常微分方程教程丁同仁第二版答案

常微分方程教程(第二版)-丁同仁等編-高等教育出版社-參考答案

習(xí)題2-1

判斷下列方程是否為恰當(dāng)方程，并且對恰當(dāng)方程求解：

1.(3x2(2xY)dy0

解：P(xj)3/1,2一，

p0Po

則一0,工2,所以一士一即，原方程不是恰當(dāng)方程.

yxyx

2.(x2y)dx(2xy)dy0

解：P(x,y)x2y,Q(x,y)2xy9

則一C2,22,所以二旦■，即原方程為恰當(dāng)方程

yXyx

貝”辦(2ydx2xdy)ydy0,

X2”2

兩邊積分得：L2呼—C.

2-2

3.(oxby)dx(bxcy)dy0(a,b和c為常數(shù)).

解：P(x,y)axby,Q(x,y)bxcy,

則h,所以CC,即原方程為恰當(dāng)方程

yxyx

則axdx(如dxbxdycydy0,

兩邊積分得：竺:6中C.

22

4.(axby)dx(bxcy)dy0(b0)

解：尸(xj)axby,Q(x,y)bxcy,

POPO

則一b,36,因為60,所以—以，即，原方程不為恰當(dāng)方程

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5.(t2l)cosudu2tsinudt0

解：P(t,u)(t2l)cosw,0億〃)2/sinw

poPO

則—2/cosw,—2tcost/,所以——,即原方程為恰當(dāng)方程

txyx

貝ij(，2cos沙力，2/sin〃力)cosudu0,

兩邊積分得：l)sini/C.

6.(yex2exy2)dx(ex2xy)dy0

解：P{x,yyex2e'y2,Q(x,y)ex2xy

則-Ce'2%2e*2y,所以￡2-,即原方程為恰當(dāng)方程

y九yx

貝lJ2e*公［(yexy2)dx(e'2孫)力］0,

兩邊積分得：(2y)exxy2C.

7.(—x2)dx(Inx2y)dy0

解:P(x,y)—x2Q(x,y)Inx2y,

X

P1O1PO

則二3工;所以二乂一，即原方程為恰當(dāng)方程

yxxxyx

則(上dx\nxdy)x2dx2ydy0

x

v-3

兩邊積分得：yylnxy2C.

8.(ax2by2)dxcxydy0(a］和。為常數(shù))

解：尸(x,y)ax2by%Q(x.y)cxy,

則土2hy,2cy,所以當(dāng)C金，即2h。時，原方程為恰當(dāng)方程

yxyx

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則ax?公（by2dxcxydy）0

〃丫3

兩邊積分得：?b孫2c

而當(dāng)26。時原方程不是恰當(dāng)方程.

c2s1.SS2

9.-------ds——dt0

tt2

行》、2sl?、ss2

解：Pg)-------,0億5)——,

tr

則工P二\2上s，幺O1所2s以二P義O_,即原方程為恰當(dāng)方程,

ttstyx

兩邊積分得：=c.

t

>0.xf(x-y2)dxyf(x2y2)dy0,./'()

其中是連續(xù)的可微函數(shù).

解：P(x,y)xf\x2y2),。(3)yf(x2y\

pO所以

則工2xyf,32xyf,C2,即原方程為恰當(dāng)方程,

yxy光

兩邊積分得：f(x2y2)dxC,

即原方程的解為y2）c

（其中F為f的原積分）.

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習(xí)題2-2

1.求解下列微分方程，并指出這些方程在平面上的有意義的區(qū)域：：

⑴半

axy

解：原方程即為：ydyx'dx

兩邊積分得：3/2x3C,y0.

(2也

dxy(lx)

X2

解：原方程即為："y——-dx

1x

兩邊積分得：3y221nlX3\C,y0,x1.

(3也y2sinx0

dx

解：當(dāng)V0時

原方程為：土sinxdx0

y

兩邊積分得：1(ccosx)y0.

