平面向量易考點(diǎn)考向知識(shí)點(diǎn)總結(jié)分析,平面向量高考真題及答案解析

考點(diǎn)17平面向量的概念及其線性運(yùn)算

i.平面向量的實(shí)際背景及基本概念

（1）了解向量的實(shí)際背景.

（2）理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.

（3）理解向量的幾何表示.

2.向量的線性運(yùn)算

（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.

（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

）知識(shí)整合,

一、平面向量的相關(guān)概念

名稱定義表示方法注意事項(xiàng)

既有大小又有方向的量叫做向

向量血或4;

向量量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度平面向量是自由向量

模|而|或|@|

（或模）

長(zhǎng)度等于。的向量，方向是任意

零向量記作0零向量的方向是任意的

的

非零向量a的單位向量是

單位向

長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量常用e表示a

量

\a\

平行向

方向相同或相反的非零向量

量。與b共線可

0與任一向量平行或共線

共線向記為a=Ab

平行向量又叫共線向量

量

相等向兩向量只有相等或不等，不

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量a=b

量能比較大小

相反向

長(zhǎng)度相等且方向相反的向量a=-b0的相反向量為0

量

二、向量的線性運(yùn)算

1.向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義、運(yùn)算律

向量-

4定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

運(yùn)算

Zjh(1)交換律：

求兩個(gè)向aab=ba

加法量和的運(yùn)三角形法則(2)結(jié)合律：

算紂(ab)1c=a

(be)

平行四邊形法則

求a與8

的相反向

量一6的和

減法a-b=a+(―b)

的運(yùn)算叫

三角形法則

做a與b

的差

(1)!Aa=1a;

入(“)=入"。；

求實(shí)數(shù)；I(2)當(dāng)A>0時(shí)。a的

(入+幺)a=Aa

與向量a方向與a的方向更

數(shù)乘注a；

的積的運(yùn)包;當(dāng)A<0時(shí),Aa的

A(ab)=%a+

算方向與a的方向相

Xb

匣；當(dāng)A=0時(shí)，碗=?

2.共線向量定理

向量a(分0)與方共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)人使得方=加.

【注】限定a#0的目的是保證實(shí)數(shù)2的存在性和唯一性.

考向一平面向量的基本概念

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以卜.七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未

必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)

混為一談.

(6)非零向量。與的關(guān)系：、-是a方向上的單位向量.

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比

較大小.

典例引領(lǐng)

典例1下列命題正確的是

A.單位向量都相等B.模為。的向量與任意向量共線

C.平行向量不一定是共線向量D.任一向量與它的相反向量不相等

【答案】B

【解析】對(duì)于A,單位向量的模長(zhǎng)相等，方向不一定相同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,模為0的向量為零向量，零向量和任一向量平行，，B正確；

對(duì)于C,共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，，C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,例如零向量，與它的相反向量相等，，D錯(cuò)誤.

故選B.

變式拓展

1.給出下列四個(gè)命題：

①若同=例，則a=6；

②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則AB=。6是四邊形ABC。為平行四邊形的充要條

件；

③若a=b,b=c,則。=。；

④a=〃的充要條件是同=同且.

其中正確命題的序號(hào)是

A.①②B.②③

C.③④D.②④

考向二向量的線性運(yùn)算

平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、

相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量

表示出來(lái).

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、

提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡(jiǎn)結(jié)果.

典例引領(lǐng)

典例2若A、B、C、。是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：

①通+麗=覺+麗，?AC+BD^BC+AD,@AC-BD=DC+AB.

其中正確的有

A.3個(gè)B.2個(gè)

C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】B

【解析】①而+函=而+麗的等價(jià)式是—次=而一而，左邊=4月+4萬(wàn)，右

邊=就+加，不一定相等；

②/+麗=及+亞的等價(jià)式是恁一加二1一8萬(wàn)，左邊=右邊=反，故正確；

③前一而=反+而的等價(jià)式是/一通=8萬(wàn)+反，左邊=右邊=成，故正確.

