2025屆高考數(shù)學(xué)試卷專項(xiàng)練習(xí)09立體幾何與空間向量含解析

立體幾何與空間向量一、單選題1．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）在空間中，下列命題是真命題的是（）A．經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B．平行于同一平面的兩直線相互平行C．假如兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等D．假如兩個(gè)相交平面垂直于同一個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于這個(gè)平面【答案】D【解析】由三點(diǎn)共線推斷A；由線面、線線位置關(guān)系推斷B；依據(jù)等角定理推斷C；由線面平行和垂直的判定以及性質(zhì)推斷D.【詳解】當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，可以確定多數(shù)個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；平行于同一平面的兩直線可能相交，故B錯(cuò)誤；由等角定理可知，假如兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故C錯(cuò)誤；假如兩個(gè)相交平面垂直于同一個(gè)平面，且，則在平面、內(nèi)分別存在直線垂直于平面，由線面垂直的性質(zhì)可知，再由線面平行的判定定理得，由線面平行的性質(zhì)得出，則，故D正確；故選：D2．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知兩條不同的直線和不重合的兩個(gè)平面，且，有下面四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中真命題的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①④【答案】A【解析】依據(jù)線面、面面的關(guān)系一一推斷；【詳解】解：因?yàn)閮蓷l不同的直線和不重合的兩個(gè)平面，且，對(duì)于①，由，可得，故①正確；對(duì)于②，若，可得，故②正確；對(duì)于③，若，則有可能，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，則有可能，故④錯(cuò)誤．綜上，真命題的序號(hào)是①②．故選：A．3．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式是它作為燃料廣泛應(yīng)用于民用和工業(yè)中.近年來科學(xué)家通過觀測(cè)數(shù)據(jù)，證明白甲烷會(huì)導(dǎo)致地球表面溫室效應(yīng)不斷增加.深化探討甲烷，趨利避害，成為科學(xué)家面臨的新課題.甲烷分子的結(jié)構(gòu)為正四面體結(jié)構(gòu)，四個(gè)氫原子位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，碳原子位于正四面體的中心，碳原子和氫原子之間形成的四個(gè)碳?xì)滏I的鍵長(zhǎng)相同、鍵角相等.請(qǐng)你用學(xué)過的數(shù)學(xué)學(xué)問計(jì)算甲烷碳?xì)滏I之間夾角的余弦值（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為易知中心到頂點(diǎn)的距離為，由余弦定理可知故選：.4．（2024·廣東肇慶市·高三二模）牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高.明代曹昭在《格古要論·珍奇·鬼工毬》中寫道：“嘗有象牙圓毬兒一箇，中直通一竅，內(nèi)車數(shù)重，皆可轉(zhuǎn)動(dòng)，故謂之鬼工毬”.現(xiàn)有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為和的同心球（球壁的厚度忽視不計(jì)），在外球表面上有一點(diǎn)，在內(nèi)球表面上有一點(diǎn)，連接線段.若線段不穿過小球內(nèi)部，則線段長(zhǎng)度的最大值是（）A．cm B．9cm C．3cm D．2cm【答案】C【解析】本題首先可依據(jù)題意確定外球的半徑以及內(nèi)球的半徑，然后以外球表面上一點(diǎn)、內(nèi)球表面上有一點(diǎn)以及球心作截面，依據(jù)線段不穿過小球內(nèi)部得出線段與內(nèi)球相切時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，最終通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橥馇虻谋砻娣e為，內(nèi)球的表面積為，所以外球的半徑為，內(nèi)球的半徑為，如圖，以外球表面上一點(diǎn)、內(nèi)球表面上有一點(diǎn)以及球心作截面，因?yàn)榫€段不穿過小球內(nèi)部，所以當(dāng)線段與內(nèi)球相切時(shí)線段的長(zhǎng)度最大，則線段最長(zhǎng)為，故選：C.5．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完備的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：，…為邊的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在許多斐波拉契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．右圖為該螺旋線的前一部分，假如用接下來的一段圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)斐波那契數(shù)得接下來的一段圓弧的半徑為8，然后依據(jù)圓錐側(cè)面綻開圖計(jì)算出圓錐的底面半徑和高，從而可得體積，【詳解】依據(jù)已知可得所求扇形半徑為，即圓錐母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐底面半徑為，則，，圓錐的高為，所以圓錐體積為．故選：A．6．（2024·遼寧鐵嶺市·高三一模）蹴鞠（如圖所示），2006年5月20日，已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】過點(diǎn)P作，在中，依據(jù)，，求得，在中，依據(jù)，求得，再依據(jù)球心在上，得到PC為球O的直徑，再由求得半徑即可.【詳解】如圖所示：在中，因?yàn)?，，所以，即，在中，，所以，即是等腰三角形，過點(diǎn)P作，則BD=AD=,因?yàn)?，所以，，又球心在上，故PC為球O的直徑，所以，，即，解得，所以該球的表面積是.故選：C．7．（2024·遼寧高三二模（理））已知、是球的球面上兩點(diǎn)，，過作相互垂直的兩個(gè)平面截球得到圓和圓，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令圓、圓半徑分別為，由已知條件求，依據(jù)圓和圓的垂直關(guān)系求球的半徑，進(jìn)而求球體的表面積.【詳解】令圓、圓半徑分別為，由，，，∴，，且到圓的距離，∴若球的半徑為R，則，即球的表面積.故選：D.8．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在球O的表面上，平面，若與平面所成角的正弦值為，則球O表面上的動(dòng)點(diǎn)P到平面距離的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】先畫出圖形，通過幾何關(guān)系算出球的半徑即可.【詳解】如圖，因?yàn)槠矫?，，所以為球的直徑由得作，則即為與平面所成角所以，得設(shè)由等面積法得，解得所以，即，又平面過球心，所以P到平面距離即為半徑的長(zhǎng)所以P到平面距離的最大值為3.故選：B.9．