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文檔簡介
2024-2025學(xué)年山西省運(yùn)城市臨猗中學(xué)高三年級下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線:的焦點(diǎn)為,,且上點(diǎn)滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.52.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.3.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.4.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點(diǎn),點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn),且,,則()A. B.C. D.5.已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn),過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn),若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個,每個景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.8.命題“”的否定是()A. B.C. D.9.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A.或 B. C. D.或10.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.以下關(guān)于的命題,正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移需個單位,可得到的圖象12.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.98二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.點(diǎn)是曲線()圖象上的一個定點(diǎn),過點(diǎn)的切線方程為,則實(shí)數(shù)k的值為______.14.記數(shù)列的前項和為,已知,且.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.15.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實(shí)數(shù)_____.16.某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過個,則該外商不同的投資方案有____種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時,不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個數(shù);(2)證明:當(dāng)時,.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.20.(12分)如圖,橢圓的長軸長為,點(diǎn)、、為橢圓上的三個點(diǎn),為橢圓的右端點(diǎn),過中心,且,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點(diǎn)(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).(Ⅰ)棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面?若存在,寫出的長并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動點(diǎn),滿足,求直線的斜率范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運(yùn)算能力.2.C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個難點(diǎn),第二個難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.3.B【解析】
畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B本小題主要考查幾何概型的計算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.本題考查向量的線性運(yùn)算問題,屬于基礎(chǔ)題5.B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進(jìn)而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.6.D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x:D.本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).7.B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.8.D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.本題考查全稱命題的否定,難度容易.9.C【解析】試題分析:因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù),所以且,因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn):純虛數(shù)10.D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)得到,再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項,函數(shù)先增后減,錯誤B選項,不是函數(shù)對稱軸,錯誤C選項,,不是對稱中心,錯誤D選項,圖象向左平移需個單位得到,正確故答案選D本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性,對稱軸,對稱中心,平移,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,其中化簡三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.12.C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計算即可,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo),再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得.【詳解】設(shè),由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時,,解得.所以.因?yàn)?,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時,,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.15.1【解析】
根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.16.60【解析】試題分析:每個城市投資1個項目有種,有一個城市投資2個有種,投資方案共種.考點(diǎn):排列組合.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)通過分類討論去掉絕對值符號,進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時,可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題;關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題,通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.18.(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求出,分別以當(dāng),,時,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個數(shù).(2)令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出;同理可求出滿足,從而可得,進(jìn)而證明.【詳解】解析:(1),,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,,此時有1個零點(diǎn);當(dāng)時,無零點(diǎn);當(dāng)時,由得,由得,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴在處取得最小值,若,則,此時沒有零點(diǎn);若,則,此時有1個零點(diǎn);若,則,,求導(dǎo)易得,此時在,上各有1個零點(diǎn).綜上可得時,沒有零點(diǎn),或時,有1個零點(diǎn),時,有2個零點(diǎn).(2)令,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴.令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,∴,,∴,即.本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問題,考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于第二問不等式的證明中,合理設(shè)出函數(shù),通過比較最值證明.19.(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時,化為,當(dāng)時,不等式化為,無解;當(dāng)時,不等式化為,解得;當(dāng)時,不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為20.(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)利用題中條件先得出的值,然后利用條件,結(jié)合橢圓的對稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo),然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)將條件得到直線與的斜率直線的關(guān)系(互為相反數(shù)),然后設(shè)直線的方程為,將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo),最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把點(diǎn)代入橢圓方程,求得,所以橢圓方程為;(2)由題易得直線、斜率均存在,又,所以,設(shè)直線代入橢圓方程,化簡得,其一解為,另一解為,可求,用代入得,,為定值.考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.兩點(diǎn)間連線的斜率21.(Ⅰ)存在點(diǎn)滿足題意,且,證明詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)可考慮采用補(bǔ)形法,取的中點(diǎn)為,連接,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì),先證平面,即,若能證明,則可得證,可通過我們反推出點(diǎn)對應(yīng)位置應(yīng)在處,進(jìn)而得證;(Ⅱ)采用建系法,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩平面對應(yīng)法向量,再結(jié)合向量夾角公式即可求解;【詳解】(Ⅰ)存在點(diǎn)滿足題意,且.證明如下:取的中點(diǎn)為,連接.則,所以平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.在直三棱柱中,平面平面,且交線為,所以平面,所以.在平面內(nèi),,,所以,從而可得.又因?yàn)?,所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?(Ⅱ)如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.易知,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則有取,得.同理可求得平面的法向量為.則.由圖
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