所以正確的有2個(gè)，故選B.

【名師點(diǎn)睛】熟練掌握向量的線性運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

2.如圖所示，在正方形A8CD中，E為A8的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則萬(wàn)=

3一1一

A.-AB+-AD

44

3一|一

C.-AB+ADD.-AB+-AD

242

典例引領(lǐng)

典例3如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與3。交于點(diǎn)O,AB+AD^AAO,

則2=.

【答案】2

【解析】由平行四邊形法則，得而+通=/=2而，故4=2.

變式拓展

__2____]_________

3.如圖，在AABC中，AD=-AC,BP=-PD,若麗=4通+〃/，則丸+〃的

值為

13

-

EB.4-

AC.

87

-D

9-9-

考向三共線向量定理的應(yīng)用

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量4,b,若存在實(shí)數(shù)人使4=加，則4與力共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使通=2恁，則A,B,C三點(diǎn)共線.

【注】證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

典例引領(lǐng)

典例4已知兩個(gè)非零向量。與分不共線.

(1)若腦=。+6,夙7=2a+8瓦金=3(。-辦求證:三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)匕使履+〃和。+姑共線.

［解析］(1)AB=a+b,BfC=2a+8b,(TD=3(a-b),

ifD—BC+C￡)=2a+86+3(a-ft)=5(a+ft)=5/17?,

?,?腦，麗共線，

又；它們有公共點(diǎn)民

???A,8Q三點(diǎn)共線.

(2):?癡+〃與。+助共線，

???存在實(shí)數(shù)九使得ka+b=Ma+助,

(k-A)a=(Ak-1)b.

??,a,b是兩個(gè)不共線的非零向量，

k-X=Xk-1=0,

Ic1-1=0,

k=1或-1.

【名師點(diǎn)睛】利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí)，一般是把問題轉(zhuǎn)化為證明過同一點(diǎn)的兩條有向線段

所在的向量共線.對(duì)于第（2）問，解決此類問題的關(guān)鍵在于利用向量共線的條件得出

妨），再利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等這一條件，列出方程組，解出參數(shù).

變式拓展

4.如圖,MN是平行四邊形A8C。的邊AD,C￡＞的中點(diǎn),是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，求

證:氏三點(diǎn)共線，且B,F,N三點(diǎn)共線.

、學(xué)點(diǎn)沖關(guān)季（

1.下列說(shuō)法正確的是

A.向量而與向量而是共線向量，則點(diǎn)A6,。,。必在同一條直線上

B.兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量

C.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同

2.已知。是正六邊形ABCDEF的中心，則與向量礪平行的向量為

A.AB+ACB.AB+BC+CD

C.AB+AF+CDD.AB+CD+DE

3.設(shè)M是平行四邊形A6CO的對(duì)角線的交點(diǎn)，。為任意一點(diǎn)（且不與〃重合），則

麗+麗+花+麗等于

A.OMB.20M

C.30MD.40M

4.設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，配=4前，則

'-1.4■.1.5.

A.AD=——AB+-ACB.AD=——AB+-AC

3344

.1.4■.4.1.

C.AD^-AB+-ACD.AD^-AB——AC

5533

5.已知。,方為非零不共線向量，向量8a—處與—依+》共線，貝蛛=

A.2A/2B.-2V2

C.+2V2D.8

6.已知a,。為兩非零向量，若|a+b|=|a一4，則a與的夾角的大小是

A.90B.60

C.45°D.30°

7.已知非零向量。,萬(wàn)，且麗=a+2瓦%=一5。+6瓦麗=7。一2b,則一定共線的三點(diǎn)

是

A.4、B、DB.4、B、C

C.B、C、DD.A、C、D

8.如圖，。在△ABC的內(nèi)部，。為AB的中點(diǎn)，且函+麗+2詼=0，則△ABC的

面積與八4。。的面積的比值為

C.5D.6

9.已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且=月+阮），通=「前，若8,。，。三點(diǎn)共線,

則，的值為

10.已知等邊三角形ABC中，。是線段AC的中點(diǎn)，垂足為是線段80的

中點(diǎn)，則應(yīng)=

A.--BD+-FCB.-BD--FC

8484

C.-BD--FCD.--BD+-FC

8484

11.在△A8C中，點(diǎn)M，N滿足4%=2而,而=而.若Af）V=x腦+），疝，則

戶；）'=.