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））如圖在底圓半徑和高均為的圓錐中，、是過底圓圓的兩條相互垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（）．A． B．1 C． D．【答案】A【解析】如圖所示，過點(diǎn)做，垂足為．求出，在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系如圖，求出，，，即得解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)做，垂足為．∵是母線的中點(diǎn)，圓錐的底面半徑和高均為，∴．∴．在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)．，所以，解得，即，，，該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為，故選：A10．（2024·山東淄博市·高三一模）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，頂點(diǎn)在底面的射影為，則下列結(jié)論正確的是（）A．棱上存在點(diǎn)使得面B．當(dāng)落在上時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)落在上時(shí)，四棱錐的體積最大值是2D．存在的值使得點(diǎn)到面的距離為【答案】A【解析】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，取SC中點(diǎn)P，連結(jié)PE、PD.利用面PDE∥面BFS，可以證明面；對(duì)于B：利用時(shí)，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，推斷B錯(cuò)誤；對(duì)于C：求出體積的最大值為1.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:先推斷當(dāng)?shù)淖畲髸r(shí)，點(diǎn)B到面的距離d最大；然后求出，推斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，取SC中點(diǎn)P，連結(jié)PE、PD.∵PE為△BCS的中位線，∴PE∥BS又面BFS，面BFS，∴PE∥面BFS；在矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴DE∥BF,又面BFS，面BFS，∴DE面BFS；又,∴面PDE∥面BFS，∴面.故A正確；對(duì)于B：∵為等邊三角形，，∴當(dāng)時(shí)，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，與已知條件相悖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在Rt△SHE中，，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為1.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:由選項(xiàng)C的推導(dǎo)可知：當(dāng)?shù)淖畲髸r(shí)，點(diǎn)B到面的距離d最大.此時(shí)∴∴.故D錯(cuò)誤.故選：A11．（2024·山東濱州市·高三一模）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動(dòng)點(diǎn)滿意，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】B【解析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)所以點(diǎn)的軌跡是橢圓．故選：B.二、多選題12．（2024·廣東湛江市·高三一模）在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB，將沿BD折起，使C到C'的位置（C與C'不重合），E，F(xiàn)分別為線段AB，AC'的中點(diǎn)，H在直線DC'上，那么在翻折的過程中（）A．DC'與平面ABD所成角的最大值為B．F在以E為圓心的一個(gè)定圓上C．若BH丄平面ADC'，則D．當(dāng)AD丄平面BDC'時(shí)，四面體C'-ABD的體積取得最大值【答案】ACD【解析】依據(jù)線面角的學(xué)問確定A選項(xiàng)的正確性；依據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)推斷B選項(xiàng)的正確性；求得，由此確定C選項(xiàng)的正確性；結(jié)合錐體體積求法，確定D選項(xiàng)的正確性.【詳解】如圖，在梯形中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于，所以三角形是等邊三角形，所以，故，.在將沿翻折至的過程中，的大小保持不變，由線面角的定義可知，與平面所成角的最大值為，故A正確.因?yàn)榇笮〔蛔?，所以在翻折的過程中，的軌跡在以為軸的一個(gè)圓錐的底面圓周上，而是的中位線，所以點(diǎn)的軌跡在一個(gè)圓錐的底面圓周上，但此圓的圓心不是點(diǎn)，故B不正確.當(dāng)平面時(shí)，.因?yàn)?，所以，所以，故C正確.在翻折的過程中，的面積不變，所以當(dāng)平面時(shí)，四面體的體積取得最大值，故D正確.故選：ACD13．（2024·山東高三專題練習(xí)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近，若取，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則（）A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米 B．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為平方米 D．正四棱錐的側(cè)面積為平方米【答案】AC【解析】利用已知條件畫出圖像，設(shè)O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，利用線面角的定義得出，依據(jù)已知條件得到各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出正四棱錐的側(cè)面積即可.【詳解】如圖，在正四棱錐中，O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，則，設(shè)底面邊長(zhǎng)為．因?yàn)椋裕谥?，，所以，底面邊長(zhǎng)為6米，平方米．故選：AC.14．（2024·江蘇常州市·高三一模）1982年美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)出了一道題：一個(gè)正四面體和一個(gè)正四棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，將正四面體的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個(gè)新幾何體.中學(xué)生丹尼爾做了一個(gè)如圖所示的模型寄給美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)依據(jù)丹尼爾的模型修改了有關(guān)結(jié)論.對(duì)于該新幾何體，則（）A．B．C．新幾何體有7個(gè)面D．新幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)不能在同一個(gè)球面上【答案】ABD【解析】依據(jù)棱長(zhǎng)相等的正四面體和正四棱錐組成幾何體--斜三棱柱，利用它們的性質(zhì)證線線平面、異面直線垂直、四點(diǎn)共面即可推斷A、B、C的正誤，由斜棱柱的性質(zhì)推斷D的正誤.