1.1.2-集合的表示方法

1.1.2集合的表示方法使學(xué)生掌握常用的集合表示方法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn)）思考1怎樣表示“方程x2-5x=0在實(shí)數(shù)內(nèi)解的全體”組成的集合C？解答：可以這樣表示：C={0，5}.像這樣把集合的所有元素都列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.思考2怎樣用列舉法來表示“由大于3小于10的整數(shù)組成的集合”？解答：{4，5，6，7，8，9}.列舉法的優(yōu)點(diǎn)與使用時(shí)的注意事項(xiàng)：(1)優(yōu)點(diǎn):可以明確集合中具體的元素及元素的個(gè)數(shù);(2)使用列舉法必須注意:①元素間用“，”分隔;②元素不重不漏;適用范圍:ⅰ.含有有限個(gè)元素且個(gè)數(shù)較少的集合;ⅱ.集合的元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)一定的規(guī)律例如,不大于100的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合,可表示為

{0,1,2,3,…，100}.ⅲ.無限集有時(shí)也用上述的列舉法表示.例如，自然數(shù)集N可表示為{0,1,2,3,…，n,…}.思考3能不能用列舉法表示“由大于3小于10的實(shí)數(shù)組成的集合”?解答：我們不能用列舉法來表示大于3小于10的實(shí)數(shù)組成的集合，因?yàn)檫@個(gè)集合的元素是列舉不完的，而元素的排列又不呈現(xiàn)明顯的規(guī)律.對(duì)于元素較多的集合或者根本就不能將元素一一列舉的集合用“描述法”來表示就顯得簡(jiǎn)潔明了多了。思考4如何表示第一象限的點(diǎn)組成的集合?解答：第一象限的點(diǎn)有無數(shù)個(gè),無法用列舉法表示，但這些點(diǎn)有明確的特征，橫坐標(biāo)x>0,縱坐標(biāo)y>0,則第一象限的點(diǎn)集可以表示為{(x,y)|x>0,y>0},這種表示集合的方法叫描述法.什么是描述法呢？一般地，如果在集合I中，屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)p(x),則性質(zhì)p(x)叫做集合A的一個(gè)特征性質(zhì).于是，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)描述為

{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性質(zhì)p(x)的所有元素構(gòu)成的.這種表示集合的方法，叫做特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱描述法.{x∈R3<x＜10}注意：在不致發(fā)生誤解時(shí)，x的取值集合可以省略不寫.例如，在實(shí)數(shù)集R中取值，“∈R”常常省略不寫，像上述集合也可以寫作{x|3<x＜10}.思考3中，大于3小于10的實(shí)數(shù)組成的集合可表示為：代表元素所有元素所共有的“特征性質(zhì)”描述法的一般形式為：{x∈I|p(x)}x為該集合的代表元素p(x)表示該集合中的元素x所具有的性質(zhì)使用描述法必須注意：①寫清該集合中的代表元素；②準(zhǔn)確說明該集合中元素的特征；③不能出現(xiàn)未被描述的字母；④準(zhǔn)確使用“且”與“或”；⑤所有描述的內(nèi)容都要寫在“｛｝”內(nèi)；⑥集合符號(hào)“｛｝”已包含“所有”的意思,文字描述不應(yīng)該再用“全體”、“全部”、“所有”或“集”等詞語.7：方法不唯一提升總結(jié)：集合的表示方法的變換列舉法描述法通過對(duì)元素規(guī)律的觀察概括出元素的特征性質(zhì)根據(jù)元素的特征性質(zhì)找出具體元素[分析]對(duì)于(1)集合A中“x∈N”且“0<x≤5”共同限制了集合元素的屬性，而（2）中所求的也即是方程的解集，解方程即得。解（1）A＝{1,2,3,4,5}；

（2）B＝{2,3}.應(yīng)用列舉法應(yīng)注意的問題：（1）用列舉法表示集合時(shí)，要注意是數(shù)集還是點(diǎn)集；（2）列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然.提升總結(jié)變式訓(xùn)練:用列舉法表示下列集合:（1）由x2-9=0方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.（2）由小于8的所有素?cái)?shù)組成的集合.（3）一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合.例2用描述法表示下列集合:（1）｛-1,1｝；（2）大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；（3）在平面內(nèi)，線段AB的垂直平分線.[分析]對(duì)于用描述法表示的集合，要從本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)它，看清集合的“代表元素”，判斷出我們要研究的集合元素所共有的“特征性質(zhì)”.解:(1)這個(gè)集合的一個(gè)特征性質(zhì)可以描述為絕對(duì)值等于1的實(shí)數(shù)，即|x|＝1于是這個(gè)集合可以表示為{x||x|=1}.(2)這個(gè)集合的一個(gè)特征性質(zhì)可以描述為

x>3，且x=2n,n∈N.于是這個(gè)集合可以表示為

{x|x>3,且x=2n,n∈N}通常用大寫字母表示點(diǎn)（元素），用小寫字母表示點(diǎn)的集合.(3)設(shè)點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線上任一點(diǎn)，點(diǎn)P和線段AB都在平面內(nèi)，則這個(gè)集合的特征性質(zhì)可以描述為

PA＝PB于是這個(gè)集合可以表示為

{點(diǎn)P∈平面｜PA＝PB}應(yīng)用描述法應(yīng)注意的問題：（1）若用{x∈I|p(x)}形式表示集合，x是集合中的代表元素，I是x的取值范圍，p(x)是集合中元素的共同特征，豎線不可省略.（2）若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說明其含義或指出取值范圍.提升總結(jié)變式訓(xùn)練：用描述法表示下列給定的集合：（1）不等式4x－5<3的解集.（2）二次函數(shù)y=x2-4的函數(shù)值組成的集合.（3）反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合.（4）不等式的解集.{x|}{|}{x|}y{x|}例3用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)比4大2的數(shù)；(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集；(3)不等式x－2>3的解的集合；(4)二次函數(shù)y＝x2－1圖象上所有點(diǎn)組成的集合．分析:由題目可獲取以下主要信息：①已知4個(gè)集合；②用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎靖鱾€(gè)集合．對(duì)于(1)，比4大2的數(shù)就是6，宜用列舉法；對(duì)于(2)，方程為二元二次方程，可將方程左邊因式分解后求解，宜用列舉法；對(duì)于(3)，不等式的解有無數(shù)個(gè)，宜采用描述法；對(duì)于(4)，所給二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，宜采用描述法．解：(1)比4大2的數(shù)顯然是6，故可表示為{6}．(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴∴方程的解集為{}或{(2，－3)}．(3)由x－2>3，得x>5.故不等式的解集為{x|x>5}．(4)“二次函數(shù)y＝x2－1的圖象上的點(diǎn)”用描述法表示為{(x，y)|y＝x2－1}．用什么方法表示集合，要具體問題具體分析：（1）用列舉法表示元素較少的集合可以一目了然，方便快捷，但元素較多時(shí)就不太方便了;（2）用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型，描述法多用于元素個(gè)數(shù)無限的集合．提升總結(jié)變式訓(xùn)練用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)二元二次方程組?íì

y＝xy＝x2的集合；

(2)大于4的全體奇數(shù)組成的集合；

(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；

(4)一次函數(shù)y＝2x＋1圖象上所有點(diǎn)組成的集合．

1.（2012·濰坊高一檢測(cè)）下面四個(gè)關(guān)系式：∈｛x︱x是正實(shí)數(shù)｝，0.3∈Q,0∈｛0｝,0∈N,其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1A2.已知A=｛x︱3-3x>0｝,則有（）A.3∈AB.1∈AC.0∈A