12.設(shè)向量。，力不平行，向量癡+》與。+處平行，則實(shí)數(shù)；1=.

13.已知正方形A8C。的邊長(zhǎng)為1,設(shè)福=a,b,*=c,則|a—5+c|=.

BC=

14.設(shè)Q,方是不共線的兩個(gè)非零向量，若礪=依+12萬(wàn)，癰=4。+5方，無(wú)=-履+10），

且點(diǎn)A,B，C在同一直線上，則攵=.

3通高趙］

1.（2018年高考新課標(biāo)I卷文科）在△ABC中，AD為8c邊上的中線，E為A￡）的中點(diǎn)，

則麗=

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.（2017年高考新課標(biāo)H卷文科）設(shè)非零向量。，）滿足心+可=|。一同，貝ij

A.aLbB.同=同

C.a//bD.|?|>|ft|

能參考答案.

變式拓展

1.【答案】B

【解析】①同=可，即4,8的模的大小相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)向量不一定相

等，故①錯(cuò)誤；

②若A6,C,￡）是不共線的四點(diǎn)，則A與=De=A8〃CO且=四邊形

ABCO為平行四邊形，故②正確；

③若。=》，則分的模的大小相等，方向相同，若8=c,則瓦c的模的大小相等，方

向相同，故a,c的模的大小相等，方向相同，即a=c,故③正確；

④a=方的充要條件是阿=|可且。力同向，故④錯(cuò)誤.

故正確命題的序號(hào)是②③，故選B.

2.【答案】D

【解析】根據(jù)題意得：AF=^（AC+AE）,又/=麗+而，AE=^AB,

所以衣=；（A方+A/5+；Ab）=+

故選D.

【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)向量加法、減法運(yùn)算的考查，重在對(duì)加法法則、減法法則的理解，

要特別注意首尾順次相接的若干向量的和為0的情況.一般將向量放在具體的幾何圖形中,

常見的有三角形、四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、梯形）、正六邊形等.

在解決這類問題時(shí)，要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應(yīng)用.當(dāng)運(yùn)用三角形加

法法則時(shí)，要注意兩個(gè)向量首尾順次相接，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，可以考慮用減法.

3.【答案】A

【解析】由題意得：AP=AB+BP=AB+-BD=AB+-（AD-AB]=-AB+-AD

44、'44

31?31

=-AB+-x-AC=-AB+-AC,

44346

____3111

又AP=幾43+//AC,可知：/+//=-4--=—.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問題，涉及向量的數(shù)乘運(yùn)算、加法運(yùn)算、減法運(yùn)

算，屬于常規(guī)題型.

1TIT1

4.【解析】設(shè)血二°,疝=兒則4"=）及死==~（a+b）,

*Til1QR-ll

BE=AE-AB-S-2a）,則=AKl-AB=l）-a=^b-2a）.

3T

由8M=2B'E,得B,E,M三點(diǎn)共線，

3

同理可得BN=2辦，所以B,F,N三點(diǎn)、共線.

考點(diǎn)沖關(guān)

1.【答案】D

【解析】對(duì)于A,若向量麗與向量而是共線向量，則AB〃C。或點(diǎn)A8,C,。在同

一條直線上，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，其方向可能既

不相同又不相反，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,長(zhǎng)度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，

其終點(diǎn)必相同，故D正確.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定義，關(guān)鍵是理解向量有關(guān)概念的定義.解題時(shí)，根

據(jù)題意，結(jié)合向量的定義依次分析四個(gè)命題，綜合即可得答案.

