考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷1（共267題）

考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷1（共9套）（共267題）考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、已知2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D等于()．A、0B、a2C、-a2D、na2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：不妨設(shè)第一列元素及余子式都是a，則D=a11A11+a21A21+…+a2n,1A2n,1=a2一a2+…一a2=0，應(yīng)選(A)．2、行列式|A|非零的充分條件是()．A、A中所有元素非零B、A中至少有n個(gè)元素非零C、A的任意兩行元素之間不成比例D、以|A|系數(shù)行列式的線性方程組有唯一解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：|A|≠0的充要條件是r(A)=n，r(A)=n的充要條件是AX=b有唯一解，應(yīng)選(D)．3、假設(shè)A是n階方陣，其秩(A)=r＜n，那么在A的n個(gè)行向量中()．A、必有r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)B、任意r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)C、任意r個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無(wú)關(guān)向量組D、任何一個(gè)行向量列向量均可由其他r個(gè)列向量線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嚨闹扰c行向量組的秩及列向量組的秩相等，所以由r(A)=r得A一定有，一個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，應(yīng)選(A)．4、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過(guò)若干次初等變換后所得到的矩陣，則有()．A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩，所以若|A|=0，即r(A)＜n，則r(B)＜n，即|B|=0，應(yīng)選(C)．5、設(shè)向量組(I)：α1，α2，…，αr可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表示，則()．A、若α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，則r≤sB、若α1，α2，…，αr線性相關(guān)，則r≤sC、若β1，β2，…，βs線性無(wú)關(guān)，則r≤sD、若β1，β2,…，βs線性相關(guān)，則r≤s標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?I)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，所以若α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，即(I)的秩=r，則r≤(Ⅱ)的秩≤s，應(yīng)選(A)．6、設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，E是n階單位矩陣．若AB=E，則()．A、B的行向量組線性無(wú)關(guān)B、B的列向量組線性無(wú)關(guān)C、A-1=BD、|AB|=|A||B|標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=E得r(AB)=n，從而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量組線性無(wú)關(guān)，應(yīng)選(B)．7、非齊次線性方程組AX=b中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則()．A、r=m時(shí)，方程組AX=b有解B、r=n時(shí)，方程組AX=b有唯一解C、m=n時(shí)，方程組AX=b有唯一解D、r＜n時(shí)，方程組AX=b有無(wú)窮多解標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：≥r(A)，當(dāng)r=m時(shí)，≥r(A)=m；故AX=b有解，應(yīng)選(A)．8、設(shè)A為m×n矩陣且r(A)=n(n＜m)，則下列結(jié)論中正確的是()．A、若AB=AC，則A=CB、若BA=CA，則B=CC、A的任意n個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)D、A的任意n個(gè)行向量線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由BA=CA得(B一C)A=O，則r(A)+r(B一C)≤n，由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，應(yīng)選(B)．9、設(shè)α1，α2，α3是AX=0的基礎(chǔ)解系，則該方程組的基礎(chǔ)解系還可表示成()．A、α1，α2，α3的一個(gè)等價(jià)向量組B、α1，α2，α3的一個(gè)等秩向量組C、α1，α1+α2，α1+α2+α3D、α1一α2，α2一α3，α3一α1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：(B)顯然不對(duì)，因?yàn)榕cα1，α2，α3等秩的向量組不一定是方程組的解；因?yàn)棣?+(α2+α3)一(α1+α2+α3)=0，所以α1，α2+α3，α1+α2+α3線性相關(guān)，不選(C)；由(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，所以α1一α2，α2一α3，α3一α1線性相關(guān)，不選(D)，應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、設(shè)n階矩陣則|A|=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：(n一1)(一1)n-1知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：=(一a)A12+bA13=aM12+bM13==一abc+abc=0．12、設(shè)A，B均為n階方陣，|A|=2,|B|=一3，則|A-1B*一A*B-1|=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A*=|A|A-1=2A-1，B*=|B|B-1=一3B-1，則|A-1B*一A*B-1|=|一3A-1B-1一2A-1B-1|=(一5)n|A-1|．|B-1|=13、設(shè)三階方陣A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)為三維列向量，且A的行列式|A|=一2，則行列式|-A1一2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1|=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：由(一A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得|—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1|=|A1，A2，A3|.14、設(shè)A是三階方陣，且|A—E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，則|2A*一3E|=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：126知識(shí)點(diǎn)解析：由|A—E|=|A+2E|=|2A+3E|=0得|E-A|=0，|一2E-A|=0，矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=一2，|A|=3，A*的特征值為2A*一3E的特征值為3，一6，一7，故|2A*一3E|=126．15、設(shè)A為四階可逆方陣，將A第3列乘3倍再與第1列交換位置，得到矩陣B，則B-1A=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)A為4×3矩陣，且r(A)=2，而B=，則r(AB)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?12≠0，所以B可逆，于是r(AB)=r(A)=2．17、向量組α1=[0，4，2一k]，α2=[2，3一k，1]，α3=[1一k，2，3]線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)k=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：由=0得k=6．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)18、設(shè)，求：(1)2A11+A12一A13；(2)A11+4A21+A31+2A41標(biāo)準(zhǔn)答案：2A11+A12一A13=2A11+A12一A13+0A14知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣，|A|=1／3，求|4A一(3A*)-1|．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A*=|A|A-1=得|4A一(3A*)-1|=|4A—A|=|3A|=27|A|=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、A是三階矩陣，三維列向量組β1，β2，β3線性無(wú)關(guān)，滿足Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2，求|A|．標(biāo)準(zhǔn)答案：令B=(β1，β2，β3)，由Aβ1=β2+β3，Aβ2=β1+β3，Aβ3=β1+β2得因?yàn)棣?，β2，β3線性無(wú)關(guān)，所以B可逆，故|A|=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：由初等變換的性質(zhì)得B=AP1P2，則B-1=P2-1P1-1A-1=P2P1A-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A，B為三階矩陣，滿足AB+E=A2+B，E為三階單位矩陣，又知求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB+E=A2+B得(A—E)B=A2一E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知，AP=PB，求A與A5．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AP=PB得A=PBP-1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)矩陣滿足A-1(E—BBTA-1)-1C-1=E，求C．