【詳解】由題意，正四面體和正四棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，G、H為BC、ED的中點(diǎn)，連接FG、AH、GH，即，∴，，，故A、B正確；∴四點(diǎn)共面，即新幾何體為斜三棱柱，有5個(gè)面且無外接球，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.15．（2024·江蘇鹽城市·高三二模）對(duì)于兩條不同直線和兩個(gè)不同平面，下列選項(xiàng)中正確的為（）A．若，則 B．若，則或C．若，則或 D．若，則或【答案】ACD【解析】依據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系推斷．【詳解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；若，可平行，可相交，可異面，不肯定垂直，B錯(cuò)；若，則或，與不相交，C正確；若，則或，與不相交，D正確．故選：ACD．16．（2024·廣東廣州市·高三二模）如圖，已知長(zhǎng)方體中，四邊形為正方形，，，，分別為，的中點(diǎn).則（）A．B．點(diǎn)???四點(diǎn)共面C．直線與平面所成角的正切值為D．三棱錐的體積為【答案】BCD【解析】利用反證法證明A；連接AC，證明，即可證明四點(diǎn)共面推斷B；由題意知，為直線與平面所成角，在直角中求解即可推斷C；連接，利用等體積法求解三棱錐的體積可推斷D.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)，由題意知平面，平面，，又，平面，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知與平面不垂直，故假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，，，由于，分別為，的中點(diǎn)，，又因?yàn)殚L(zhǎng)方體，知，，所以點(diǎn)???四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，由題意可知平面，為直線與平面所成角，在直角中，，，則，故C正確；對(duì)于D，連接，，，則，利用等體積法知：，故D正確故選：BCD17．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）是正方體中線段上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)異于點(diǎn))，下列說法正確的是（）A．B．異面直線與所成的角是C．的大小與點(diǎn)位置有關(guān)D．二面角的大小為【答案】ABD【解析】依據(jù)平面即可推斷A正確；求出異面直線與所成的角即可知B正確；依據(jù)等積法可知的大小與點(diǎn)位置無關(guān)，C錯(cuò)誤；依據(jù)二面角的定義可知D正確.【詳解】對(duì)A,因?yàn)?所以平面,而平面,所以,正確;對(duì)B,異面直線與所成的角即為異面直線與所成的角,因?yàn)?所以即為異面直線與所成的角,而為等邊三角形,所以,正確；對(duì)C,因?yàn)樗倪呅螢榫匦?所以為定值,而平面,點(diǎn)到平面的距離為定值，故為定值，錯(cuò)誤；對(duì)D，二面角的平面角即為二面角的平面角，由二面角的定義可知，為二面角的平面角，易知,正確.故選：ABD.18．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖三棱錐，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱錐的外接球，則（）A．球心到平面的距離是 B．球心到平面的距離是C．球的表面積是 D．球的體積是【答案】BC【解析】依據(jù)題意，結(jié)合棱錐滿意的條件，將棱錐放到正方體中，計(jì)算各量，對(duì)選項(xiàng)逐項(xiàng)分析，得到結(jié)果.【詳解】三棱錐可置于棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，正方體的上底面的中點(diǎn)即為此三棱錐的頂點(diǎn)，如下圖的，分別設(shè)，為?外接圓圓心，所以A錯(cuò)；因?yàn)?，則是的中點(diǎn).在等腰三角形中，，設(shè)其外接圓半徑為(如圖)，則，得：，解得，.所以，B對(duì)；設(shè)三棱錐外接球半徑為在中，，，所以，解得.從而.所以C對(duì)，D錯(cuò).故選：BC.19．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講競(jìng)賽，本次競(jìng)賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖，已知球的體積為，托盤由邊長(zhǎng)為的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖.則下列結(jié)論正確的是（）

A．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為B．異面直線與所成的角的余弦值為C．直線與平面所成的角為D．球離球托底面的最小距離為【答案】BCD【解析】求出外接圓面積推斷A，作出異面直線所成的角并求出這個(gè)角后推斷是B，依據(jù)直線民平面所成的角定義推斷C，求出球心到平面的距離可推斷D．【詳解】依據(jù)圖形的形成，知三點(diǎn)在底面上的射影分別是三邊中點(diǎn)，如圖，與全等且所在面平行，截面圓就是的外接圓與的外接圓相同．由題意的邊長(zhǎng)為1，其外接圓半徑為，圓面積為，A錯(cuò)；由上面探討知與平行且相等，而與平行且相等，因此與平行且相等，從而是平行四邊形，，所以是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）．由已知，，，，，B正確；由平面與平面垂直知在平面內(nèi)的射影是，所以為直線與平面所成的角，此角大小，C正確．由上面探討知，設(shè)是球心，球半徑為，由得，則是正四面體，棱長(zhǎng)為1，設(shè)是的中心，則平面，又平面，所以，，則，又．所以球離球托底面的最小距離為，D正確．故選：BCD．20．（2024·山東高三專題練習(xí)）透亮塑料制成的正方體密閉容器的體積為注入體積為的液體.如圖，將容器下底面的頂點(diǎn)置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，則下列說法正確的是（）A．液面始終與地面平行B．時(shí)，液面始終是平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，有液體的部分可呈正三棱錐D．當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積最大值為【答案】ACD【解析】依據(jù)正方體的截面推斷．【詳解】液面始終是水平面，與場(chǎng)面平行，A正確；時(shí)，體積是正方體的一半，如液面正好過棱的中點(diǎn)，此時(shí)液面是正六邊形，不是平行四邊形，B錯(cuò)；液面過的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，有液體的部分是正三棱錐，C正確；當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積的液面面積最大時(shí)就是B中所列舉的正六邊形（此時(shí)液體體積是正方體體積的一半），面積為，D正確．故選：ACD．21．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）如圖，棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍蚍謩e是棱和棱的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列結(jié)論成立的有（）A．存在點(diǎn)使垂直于平面B．對(duì)于隨意點(diǎn)平面C．直線的被球截得的弦長(zhǎng)為D．過直線的平面截球所得的全部圓中，半徑最小的圓的面積為【答案】ACD【解析】A.