又y=0也是方程的解，包含在通解中，則方程的通解為

1(ccosx)y0.

(4)—1xy2xy1;

dx

解：原方程即為：(1x)dx

1J2

X2

兩邊積分得:arctgyx—c,

x2

即yfg(x-c).

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(5)—(cosxcos2y尸

dx

解：①當(dāng)cos2y0時

原方程即為：一包一(cosx)2dx

(cos2y)2

兩邊積分得：2fg2y2x2sin2xc.

k

②cos2y=0,即y—w也是方程的解.也N)

⑹6L

dx

解：①當(dāng)y1時

原方程即為：.“辦—

7T1

兩邊積分得：arcsinyln]c|c.

②y1也是方程的解.

解.原方程即為：3ev)dy(xe，)dx

22

兩邊積分得：匕ey二e*c

22,

原方程的解為：VX22(e'eX)c

2.解下列微分方程的初值問題.

(1)sin2xdxcos3ydy0,y(

3

cos2xsin3y

解：兩邊積分得：即2sin3y3cos2xc

23

因為^(y)—

所以c3.

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所以原方程滿足初值問題的解為：2sin3y3cos2x3.

(2).xdxyexdy0,y(0)1;

解：原方程即為：xexdxydy0,

2

兩邊積分得：(XXdxc,

因為火0)1,所以Ci

所以原方程滿足初值問題的解為：2(xl)eXdxy2dy10

(3).—r,r(0)2；

a

dr

解：原方程即為:—d,兩邊積分得：Inrc,

r

因為NO)2.所以cln2,

所以原方程滿足初值問題的解為：InrIn2即r2e

(4).^i*L,

y(i)o；

解：原方程即為：(1y2)dyIn/收，

y3?.

兩邊積分得：y—xxln|c,

因為y⑴0,所以c1,

3

所以原方程滿足初值為一yXxln^l|1

⑸?LAxo)1;

解：原方程即為：駕

y

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兩邊積分得：|y2#x2c,

3

因為歹(0)1,所以。

所以原方程滿足初值問題的解為：2,1—1

y

3.解下列微分方程，并作出相應(yīng)積分曲線的簡圖.

(1).—COSX

dx

解：兩邊積分得：歹sinxc.

積分曲線的簡圖如下：

(2).半ay,(常數(shù)a0);

dx

解：①當(dāng)y0時，

原方程即為：空dx積分得：gn1|xc,

ay

即ycem(c0)

②y0也是方程的解.

積分曲線的簡圖如下：

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電1

(3).y2；

dx

解：①當(dāng)N1時,

原方程即為：-dy--dx積分得：InL匚2xc,

(iy)iy

②y1也是方程的解.

(4).?「(n2)；

ax3

解：①當(dāng)N0時，

i)〃；2時，原方程即為與dx.

積分得：x-y'nc.

n1

ii)/71時，原方程即為—dx

y

積分得：ln?|xc,即ycex(c0)

②y0也是方程的解.

積分曲線的簡圖如下：

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(n=2)

4.跟蹤：設(shè)某A從xoy平面上的原點出發(fā)，沿x軸正方向前進(jìn)；同時某B從點開始跟蹤A,

即B與A永遠(yuǎn)保持等距b.試求B的光滑運(yùn)動軌跡.

解：設(shè)B的運(yùn)動軌跡為yy(x),由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則有

?所以求B的運(yùn)動軌跡即是求此微分方程滿足貝0)b的解.

dx亞y2

5.設(shè)微分方程生/U)(2.27),其中f(y)在歹a的某鄰域(例如，區(qū)間?I)

dx

內(nèi)連續(xù)，而且/(?)Oy。，則在直線N。上的每一點，方程(2.27)的解局部唯一,

當(dāng)且僅當(dāng)瑕積分“(發(fā)散).

af{y}\

證明：()

首先經(jīng)過域RXayQ和域火2x

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aya內(nèi)任一點(x，/)恰有方程(2.13)的一條積分曲線，它由下式確定

ydy

xXo.