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A-1(E—BBTA-1)-1C-1=E得C(E—BBTA-1)A=E，即C(A—BBT)=E，解得C=(A-BBT)-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、解方程標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(X1，X2)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)向量組(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α4的秩分別為(I)=2，秩(Ⅱ)=3．證明向量組α1，α2，α3+α4的秩等于3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由向量組(Ⅱ)的秩為3得α1，α2，α4線性無(wú)關(guān)，從而α1，α2線性無(wú)關(guān)，由向量組(I)的秩為2得α1，α2．α3線性相關(guān)，從而α3可由α1，α2線性表示，令α3=一k1α1+k2α2．(α1，α2，α3+α4)=(α1，α2，k1α1+k2α2+α4)故r(α1，α2，α3+α4)=r(α1，α2，α4)=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、已知線性方程組問(wèn)k1和k2各取何值時(shí)，方程組無(wú)解?有唯一解?有無(wú)窮多組解?在方程組有無(wú)窮多組解時(shí)，試求出一般解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)k1≠2時(shí)，方程組有唯一解；(2)當(dāng)k1=2時(shí)，情形一：k2≠1時(shí)，方程組無(wú)解；情形二：k2=1時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)向量組試問(wèn)：當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)(1)β可由α1，α2，α3線性表出，且表示唯一；(2)β不能由α1，α2，α3線性表出；(3)β可由α1，α2，α3線性表出，但表示不唯一，并求出一般表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)a≠一4時(shí)，B可由α1．α2，α3唯一線性表示．當(dāng)a=一4時(shí)，(2)當(dāng)c-3b+1=0時(shí)，β可由α1，α2，α3線性表示，但表示方法不唯一，(3)當(dāng)c-3b+1≠0時(shí)，β不可由α1，α2，α3線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、向量組α1，α2，…αs線性無(wú)關(guān)的充要條件是()．A、α1，α2，…αs均不為零向量B、α1，α2，…αs中任意兩個(gè)向量的分量不成比例C、α1，α2，…αs中任意一個(gè)向量均不能由其余s--1個(gè)向量線性表示D、α1，α2，…αs中有一部分向量線性無(wú)關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：若α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，則α1，α2，…，αs中任一個(gè)向量都不可由其余向量線性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一個(gè)向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，應(yīng)選(C)．2、設(shè)矩陣Am×n,r(A)=m＜n,Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()．A、A通過(guò)初等行變換必可化為[Em，O]的形式B、A的任意m階子式不等于零C、A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)D、非齊次線性方程組AX=b一定有無(wú)窮多解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、設(shè)若齊次方程組AX=0的任一非零解均可用α線性表示．則a=()．A、3B、5C、3或一5D、5或-3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳X=0的任一非零解都可由α線性表示，所以AX=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，從而r(A)=2．a(chǎn)一5=一2或a+5=0，解得a=3或一5，應(yīng)選(C)．4、設(shè)都是線性方程組AX=0的解向量，只要系數(shù)矩陣A為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2線性無(wú)關(guān)，所以AX=0的基礎(chǔ)解系至少含兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，從而r(A)≤1，5、設(shè)，則()不是A的特征向量．A、(一1，1，一1)TB、(1，2，0)TC、(0，1，1)TD、(2，4，一1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：6、下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：的特征值為7，0，0，因?yàn)閞(0E—A)=r(A)=2，所以λ=0對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)，該矩陣不可相似對(duì)角化，應(yīng)選(C)．7、設(shè)A，B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若A與B合同，則()．A、A與B有相同的特征值B、A與B有相同的秩C、A與B有相同的特征向量D、A與B有相同的行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳與B合同，所以存在可逆矩陣P，使得PTAP=B，從而r(A)=r(B)，應(yīng)選(B)．8、設(shè)則A與B()．A、合同且相似B、合同但不相似C、不合同但相似D、不合同且不相似標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B都是實(shí)對(duì)稱矩陣，且特征值相同，所以A、B既相似又合同，應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)9、設(shè)三階矩陣三維列向量α=(a，1，1)T．已知Aα與α線性相關(guān)，則a=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳α與α線性相關(guān)，所以Aα與α成比例，10、設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則a，b，c必滿足關(guān)系式______．標(biāo)準(zhǔn)答案：abc≠0知識(shí)點(diǎn)解析：由=2abc≠0得a，b，c滿足的關(guān)系式為abc≠0．11、若線性方程組有解，則常數(shù)a1，a2，a3，a4應(yīng)滿足條件______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a4一a1+a2一a3知識(shí)點(diǎn)解析：則方程組有解應(yīng)滿足的條件為a4一a1+a2一a3=0．12、若矩陣，B是三階非零矩陣，滿足AB=O，則t=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因?yàn)閞(B)≥1，所以r(A)≤2，又因?yàn)榫仃嘇有兩行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．13、設(shè)三階矩陣A的特征值為2，3，λ，若行列式|2A|=-48，則λ=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：|A|=6λ，由|2A|=8|A|=一48得|A|=一6，解得λ=一1．14、矩陣的非零特征值是_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由|λE—A|==λ2(λ一4)=0得A的特征值為λ1=λ2=0，λ3=4，非零特征值為4．15、已知有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一10知識(shí)點(diǎn)解析：由|λE—A|==(λ一1)(λ一2)2=0得λ1=1，λ2=λ3=2，因?yàn)锳可對(duì)角化，所以r(2E—A)=1，16、若相似，則x=_____，y=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=一17，y=一12知識(shí)點(diǎn)解析：由A與B相似得tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得x=一17；由|A|=|B|得一374—31y=一2，解得y=一12．17、已知矩陣只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A的三個(gè)特征值是______，a=______標(biāo)準(zhǔn)答案：λ1=λ2=λ3=2，a=一5知識(shí)點(diǎn)解析：|λE—A|==(λ-2)3=0，特征值為λ1=λ2=λ3=2，因?yàn)棣?=λ2=λ3=2只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以r(2E—A)=1，三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)18、設(shè)線性方程組(1)求線性方程組(I)的通解；(2)m，n取何值時(shí)，方程組(I)與(Ⅱ)有公共非零解；(3)m，n取何值時(shí)，方程組(I)與(Ⅱ)同解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)m=一2或n=3時(shí)，兩個(gè)方程組有公共的非零解．(3)當(dāng)m=一2，n=3時(shí)，兩個(gè)方程組同解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)四元齊次線性方程組(I)為且已知另一個(gè)四元齊次線性方程組(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T．(1)求方程組(I)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(I)與方程組(Ⅱ)有非零公共解?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知0是的特征值，求a和A的其他特征值及線性無(wú)關(guān)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?為A的特征值，所以解得a=1．由|λE—A|==λ(λ一2)2=0得λ1=0，λ2=λ3=2．λ1=0代入(λE—A)X=0，λ2=λ3=2代入(2E—A)X=0，λ2=λ3=2對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A是三階矩陣，其特征值是1，2，3，若A與B相似，求|B*+E|．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳～B，所以B的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=3，B*+E的特征值為7，4，3，故|B*+E|=84．