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，證明平面；B.當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在平面上，在平面外，說明不成立；C.點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)；D.當(dāng)垂直于過的平面，此時(shí)截面圓的面積最小，利用C的結(jié)果求圓的面積.【詳解】當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，，平面，平面平面，平面，，同理，，所以平面，即平面，故A正確；當(dāng)與重合時(shí)，在平面上，在平面外，故B不正確;如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，由勾股定理可知易知球心到距離為，則被球截得的弦長(zhǎng)為故C正確;當(dāng)垂直于過的平面，此時(shí)截面圓的面積最小，此時(shí)圓的半徑就是，面積為，故D正確.故選：ACD22．（2024·廣東廣州市·高三一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，是棱上的一條線段，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（）A．與肯定不垂直 B．二面角的正弦值是C．的面積是 D．點(diǎn)到平面的距離是常量【答案】BCD【解析】對(duì)A，當(dāng)與重合時(shí)不滿意；對(duì)B，可得即為二面角的平面角，求出即可；對(duì)C，可得即為三角形的高，求出面積即可推斷；對(duì)D，由平面可推斷.【詳解】對(duì)A，當(dāng)與重合時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，故平面也是平面，平面，則,則即為二面角的平面角，，則，則，故B正確；對(duì)C，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，且，則的距離即為三角形的高，平面，，則即為三角形的高，，故C正確；對(duì)D，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，，則平面，則點(diǎn)到平面的距離為常量，故D正確.故選：BCD.23．（2024·山東濟(jì)寧市·高三一模）如圖，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BD【解析】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式推斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可推斷選項(xiàng)B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求范圍即可推斷選項(xiàng)C；將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則，利用已知條件求解即可推斷選項(xiàng)D.【詳解】在中，，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐的側(cè)面積為：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為：；故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c不重合，則，又，可得，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖：則，因?yàn)?，，則，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.24．（2024·廣東肇慶市·高三二模）在長(zhǎng)方體中，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．平面B．與平面所成角的正切值的最大值是C．的最小值為D．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)是【答案】ACD【解析】證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可推斷A選項(xiàng)的正誤；求出的最小值，利用線面角的定義可推斷B選項(xiàng)的正誤；將沿翻折與在同一平面，利用余弦定理可推斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)是以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的一點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，推斷出點(diǎn)的軌跡，可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】

對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，平面，所以，與平面所成角為，，所以，當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正切值的最大，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，的最大值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，將沿翻折與在同一平面，如下圖所示：在中，為直角，，，在中，，，由余弦定理可得，則為銳角，可得，，由余弦定理可得，此時(shí)，因此，的最小值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)是以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的一點(diǎn)，由于平面，平面，，，所以交線為以為圓心，為半徑的四分之一圓周，所以交線長(zhǎng)是，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.25．（2024·廣東深圳市·高三一模）在空間直角坐標(biāo)系中，棱長(zhǎng)為1的正四面體的頂點(diǎn)A，B分別為y軸和z軸上的動(dòng)點(diǎn)（可與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合），記正四面體在平面上的正投影圖形為S，則下列說法正確的有（）A．若平面，則S可能為正方形B．若點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，則S的面積為C．若，則S的面積不行能為D．點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離不行能為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，舉例說明可能性成馬上可；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，到的距離均為，再利用正四面體兩個(gè)面所成二面角的正弦值為，從而可求出結(jié)果；對(duì)于C，當(dāng)位于軸上時(shí)，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中，從而可求得結(jié)果；對(duì)于D，由正四面體的性質(zhì)可知到的距離為，當(dāng)時(shí)，到的距離最大，進(jìn)而可求出的最大值【詳解】對(duì)于A，如圖，當(dāng)B為時(shí)，正投影圖形為正方形，所以A正確；對(duì)于B，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，兩點(diǎn)已定，即在軸上，此時(shí)正四面體在空間中的形態(tài)已定，到的距離就是正三角形的高，均為，則正四面體在平面上的正投影圖形為以為腰，1為底的等腰三角形，所以，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)位于軸上時(shí)，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中,如圖所示，可知投影到面為正方形，且邊長(zhǎng)為，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，頂點(diǎn)到的距離為，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則,得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且為，所以的最大值為，所以D正確，故選：ABD26．