2025屆高考數(shù)學基礎總復習提升之專題突破詳解專題29二項式定理及賦值法含解析

PAGEPAGE7專題29二項式定理及賦值法一．學習目標【學習目標】1．能用計數(shù)原理證明二項式定理；嫻熟駕馭二項綻開式的通項公式．2．會用二項式定理解決與二項綻開式有關的簡潔問題．二．方法歸納1.運用二項式定理肯定要牢記通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，留意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但詳細到它們綻開式的某一項是不相同的，我們肯定要留意依次問題，另外二項綻開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同概念，前者只指Ceq\o\al(r,n)，而后者是指字母外的部分.2.求二項綻開式中指定的項，通常是先依據(jù)已知條件求r，再求Tr＋1，有時還需先求n，再求r，才能求出Tr＋1.3.有些三項綻開式問題可以通過變形，變成二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要留意分類清晰，不重不漏.4.對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質，其次要駕馭賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.5.近似計算首先要視察精確度，然后選取綻開式中的若干項.6.用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再綻開，常采納“配湊法”，“消去法”協(xié)作整除的有關學問來解決.三．命題類型及陷阱1.求綻開式的項及系數(shù)方法：干脆運用二項式定理的通項公式2．求二項式系數(shù)及二項式系數(shù)防陷阱方法：區(qū)分兩者的區(qū)分3.求綻開式的系數(shù)之和解法：賦值求和4.求系數(shù)的肯定值之和解法：把式子中的負號變正后再賦值5.賦值法用途：求含參數(shù)的較難的二項式問題6.用計數(shù)原理求項用法：對于多項式乘法求某項7.二項式定理與其它學問的綜合四．命題類型講解及訓練1.求綻開式的項例1已知等差數(shù)列{an}的通項公式為，則的綻開式中含項的系數(shù)是該數(shù)列的()A.第9項B.第10項C.第19項D.第20項【答案】D【解析】因為綻開式中含項的系數(shù)是，∴由得，故選D.練習1．對于二項式，四位同學作了四種推斷，其中正確的是()（1）存在，綻開式中有常數(shù)項；（2）對隨意,綻開式中沒有常數(shù)項；（3）對隨意,綻開式中沒有的一次項；（4）存在,綻開式中有的一次項。A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)【答案】D【解析】綻開式的通項為，當時，為常數(shù)項.當時，為一次項.故選.2．已知綻開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)是常數(shù)，則綻開式中各項系數(shù)的和是（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】通項為，，即，解得，當時，令，求得和為，當時，令，求得和為.3．的綻開式的各項系數(shù)之和為()A.B.C.D.【答案】C4．若的綻開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則綻開式中全部項系數(shù)之和為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意知：，所以，故，令得全部項系數(shù)之和為.2．求二項式系數(shù)及二項式系數(shù)之和例2(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n綻開式中全部二項式系數(shù)和為()A.2n+1B.2n+1+1C.2n+1-1D.2n+1-2【答案】D【解析】令可得題中綻開式全部二項式系數(shù)和為：.本題選擇D選項.練習1．，且，則等于（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】令，得.∴，∴.3.整除問題例3.若為正奇數(shù)，則被9除所得的余數(shù)是()A.0B.2C.7D.8【答案】C【解析】原式，為正奇數(shù)，，則余數(shù)為7，故選C.【方法總結】本題主要考查了二項式應用問題，屬于基礎題，對于二項綻開式應用的問題是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項綻開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項式定理的應用．練習1.除以，所得余數(shù)是()A.B.C.D.【答案】A【解析】，綻開式的通項為，不能被整除即時，余數(shù)為，由于余數(shù)要為正數(shù)，故加，得.【點睛】本題主要考查利用二項式定理解有關整除問題，關鍵在于將原式轉化為的倍數(shù)來綻開.二項式的應用：（1）求某些多項式系數(shù)的和；（2）證明一些簡潔的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡潔多項式的整除問題；（4）近似計算.4.求系數(shù)的肯定值之和例4.的綻開式中，系數(shù)肯定值最大的是()A.第4項B.第4、5兩項C.第5項D.第3、4兩項【答案】B練習1、(|x|+2)3綻開式中的常數(shù)項為()A.20B.8C.一8D.一20【答案】C【解析】由題意可得：，結合通項公式有：，常數(shù)項滿意：，即常數(shù)項為：.本題選擇C選項.5.賦值法例5.．已知，則等于（）A.215B.214C.28D.27【答案】B【解析】∴，故選B.練習1.設，則中奇數(shù)的個數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】因為，，所以計數(shù)的個數(shù)是，故選A.練習2.記，則的值為（）A.1B.2C.129D.2188【答案】C【解析】在中，令，可得，，所以，故選C.【方法總結】本題主要考查二項綻開式定理的通項與各項系數(shù)和，屬于簡潔題.二項綻開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項綻開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項綻開式定理的應用.3.