2.【答案】B

【解析】如圖，AB+BC+CD=AD=2Ad=-2OA-

故選B.

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量共線的條件，在正六邊形中，首先利用向量的加法

運(yùn)算法則，結(jié)合向量共線的條件，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，求得正確結(jié)果.

3.【答案】D

【解析】丫。為任意一點(diǎn)，不妨把A點(diǎn)看成。點(diǎn)，則

OA+OB+OC+OD=0+AB+AC+AD,

?.?〃是平行四邊形A3CZ）的對(duì)角線的交點(diǎn)，二0+而+/+M=2AC=40M-

故選D.

4.【答案】B

【解析】而=通+礪=通+2就=通+2（恁一通）=一▲通+3而.故選8.

44、'44

5.【答案】C

【解析】,向量8a—心與—kz+〃共線，

，存在實(shí)數(shù)2,使得8a-妨=〃-Aa+萬(wàn)），即&z—疑>=—左々（+勸，

又為非零不共線向量，

S1，解得女=±2逝.

-K-A

故選C.

6.【答案】A

【解析】因?yàn)閨。+目=卜-耳，即所圍成的平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度相等，所以該平行四

邊形為正方形或長(zhǎng)方形，由此可得畿，〃的夾角為90。，故選A.

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)向量的加減法則，結(jié)合幾何圖象特征即可.

7.【答案】A

【解析】由向量的加法法則可得8方=BC+CD=-5a+6b+la-2b=2a+4b=2AB>

所以而與麗共線，又兩線段過同一點(diǎn)8,所以三點(diǎn)一定共線.故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，向量的加法法則，考查利用向量的共

線來(lái)證明三點(diǎn)共線，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.解本題時(shí)，由向量加法

的“三角形''法則，可得=2A后，從而可得結(jié)果.

8.【答案】B

【解析】：。為A8的中點(diǎn)，OA+OB=2ODOA+OB+2OC=0'OC=-OD>

O是CD的中點(diǎn)，,S^AOC=S^AOD=—S^AOB=—SAA8c.故選B.

24

【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的幾何運(yùn)算，屬于中檔題.解決向量小題的常用方法

有：數(shù)形結(jié)合，向量的三角形法則、平行四邊形法則等；建系將向量坐標(biāo)化；向量基底

化，選基底時(shí)一般選擇已知大小和方向的向量為基底.解決本題時(shí).，根據(jù)平面向量的幾何

運(yùn)算可知。為C￡>的中點(diǎn)，從而得出答案.

9.【答案】B

【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為M，則礪+歷=2而，因?yàn)?荷=礪+^所以

而=麗，則〃磁=；（赤+*）=；（而+；而）=；通+，而，由

8,0,。三點(diǎn)共線，得l+-1=1,解得/=，.故選B.

44/3

【名師點(diǎn)睛】利用平面向量判定三點(diǎn)共線往往有以下兩種方法：

①A,B,C三點(diǎn)共線=通=AAC；

②。為平面上任一點(diǎn)，A8,C三點(diǎn)共線00X=/l赤+〃反，且X+〃=l.

10.【答案】C

【解析】..?尸是線段BD的中點(diǎn)，.?.CF=~（CD+CB）=-CA+-CB=-BA--BC.

2、74244

是線段AC的中點(diǎn)，.?.亦=g（/M+比）.

又歷=詼-麗=3麗-麗=3麗」（麗+宿」麗-!瓦，

442、>42

令詼=/1麗+〃斤，

則!麗」而=勺麗+覺）+生￡而一幺麗=（4一幺）麗+（2+生）死，

422、>442424

.14〃143〃皿口3,1

?>——-----，———?----,解得u——,A——,

42422448

__13

：.DE=-BD--FC,

84

故選C.