（2024·山東高三專題練習(xí)）在南方不少地區(qū)，常?？吹饺藗冾^戴一種用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，隨著旅游和文化溝通活動(dòng)的開展，斗笠也漸漸成為一種時(shí)尚旅游產(chǎn)品.有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，依據(jù)人的體型、高矮等制作成大小不一的型號(hào)供人選擇運(yùn)用，不同型號(hào)的斗笠大小常常用帽坡長(zhǎng)（母線長(zhǎng)）和帽底寬（底面圓直徑長(zhǎng)）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個(gè)“燈罩斗笠”，帽坡長(zhǎng)20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下面說法正確的是（）A．斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為B．過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上隨意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米C．若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上全部點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為厘米【答案】ACD【解析】先求出截面的頂角的一半，即可求出頂角推斷選項(xiàng)A；利用三角形的面積公式以及三角函數(shù)值的范圍可推斷選項(xiàng)B；求出圓錐形的斗笠外接球的半徑即可得球的表面積可推斷選項(xiàng)C；求出圓錐形的斗笠內(nèi)切球的半徑即截面圓的半徑即可推斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，所以，所以，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，截面三角形面積和，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)外接球球心為，半徑為，∴在中，由勾股定理可得：，解得：所以該球的表面積，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)球心為，截面主視圖如下圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，各邊長(zhǎng)分別為,，所以，解得：，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD27．（2024·山東濱州市·高三一模）若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體的棱長(zhǎng)不全相等，則其體積的值可能為（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】依據(jù)棱長(zhǎng)為1的棱的條數(shù)分類探討計(jì)算四面體的體積，然后推斷可得．【詳解】依據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊性質(zhì)，知四面體中棱長(zhǎng)為1的棱最多有3條，（1）若只有一條棱長(zhǎng)度為1，如圖，其余棱長(zhǎng)都為2，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，又是平面內(nèi)兩相交直線，則平面，由已知，則，，，；（2）若有兩條棱長(zhǎng)度為1，還是如（1）中的圖形，，解法如（1），只是有，，；（3）若有兩條棱長(zhǎng)度為1，如圖，，四面體為正三棱錐，設(shè)是正三棱錐的高，是的外心，，，，．故選：ABC．28．（2024·山東日照市·高三一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，為的中點(diǎn)，為所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓B．若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為C．若點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為拋物線D．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，依據(jù)正方體的性質(zhì)計(jì)算出，依據(jù)圓的定義可得答案；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，依據(jù)，，可得點(diǎn)的軌跡為圓，依據(jù)圓的面積公式計(jì)算可得結(jié)果；對(duì)于C，將點(diǎn)到直線轉(zhuǎn)化為，再依據(jù)拋物線的定義可得結(jié)果；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式列式可解得結(jié)果.【詳解】如圖：對(duì)于A，依據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，所以為與平面所成的角，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓；故A正確；對(duì)于B，在直角三角形中，，取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在過點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，又，所以點(diǎn)的軌跡為以為半徑的圓，其面積為，故B不正確；對(duì)于C，連接，因?yàn)槠矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離，又不在直線上，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故C正確；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，因?yàn)榕c所成的角為，所以，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故D正確.故選：ACD29．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐S－BCDE底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a，正三棱錐A－SBE底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a，則下列說法正確的是（）

A．AS⊥CDB．正四棱錐S－BCDE的外接球半徑為C．正四棱錐S－BCDE的內(nèi)切球半徑為D．由正四棱錐S－BCDE與正三棱錐A－SBE拼成的多面體是一個(gè)三棱柱【答案】ABD【解析】取中點(diǎn)，證明平面即可證；設(shè)底面中心為，有，可求得球半徑為；用等體積法求內(nèi)切球半徑即可推斷；由且可知多面體是一個(gè)三棱柱.【詳解】如圖所示：

