新高考數(shù)學一輪復習知識總結 隨機變量及其分布（含解析）

第七章隨機變量及其分布知識點一條件概率的概念1.定義設2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的區(qū)別P（A｜B）是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。P（AB）是事件A與事件B同時發(fā)生的概率，無附加條件。P（B）是事件B發(fā)生的概率，無附加條件．它們的聯(lián)系是：．知識點二、條件概率的公式1．計算事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，常有以下兩種方式：①利用定義計算．先分別計算概率P（AB）及P（B），然后借助于條件概率公式求解．②利用縮小樣本空間的觀點計算．在這里，原來的樣本空間縮小為已知的條件事件B，原來的事件A縮小為事件AB，從而，，此法常應用于古典概型中的條件概率求解．2．條件概率公式的變形．公式揭示了P（B）、P（A｜B）、P（AB）的關系，常常用于知二求一，即要熟練應用它的變形公式如，若P（B）＞0，則P（AB）=P（B）·P（A｜B），該式稱為概率的乘法公式．知識點三、相互獨立事件1.定義：，。若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立。2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：對于事件A和事件B，用表示事件A、B同時發(fā)生。（1）若與是相互獨立事件，則；（2）若事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即：。3．相互獨立事件與互斥事件的比較互斥事件與相互獨立事件是兩個不同的概念，它們之間沒有直接關系?；コ馐录侵竷蓚€事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是指一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件是不可能同時發(fā)生的，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提的。相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事件的概率和也是不同的。4.幾種事件的概率公式的比較已知兩個事件A，B，它們發(fā)生的概率為P（A），P（B），將A，B中至少有一個發(fā)生記為事件A+B，都發(fā)生記為事件A·B，都不發(fā)生記為事件，恰有一個發(fā)生記為事件，至多有一個發(fā)生記為事件，則它們的概率間的關系如下表所示：概率A，B互斥A，B相互獨立P（A+B）P（A）+P（B）P（A·B）0P（A）·P（B）1－[P（A）+P（B）]P（A）+P（B）11－P（A）·P（B）知識點四全概率公式1.全概率公式的定義一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有．我們稱上面的公式為全概率公式（totalprobabilityformula）．全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2.貝葉斯公式*貝葉斯公式：設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.貝葉斯公式的內(nèi)含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關系．(2)P(A1)稱為先驗概率，P(A1|B)稱為后驗概率，其反映了事情A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．知識點五隨機變量和離散型隨機變量1.“隨機試驗”的概念一般地，一個試驗如果滿足下列條件：a．試驗可以在相同的情形下重復進行．B．試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個．c．每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果．這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗．2．隨機變量的定義一般地，如果隨機試驗的結果，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量．通常用大寫拉丁字母X，Y，Z（或小寫希臘字母ξ，η，ζ）等表示。3．離散型隨機變量的定義如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。離散型隨機變量的例子很多．例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0，1，…，10；某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y也是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0,1,2，….4.隨機變量的分類隨機變量有以下兩種：離散型隨機變量:連續(xù)型隨機變量:如果隨機變量可以取其一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量．5.若是隨機變量，其中a,b是常數(shù)，則也是隨機變量，并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）。知識點六、離散性隨機變量的分布列分布列定義：設離散型隨機變量所有可能取得的值為x1,x2,…,x3,…xn,若取每一個值xi(i=1,2,…，n)的概率為，則稱表x1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.2.分布列的性質(zhì)離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；（2）P1+P2+…+Pn=13.離散型隨機變量函數(shù)及其分布列一般地，若ξ是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f(ξ)也是隨機變量，也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量。已知離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量函數(shù)的分布列：①ξ與η一一對應時，ξ的每個取值的概率就對應著η的每個取值的概率；②如果ξ有多個取值對應一個η的值，那么這個η值的概率就是這多個ξ值的概率的和。