11.【答案】---

L6

llill11

【解析】山題中條件得血=A/C+C1V=-At+-C&=-Ac+A^B-4t）=-Ai?--AC=xAB+y

323226

~11

尼,所以4予y=-z

Z6

12.【答案】1

2

1=k

【解析】因?yàn)橄蛄慷?〃與a+2b平行，所以助+6=乂。+2切，則《J所以

1=2%,

13.【答案】2

【解析】如圖，a+b=c,所以|。-8+4=|勿|,

又同=1,二.|a-b+c|=2,

故答案為2.

【名師點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)向量的加減法的法則，及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.向量的運(yùn)

算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，二是坐標(biāo)運(yùn)

算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較

簡(jiǎn)單）.運(yùn)算法則是：

（1）平行四邊形法則（平行四邊形的時(shí)角線分別是兩向量的和與差）；

（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.

14.【答案】—2

3

【解析】由題得礪=礪一礪=（4—左）。一7仇麗=礪一反=（4+%）4-5仇

4一左一72

因?yàn)辄c(diǎn)A，B，。在同一直線上，所以一；=k=r

4+%—53

故答案為-2.

3

【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查向量的運(yùn)算和共線向量的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基

礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.（2）三點(diǎn)共線o通=九配.

直通高考

-------

1.【答案】A

【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

詼2麗，麗=1.麗麗+U麗+宿

222424t）

=-BA+-BA+-AC^-BA+-AC,所以麗而—故選A.

2444444

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量的基本問題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向

量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，

需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.

2.【答案】A

【解析】由向量加法與減法的幾何意義可知，以非零向量8的模長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的平行四

邊形是矩形，從而可得故選A.

考點(diǎn)18平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意義.

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

:知識(shí)整合

一、平面向量基本定理

如果6，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)小，％2,使。=44+402.其中，不共線的向量?jī)?nèi)，02叫做表示這一平面內(nèi)所

有向量的一組基底.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

二、平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)

于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi+yj,

這樣，平面內(nèi)的任一向量。都可由x、y唯一確定，我們把（x,y）叫做向量a的坐標(biāo)，記

作a=（x,>1）,其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo).

三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量坐標(biāo)的求法

（1）若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

（2）設(shè)A（xi，%），B（及，"），則（刈-xi，竺一yi）.

2.向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)（xi,yi）,b-（及，”），貝Ja+b-（及+xi，"+yi），a—b-（xj—X2>yi—yi）,Aa-（zxi,

加），

|a|=J尤;+）,；,|a+4|=｛（%+%2）2+（另+%）2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a二（xj,yi）,b=（X2，"），貝UQ〃力=陽(yáng)沖一垃6二0.

4.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a和"作礪=a,OB=b,則NA03=。（0。0把180。）叫做向量。與b

的夾角.如果向量a與b的夾角是90。，我們說(shuō)。與b垂直，記作

菖2點(diǎn)考向,

考向一平面向量基本定理的應(yīng)用

1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的

力口、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當(dāng)基底確定后，任一向

量的表示都是唯一的.

2.應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)

（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

(2)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量

用這一組基底表示出來(lái).

(3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何

性質(zhì)，如平行、相似等.

3.用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性

組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)

用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.

典例引領(lǐng)

典例1如圖所示，在八480中，OC=-OA,OD=-OB,AO與5c相交于點(diǎn)

42

設(shè)0A=a?OB—b.

(1)試用向量Q,力表示。例；

(2)過點(diǎn)M作直線石尸，分別交線段AC,BD于點(diǎn)E,尸.記礪=OF=jLib,

13

求證：2十三為定值.

A〃

【解析】(1)由A,M,。三點(diǎn)共線，可設(shè)麗=加礪+(1—m)3萬(wàn)=ma+q^b,

由8,M,。三點(diǎn)共線，可設(shè)兩=〃雙+(1-〃)麗=：a+(l—〃)5,

m--n

414

，解得m=—〃=—,

l-m.77

------=\-n

2

/.OM=-a+-b.