A選項(xiàng)：取中點(diǎn)連接，正三棱錐中，又，所以平面，則，又所以，故A正確；B選項(xiàng)：設(shè)底面中心為，球心為半徑為，因?yàn)檎睦忮FS－BCDE外接球球心在上，所以，因?yàn)?，正四棱錐S－BCDE底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a所以，由得解得，故B正確；C選項(xiàng)：設(shè)內(nèi)切球半徑為，易求得側(cè)面面積為，由等體積法得解得，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，則和分別是和的二面角的平面角，由，故與互補(bǔ)，所以共面，又因?yàn)椋瑒t為平行四邊形，故故正四棱錐S－BCDE與正三棱錐A－SBE拼成的多面體是一個(gè)三棱柱，所以D正確故選：ABD30．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）如圖，在正方形中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖所示的四棱錐，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則在四棱錐中，下列說法正確的有（）A．四點(diǎn)不共面 B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．三棱錐的體積為定值 D．存在點(diǎn)使得直線與直線垂直【答案】AB【解析】假設(shè)直線與直線在同一平面上，所以在平面上，得出與重合，進(jìn)而得到四點(diǎn)不共面，可判定正確；當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，得到，取的中點(diǎn)，證得四邊形為平行四邊形，可判定正確；依據(jù)的移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)到平面的距離在改變，可判定不正確；先證得，得出與重合，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，假設(shè)直線與直線在同一平面上，所以在平面上，又因?yàn)樵诰€段上，平面，所以與重合，與異于沖突，所以直線與直線必不在同一平面上，即四點(diǎn)不共面，故正確；對(duì)于B中，當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，可得，再取的中點(diǎn)，則且，四邊形為平行四邊形，所以，則直線與平面平行，故正確；對(duì)于C中，由題，但的移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)到平面的距離在改變，所以的體積不是定值，故不正確；對(duì)于D中，.過作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平?過作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以，若存在點(diǎn)使得直線與直線垂直，由平面平面，且平面，，所以平面，所以與重合，與三角形是以為直角的三角形沖突，所以不存在點(diǎn)使得直線與直線垂直，所以D不正確.故選：AB.31．（2024·湖南岳陽市·高三一模）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，點(diǎn)P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線AC與BD所成的角為60°B．是等邊三角形C．面積的最小值為D．四面體ABCD的外接球的表面積為8π【答案】BCD【解析】取的中點(diǎn)，連接，利用等腰三角形三線合一，可得，從而可得，可推斷A；通過計(jì)算，可得為正三角形；由長(zhǎng)為2，所以只需求出邊上高的最小值就是面積的最小值；由于，所以四面體的外接球的半徑為，從而可求出其表面積．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，，所以平面，平面，所以，異面直線AC與BD所成的角為90°，不是60°，所以A錯(cuò)；對(duì)于B，因?yàn)椋?，同理，所的是等邊三角形，所以B對(duì)；對(duì)于C，因?yàn)椋砸竺娣e的最小值，只須求BC邊上高的最小值，此最小值恰為異面直線AD與BC的距離，設(shè)為h，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫灾本€AD到平面距離即為h，即點(diǎn)D到平面距離為h，因?yàn)?，所以，解得，所以面積的最小值，所以C對(duì)；對(duì)于D，由于，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為，所以表面積為，所以D對(duì)．故選：BCD．

32．（2024·河北唐山市·高三二模）三棱錐的三視圖如圖，圖中所示頂點(diǎn)為棱錐對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的投影，正視圖與側(cè)視圖是全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長(zhǎng)為的正方形，則（）A．該棱錐各面都是直角三角形 B．直線與所成角為C．點(diǎn)究竟面的距離為 D．該棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【解析】依據(jù)三視圖可知三棱錐幾何特征，即可逐項(xiàng)分析.【詳解】由三視圖可知三棱錐的底面為直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，且，如圖，其中為等邊三角形，故A錯(cuò)誤；由側(cè)視圖可知直線與所成角為，故B錯(cuò)誤；由正視圖，側(cè)視圖可知點(diǎn)究竟面的距離為，故C正確；由條件可知三棱錐外接球的直徑為，所以，故D正確.故選：CD33．（2024·山東棗莊市·高三二模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是內(nèi)部(不包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的可能取值為()A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由所給條件探求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，然后在三角形中求出點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)P的距離范圍得解.【詳解】在正方體AC1中，連接AC，A1C1，，如圖，BD⊥AC，BD⊥AA1，則BD⊥平面ACC1A1，因AP⊥BD，所以平面ACC1A1，又點(diǎn)P是△B1CD1內(nèi)部(不包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，連接CO，平面B1CD1平面ACC1A1=CO，所以點(diǎn)P在線段CO上(不含點(diǎn)C，O)，連接AO，在等腰△OAC中，，而底邊AC上的高為1，腰OC上的高，從而有，都符合，不符合.故選：ABC34．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A．與所成角的余弦值為B．過三點(diǎn)、、的正方體的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．