這些積分曲線彼此不相交.其次，域8(及2)內(nèi)的所有

積分曲線上xc都可由其中一條，比如上XC

f(y)/(y)°

沿著X軸的方向平移而得到。因此只需詳細(xì)考慮經(jīng)過R內(nèi)某一點

(x0,a)的積分曲線，它由(*)式確定.

若:借卜斂’即存在*X',使得:舟|\

即所討論的積分曲線當(dāng)X時達(dá)到直線ya上點(x，w).由(*)式易看出，

所論積分曲線在(M,a)處與ya相切，在這種情形下，經(jīng)過此直線上的

()一點就不只有一條積分曲線,與局部唯一矛盾，所以"“fW)\發(fā)散.

若積分:肅j發(fā)散，此時由(*)式易看出，所論的經(jīng)過(X。，。)的積分

曲線，不可能達(dá)到直線y。上，而以直線y。為漸近線，又注意到丁。也

是(2.13)的積分曲線，所以(2.13)過(xo,a)的解是唯一的.

注：對于此內(nèi)某點(X。，。)完全可類似地證明.

6,作出下列微分方程積分曲線族的大致圖形.

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習(xí)題2-3

1.求解微分方程：

(1)孚2yxe'

ax

解：p(x)2,q(x)xe*.

由公式得：ye21cxe、,幺dx)ce2xxere

原方程的解為：yce2xxexex.

(2)，ytgx

sin2x;

ax

解：p(x)tgx,q(x)sin2x,

d(cosx).

p(x)dxtgxdx---dx....———axInc|osx|c,則有

cosxcosx

ya止。浜(csin2xe也叫明

?丫

|cosx|(c~sin■~~dx)MM。2c|osx)|

ICOS3T

原方程的解為：yc40sxi2cos2x

(3)x■-2ysinx,y()—；

ax

解：原方程即為：蟲-y—,則p(x)A心)sinx

dxxxxx

p(x)dxZxInx2c,則有

x

i/SillXln.r2、

ye,nnYV2(c----e)

x

，-(cxsinx陽

x

1?、

—(zcxcosxsinx)

X

因為）—1

所以Co.

11.

原方程滿足初值問題的解為：y-GOSX—sinx

xx

(4)?1x,y(0)1;

dx1x

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解:/?(%)-----,q(x)1x,p(x)dxIn-----

1x2x1

In—2

(lx)ek"加)

4:Idx)卡|1

i/x2dx)忖1

要求滿足初值問題共0)1的解

只需求1

-arcsinx

2

代入初值得c1

1X\Tx~r).

所以滿足初值問題的解為J-arcsinx

22

2.將下列方程化為線性微分方程：

dyx2y2

(1———:—；

dx2y

d

解：令Fz,則原方程化為：，7ZX

dx

解：由原方程得：，—匚匚.即--xy

dyydyy

(3)3孫2孚j3x30；

ax

dz1

解：令Kz,則原方程化為：一-3X2.

dxx

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(4)鄉(xiāng)1

----xtgy;

axcosy

解：原方程即為：蟲Xsi"

dxcosycosy

cosydy].

即---1xsiny.令zsiny,則—XZ1.

dxdx

X

a(s)ds

3.設(shè)V(X)滿足微分不等式少a(x)y0,(x0).求證：(x)(0)e

0)

X

證明：將Na[x}y0兩邊同乘e。,則有

XX

0a(s)(isa(s)ds

e。ye?a{x}y0

d(e即泌(x))

即---0----從---0-到--x積分得:

dx

X

pa3ds,、

(x)(0),得證.

用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程電p(x)yq(x).

4.

dx

解：設(shè)方程有形如yc(x)e小"的解，將其代入方程則有

解：設(shè)方程有形如yc(x)e小"的解，將其代入方程則有

"c(x)e0“世c(x)p(x)ep(x}dxp(x)lLx

c(x)p(x)e式x)

dx

即處lep(x)(/xp(x)dx

q(x),則c(x)q(x)e

dx

p(x)(lx

所以方程的解為Ne叩處c).

