《材料力學(xué)》附錄I-截面的幾何性質(zhì)-習(xí)題解

《材料力學(xué)》附錄I--截面的幾何性質(zhì)-習(xí)題解PAGEPAGE1附錄I截面的幾何性質(zhì)習(xí)題解[習(xí)題I-1]試求圖示各截面的陰影線(xiàn)面積對(duì)軸的靜積。（a）解：（b）解：（c）解：（d）解：[習(xí)題I-2]試積分方法求圖示半圓形截面對(duì)軸的靜矩，并確定其形心的坐標(biāo)。[習(xí)題I-4]試求圖示四分之一圓形截面對(duì)于軸和軸的慣性矩、和慣性積。解：用兩條半徑線(xiàn)和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如圖所示。；微分面積的縱坐標(biāo)：；微分面積對(duì)軸的慣性矩為：四分之一圓對(duì)軸的慣性矩為：由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四分之一圓對(duì)軸的慣性矩為：微分面積對(duì)軸、軸的慣性積為：[習(xí)題I-5]圖示直徑為的圓形截面，在其上、下對(duì)稱(chēng)地切去兩個(gè)高為的弓形，試用積分法求余下陰影部分對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩。解：圓的方程為：如圖，作兩條平行軸的、相距為線(xiàn)段，截圓構(gòu)成微分面積，微分面積為：切去之后，剩下部分對(duì)軸的慣性矩為：[習(xí)題I-6]試求圖示正方形對(duì)其對(duì)角線(xiàn)的慣性矩。解：正方形四條邊的直線(xiàn)方程如圖所示（設(shè)水平坐標(biāo)軸為，豎坐標(biāo)軸為）。=故正方形對(duì)其的對(duì)角線(xiàn)的慣性矩為：。[習(xí)題I-7]試分別求圖示環(huán)形和箱形截面對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩。(a)解：(b)[習(xí)題I-8]試求圖示三角形截面對(duì)通過(guò)頂點(diǎn)A并平行于底邊BC的軸的慣性矩。解：已知三角形截面對(duì)以BC邊為軸的慣性矩是，利用平行軸定理，可求得截面對(duì)形心軸的慣性矩

所以

再次應(yīng)用平行軸定理，得

[習(xí)題I-9]試求圖示的半圓形截面對(duì)于軸的慣性矩，其中軸與半圓形的底邊平行，相距1m。

解：已知半圓形截面對(duì)其底邊的慣性矩是，用平行軸定理得截面對(duì)形心軸的慣性矩

再用平行軸定理，得截面對(duì)軸的慣性矩

[習(xí)題I-10]試求圖示組合截面對(duì)于形心軸的慣性矩。解：由于三圓直徑相等，并兩兩相切。它們的圓心構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形。該等邊三角形的形心就是組合截面的形心，因此下面兩個(gè)圓的圓心，到形心軸的距離是

上面一個(gè)圓的圓心到軸的距離是。

利用平行軸定理，得組合截面對(duì)軸的慣性矩如下：[習(xí)題I-11]試求圖示各組合截面對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩。解：（a）22a號(hào)工字鋼對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩是。利用平行軸定理得組合截面對(duì)軸的慣性矩（b）等邊角鋼的截面積是，其形心距外邊緣的距離是28.4mm，求得組合截面對(duì)軸的慣性矩如下：習(xí)題I-11（b）圖圖形bhIxcaAIx中間矩形1060018000000006000180000000上矩形25010208333052500232583333下矩形25010208333052500232583333左上L形1795100271.61926143869495右上L形1795100271.61926143869495左下L形1795100271.61926143869495右下L形1795100271.619261438694951220644645[習(xí)題I-12]試求習(xí)題I-3a圖所示截面對(duì)其水平形心軸的慣性矩。關(guān)于形心位置，可利用該題的結(jié)果。解：形心軸位置及幾何尺寸如圖所示。慣性矩計(jì)算如下：

[習(xí)題I-12]試求圖示各截面對(duì)其形心軸的慣性矩。習(xí)題I-13(a)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000全圖28000011900000042513358333333習(xí)題I-13(b)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上圖(3)2515037502751031250148703125089601489中圖(2)20015030000125375000025625000056328044下圖(1)10050500025125000102104166752667577全圖387504906250127198597110習(xí)題I-13(c)圖形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形2140115024610005751415075000271222708333159333213698275半圓790-980333335-32869266742750202791399198820222116全圖14806671086382333734134393476159半圓：半圓：習(xí)題I-13(d)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)從下往上2201635208281603747509349243861318014252023579603594116032482128016674107843673957728040824269940824269922014308071121898803295030733343258744594005722.52893613341270344643677352390991273413822023302914[習(xí)題I-14]在直徑圓截面中，開(kāi)了一個(gè)的矩形孔，如圖所示。試求截面對(duì)其水平形心軸和豎直軸形心的慣性矩和。解：先求形心主軸的位置截面圖形對(duì)形心軸的靜矩（面積矩）等于零：