77

(2)由E,M,F三點(diǎn)共線,設(shè)OA7=kOE+(l-k)OF—kAn.+(\-lc)/nb,

I3

由(1)知&4=(1—&)〃二,,

13

—=73—=7—73

4〃

13

A-+-=7,為定值.

A〃

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，以及平面向量的線性運(yùn)算，其中根

據(jù)三點(diǎn)共線，合理設(shè)出向量，列出方程組求解是解答本題的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記向量的基本概

念和基本的運(yùn)算公式是解答向量問題的基礎(chǔ)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

中檔試題.

變式拓展

1.如圖，在"5。中，D,E分別為邊AC,AB上的點(diǎn)，且=AE=2EB,

BD,CE相交于點(diǎn)P，若AQ=a,AC=b,則衣=

11,

A.—a+—b

33

C.—a+—b

24

考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線

段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

2.解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解，并

注意方程思想的應(yīng)用.

牢記：向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，

無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

典例引領(lǐng)

典例2已知4(-3,0),8(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在/AOB內(nèi)，且乙4。。=45°，設(shè)

Ofc=ACM+(l-A)Ofe(AG/?),貝I"的值為

【答案】C

【解析】?乙4。。=45°，.,?設(shè)C(x,-x),則比'=(x,-x),

又4(-3,0),8(0,2),根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算知加4+(1-4)而=(-3九2-2A),

x=-3A2

所以《=>A.

—x=2—245

故選C.

典例3已知A(-2,4),8(3,-1),C(一3,T),設(shè)A月=a,BC=b,CA=c.

(1)求為+〃一3c；

(2)求滿足Q=〃力+HC的實(shí)數(shù)〃2,n.

【解析】(1)由已知得a=(5,—5),b—(—6,—3),c=(1,8),

則3a+b—3c=3(5,-5)+(—6,-3)-3(1,8)=(15—6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)mb+nc=(-6m++8〃)，

一6m+〃=5

n〃2=〃=-l.

—+8/2=-5

變式拓展

2.把點(diǎn)A(3,2)按向量&=(1,4)移到點(diǎn)B,若麗=-2阮(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則C點(diǎn)的

坐標(biāo)為

A.(―1,1)

C.(2,3)

考向三向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量。共線的向量時(shí)，可

設(shè)所求向量為4a(/IGR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于2的方程，求出2的值后代入

而即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若

a=(Xi，y),b-(x2,y2),則的充要條件是玉％=/X”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于通與AC共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再

利用三角恒等變換求解.

典例引領(lǐng)

典例4已知ei,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，腦=2ei+e2,￡^=-ei+/ie2,Et=-2ei+e2,

且A,E,C三點(diǎn)共線.

(1)求實(shí)數(shù)，的值；

(2)若ei=(2,1),e2=(2,-2),求死的坐標(biāo);

(3)已知點(diǎn)。(3,5),在(2)的條件下，若A,a四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求

點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解析】(1)Z￡=/lB+/?E=(2ei+e?)+(-ei+2e2)=ei+(1+2)e2.

???A,E,C三點(diǎn)共線，

???存在實(shí)數(shù)上使得屈=上比,

即61+(1+#02=叔一26|+02),

即(1+2A)ei+(l+2-攵)02=0.

???以心是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，

1+2%=0且1+2-左=0,

13

解得％=--工=—

22

3

故實(shí)數(shù)丸的值為-

2

3

(2)由(1)知,BE=—g---€2,

2

則瓦?二庇+比=-3d一1。2=-3(2,1)—，(2,—2)=(-6,—3)—(1,—1)=(-7,-2).

22

故死的坐標(biāo)為(-7,-2).

(3)-：A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，，疝=死.

設(shè)A(x,y),則疝=(3-x,5-y).