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知二次型f=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)，通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+2y22+5y32．求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5，由|A|=2(9一a2)=10得a=2，λ1=1代入(λE—A)X=0，λ2=2代入(2E—A)X=0，λ2=2對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為λ3=5代入(λE—A)X=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)a是整數(shù)，若矩陣的伴隨矩陣A*的特征值是4，一14，一14．求正交矩陣Q，使QTAQ為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：|A*|=4×(一14)×(一14)=282，由|A*|=|A|2得|A|=28或|A|=一28．λ1=一7代入(λE—A)X=0，λ2=λ3=2代入(λE—A)X=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、n階矩陣A滿足A2一2A一3E=O，證明A能相似對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0，則r(E+A)+r(3E—A)≤n；由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n．(1)當(dāng)r(E+A)=n時(shí)，A=3E為對(duì)角陣；(2)當(dāng)r(3E—A)=n時(shí)，為對(duì)角矩陣；(3)r(E+A)＜n，r(3E—A)＜n，則|E+A|=0，|3E—A|=0，A的特征值λ1=一1，λ2=3．λ1=一1對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為n一r(一E—A)=n一r(E+A)；λ2=3對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為n一r(3E—A)．因?yàn)閚一r(E+A)+n一r(3E—A)=n，所以A可相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)已知A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量且λ=2為矩陣A的二重特征值，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由λ1=λ2=2及λ1+λ2+λ3=tr(A)=10得λ3=6．因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以r(2E—A)=1，λ1=λ2=2代入(λE—A)X=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、已知(1)t取何值時(shí)，A為正定矩陣?為什么?(2)t取何值時(shí)，A與B等價(jià)?為什么?(3)t取何值時(shí)，A與C相似?為什么?(4)t取何值時(shí)，A與D合同?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)得t＞0，當(dāng)t＞0時(shí)，因?yàn)锳的順序主子式都大于零，所以A為正定矩陣．因?yàn)锳與B等價(jià)，所以r(A)=r(B)=2＜3，故t=0．(3)C的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=5，由|λE—A|==(λ一1)(λ一3)(λ—t)=0得A的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=t，故t=5．矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=3，λ3=t，因?yàn)锳與D合同，所以特征值中正、負(fù)個(gè)數(shù)一致，故t＜0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、考慮二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3，問(wèn)λ取何值時(shí)，f為正定二次型?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳正定，所以解得一2＜λ＜1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足條件A2+2A=O．已知r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，矩陣A+kE為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令A(yù)X=λX，由A2+2A=O的(λ2+2λ)X=0，注意到X≠0，則λ2+2λ=0，解得λ=0或λ=一2．由r(A)=2得λ1=0，λ2=λ3=一2．(2)A+kE的特征值為k，k一2，k一2，當(dāng)k＞2時(shí)，A+kE為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩，正負(fù)慣性指數(shù)p，q．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3—2x2x3，λ1=0，λ2=λ3=3，則二次型的秩為2，正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)A，B為兩個(gè)n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B、若｜AB｜=0，則A=O或B=OC、｜A-B｜=｜A｜-｜B｜D、｜AB｜=｜A｜｜B｜標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)、(C)顯然不對(duì)，設(shè)A=，顯然A，B都是非零矩陣，但AB=O，所以｜AB｜=0，(B)不對(duì)，選(D)．2、設(shè)α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且｜A｜=α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=α1，α2，β2，α3=n，則｜α3，α2，α1，β1+β2｜為()．A、m+nB、m-nC、-(m+n)D、n-m標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：｜α3，α2，α1，β1+β2｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜=-｜α2，α2，α3，β1｜-｜α1，α2，α3，β2｜=-｜α1，α2，α3，β1｜+｜α1，α2，β2，α3｜=n-m.選(D)．3、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當(dāng)m＞n時(shí)，必有｜AB｜≠0B、當(dāng)m＞n時(shí)，必有｜AB｜=0C、當(dāng)n＞m時(shí)，必有｜AB｜≠0D、當(dāng)n＞m時(shí)，必有｜AB｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AB為m階矩陣，因?yàn)閞(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故當(dāng)m＞n時(shí)，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，選(B)．4、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1皆為可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于()．A、A+BB、A-1+B-1C、A(A+B)-1BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A(A+B)-1B(A-1+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以選(C)．5、設(shè)A，B都是n階可逆矩陣，則()．A、(A+B)*=A*+B*B、(AB)*=B*A*C、(A-B)*=A*-B*D、(A+B)*一定可逆標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A-1=B*A*，所以選(B)．6、設(shè)A為n階矩陣，k為常數(shù)，則(ka)*等于()．A、kA*B、knA*C、kn-1A*D、kn(n-1)A*標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*的每個(gè)元素都是kA的代數(shù)余子式，而余子式為n-1階子式，所以(kA)*=kn-1A*，選(C)．7、設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則下列成立的是()．A、A=OB、A=EC、若A不可逆，則A=OD、若A可逆，則A=E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2=A，所以A(E-A)=O，由矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，則r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，選(D)．8、設(shè)A為m×n階矩陣，且r(A)=m＜N，則()．A、A的任意m個(gè)列向量都線性無(wú)關(guān)B、A的任意m階子式都不等于零C、非齊次線性方程組AX=b一定有無(wú)窮多個(gè)解D、矩陣A通過(guò)初等行變換一定可以化為(Em┆O)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然由r(A)=m＜n，得r(A)=r(A)=m＜n，所以方程組AX=b有無(wú)窮多個(gè)解．選(C)．9、設(shè)P1=，P2=，若P1mAP0n=則m，n可取()．A、m=3，n=2B、m=3，n=5C、m=2，n=3D、m=2，n=2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P1mAP2n=經(jīng)過(guò)了A的第1，2兩行對(duì)調(diào)與第1，3兩列對(duì)調(diào)，P1==E12，P2==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2n，則m=3，n=5，即選(B)．10、設(shè)，則B-1為()．A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以B-1=P2-1P1-1A-1或B-1=P1-1P2-1A-1，注意到Eij-1=Eij，于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，選(C)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、設(shè)D=，則A31+A32+A33=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：A31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A3312、設(shè)A，B都是三階矩陣，A相似于B，且｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，則｜B-1+2E｜=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：60知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麰-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，所以A的三個(gè)特征值為，1，又A～B，所以B的特征值為，1，從而B-1的特征值為1，2，3，則B-1+2E的特征值為3，4，5，故｜B-1+2E｜=60．