達標的男生人數(shù)為隨機變量X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.2.(2023·臨沂二模）設甲?乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學上學期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）記“上學期間的某周的五天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.【題型三正態(tài)分布】例5(2023·唐山二模）在某次數(shù)學考試中，學生成績服從正態(tài)分布.若在內的概率是，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是（

）A． B． C． D．例6(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學研究室高三開學考試）某校高三年級有500名學生，一次考試的語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學成績的頻率分布表如下：數(shù)學成績頻率0.160.1680.480.160.032(1)如果成績高于130分為特別優(yōu)秀，則本次考試語文、數(shù)學成績特別優(yōu)秀的學生大約各多少人？(2)如果語文和數(shù)學兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些學生中隨機抽取3人，設3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：若，則，，.【題型精練】1．(2023·高三課時練習）某品牌手機的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．2.(2023·廣東高三模擬）某共享單車集團為了進行項目優(yōu)化，對某市月卡用戶隨機抽取了200人，統(tǒng)計了他們在同一月的使用次數(shù)（假設每月使用次數(shù)均在8至36之間）.將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.(1)求圖中的a的值；(2)設該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算），取，若該城市恰有1萬個用戶，試估計這些用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間內的人數(shù)：(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機抽取10人，其中月使用次數(shù)在的有Y人，記“事件”的概率為，其中，1，2，…，10，當最大時，求k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【題型四特殊分布的綜合應用】例7(2023·山東·高密三中高三階段練習）國慶節(jié)期間，某大型服裝團購會舉辦了一次“你消費我促銷”活動，顧客消費滿300元（含300元）可抽獎一次，抽獎方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）.方案一:從裝有5個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個，黑球4個）的抽獎盒中，有放回地摸出3個球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二:從裝有10個形狀，大小完全相同的小球（其中紅球2個，白球1個，黑球7個）的抽獎盒中，不放回地摸出3個球，中多規(guī)則為:若摸出2個紅球，1個白球，享受免單優(yōu)惠;若摸出2個紅球和1個黑球則打5折;若摸出1個紅球，1個白球和1個黑球，則打7.5折;其余情況不打折.(1)某顧客恰好消費300元，選擇抽獎方案一，求他實付金額的分布列和期望;(2)若顧客消費500元，試從實付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎方案更合理?【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？9.9超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布【題型解讀】【知識儲備】一、二項分布1．伯努利試驗只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.3．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．二、超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，三、正態(tài)分布1．定義若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線的特點(1)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；(2)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．3．3σ原則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【題型精講】【題型一超幾何分布】必備技巧求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）列出分布列．例1(2023·華師大二附中高三練習）某市移動公司為了提高服務質量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市n（）個人數(shù)超過1000人的大集團和4個人數(shù)低于200人的小集團中隨機抽取若干個集團進行調查，若一次抽取2個集團，全是小集團的概率為.(1)在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為大集團的概率；(2)若一次抽取3個集團，假設取出小集團的個數(shù)為X，求X的分布列和期望.【解析】（1）由題意知共有個集團，取出2個集團的方法總數(shù)是，其中全是小集團的情況有，故全是小集團的概率是，整理得到即，解得．若2個全是大集團，共有種情況；若2個全是小集團，共有種情況；故在取出的2個集團是同一類集團的情況下，全為大集團的概率為．（2）由題意知，隨機變量的可能取值為，計算，，，，故的分布列為：0123數(shù)學期望為．例2北京某高校有20名志愿者報名參加2022年北京冬奧會服務工作，其中有2名老師，18名學生.若從中隨機抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).(1)若，求X的分布列與數(shù)學期望；(2)當n為何值時，的概率取得最大值?最大值是多少?【解析】（1）當時，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以X的分布列為X012P.（2）的概率為，，且.因為，當且僅當，即時等號成立，所以當時，的概率取最大值，最大值是.【題型精練】1.(2023·貴州省思南中學高三月考）某班利用課外活動時間舉行了一次“函數(shù)求導比賽”活動，為了解本次比賽中學生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個小組的樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學成績不低于70分的人中任意抽取3人，設表示所抽取的3名同學的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.答案：（1）甲的平均數(shù)，方差；乙的平均數(shù)，方差；乙小組的更穩(wěn)定.（2）分布列見解析，.【解析】（1）甲小組的平均數(shù)：甲小組的方差：，乙小組的平均數(shù)：乙小組的方差：.兩個小組成績的平均數(shù)相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小組的成績更穩(wěn)定.（2）甲組同學成績不低于70分的人有人，從中任意抽取3人，得分在的人數(shù)為人.，,,的分布列如下：故.2．