正方體中，點(diǎn)在底面（所在的平面）上運(yùn)動(dòng)并且使，那么點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】AB【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由異面直線方向向量的夾角為與所成角的余弦值推斷A的正誤；同樣設(shè)結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)表示，且由等角的余弦值相等可得，進(jìn)而推斷P的軌跡知D的正誤；由立方體的截面為梯形，分別求，進(jìn)而得到梯形的高即可求面積，推斷B的正誤；由四面體的體積與內(nèi)切球半徑及側(cè)面面積的關(guān)系求內(nèi)切球半徑r，進(jìn)而求內(nèi)切球表面積，推斷C的正誤.【詳解】A：構(gòu)建如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則有：，∴，，故正確.B：若N為的中點(diǎn)，連接MN，則有，如下圖示，∴梯形AMND’為過三點(diǎn)、、的正方體的截面，而，可得梯形的高為，∴梯形的面積為，故正確.C：如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)直棱錐的體積，∴，而四面體的棱長(zhǎng)都為，有表面積為，∴若其內(nèi)切圓半徑為，則有，即，所以內(nèi)切球的表面積為.故錯(cuò)誤.D：正方體中，點(diǎn)在底面（所在的平面）上運(yùn)動(dòng)且，即的軌跡為面截以AM、AP為母線，AC’為軸的圓錐體側(cè)面所得曲線，如下圖曲線，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，，若，則，∴，，即，整理得，即軌跡為雙曲線的一支，故錯(cuò)誤.故選：AB35．（2024·山東德州市·高三一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上（不含端點(diǎn)）且，將，分別沿，折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）．A．B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球體積為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：證明面，得；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，利用分隔補(bǔ)形法求三棱錐的外接球體積；C選項(xiàng)：利用等體積法求三棱錐的體積；D選項(xiàng)：利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】A選項(xiàng)：正方形由折疊的性質(zhì)可知：又面又面，；故A正確.B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在中，，則由A選項(xiàng)可知，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，把三棱錐放置在長(zhǎng)方體中，可得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，三棱錐的外接球半徑為，體積為，故B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在中，，則故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則在中，，則即故D正確；故選：ACD36．（2024·遼寧高三二模）如圖，直三棱柱中，全部棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)為棱上隨意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與直線所成角的范圍是B．在棱上存在一點(diǎn)，使平面C．若為棱的中點(diǎn)，則平面截三棱柱所得截面面積為D．若為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為【答案】AC【解析】由異面直線夾角求法可推斷A；利用反證法結(jié)合線面垂直的判定及性質(zhì)可推斷B；利用線線平行得到平面截三棱柱所得截面為等腰梯形，即可求得面積推斷C；由面積公式知不變，利用等體積知可求得體積的最大值可推斷D.【詳解】對(duì)于A，由直三棱柱，，為直線與直線所成角，當(dāng)與重合時(shí)，直線與直線所成角為0，當(dāng)與重合時(shí)，直線與直線所成角為，所以直線與直線所成角的范圍是，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)平面，又平面，，設(shè)中點(diǎn)為，則，則平面，所以在平面上的射影為，由三垂線定理得，又因?yàn)闉檎叫?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，與點(diǎn)為棱上一點(diǎn)沖突，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則平面截三棱柱所得截面為等腰梯形，，，在直角中，，所以梯形的高為，梯形的面積為，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以?dāng)與重合時(shí)，三棱錐的體積最大，取中點(diǎn)，則平面，得，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題37．（2024·山東淄博市·高三一模）已知某圓錐底面圓的半徑，側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為______.【答案】【解析】圓錐底面圓的周長(zhǎng),為綻開圖形中扇形的弧長(zhǎng).依據(jù)綻開圖為半圓可求得圓錐的母線長(zhǎng),即可由勾股定理求得圓錐的高,進(jìn)而求得圓錐的體積.【詳解】圓錐底面圓的半徑則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為由圓錐的綻開圖中,底面圓的周長(zhǎng)為綻開扇形的弧長(zhǎng),由綻開圖為半圓可得設(shè)綻開后半圓的半徑為,則,解得又由圓錐的結(jié)構(gòu)可知,圓錐的母線為所以圓錐的高為則圓錐的體積為故答案為:38．（2024·山東德州市·高三一模）已知三棱錐中，、、三條棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為，以頂點(diǎn)為球心，4為半徑作一個(gè)球，則該球面被三棱錐四個(gè)表面截得的全部弧長(zhǎng)之和為______．【答案】【解析】采納數(shù)形結(jié)合，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知：、、三條棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為如圖：所以，所以，則所以，則所以球面被三棱錐四個(gè)表面截得的全部弧長(zhǎng)之和為故答案為：39．（2024·河南高三月考（文））在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為_________．【答案】【解析】首先作平面，垂足為H．連接，得到，，從而，依據(jù)四棱錐的體積為，得到，再設(shè)出外接球的球心，得到方程，解方程再求外接球體積即可.【詳解】如圖所示：作平面，垂足為H．連接，則H為的中點(diǎn)．設(shè)，則，，從而，故四棱錐的體積為，解得．由題意可知正四棱錐外接球的球心O在上，連接．設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R，則，即解得，故該四棱錐外接球的體積為．故答案為：40．（2024·聊城市·山東聊城一中高三一模）我國(guó)南北朝時(shí)代的祖暅提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的隨意平面所截，假如截得的兩個(gè)截面的面積總是相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等(如圖1)．