13、設(shè)A為三階正交陣，且｜A｜＜0，｜B-A｜=-4，則｜E-ABT｜=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-4知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜＜0｜A｜=-1．｜E-ABT｜=｜AAT-AB｜=｜A｜｜(A-B)T｜=-｜A-B｜=｜B-A｜=-4．14、設(shè)A為n階矩陣，且｜A｜=a≠0，則｜(kA)*｜=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：kn(n-1)an-1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*=k-1A*，且｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜=｜kn-1A*｜=kn(n-1)｜A｜n-1=kn(n-1)an-1．15、設(shè)A，B都是三階矩陣，A=，且滿足(A*)-1B=ABA+2A2，則B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=-3，A*=｜A｜A-1=-3A-1，則(A*)-1B=ABA+2A2化為AB=ABA-2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或-B=3BA+6A，則B=-6A(E+3A)-1，E+3A=，(E+3A)-1=則B=-6A(E+3A)-1=16、設(shè)矩陣A，B滿足A*BA=2BA-8E，且A=，則B=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A*BA=2BA-8E，得AA-1BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)-1=17、=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：=E13，=E12，因?yàn)镋ij-1-Eij，所以Eij2=E，于是=E1318、設(shè)A=，B為三階矩陣，r(B*)=1且AB=O，則t=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閞(B*)=1，所以r(B)=2，又因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，從而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．19、設(shè)A=，B≠O為三階矩陣，且BA=O，則r(B)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因?yàn)閞(A)≥2，所以r(B)≤1，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)=1．三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)20、設(shè)A是正交矩陣，且｜A｜＜0．證明：｜E+A｜=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是正交矩陣，所以ATA=E，兩邊取行列式得｜A｜2=1，因?yàn)椋麬｜＜0，所以｜A｜=-1．由｜E+A｜=｜ATA+A｜=｜(AT+E)A｜=｜A｜｜AT+E｜=-｜AT+E｜=-｜(A+E)T｜=-｜E+A｜得｜E+A｜=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A=(aij)n×n是非零矩陣，且｜A｜中每個(gè)元素aij與其代數(shù)余子式Aij相等．證明：｜A｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳是非零矩陣，所以A至少有一行不為零，設(shè)A的第k行是非零行，則｜A｜=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=ak12+ak22+…+akn2＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、計(jì)算D2n=標(biāo)準(zhǔn)答案：D2n=a2D2n-2=b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(a2-b2)n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、計(jì)算(ai≠0，i=1，2，…，n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Dn==a1a2…an-1+anDn-1=a1a2…an-1+an(a1a2…an-2+an-1Dn-2)=a1a2…an-1+a1a2…an-2an+anan-1Dn-2=…=+anan-1…a2(1+a1)=a1a2…an知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)D=，求Ak1+Ak2+…+Akn．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=，C=(n)，｜A｜=(-1)n+1n!，則得A*=｜A｜A-1=(-1)n+1n!A-1，所以Ak1+Ak2+…+Akn=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)A，B為三階矩陣，且A～B，且λ1=1，λ2=2為A的兩個(gè)特征值，｜B｜=2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳～B，所以A，B特征值相同，設(shè)另一特征值為λ3，由｜B｜=λ1λ2λ3=2得λ3=1，A+E的特征值為2，3，2，(A+E)-1的特征值為，則｜(A+E)-1｜=．因?yàn)锽的特征值為1，2，1，所以B*的特征值為，即為2，1，2，于是｜B*｜=4，｜(2B)*｜=｜4B*｜=43｜B*｜=256，故=｜(A+E)-1｜｜(2B)*｜=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)A=，則A與B()．A、合同且相似B、相似但不合同C、合同但不相似D、既不相似又不合同標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然A，B都是實(shí)對(duì)稱矩陣，由｜λE-A｜=0，得A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜λE-B｜=0，得B的特征值為λ1=1，λ2=λ3=3，因?yàn)锳，b慣性指數(shù)相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，選(C)．2、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意的三維列向量X，有XTAX=0，則()．A、｜A｜=0B、｜A｜＞0C、｜A｜＜0D、以上都不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)二次型f=XTAXλ1y12+λ2y22+λ3y32，其中Q為正交矩陣．取Y=，則f=XTAX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以r(A)=0，從而A=O，選(A)．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正慣性指數(shù)是2，且A2-2A=O，該二次型的規(guī)范形為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22知識(shí)點(diǎn)解析：A2-2A=Or(A)+r(2E-A)=4A可以對(duì)角化，λ1=2，λ2=0，又二次型的正慣性指數(shù)為2，所以λ1=2，λ2=0分別都是二重，所以該二次型的規(guī)范形為y12+y22．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)4、設(shè)二維非零向量α不是二階方陣A的特征向量．(1)證明α，Aα線性無(wú)關(guān)；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，討論A可否對(duì)角化；標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)若α，Aα線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，可設(shè)k2≠0，所以Aα=，矛盾，所以α，Aα線性無(wú)關(guān)．(2)由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因?yàn)棣痢?，所以r(A2+A-6E)＜2，從而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E-A｜=0，則｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，則3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，則2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二階矩陣A有兩個(gè)特征值-3，2，故A可對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)A是三階矩陣，α1，α2，α3為三個(gè)三維線性無(wú)關(guān)的列向量，且滿足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)求矩陣A的特征值；(2)判斷矩陣A可否對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一個(gè)特征值為λ1=2；又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一個(gè)特征值為λ2=-1．因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以α1-α2與α2-α3也線性無(wú)關(guān)，所以λ2=-1為矩陣A的二重特征值，即A的特征值為2，-1，-1．(2)因?yàn)棣?-α2，α2-α3為屬于二重特征值-1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A一定可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、設(shè)A，B為三階矩陣，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3為A的三個(gè)不同的特征值，證明：(1)AB=BA：(2)存在可逆矩陣P，使得P-1AP，P-1BP同時(shí)為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，即E-B與E+A互為逆矩陣，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故AB=BA．