(q(x)e

考慮方程當(dāng)p(x)yq(x),其中p(x)和q(x)都是以0為周期的連續(xù)函數(shù).

5.

ax

試證：(1)若q(x)0,則方程的任一非零解以為周期p(x)的平均值

—0p(x)dx0.

(2)若q(x)0.則方程的有唯一的周期解p0.試求出此解.

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證明：(1)設(shè)^(X)是方程的任一非零解

XXH'

p(x)dxp(xw)dx

則yce-o，且yce，，也是解

XXH'Xx'w

p(x)必P(Xw)dxp(x)dxp(x)dx

ee,eex

ewwM1p(x)dx0

(2)方程的通解為yce、q(s)e%皿

選擇常數(shù)c使Mx)成為周期函數(shù)，即y(xvv)y(x)(*)

我們先來證明，要使(*)對所有x成立，其實只需對某一特定x

(例如X0)成立,即只需雙)夕(0).事實上，由于N(X)是方程的解，

且p(xw)p(x)q(xw)q(x),所以y(xw)也是解.

因此，函數(shù)”(x)y(xw)M>)是相應(yīng)齊次方程yp(x)y0滿足

初始條件N(0)0的解。又因為此齊次方程的解或者恒等于0,或者恒不

等于0,所以“(X)0,從而等M歹(0),由X的任意性，則有y(xw)y(x)。

“p(x)dxw/、'叩⑴曲,

即ce110</(5)e0dsc.

所以c---------"q(x)e。"dx.

]e?pMdxo

6.連續(xù)函數(shù)/(x)在區(qū)間x上有界，證明：方程y丁/'(x)在區(qū)間

X有并且只有一個有界解.試求出這個解.并進(jìn)而證明：當(dāng)/(X)還是以為

周期函數(shù)時，這個解也是以為周期的周期函數(shù).

證明：顯然方程為一階線性微分微分方程，由一階線性微分微分方程解的求解公式得其

解表達(dá)式為：

XX

八

yc――e。\dx0X〃s)e焉杰

I

cexAf(s)e*x、ds

o

因為/(X)有界，所以要使歹有界，當(dāng)且僅當(dāng)C°f(s)eds

從而原方程的唯一有界解為

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ycex"f(s)e(s*)ds°f(s)e'*dsvf(s)e(xx)ds"f(s)e(sx｝ds.

00

下面說明當(dāng)/(x)是以為周期函數(shù)時，這個解也是以為周期的周期函數(shù).

y(x)“f(s)elsx)ds，令/s,貝IJ

y(x)'y(s)e""、ds'f(t)e(,^dt'/(Z)e(,x)dty(x),

所以此解為一周期函數(shù).

7.令空間｛/(X)If是以2為周期的連續(xù)函數(shù)｝.易知4°關(guān)于實數(shù)域，構(gòu)成一個

線性空間.fH。,定義它的模||/'||max。|./(x)|.證明“。是一個完備的空間.利

x2

用式(2.40)可以在空間〃。中定義一個變換，它把/"變成y.試證：是一個從4°H°

到

的線性算子，而且它是有界的.

證明：(1)先證"°是一個完備的空間.

設(shè)｛/"(X)｝是(4°加

中的一個基本列.

那么0,N(),m,nN()有

|/*)〃叫maxo.v2.(⑴/⑴|

所以0x2,f[x)?f(x)?(*),固定x[0,2].則/(x)“

是基本的，從而lim”/(/)存在，記為/(/),在()中令加,

得到|/°(x)/?(x)|，所以/0)一致收斂到/$),從而在“用/收

斂到/。，所以定義的空間是完備的。

(2)證是一個線性有界算子。

①—'—"e。""(c./ic2f

(c/Se2〃1*)(s)ds

221x2c,、.八〃/、，21x2

。VTxe3)/(s)dsC2丁r.

a{xS}fi{s}ds

。2m

所以是一個線性算子。

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1,

2

②||(/)||max0v2--r；ew”⑸杰

max。,1]maxf(s)ds：e'^'ds

ex$『2

i

所以是有界算子.