知識點七離散性隨機變量的分布列的求法1.求隨機變量的概率分布有以下幾步：（1）要確定隨機變量的可能取值有哪些.明確取每個值所表示的意義；（2）分清概率類型，計算取得每一個值時的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣）；（3）列表對應，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證.知識點八n次獨立重復試驗每次試驗只考慮兩種可能結果與，并且事件發(fā)生的概率相同。在相同的條件下重復地做次試驗，各次試驗的結果相互獨立，稱為次獨立重復試驗?？傊?，獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復的，各次之間相互獨立地進行的一種試驗，在這種試驗中，每一次的試驗結果只有兩種，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的。知識點九二項分布與超幾何分布1.定義：在一次隨機試驗中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個離散型隨機變量．如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率是，（）．于是得到離散型隨機變量的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于表中第二行恰好是二項展開式中各對應項的值，所以稱這樣的隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作．2．如何求有關的二項分布（1）分清楚在n次獨立重復試驗中，共進行了多少次重復試驗，即先確定n的值，然后確定在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值；（2）準確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率；（3）用表格形式列出隨機變量的分布列。3、幾何分布：獨立重復試驗中，若事件在每一次試驗中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時所做的試驗次數(shù)是隨機變量，且，，稱離散型隨機變量服從幾何分布，記作：。若離散型隨機變量服從幾何分布，且則期望方差4、超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則期望知識點十離散型隨機變量的期望……P……則稱……為；；的推導過程如下：…………P……于是……＝……)……)＝∴。知識點十一：離散型隨機變量的方差與標準差1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)，，…，，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù)＋＋…＋叫做這組數(shù)據(jù)的方差。2.隨機變量的方差：……P……則稱＝＋＋…＋＋…稱為隨機變量的方差，式中的是隨機變量的期望．的算術平方根叫做隨機變量的標準差，記作．3.期望和方差的關系：4.方差的性質(zhì)：；知識點十二正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達式為：，（）其中x是隨機變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標準差.2．正態(tài)分布（1）定義如果對于任何實數(shù)隨機變量滿足：，則稱隨機變量服從正態(tài)分布。記為。（2）正態(tài)分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，。3.正態(tài)曲線如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為，其中實數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。4．正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于軸上方，與軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線對稱；③曲線在時達到峰值；④當時，曲線上升；當時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.⑤曲線與軸之間的面積為1；⑥決定曲線的位置和對稱性；當一定時，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。⑦確定曲線的形狀；當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。類型一條件概率例1在10道題中有6道選擇題和4道填空題．如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到選擇題的概率；(2)第1次和第2次都抽到選擇題的概率；(3)在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率．分析:(1)(2)都是古典概型問題，利用古典概型計算概率的公式求解；(3)是條件概率問題，可以用定義法、公式法或剔除法求解．解：設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次都抽到選擇題”,則第1次和第2次都抽到選擇題為事件AB．(1)從10道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為．由分步乘法計數(shù)原理，知事件A包含的基本事件數(shù)．因此，(2)由分步乘法計數(shù)原理，知,故。(3)方法1：由(1)(2)，知，,故．方法2：因為，，所以．方法3：因為第1次抽到了1道選擇題，故還剩9道題，其中有5道選擇題，所以在第1次抽到選擇題的條件下，第2次再抽到選擇題的概率為．解后反思：利用剔除法求解條件概率，是把復雜問題簡單化的轉(zhuǎn)化策略，有利于問題的解決．類型二互斥事件、相互獨立事件概率的求法以及分布列的計算例2現(xiàn)在甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列．分析：(1)利用互斥事件有一個發(fā)生的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求法求解；(2)先明確的所有可能取值，再求得與取值相對應的概率，最后寫出分布列．