(2)因?yàn)锳有三個(gè)不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以對(duì)角化，設(shè)A的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，則有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBλi，i=1，2，3．若Bξi≠0，則Bξi是A的屬于特征值λi的特征向量，又λi為單根，所以有Bξi=μiξi；若Bξi=0，則ξi是B的屬于特征值0的特征向量．無(wú)論哪種情況，B都可以對(duì)角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，則P-1AP，P-1BP同為對(duì)角陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、(1)若A可逆且A～B，證明：A*～B*；(2)若A～B，證明：存在可逆矩陣P，使得AP～BP．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)锳可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因?yàn)锳～B，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，而A*=A｜A-1，B*=｜B｜B-1，于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1，故P-1｜A｜A-1P=｜A｜B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*．(2)因?yàn)锳～B，所以存在可逆陣P，使得P-1AP=B，即AP=PB.于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)A=有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求a及An．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-A｜==0，得λ1=λ2=1，λ3=2．因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A一定可對(duì)角化，從而r(E-A)=1，即a=1，故由λ=1時(shí)，由(E-A)X=0，得ξ1=，ξ2=由λ=2時(shí)，由(2E-A)X=0，得ξ3=令P=(ξ1，ξ2，ξ3)=，則P-1AP=，兩邊n次冪得P-1AnP=從而An=PP-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)方程組，有無(wú)窮多個(gè)解，α1=，α2=α3=為矩陣A的分別屬于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．(1)求A；(2)求｜A*+3E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉匠探M有無(wú)窮多個(gè)解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．令P=(α1，α2，α3)=，則P-1AP=從而(2)｜A｜=2，A*對(duì)應(yīng)的特征值為，即2，-1，-2，A*+3E對(duì)應(yīng)的特征值為5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的每行元素之和為5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為(-1，0，1)T．(1)求A的其他特征值與特征向量；(2)求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)锳的每行元素之和為5，所以有，即A有特征值λ2=5，對(duì)應(yīng)的特征向量為又因?yàn)锳x=0有非零解，所以r(A)＜3，從而A有特征值0，設(shè)特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為，根據(jù)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交得解得特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為(2)令P=，P-1=，由P-1AP=，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、設(shè)A=，求a，b及正交矩陣P，使得PTAP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳～B，所以tr(A)=tr(B)，｜A｜=｜B｜，即解得a=1，b=0，則因?yàn)锳～B，所以矩陣A，B的特征值都為λ1=1，λ2=0，λ3=6．當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A)X=0，得ξ1=當(dāng)λ=0時(shí)，由(0E-A)X=0，得ξ2=當(dāng)λ=6時(shí)，由(6E-A)X=0，得ξ3=令再令P=(γ1，γ2，γ3)=，則有PTAP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)A，B為n階矩陣，且r(A)+r(B)＜n．證明：A，B有公共的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0為A，B公共的特征值，A的屬于特征值λ=0的特征向量即為方程組AX=0的非零解；B的屬于特征值λ=0的特征向量即為方程組BX=0的非零解，因?yàn)椤躵(A)+r(B)＜n，所以方程組有非零解，即A，B有公共的特征向量．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)A是n階矩陣，α1，α2，…，αn是n維列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．(1)證明：α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)；(2)求A的特征值與特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，則x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0x1α2+x2α3+…+xn-1αn=0x1Aα2+x2Aα3+…+xn-1Aαn=0x1α3+x2α4+…+xn-2αn=0…x1αn=0因?yàn)棣羘≠0，所以x1=0，反推可得x2=…xn=0，所以α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)．(2)A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)，令P=(α1，α2，…，αn)，則P-1AP==B，則A與B相似，由｜λE-B｜=0λ1=…=λn=0，即A的特征值全為零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量為kαn(k≠0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)A為三階方陣，A的每行元素之和為5，AX=0的通解為k1+k2，設(shè)β=，求Aβ．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳的每行元素之和為5，所以有，即A有一個(gè)特征值為λ1=5，其對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ1=，Aξ1=5ξ1．又AX=0的通解為k1+k2，則r(A)=1λ2=λ3=0，其對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ2=，ξ3=，Aξ2=0，Aξ3=0．令x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β，解得x1=8，x2=-1，x3=-2，則Aβ=8Aξ1-Aξ2-2Aξ3=8Aξ1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、A=，求a，b及可逆矩陣P，使得P-1AP=B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-B｜=0，得λ1=-1，λ2=1，λ3=2，因?yàn)锳～B，所以A的特征值為λ1=-1，λ2=1，λ3=2．由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由｜A｜=b=λ1λ2λ3=-2，得b=-2，即由(-E-A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；由(E-A)X=0，得ξ2=(-2，1，1)T；由(2E-A)X=0，得ξ3=(-2，1，0)T，令P1=，則P1-1AP1=由(-E-B)X=0，得η1=(-1，0，1)T；由(E-B)X=0，得η2=(1，0，0)T；由(2E-B)X=0，得η3=(8，3，4)T，令P2=，則P2BP2=由P1-1AP1=P2-1BP2，得(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P=P1P2-1=，則P-1AP=B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)A=，求A的特征值與特征向量，判斷矩陣A是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，求出可逆矩陣P及對(duì)角陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜λE-A｜==(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩陣A的特征值為λ1=1-a，λ2=a，λ3=1+a．(1)當(dāng)1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠時(shí)，因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)不同的特征值，所以A一定可以對(duì)角化．λ1=1-a時(shí)，由[(1-a)E-A]X=0得ξ1=；λ2=a時(shí)，由(aE-A)X=0得ξ2=；λ3=1+a時(shí)，由[(1+a)E-A]X=0得ξ3=P=，P-1AP=(2)當(dāng)a=0時(shí)，λ1=λ3=1，因?yàn)閞(E-A)=2，所以方程組(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，故矩陣A不可以對(duì)角化．(3)當(dāng)a=時(shí)，λ1=λ2=，因?yàn)?2，所以方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，故A不可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A為m×n階實(shí)矩陣，且r(A)=n．證明：ATA的特征值全大于零．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先ATA為實(shí)對(duì)稱矩陣，r(ATA)=n，對(duì)任意的X＞0，XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令A(yù)X=α，因?yàn)閞(A)=n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)=αTα=｜α｜2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA為正定矩陣，所以ATA的特征值全大于零．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A為n階正定矩陣．