(2023·全國高三課時練習）北京時間2022年7月25日3時13分，問天實驗艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實驗艙艙門，順利進入問天實驗艙.8月，中國空間站第2個實驗艙段——夢天實驗艙已運抵文昌航天發(fā)射場，計劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務，成為長期有人照料的國家級太空實驗室，支持開展大規(guī)模、多學科交叉的空間科學實驗.為普及空間站相關知識，某部門門組織了空間站模擬編程闖關活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關成功的可能性更大.【解析】（1）乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關成功，記乙闖關成功為事件A，則.（2）由題意知隨機變量X所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關成功的概率為，因為，所以甲比乙闖關成功的可能性大.【題型二二項分布】例3(2023·四川模擬）金壇區(qū)主城區(qū)全新投放一批共享電動自行車．本次投放的電動自行車分紅、綠兩種，投放比例是3∶1．監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色電動自行車的性能，決定從中隨機抽取4輛電動自行車進行騎行體驗，假設每輛電動自行車被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4輛電動自行車中至少有3輛是綠色的概率；(2)在騎行體驗中，發(fā)現(xiàn)紅色電動自行車的綜合評分較高，監(jiān)管部門決定從該次投放的這批電動自行車中隨機地抽取一輛綠色電動自行車，送技術部門做進一步性能檢測，并規(guī)定，若抽到的是綠色電動自行車，則抽樣結束：若抽取的是紅色電動自行車，則將其放回后，繼續(xù)從中隨機地抽取下一輛電動自行車，且規(guī)定抽取的次數(shù)最多不超過次在抽樣結束時，設已抽到的紅色電動自行車的數(shù)量用表示，問：的數(shù)學期望能否超過3？【解析】（1）∵抽取一輛電動車為綠色的概率為∴4輛電動車至少有3輛是綠色的概率．（2）的所有可能取值為0，1，2…，n，，∴的分布列如下：012…nP…記①∴②①-②得：∴，∴的數(shù)學期望不能超過3．例4(2023·武昌模擬）某地為了解高三學生運動量是否達標，隨機抽取了200名同學進行調查，得到數(shù)據(jù)如下：在120名男生中，運動量達標的有60人；在80名女生中，運動量未達標的有50人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為運動量達標與性別有關.運動量達標運動量未達標合計男生人數(shù)女生人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從該地的所有高三學生（人數(shù)眾多）中逐一隨機抽取3人，記這3人中運動量達標的男生人數(shù)為隨機變量X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879答案：（1）列聯(lián)表見解析，沒有把握；（2）分布列見解析，.【解析】（1）列聯(lián)表如下：運動量達標運動量未達標合計男生人數(shù)6060120女生人數(shù)305080合計90110200∵，∴沒有95%的把握認為運動量達標與性別有關.（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，從眾多學生中隨機抽取1人，其為運動量達標的男生概率為，易知可能的取值是0，1，2，3，且，∴，，，，∴分布列為：0123∴.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.【解析】（Ⅰ）記“小球落入4號容器”為事件，若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號容器的概率.（Ⅱ）落入4號容器的小球個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列為：0123∴.2.(2023·臨沂二模）設甲?乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學上學期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）記“上學期間的某周的五天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.答案：（1）分布列答案見解析，數(shù)學期望：；（2）.【解析】（1）因為甲同學上學期間的五天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率為，所以，從而，，所以，隨機變量的分布列為：P012345X所以；（2）設乙同學上學期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且事件，由題意知，事件之間互斥，且與相互獨立，由（1）可得.【題型三正態(tài)分布】例5(2023·唐山二模）在某次數(shù)學考試中，學生成績服從正態(tài)分布.若在內的概率是，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為學生成績服從正態(tài)分布，且，所以，，，所以從參加這次考試的學生中任意選取1名學生，其成績不低于85的概率是，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是.故選：A.例6(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學研究室高三開學考試）某校高三年級有500名學生，一次考試的語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學成績的頻率分布表如下：數(shù)學成績頻率0.160.1680.480.160.032(1)如果成績高于130分為特別優(yōu)秀，則本次考試語文、數(shù)學成績特別優(yōu)秀的學生大約各多少人？(2)如果語文和數(shù)學兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些學生中隨機抽取3人，設3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：若，則，，.【解析】（1）因為語文成績服從正態(tài)分布，所以語文成績特別優(yōu)秀的概率.由頻率估計概率，得數(shù)學成績特別優(yōu)秀的概率，所以語文成績特別優(yōu)秀的學生大約有（人），數(shù)學成績特別優(yōu)秀的學生大約有（人）.（2）語文和數(shù)學成績都特別優(yōu)秀的有6人，則單科成績特別優(yōu)秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，所以，，，，故的分布列為0123P【題型精練】1．(2023·高三課時練習）某品牌手機的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．答案：0.4【解析】由題意知，，∴∴正態(tài)分布曲線的對稱軸為直線，因為，∴，故該品牌手機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4，故答案為：0.42.(2023·廣東高三模擬）某共享單車集團為了進行項目優(yōu)化，對某市月卡用戶隨機抽取了200人，統(tǒng)計了他們在同一月的使用次數(shù)（假設每月使用次數(shù)均在8至36之間）.將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.(1)求圖中的a的值；(2)設該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算），取，若該城市恰有1萬個用戶，試估計這些用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間內的人數(shù)：(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機抽取10人，其中月使用次數(shù)在