由(2)知成=(—7,—2),

'3r=_7fx=10

，解得Vr

15-y=-2[y=7

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,7).

變式拓展

3.已知a=(l,2),〃=(O,l),c=(-2,攵)，若(a+2?〃c,則左=

A.8B.—8

苣點(diǎn)沖關(guān)充

1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量血的坐標(biāo)是

y

2

ZL

1

12x

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

2.下列各組向量中，能作為平面上一組基底的是

A.q=(0,2),e2=(0,-1)B.4=(2,1),e2=(0,0)

C.q=(3,1),e2=(5,|)

D.et=(-2,1),e2=(4,2)

3.己知48=(1,—1),C(0,l),若前=2A與，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

4.已知向量a-b=(3,—1),6=(1,-2),若向量一2?+〃必與向量a-)平行，則實(shí)數(shù)”?=

A.-4B.-2

C.4D.2

5.在△A6C中，點(diǎn)。在邊A8上，且￡>4=2口力，設(shè)CA=a,CB=/>，則CD=

12,B.2/

A.—a+—b

3333

I2,21,

C.—a——bD.—a——b

3333

6.已知向量a=(l,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示為

c=ar+〃b(/l，4€R),則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

A.(-oo,0)U(0,+℃)B.(-co,3)

C.(―oo,—3)U(—3,+oo)D.[—3,3)

7.已知在RtZXABC中，兩直角邊AB=1，AC=2,。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NZMB=60。,

4

設(shè)沏=2麗+/,無(wú)e(X,〃eR),則二■=

A2J

3

C.3D.2&

8.在平面直角坐標(biāo)系xO＞中，已知點(diǎn)4(1,1),3(2,3),。(3,2),若點(diǎn)p滿足

麗+而+前=0廁1兩=.

9.已知向量a=(m,2加一1),ft=(1,-2),若a〃)，則|4?+24=.

10.已知向量a=(x,2),ft=(-1,1),若,一母=卜+可，則x的值為.

21

AN=-NCAP=tAB+-AC,

11.如圖，在△ABC中，3,P是BN上一點(diǎn)，若3則實(shí)數(shù)/的值為

12.已知點(diǎn)A(—2,4),3(3,-1),。(一3,—4),設(shè)向量A3=a,3C=b,CA=c.

(1)若4=〃必+〃以求實(shí)數(shù)加，”的值；

(2)若函=一2"由'=3c,求向量麗的坐標(biāo).

---2——?—4—?

13.如圖，在平行四邊形ABC。中，CM=—CB,N是AM上一點(diǎn)，且CN=〃CA+—C8.

37

(1)求實(shí)數(shù)”的值;

(2)記四=己4，b=Ca，試用》表示向量麗7，DMtDN-

14.已知向量a=(sinacos6-2sine),b=(1,2).

一、H/八sin0-cos0,,

(1)右a〃)，求";------二的值;

l+3cos_0

(2)若|4=例，()＜。＜兀，求。的值.

3通高考J,

1.(2019年高考全國(guó)n卷文數(shù))已知向量。=(2,3),6=(3,2),則|Q』|=

A.y/2B.2

C.50D.50

2.（2017江蘇）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量次，OB，反的模分別為1,1,0,3

與玩的夾角為。，且tana=7,。月與反的夾角為45。.若灰;=加礪+〃（歷

（m,nGR）,則加+鹿=.

3.（2018新課標(biāo)全國(guó)m文科）已知向量4=（1,2）,6=（2,-2）,c=（l,z）.若c〃（%+b）,

則行.

4.（2017年高考山東卷文數(shù)）已知向量折（2,6）力=（一1,/1）,若?！╞,則;1=.

變式拓展

1.【答案】C

【解析】設(shè)AP=XQ+yb，

則而=x^+2y而，AP=^AE+yAC,

因?yàn)?,P,。三點(diǎn)共線，所以x+