證明：對(duì)任意的可逆矩陣P，PTAP為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先AT=A，因?yàn)?PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP為對(duì)稱矩陣，對(duì)任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因?yàn)镻可逆且X≠0，所以α≠0，又因?yàn)锳為正定矩陣，所以αTAα＞0，即XT(PTAP)X＞0，故XT(PTAP)X為正定二次型，于是PTAP為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)P為可逆矩陣，A=PTP．證明：A是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然AT=A，對(duì)任意的X≠0，XTAX=(PX)T(PX)，因?yàn)閄≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX=(PX)T(PX)=｜PX｜2＞0，即XTAX為正定二次型，故A為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A，B為n階正定矩陣．證明：A+B為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B正定，所以AT=A，BT=B，從而(A+B)T=A+B，即A+B為對(duì)稱矩陣．對(duì)任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因?yàn)锳，B為正定矩陣，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、三元二次型f=XTAX經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為α1=，求此二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒=XTAX經(jīng)過(guò)正交變換后的標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+y22-2y32，所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-2．由｜A｜=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值為μ1=μ2=-2，μ3=1，從而A*+2E的特征值為0，0，3，即α1為A*+2E的屬于特征值3的特征向量，故也為A的屬于特征值λ3=-2的特征向量．令A(yù)的屬于特征值λ1=λ2=1的特征向量為α=，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以有α1Tα=0，即x1+x3=0故矩陣A的屬于λ1=λ2=1的特征向量為α2=，α3=令P=(α2，α3，α1)=，由P-1AP=，得A=PP-1=，所求的二次型為f=XTAX=x12+x22-x32+3x1x3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3經(jīng)過(guò)正交變換X=QY化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+y22+4y32，求參數(shù)a，b及正交矩陣Q．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f=2x1+2x2+ax3+2x1x2+2bx1x3+2x2x3的矩陣形式為f=XTAX其中A=，因?yàn)镼TAQ=B=，所以A～B(因?yàn)檎痪仃嚨霓D(zhuǎn)置矩陣即為其逆矩陣)，于是A的特征值為1，1，4．而｜λE-A｜=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)，所以有λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4)，解得a=2，b=1．當(dāng)λ1=λ2=1時(shí)，由(E-A)X=0得ξ1=，ξ2=由λ3=4時(shí)，由(4E-A)X=0得ξ3=．顯然ξ1，ξ2，ξ3兩兩正交，單位化為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)齊次線性方程組有非零解，且A=為正定矩陣，求a，并求當(dāng)｜X｜=時(shí)XTAX的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉匠探M有非零解，所以=a(a+1)(a-3)=0，即a=-1或a=0或a=3．因?yàn)锳是正定矩陣，所以aij＞0(i=1，2，3)，所以a=3．當(dāng)a=3時(shí)，由｜λE-A｜==(λ-1)(λ-4)(λ-10)=0得A的特征值為1，4，10．因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使得f=XTAX=y12+4y22+10y32≤10(y22+y22+y32)而當(dāng)｜X｜=時(shí)．y12+y22+y32=TTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=｜X｜2=2所以當(dāng)｜X｜=時(shí)，XTAX的最大值為20(最大值20可以取到，如y1=y2=0，y3=)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，且A的特征值都大于零．證明：A為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：A所對(duì)應(yīng)的二次型為f=XTAX，因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交變換X=QY，使得f=XTAXλ1y1+λ2y2+…+λnyn，其中λi＞0(i=1，2，…，n)，對(duì)任意的X≠0，因?yàn)閄-QY，所以Y=QTX≠0，于是f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2＞0，即對(duì)任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX為正定二次型，故A為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)A為m階正定矩陣，B為m×n階實(shí)矩陣．證明：BTAB正定的充分必要條件是r(B)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?BTAB)T=BTAT(B)T=BTAB，所以BTAB為對(duì)稱矩陣，設(shè)BTAB是正定矩陣，則對(duì)任意的X≠0，XTBTABX=(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0，即對(duì)任意的X≠0有BX≠0，或方程組BX=0只有零解，所以r(B)=n．反之，設(shè)r(B)=n，則對(duì)任意的X≠0，有BX≠0，因?yàn)锳為正定矩陣，所以XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB為正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)三階矩陣A的特征值為-1，1，2，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，則P-1AP等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，-1的特征向量，所以P-1AP=，選(C)．2、設(shè)A，B為行階矩陣，且A，B的特征值相同，則()．A、A，B相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣B、存在正交陣Q，使得QTAQ=BC、r(A)=r(B)D、以上都不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)=，顯然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)．所以(A)，(B)，(C)都不對(duì)，選(D)．3、設(shè)A是n階矩陣，下列命題錯(cuò)誤的是()．A、若A2=E，則-1一定是矩陣A的特征值B、若r(E+A)＜n，則-1一定是矩陣A的特征值C、若矩陣A的各行元素之和為-1，則-1一定是矩陣A的特征值D、若A是正交矩陣，且A的特征值之積小于零，則-1一定是A的特征值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：若r(E+A)＜n，則｜E+A｜=0，于是-1為A的特征值；若A的每行元素之和為-1，則，根據(jù)特征值特征向量的定義，-1為A的特征值；若A是正交矩陣，則ATA=E，令A(yù)X=λX(其中X≠0)，則XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2-1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之積為負(fù)，得-1為A的特征值，選(A)．4、與矩陣A=相似的矩陣為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征值為1，2，0，因?yàn)樘卣髦刀际菃沃?，所以A可以對(duì)角化，又因?yàn)榻o定的四個(gè)矩陣中只有選項(xiàng)(D)中的矩陣特征值與A相同且可以對(duì)角化，所以選(D)．5、設(shè)A為n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等B、若A～B，則矩陣A與矩陣B相似于同一對(duì)角陣C、若r(A)=r＜n，則A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可化為D、若矩陣A可對(duì)角化，則A的秩與其非零特征值的個(gè)數(shù)相等標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(A)不對(duì)，如A=，A的兩個(gè)特征值都是0，但r(A)=1；(B)不對(duì)，因?yàn)锳～B不一定保證A，B可以對(duì)角化；(C)不對(duì)，如A=，A經(jīng)過(guò)有限次行變換化為，經(jīng)過(guò)行變換不能，化為因?yàn)锳可以對(duì)角化，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=于是r(A)=，故選(D)．6、設(shè)A，B為n階可逆矩陣，則()．A、存在可逆矩陣P，使得P-1AP=BB、存在正交矩陣Q，使得QTAQ=BC、A，B與同一個(gè)對(duì)角矩陣相似D、存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳，B都是可逆矩陣，所以A，B等價(jià)，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B，選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設(shè)A=，｜A｜＞0且A*的特征值為-1，-2，2，則a11+a22+a33=________，標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬*｜2=｜A｜=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A-1=A*，從而A-1的特征值為，-1，1，根據(jù)逆矩陣之間特征值的倒數(shù)關(guān)系，則A的特征值為-2，-1，1，于是a11+a22+a33=-2-1+1=-2．