解：(1)設“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D．由題意，知,,．根據(jù)事件的獨立性和互斥性，得(2)根據(jù)題意，知的所有可能取值為根據(jù)事件的獨立性和互斥性，得故的分布列為012345規(guī)律總結：求解某些復雜事件的概率時，可以把復雜事件分解為一些互斥事件的和，利用概率加法公式求解；也可以利用“正難則反”的思想，先求出復雜事件的對立事件的概率，再利用求解．例3某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響．某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響。（1）假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率（2）假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標。另外2次未擊中目標的概率；（3）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總得分數(shù)，求的分布列。分析：(1)利用獨立重復試驗的概率公式求解；（2）先明確射擊5次，有3次命中目標，另外兩次未命中目標所包含的所有事件，再利用相互獨立事件的概率公式求解；（3）先明確的所有可能值，并利用相互獨立事件的概率公式求得與取值相對應的概率，再寫出分布列解：（1）設為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則．在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率（2）解：設“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則=（3）解：設“第次射擊擊中目標”為事件由題意可知，的所有可能取值為所以的分布列是01236解后反思：分布列只是一種形式，求出它的目的在于研究隨機變量的規(guī)律性，如從分布列中可以看出隨機變量的分布情況以及隨機變量取各個值所對應的概率大小等．類型三二項分布、超幾何分布的應用例4投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0．5，復審的稿件能通過評審的概率為0．3．各專家獨立評審．(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2)記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的概率．解：(1)令事件表示“能通過第位初審專家的評審”，事件表示“能通過復審專家的評審”，事件表示“投到該雜志社的一篇稿件被錄用”，則(2)由題意，知，故,規(guī)律總結:對于一個概率問題，應首先搞清楚它的類型，不同的類型采用不同的計算方法．一般的問題中總有些關鍵語句說明其類型，對于復雜問題要善于進行分解或者運用逆向思考的方法．例5設有產(chǎn)品100件，其中次品5件，正品95件，現(xiàn)從中隨機抽取20件，求抽得次品件數(shù)的分布列．分析：由題意，知抽得的次品件數(shù)服從超幾何分布，也可以利用排列組合等相關知識直接求解:從100件產(chǎn)品中，隨機抽取20件，抽得次品件數(shù)是一個離散型隨機變量，且的可能取值為所以，，，，，所以的分布列為012346規(guī)律總結：隨機變量服從超幾何分布，當求隨機變量的概率時，可以利用排列組合、古典概型等知識直接求解．類型四離散型隨機變量的均值和方差例6為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對位顧客進行獎勵．規(guī)定：每位顧客從一個裝有個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出２個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．（1）若袋中所裝的個球中有個所標的面值為元，其余個均為元，求①顧客所獲的獎勵額為的概率；②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；（2）商場對獎勵總額的預算是元，并規(guī)定袋中的個球只能由標有面值為元和元的兩種球組成，或標有面值元和元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．分析：(1)①利用排列組合及古典概型求解；②顧客所獲的獎勵額可取20和60；利用概率知識求出相應的概率，從而得到分布列，利用公式求數(shù)學期望；(2)通過比較方差來確定方案．解：(1)設顧客獲得的獎勵額為．①依題意，得，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率是．②依題意，隨機變量的可能取值為．．得的分布列如下：所以顧客所獲的獎勵額的期望為(2)根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為元．所以，先尋找期望為60元的可能方案：對于面值由元和元組成的情況，如果選擇方案，因為元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；若選擇方案，因為元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是．因此可能的方案是，記為方案．當球的面值為元和元時，同理可排除、的方案，所以可能的方案是，記為方案．以下是對兩個方案的分析：對于方案，即方案，設顧客所獲的獎勵額為，則的分布列為的數(shù)學期望為的方差為對于方案，即方案，設顧客所獲得獎勵額為，則的分布列為的期望為的方差為因為兩種方案獎勵額的期望都符合要求，但方案獎勵額的方差要比方案的小所以應該選擇方案．即標有面值元和面值元的球各兩個．規(guī)律總結：求離散型隨機變量的均值的步驟：(1)理解的意義，寫出可能取的全部值；(2)求取每個值相對應的概率；(3)寫出的分布列；(4)利用均值公式，求出均值．例7下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天．（1）求此人到達當日空氣重度污染的概率；（2）設X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結論不要求證明）分析：(1)根據(jù)互斥事件的概率公式求解；(2)明確的所有可能取值，并計算相應的概率，再由均值公式求解；(3)根據(jù)方差的意義判斷．解：設表示事件“此人于3月日到達該市”（）