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習(xí)題

1.求解下列微分方程：

2yx.

(1次

2xy

ux,則原方程化為X22u1

解：令yu

dx2u

2〃dx1u

即-2—1du—,積分得：In蛔21|lnA|\c

U1X1u

還原變量并化簡得：（丁X）c(xyy

2yx5

(2)y

2x4

2yx50x1

解：由得

2xN40y2

X

令〃I,Vyz

則有

dv2vu/3

------,由第一題的結(jié)果知此方程解為（uu)c(uV）

du2uv

還原變量并化簡得:yx3c(xyIF.

⑶卜

1

解：令vx2y,51IJ—12dy12—

dxdx2v1

即9s,此方程為變量分離方程,

i3

分離變量并積分得：-Vfln|4v11Xc

2o

還原變量并化簡得：8y4x3\n^x8y1f.

(4)yx3y3xy.

3

解：①當(dāng)y0時，方程兩邊同時乘以2y3，則2yy2x2盯2

令

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Z貝ijdz_2宓2爐,此方程為一階線性方程，由公式得：zce。X1

dx

還原變量得：y2(CHx2l),.

②y0也是方程的解.

2.利用適當(dāng)?shù)淖儞Q，求解下列方程：

(1)ycos(xy);

旬入nndu.dy.

解:令〃xy,貝IJ——1——1COSM

dxdx

①當(dāng)cos”［時，有————dx,即————dx

1COS”c.2M

2sin—‘

2

兩邊積分得：yC/gjxc

還原變量化簡得：cosA-V2xsinX-VcsinX1.

222

②當(dāng)cos”1時，即yx2k(kZ)

也是方程的解.

(2)(3〃vv^du(/"VWU；

解：方程兩邊同時乘以〃則原方程化為：

(3W2Vuv2)du(M3u2v)dv0,

即(3u2vduuidv)(uv2duu\>dv)0

此方程為全微分方程，則原方程的解為：“"22

2vc.

(3)(系y23)孚2x(2p4；

axy

解：原方程即為馬亞，令/%

,T'u

2xdxx2y23

4〃2v0u1mu1

則學(xué)4u2v人

，由QA得以2nv21則有

dvuv3uV30

dz

dm2/7人mdm4z2

令一z,則mzn,——nz

dnmnndndnz11

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則有史“(1z)(z2),此方程為變量分離方程

dnz1

分離變量并積分得：cln〃，

I2

還原變量并化簡得：y21)2c(2x2y23)3

2x33xy2lx

(4)半

ax3x2y2y3Sy

2

解：原方程即為生也2x3y272

令MyVX

2xdx3/2y28

川蘇3v2W8■由3V2〃80v2,令"以

則也2〃3〃?令"z

d〃3〃2mn可將方程化為變量分離形方程，

2z—,兩邊積分得：-InL^2

?)dzz|In72c,

22pn41z

25

還原變量并化簡得：(/yI)c(x2y23)

3.求解下列微分方程：

(1).yy23；

4x

解：令zxy,則原方程可化為：它-(z2z4,

dxx4

z細(xì)，即孫;時

1dx

方程為———dz—,此方程為變量分離方程，

(Z乎'

兩邊積分得：一21ln|x|C

Z—

2

還原變量并化簡得：N-———一;

2xxlnxex

當(dāng)z1時，y-L是方程的特解.

22x

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(2).x2yx2y2xy1；

解：原方程即為―/--L.

XX

1

令Z孫，則竺上(ZI)2,此方程為變量分離方程,

dxx

分離變量積分得：ln*|c,

還原變量并化簡得：丁-