8、設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1=-1，λ2=，λ3=，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，則P-1(A-1+2E)P=____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，而P-1A-1P=，所以P-1(A-1+2E)P=9、設(shè)λ1，λ2，λ3是三階矩陣A的三個(gè)不同特征值，α1，α2，α3分別是屬于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)線性無(wú)關(guān)，則λ1，λ2，λ3滿足______．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ2λ3≠0知識(shí)點(diǎn)解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)=0，即(x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ2x32)α2+λ32x3α3=0，則有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ1x3+λ22x3=0，λ32x3=0，因?yàn)閤1，x2，x3只能全為零，所以λ2λ3≠0．10、若α1，α2，α3是三維線性無(wú)關(guān)的列向量，A是三階方陣，且Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，則｜A｜=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：令P=(α1，α2，α3)，因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以P可逆，由AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，α3)得P-1AP=所以11、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，α1=(a，-a，1)T是方程組AX=0的解，α2=(a，1，1-a)T是方程組(A+E)X=0的解，則a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，因?yàn)锳X=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=-1為矩陣A的特征值，α1=(a，-a，1)T，α2=(a，1，1-a)T是它們對(duì)應(yīng)的特征向量，所以有α1Tα2=a2-a+1-a=0，解得a=1．12、設(shè)A=有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則a=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE-A｜==(λ+1)(λ-1)2=0得λ1=-1，λ2=λ3=1．因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4．13、設(shè)A=有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則a=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE-A｜=0得A的特征值為λ1=-2，λ2=λ3=6．因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化，從而r(6E-A)=1，解得a=0．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、討論方程組的解的情況，在方程組有解時(shí)求出其解，其中a，b為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D==-(a+1)(b+2)．(1)當(dāng)a≠-1，b≠-2時(shí)，因?yàn)镈≠0，所以方程組有唯一解，由克拉默法則得(2)當(dāng)a=-1，b≠-2時(shí)，當(dāng)b≠-1時(shí)，方程組無(wú)解當(dāng)b=-1時(shí)，方程組的通解為X=(k為任意常數(shù))．(3)當(dāng)a≠-1，b=-2時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)方程組的通解為X=(k為任意常數(shù))．當(dāng)a≠1時(shí)，顯然r(A)=2≠=3，方程組無(wú)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)A=，問(wèn)a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解?有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程組AX=B等價(jià)于則AX=B有解的充分必要條件是r(A)=r(A┆B)，由r(A)=r(A┆B)得a1，b=2，c=-2，此時(shí)(A┆B)→AX1=β1的通解為X1=k1AX2=β2的通解為X2=k2AX3=β3的通解為X3=k3則X=(X1，X2，X3)=，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)A為n階非零矩陣，且A-1=A，r(A)=r(0＜r＜n)．求｜5E+A｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳2=AA(E-A)=Or(A)+r(E-A)=nA可以對(duì)角化．由A2=A，得｜A｜.｜E-A｜=0，所以矩陣A的特征值為λ=0或1．因?yàn)閞(A)=r且0＜r＜n，所以0和1都為A的特征值，且λ=1為r重特征值，λ0為n-r重特征值，所以5E+A的特征值為λ=6(r重)，λ=5(n-r重)，故｜5E+A｜=5n-r×6r．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A=相似于對(duì)角陣．求：(1)a及可逆陣P，使得P-1AP=A，其中A為對(duì)角陣；(2)A100．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)｜λE-A｜=0λ1=λ2=1，λ3=-1．因?yàn)锳相似于對(duì)角陣，所以r(E-A)=1(E-A)X=0基礎(chǔ)解系為ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(-E-A)X=0基礎(chǔ)解系為ξ3=(1，2，-1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，則P-1AP=diag(1，1，-1)．(2)P-1A100P=EA100=PP-1=E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A=有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且λ=2為A的二重特征值，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以λ=2的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，故r(2E-A)=1，而2E-A=，所以x=2，y=-2．由｜λE-A｜==(λ-2)2(λ-6)=0得λ1=λ2=2，λ3=6由(2E-A)X=0得λ=2對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α1=，α2=由(6E=A)X=0得λ=6對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α3=令P=，則有P-1AP=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)A=有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求A的特征值與特征向量，并求A2010．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳為上三角矩陣，所以A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=λ4=-1．因?yàn)锳有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即A可以對(duì)角化，所以有于是a=0，b=0．當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A)X=0得ξ1=，ξ2=當(dāng)λ=-1時(shí)，由(-E-A)X=0得ξ3=，ξ4=令P=，因?yàn)镻-1AP=所以P-1A2010P=E，從而A2010=E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A=，方程組AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角陣；(3)求正交陣Q，使得QTAQ為對(duì)角陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)榉匠探MAX=β有解但不唯一，所以｜A｜0，從而a=-2或a=1．當(dāng)a=-2時(shí)，，方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)a=1時(shí)，，方程組無(wú)解，故a=-2．(2)由｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0，λ2=3，λ3=-3．由(0E-A)X=0得λ1=0對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1=由(3E-A)X=0得λ2=3對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ2=由(-3E-A)X=0得λ3=-3對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ3=令P=，則P-1AP=(3)令γ1=，γ2=，γ3=則QTAQ=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)矩陣A=(1)若A有一個(gè)特征值為3，求a；(2)求可逆矩陣P，使得PTA2P為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)｜λE-A｜=(λ-1)[λ-(a+2)λ+2a-1]，把λ=3代入上式得a=2，于是A=，A2=(2)由｜λE-A2｜=0得A2的特征值為λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A2)x=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，-1，1)T；當(dāng)λ=9時(shí)，由(9E-A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．將α1，α2，α3正交規(guī)范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，β3=，將α4規(guī)范化得β4=令P=(β1，β2，β3，β4)=，則PTA2P=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)矩陣A=可逆，α=為A*對(duì)應(yīng)的特征向量．