設則(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2的值為()A.1B.－1C.0D.2【答案】A【解析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A4.，則_______.【答案】285.若，則________.(用數(shù)字作答)【答案】2009【解析】令，則.[高$考`試(題﹤庫ɡ:Κ_S╝T≦Κ]令，則.∴6.用計數(shù)原理求項例6.在的綻開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．【答案】60【解析】，它綻開式中的第項為，令，則，的系數(shù)為，故答案為練習1.求綻開式中含的項．【答案】【解析】試題分析：由，可得綻開式中第項為，由題意可得或或，即可求解的系數(shù).試題解析：，則綻開式中第項為.令，則.∵,，且，∴或或.∴綻開式中含的項為.【方法總結】本題主要考查二項綻開式的系數(shù)問題的求解，屬于簡潔題，依據(jù)二項式綻開式的通項，確定二項式系數(shù)或確定二項綻開式中的指定項，是二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項綻開式的系數(shù)的性質、二項式綻開式的通項求解.本題能較好地考查考生的思維實力、基本計算實力等.7.二項式定理應用與其它學問的綜合例7.已知，則的值等于（）A.64B.32C.63D.31【答案】C【方法總結】二項式通項與綻開式的應用(1)通項的應用：利用二項綻開式的通項可求指定項或指定項的系數(shù)等.(2)綻開式的應用：①可求解與二項式系數(shù)有關的求值，常采納賦值法.②可證明整除問題(或求余數(shù)).關鍵是要合理地構造二項式，并將它綻開進行分析推斷.③有關組合式的求值證明，常采納構造法.練習1.設，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋a3＋…＋a8＝()A.－1B.0C.1D.256【答案】B【解析】∵＝(－cosx－sinx)＝(－cosπ－sinπ)－(－cos0－sin0)＝2，∴(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a8＝0，故選B.2．若(1－2x)2016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016x2016，則的值為()A.2B.0C.－1D.－2【答案】C【解析】當x＝0時，左邊＝1，右邊＝a0，∴a0＝1.當時，左邊＝0，右邊＝a0＋，∴0＝1＋.即.3.下邊程序框圖的算法思路是來源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖時，若輸入的分別為16、18，輸出的結果為，則二項式的綻開式中常數(shù)項是（）A.-20B.52C.-192D.-160【答案】D4．已知為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果，則二項式的綻開式中常數(shù)項的系數(shù)是（）A.-20B.20C.D.60【答案】A【方法總結】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖以及二項式定理，屬于中檔題.解決程序框圖問題時肯定留意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)留意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)留意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時肯定要正確限制循環(huán)次數(shù)；(5)要留意各個框的依次,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要依據(jù)程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.5.已知為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果，則二項式的綻開式中常數(shù)項的系數(shù)是（）A.-20B.20C.D.60【答案】A【解析】模擬程序框圖的運行過程，如下：，是，；，是，；，是，；，否，退出循環(huán)，輸出的值為二項式的綻開式中的通項是，令，得常數(shù)項是，故選A.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖以及二項式定理，屬于中檔題.解決程序框圖問題時肯定留意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)留意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)留意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時肯定要正確限制循環(huán)次數(shù)；(5)要留意各個框的依次,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要依據(jù)程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.四．高考真題演練1.【2017課標1，理6】綻開式中的系數(shù)為A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】【考點】二項式定理【名師點睛】對于兩個二項式乘積的問題，第一個二項式中的每項乘以其次個二項式的每項，分析好的項共有幾項，進行加和.這類問題的易錯點主要是未能分析清晰構成這一項的詳細狀況，尤其是兩個二項式綻開式中的不同.2.【2017課標3，理4】的綻開式中33的系數(shù)為A． B． C．40 D．80【答案】C【解析】故選C.【考點】二項式綻開式的通項公式【名師點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要留意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理探討求解.3.