在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線y=0，y=2圍成的封閉圖形記為D，如圖2中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為，利用祖暅原理試求的體積為________．【答案】【解析】分別求出直線與漸近線以及與雙曲線一支的交點(diǎn)，再求出繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為的水平截面面積，利用祖暅原理得出的體積．【詳解】直線與漸近線交于點(diǎn)，與雙曲線一支交于點(diǎn)∵繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為，過，作的水平截面，則截面面積為，利用祖暅原理得的體積相當(dāng)于底面面積為，高為2的圓柱，.故答案為：41．（2024·江蘇鹽城市·高三二模）在四棱錐中，面四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且．若點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則直線被四棱錐的外接球所截得的線段長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】依據(jù)面四邊形是正方形，易得外接球的球心O為PC的中點(diǎn)，取EF的中點(diǎn)G,依據(jù)，得到，然后利用圓的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)槊嫠倪呅问钦叫?，所以均為以為斜邊的直角三角形，所以外接球的球心O為PC的中點(diǎn)，則,取EF的中點(diǎn)G,因?yàn)椋?，則，所以，所以球心到直線的距離為，所以，所以所截得的線段長(zhǎng)為，故答案為：.42．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者留意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一．假如把按計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．【答案】【解析】可得正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長(zhǎng)為，可得，，即可表示出外接球的表面積和正二十面體的表面積，得出答案.【詳解】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長(zhǎng)為，則，得，所以正五棱錐的頂點(diǎn)究竟面的距離是，所以，即，解得．所以該正二十面體的外接球表面積為，而該正二十面體的表面積是，所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．故答案為：.43．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）拿破侖定理是法國(guó)聞名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以隨意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知內(nèi)接于單位圓，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，.若，則的面積最大值為_______.【答案】【解析】設(shè)，求出，從而可得，在中，設(shè)，由正弦定理用表示出，這樣就表示為的函數(shù)，然后由降冪公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值，從而得面積最大值．【詳解】解：設(shè)，由題意以邊向外作等邊三角形，其外接圓圓心分別為，連接并延長(zhǎng)分別交于，則，同理，都是等邊三角形，則，又，則，所以，是正三角形，所以其面積為，內(nèi)接于單位圓，即其外接圓半徑為，則，同理，設(shè)，則，，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的面積最大值為．故答案為：．44．（2024·廣東汕頭市·高三一模）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的直角三角形，二面角的大小為，則該三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】設(shè)三棱錐的外接球?yàn)榍?，過點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，球的半徑為，依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，由此可求得球的表面積.【詳解】設(shè)三棱錐的外接球?yàn)榍颍^點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，為的外接圓半徑，平面，平面，，由勾股定理得，，設(shè)外接球的半徑為，則，①是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，，由球的幾何性質(zhì)可得平面，平面，，所以，為二面角的余角，又因?yàn)槎娼堑拇笮?，，在中，由余弦定理得，②因?yàn)闉榈冗叺母?，則，由①②得，，，因此，球的表面積為.故答案為：.45．（2024·山東煙臺(tái)市·高三一模）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面分別切于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為___________.【答案】【解析】依據(jù)正三棱錐的性質(zhì)結(jié)合圖形，利用比例關(guān)系求出內(nèi)切圓的半徑，再求出側(cè)面切點(diǎn)所在圓的半徑，即可求出【詳解】如圖，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，為內(nèi)切球與側(cè)面的切點(diǎn)，為側(cè)面上切點(diǎn)所在小圓的圓心，半徑為，為等邊三角形，,,,,,,即,，解得，,由正三棱錐的定義知，內(nèi)切圓與三個(gè)側(cè)面相切，切點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等邊三角形，故,由余弦定理可得，所以故答案為：46．（2024·湖南衡陽市·高三一模）設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)（異于、），若，三棱錐的外接球表面積為，則圓錐的體積為___________.【答案】或【解析】計(jì)算出三棱錐的外接球的半徑，利用勾股定理可求得圓錐的高，進(jìn)而可求得該圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的外接球球心為，則在直線上，設(shè)球的半徑為，則，解得.由勾股定理得，即，可得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，圓錐的體積為；當(dāng)時(shí)，圓錐的體積為.故答案為：或.47．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，以A為球心半徑為的球面與正方體表面的交線長(zhǎng)為___________．【答案】【詳解】如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)所在的三個(gè)面上，即面、面和面上；另一類在不過頂點(diǎn)的三個(gè)面上，即面、面和面上．在面上，交線為弧且在過球心的大圓上，因?yàn)?，，則，同理，所以，故弧的長(zhǎng)為，而這樣的弧共有三條．在面上，交線為弧且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為，半徑為，，所以弧的長(zhǎng)為，這樣的弧也有三條，于是，所得的曲線長(zhǎng)為，故答案為.48．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，