(1)求a，b及α對(duì)應(yīng)的A*的特征值；(2)判斷A可否對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然α也是矩陣A的特征向量，令A(yù)α=λα，則有｜A｜=12，設(shè)A的另外兩個(gè)特征值為λ2，λ3，由得λ2=λ3=2．α對(duì)應(yīng)的A*的特征值為=4.(2)2E-A=，因?yàn)閞(2E-A)=2，所以λ2=λ3=2只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A為三階矩陣，ξ1，ξ2，ξ3是三維線性無(wú)關(guān)的列向量，且Aξ1=-ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1-ξ2-2ξ3，Aξ3=2ξ1-2ξ2-ξ3．(1)求矩陣A的全部特征值；(2)求｜A*+2E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，因?yàn)棣?，ξ2，ξ3線性無(wú)關(guān)，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～=B．由｜λE-A｜=｜λE-B｜=(λ+5)(λ-1)2=0，得A的特征值為-5，1，1．(2)因?yàn)椋麬｜=-5，所以A*的特征值為1，-5，-5，故A*+2E的特征值為3，-3，-3．從而｜A*+2E｜=27．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A為三階矩陣，且有三個(gè)互異的正的特征值，設(shè)矩陣B=(A*)2-4E的特征值為O，5，32．求A-1的特征值并判斷A-1是否可對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A的三個(gè)特征值為λ1，λ2，λ3，因?yàn)锽=(A*)2-4E的三個(gè)特征值為0，5，32，所以(A*)2的三個(gè)特征值為4，9，36，于是A*的三個(gè)特征值為2，3，6．又因?yàn)椋麬*｜=36=｜A｜3-1，所以｜A｜=6．由=6，得λ1=3，λ2=2，λ3=1，由于一對(duì)逆矩陣的特征值互為倒數(shù)，所以A-1的特征值為因?yàn)锳-1的特征值都是單值，所以A-1可以相似對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)A=的一個(gè)特征值為λ1=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ1=(1)求常數(shù)a，b，c；(2)判斷A是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．若不可對(duì)角化，說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由Aξ1=2ξ1，得(2)由｜λE-A｜==0，得λ1=λ2=2，λ3=-1．由(2E-A)X=0，得α1=，α2=，由(-E-A)X=0，得α3=顯然A可對(duì)角化，令P=，則P-1AP=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（線性代數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)A，B都是n階非零矩陣，且AB=O，則A和B的秩()A、必有一個(gè)等于零B、都小于nC、一個(gè)小于n，一個(gè)等于nD、都等于n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AB=Or(A)+r(B)≤n．又A≠0，B≠O，即r(A)≥1，r(B)≥1，則r(A)2、設(shè)A為4階矩陣，其秩r(A)=3，那么r((A*)*)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于(A*)*=|A|n-2A，由于A不滿秩，故|A|=0．于是(A*)*=O，r((A*)*)=0，故應(yīng)選A.3、設(shè)則必有()A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：B由A第一行加到第三行(A左邊乘P2)再將第一、二行對(duì)換(P2A左邊乘P1)得到，故C成立．4、設(shè)其中A可逆，則B-1等于()A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因B=AP2P1，所以B-1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1．5、A是n階矩陣，則()A、(一2)n|A*|nB、2n|A*|nC、(2)n|A|n-1D、2n|A|n-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：6、A是n階矩陣，則()A、(一2)n|A|nB、(4|A|)nC、(一2)2n|A*|nD、|4A|n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：7、已知A是n階方陣，E是n階單位矩陣，且A3=E，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：記則故又A100=A3×33×1=(A3)33A=EA=A．所以得答案選(C)．8、設(shè)則(P-1)100A(Q99)-1=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：易知p2=E，故P-1=P，進(jìn)一步有(P-1)100=P100=(P2)50=E．利用歸納法易證則故由于右邊乘初等矩陣等于作相應(yīng)的初等列變換，故計(jì)算結(jié)果應(yīng)為將A第2列的99倍加到第1列，計(jì)算可知應(yīng)選(B)．9、已知α1，α2，α3，α4為3維非零列向量，則下列結(jié)論中：①如果α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關(guān)；②如果α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性相關(guān)，則α1，α2，α4也線性相關(guān)；③如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，則α4可以由α1，α2，α3線性表出．正確的個(gè)數(shù)為()A、0B、lC、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如果α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，由于α1，α2，α3，α4為4個(gè)3維向量，故α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，則α4必能由α1，α2，α3線性表出，可知①是正確的．令則α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性相關(guān)，但α1，α2，α4線性無(wú)關(guān)．可知②是錯(cuò)誤的．由向量組等價(jià)[α1，α1+α2，α2+α3]→[α1，α2，α2+α3]→[α1，α2，α3]，[α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4]→[α4，α1，α2，α3]→[α1，α2，α3，α4]，可知r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，r(α4，α1+α4，α2+a4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，故當(dāng)r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α1+α4，α2+α4，α3+α4)時(shí)，也有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3線性表出．可知③是正確的．故選(C)．10、設(shè)α1，α2，α3均為線性方程組Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2—4α3，是導(dǎo)出組Ax=0的解向量的個(gè)數(shù)為()A、4B、3C、2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知A(α1一α2)=Aα1一Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b—2b+b=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b—4b=0，因此這4個(gè)向量都是Ax=0的解，故選(A)．11、設(shè)向量組(I)α1，α2，…，αr可由向量組(Ⅱ)β1，β2，…，βs線性表示，則()A、當(dāng)r＜s時(shí)，向量組(Ⅱ)必線性相關(guān)B、當(dāng)r＜s時(shí)，向量組(I)必線性相關(guān)C、當(dāng)r＞s時(shí)，向量組(Ⅱ)必線性相關(guān)D、當(dāng)r＞s時(shí)，向量組(I)必線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用“若向量組(I)線性無(wú)關(guān)，且可由向量組(Ⅱ)線性表示，則r≤s”的逆否命題即知．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)12、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3是正定的，則t的取值范圍是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f的對(duì)應(yīng)矩陣f正定，即A正定A的順序主子式大于0，即解得取公共部分，知t的取值范圍是13、已知?jiǎng)tA-1=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗杂钟谑莿t14、設(shè)A，B均是3階矩陣，其中|A|=2，|B|=-3，A*，B*分別是矩陣A，B的伴隨矩陣，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A*=|A|A-1，則|A*|=|A|3|A|=|A|2，同理，|B|=|B|2．15、設(shè)3階方陣A，B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA，且則B=________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：diag(3，2，1)知識(shí)點(diǎn)解析：由A-1BA=6A+BA得B=6(E-A)-1A=diag(3，2，1)．16、設(shè)A是n階矩陣，且|A|=5，則|(2A)*|=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2n2-n·5n-1知識(shí)點(diǎn)解析：由(2A)(2A)*=|2A|E，(2A)*=|2A|(2A)-1，得17、設(shè)則(A*)-1=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：18、已知A，B均是3階矩陣，將A中第3行的一2倍加到第2行得矩陣A1，將B中第1列和第2列對(duì)換得到B1，又則AB=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗匀⒔獯痤}(本題共17題，每題1.0分，共17分。)19、(1)A，B為n階方陣，證明(2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)有矩陣Am×n，Bn×m，且Em+AB可逆．20、驗(yàn)證En+BA也可逆，且(En+BA)-1=En—B(Em+AB)-1A；標(biāo)準(zhǔn)答案：(En+BA)[En-B(Em+AB)-1A]=E