（y軸向下為正）

（組合圖形對(duì)過(guò)圓心軸x1的慣性矩）

（組合圖形對(duì)形心軸x的慣性矩）習(xí)題I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.001-82.6671.189314.0圓450.2700201.062-0.1893202.942.27-8-0.1893188.9

[習(xí)題I-15]正方形截面中開(kāi)了一個(gè)直徑為的半圓形孔，如圖所示。試確定截面的形心位置，并計(jì)算對(duì)水平形心軸和豎直形心軸的慣性矩。解：習(xí)題I-15圖形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圓50-392779-309365685977242860346全圖360733690635102130686455形心位置：X（0，102）。對(duì)水平形心軸的慣性矩：。對(duì)豎直形心軸的慣性矩：習(xí)題I-15圖形arIy（mm4）正方形200133333333.3半圓502454367全圖130878966[習(xí)題I-16]圖示由兩個(gè)號(hào)槽鋼組成的組合截面，若欲使截面對(duì)兩對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩和相等，則兩槽鋼的間距應(yīng)為多少？解：20a號(hào)槽鋼截面對(duì)其自身的形心軸、的慣性矩是，；橫截面積為；槽鋼背到其形心軸的距離是。

根據(jù)慣性矩定義和平行軸定理，組合截面對(duì)，軸的慣性矩分別是

；若

即

等式兩邊同除以2，然后代入數(shù)據(jù)，得

于是

所以，兩槽鋼相距

[習(xí)題I-17]試求圖示截面的慣性積解：設(shè)矩形的寬為b高為h，形心主慣性軸為，則由平行移軸公式得：故，矩形截面對(duì)其底邊與左邊所構(gòu)成的坐標(biāo)系的慣性積為：習(xí)題I-17圖形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重復(fù)加的矩形10102500全圖上圖+下圖-重復(fù)圖=497500[習(xí)題I-18]圖示截面由兩個(gè)的等邊角鋼及綴板（圖中虛線(xiàn)）組合而成。試求該截面的最大慣性矩和最小慣性矩。解：從圖中可知，該截面的形心C位于兩綴板共同的形心上。過(guò)C點(diǎn)作水平線(xiàn)，向右為軸正向；過(guò)C點(diǎn)，垂直于軸的直線(xiàn)為軸向上為正。把坐標(biāo)繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后所得到的坐標(biāo)系是截面的的兩條對(duì)稱(chēng)軸，也就是該截面的形心主慣性軸。主慣性矩，查型鋼表得：12.5號(hào)等邊角鋼的參數(shù)如下：，，，角鋼形心主慣性軸與截面形心主慣性軸之間的距離：（注：綴板用虛線(xiàn)畫(huà)出，表示其面積可忽略不計(jì)）[習(xí)題I-19]試求圖示正方形截面的慣性積和慣性矩，并作出比較。解：（為形心主慣性軸）結(jié)論：1、過(guò)正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，它們的慣性矩相等，它們的慣性積為零；2、過(guò)正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)之后，慣性矩、慣性積保持不變。[習(xí)題I-20]確定圖示截面的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。（a）解：截面的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146(b)解：以20號(hào)槽鋼（圖I）的下邊緣為x軸，左邊緣為y軸，建立坐標(biāo)系。8號(hào)槽鋼編號(hào)為圖II。則組合截面的形心計(jì)算如下：習(xí)題I-20(b)長(zhǎng)度單位:cm圖形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全圖43.149.4492.11.1511.4習(xí)題I-20（b）圖形AiIxci'Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0I32.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.635II10.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.66全圖43.122962490-158.290.15474.42308.2237.2[習(xí)題21]試用近似法求習(xí)題I-4所示截面的，并與該題得出的精確值相比較。已矩該截面的半徑。解：圓的方程為：把y軸的半徑10等分，即。過(guò)等分點(diǎn)，作x軸的平行線(xiàn)。從下往上，每個(gè)分塊的中點(diǎn)的y坐標(biāo)與x坐標(biāo)如下表所示。習(xí)題I-21599.87510249691598.8715102224542596.8225106051543593.67351011475184589.30451018083835