【2017課標II，理6】支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有（）A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D【解析】試題分析：由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列即可，由乘法原理，不同的支配方式共有種方法。故選D?！究键c】排列與組合；分步乘法計數(shù)原理【名師點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步。詳細地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿意特別元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。4.【2016高考新課標2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處動身，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）（A）24（B）18（C）12（D）9【答案】B【解析】考點：計數(shù)原理、組合.【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在運用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．分步乘法計數(shù)原理在運用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關聯(lián)的．5.【2016年高考四川理數(shù)】設i為虛數(shù)單位，則的綻開式中含x4的項為（A）－15x4（B）15x4（C）－20ix4（D）20ix4【答案】A【解析】試題分析：二項式綻開的通項，令，得，則綻開式中含的項為，故選A.考點：二項綻開式，復數(shù)的運算.【名師點睛】本題考查二項式定理及復數(shù)的運算，復數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬于簡潔題.一般來說，駕馭復數(shù)的基本概念及四則運算即可．二項式的綻開式可以改為，則其通項為，即含的項為．6.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】試題分析：由題意，要組成沒有重復的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應當為1、3、5中之一，其他位置共有隨意排共種可能，所以其中奇數(shù)的個數(shù)為，故選D.考點：排列、組合【名師點睛】利用排列組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要留意不重不漏，分步時要留意整個事務的完成步驟．在本題中，個位是特別位置，第一步應先支配這個位置，其次步再支配其他四個位置．.7.【2015高考陜西，理4】二項式的綻開式中的系數(shù)為15，則（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【考點定位】二項式定理．【名師點晴】本題主要考查的是二項式定理，屬于簡潔題．解題時肯定要抓住重要條件“”，否則很簡潔出現(xiàn)錯誤．解本題須要駕馭的學問點是二項式定理，即二項式的綻開式的通項是．8.【2016高考新課標3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對隨意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）（A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個【答案】C【解析】試題分析：由題意，得必有，，則詳細的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考點：計數(shù)原理的應用．【方法點撥】求解計數(shù)問題時，假如遇到狀況較為困難，即分類較多，標準也較多，同時所求計數(shù)的結果不太大時，往往利用表格法、樹枝法將其全部可能一一列舉出來，經常會達到岀奇制勝的效果．9.【2015高考四川，理6】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）（A）144個（B）120個（C）96個（D）72個【答案】B【解析】【考點定位】排列組合.【名師點睛】利用排列組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要留意不重不漏.在本題中，萬位與個位是兩個特別位置，應依據(jù)這兩個位置的限制條件來進行分類.10.【2015高考新課標1，理10】的綻開式中，的系數(shù)為()（A）10（B）20（C）30（D）60【答案】C【解析】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選C.【考點定位】本題主要考查利用排列組合學問計算二項式綻開式某一項的系數(shù).【名師點睛】本題利用排列組合求多項綻開式式某一項的系數(shù)，試題形式新奇，是中檔題，求多項綻開式式某一項的系數(shù)問題，先分析該項的構成，結合所給多項式，分析如何得到該項，再利用排列組學問求解.11.【2015高考湖北，理3】已知的綻開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A. B． C． D．【答案】D【考點定位】二項式系數(shù)，二項式系數(shù)和.【名師點睛】二項式定理中應留意區(qū)分二項式系數(shù)與綻開式系數(shù)，各二項式系數(shù)和：，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等.12.【2014遼寧理6】把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為（）A．144B．120C．72D【答案】C【解析】試題分析：將6把椅子依次編號為1,2,3,4,5,6，故任何兩人不相鄰的做法，可支配：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”號位置坐人，故總數(shù)由4考點：排列組合.【名師點睛】本題考查簡潔排列組合應用問題.從近幾年高考對這部分內容的考查看，基本是排列與組合相結合，多可以結合圖表分析解題途徑.本題首先將座位編號，分析任何兩人都不相鄰的狀況，再支配人員就坐，現(xiàn)實背景熟識，分析形象直觀，易于理解.本題是一道基礎題，考查排列組合基礎學問，同時考查考生的計算實力及分析問題解決問題的實力.13.【2015湖南理2】已知的綻開式中含的項的系數(shù)為30，則（）B.C.6D-6【答案】D.【解析】試題分析：，令，可得，故選D.【考點定位】二項式定理.【名師點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，屬于簡潔題，只要駕馭的二項綻開式的通項第項為，即可建立關于的方程，從而求解.14.【2017浙江，16】從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有______中不同的選法．（用數(shù)字作答）【答案】660【解析】【考點】排列組合的應用【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，肯定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理探討時，既不能重復交叉探討又不能遺漏，這樣才能提高精確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式．15.【2017浙江，13】已知多項式32=，則=________，=________．【答案】16，4【解析】試題分析：由二項式綻開式可得通項公式為：，分別取和可得，令可得【考點】二項式定理【名師點睛】本題主要考查二項式定理的通項與系數(shù)，屬于簡潔題．二項綻開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項綻開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項式定理的應用．16.【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【考點】計數(shù)原理、排列、組合【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理（加法）和分步計數(shù)原理（乘法），組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，利用加法原理計數(shù).17.【2016年高考北京理數(shù)】在QUOTE的綻開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答）【答案】60.【解析】【名師點睛】1.所謂二項綻開式的特定項，是指綻開式中的某一項，如第項、常數(shù)項、有理項、字母指數(shù)為某些特別值的項.求解時，先精確寫出通項，再把系數(shù)與字母分別出來(留意符號)，依據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式來求解即可；2、求有理項時要留意運用整除的性質，同時應留意結合的范圍分析.18.【2016高考新課標1卷】的綻開式中,x3的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】試題分析：的綻開式通項為(,1,2,…,5),令得,所以的系數(shù)是.考點:二項式定理19.【2016高考天津理數(shù)】的綻開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】考點：二項式定理【名師點睛】1.求特定項系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是依據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要留意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．2．有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項．解此類問題必需合并通項公式中同一字母的指數(shù)，依據(jù)詳細要求，令其為整數(shù)，再依據(jù)數(shù)的整除性來求解．20.【2016高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的綻開式中x5的系數(shù)是—80，則實數(shù)a=_______.【答案】-2【解析】試題分析：因為，所以由，因此考點：二項式定理【名師點睛】本題是二項式定理問題中的常見題型，二項綻開式的通項公式，往往是考試的重點.本題難度不大，易于得分.能較好的考查考生的基本運算實力等.21.【2015高考天津，理12】在的綻開式中，的系數(shù)為.【答案】【解析】綻開式的通項為，由得，所以，所以該項系數(shù)為.【考點定位】二項式定理及二項綻開式的通項.【名師點睛】本題主要考查二項式定理及二項綻開式的通項的應用.應用二項式定理典型式的通項，求出當時的系數(shù)，即可求得結果，體現(xiàn)了數(shù)學中的方程思想與運算實力相結合的問題.22.【2015高考北京，理9】在的綻開式中，的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）【答案】4023.【2015高考廣東，理9】在的綻開式中，的系數(shù)為.【答案】．【解析】由題可知，令解得，所以綻開式中的系數(shù)為，故應填入．【考點定位】二項式定理．【名師點睛】本題主要考查二項式定理和運算求解實力，屬于簡潔題，解答此題關鍵在于熟記二項綻開式的通項即綻開式的第項為：．24.【2015高考廣東，理12】某高三畢業(yè)班有人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了條畢業(yè)留言．（用數(shù)字作答）【答案】．【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了條畢業(yè)留言，故應填入．【考點定位】排列問題．【名師點睛】本題主要考查排列問題，屬于中檔題，解答此題關鍵在于認清人兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言是個排列問題．25.【2015高考四川，理11】在的綻開式中，含的項的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.【答案】.【解析】，所以的系數(shù)為.【考點定位】二項式定理.【名師點睛】涉及二項式定理的題，一般利用其通項公式求解.26.【2016高考上海理數(shù)】在的二項式中，全部項的二項式系數(shù)之