福建省福州市福建師大附中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-福建省福州市福建師大附中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（每小題5分，共60分；在給出的A,B,C,D四個選項中，只有一項符合題目要求）1.方程的解為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵,.∴函數(shù)區(qū)間上有零點．∴．選C．2.如圖，若，，，是線段靠近點的一個四等分點，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案.【詳解】.故選C.【點睛】本題考查的學(xué)問要點：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實力和轉(zhuǎn)化實力，屬于基礎(chǔ)題型．3.有一組試驗數(shù)據(jù)如圖所示：則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將的數(shù)據(jù)代入依次驗證各模型對應(yīng)的值，解除偏差較大的選項即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，可知模型偏差較大，可解除；當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知模型偏差較模型偏差大，可解除，選擇故選：【點睛】本題考查依據(jù)數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型，關(guān)鍵是能夠通過驗證得到擬合度最高的模型，屬于基礎(chǔ)題.4.已知是不共線的向量，，若三點共線，則滿意（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量的共線定理即可求解．【詳解】由三點共線，則、共線，所以存在不為零的實數(shù)，使得即，又因為是不共線的向量，所以，消解得故選D【點睛】本題考查平面對量的共線定理，需駕馭共線定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題．5.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中卷一《方田》記載：“今有宛田，下周八步，徑四步問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形的田，弧長8步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（）A.平方步 B.平方步 C.平方步 D.平方步【答案】A【解析】【分析】利用扇形面積計算公式即可得出．【詳解】∵弧長8步，其所在圓的直徑是4步，∴由題意可得：S2×8＝8（平方步），故選A．【點睛】本題考查了扇形面積計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】視察所給式子是二次齊次式，因此可以用“1的代換“，整式除以，再進(jìn)行化簡．【詳解】解：，將，代入得，原式．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值，考查計算實力，是基礎(chǔ)題．7.2011年12月,某人的工資納稅額是元，若不考慮其他因素,則他該月工資收入為()注:本表所稱全月應(yīng)納稅所得額是以每月收入額減去(起征點)后的余額.A.7000元 B.7500元 C.6600元 D.5950元【答案】A【解析】【分析】依據(jù)不超過部分的納稅總額可確定月收入必超過元；利用比例關(guān)系可計算出月收入超過的額度，進(jìn)而得到所求月收入.【詳解】該人的月收入必超過元該人月收入為元故選：【點睛】本題考查依據(jù)給定模型解決實際問題，關(guān)鍵是明確所給的數(shù)據(jù)表實際體現(xiàn)了分段函數(shù)的特點，采納分段的方式依次求解即可.8.若在上的值域為，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由值域可確定；利用的范圍可確定的范圍，結(jié)合值域和正弦函數(shù)圖象可確定的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，的值域為，解得：故選：【點睛】本題考查依據(jù)正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠采納整體對應(yīng)的方式，利用正弦函數(shù)的圖象得到角的整體對應(yīng)的值.9.函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)的圖象是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段畫出函數(shù)圖象如D圖示，故選D．10.為平面上的定點，A，B，C是平面上不共線的三點，若，則是（）A.以AB為底面的等腰三角形B.以BC為底面的等腰三角形C.以AB為斜邊的直角三角形D.以BC為斜邊的直角三角形【答案】B【解析】試題分析：依據(jù)題意，涉及了向量的加減法運(yùn)算，以及數(shù)量積運(yùn)算．因此可知，所以可知為故有，因此可知b=c，說明白是一個以BC為底邊的等腰三角形，故選B.考點：本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用．點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用向量的加減法敏捷的變形，得到長度b=c，然后分析得到形態(tài)，留意多個變量，向一組基向量的變形技巧，屬于中檔題．11.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,則非零實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)的范圍求出的范圍,依據(jù)函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,然后對大于0和小于0兩種狀況探討最值,即可求得非零實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間①當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上存在最小值可得:②當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上存在最小值可得:綜上所述,非零實數(shù)的取值范圍是:.故選:C.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)在某區(qū)間上取最值時,求非零實數(shù)的取值范圍.解題關(guān)鍵是能夠駕馭正弦函數(shù)圖像性質(zhì),數(shù)學(xué)結(jié)合.12.已知是函數(shù)在上的全部零點之和，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以函數(shù)零點有偶數(shù)個，兩兩關(guān)于對稱.當(dāng)時，，且單調(diào)遞減；，且在上有兩個周期，因此當(dāng)時，與有4個不同的交點；從而全部零點之和為，選C.點睛：對于確定方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知向量、的夾角為，，，若，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【詳解】由題意可得：，且，則：，據(jù)此有：，解得：.14.設(shè)函數(shù)，若對隨意的實數(shù)都成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意取最大值，依據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達(dá)式，進(jìn)而確定其最小值.【詳解】因為對隨意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當(dāng)時，取最小值為.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿意，最小值對應(yīng)自變量滿意，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.15.如圖，已知的邊的垂直平分線交于點，交于點.若，則的值為.【答案】-16【解析】【詳解】試題分析：考點：向量數(shù)量積16.函數(shù)（）的圖像與其對稱軸在軸右側(cè)的交點從左到右依次記為，，，，，，在點列中存在三個不同的點、、，使得△是等腰直角三角形，將滿意上述條件的值從小到大組成的數(shù)記為，則________.【答案】【解析】【分析】由可求得的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)；由正弦函數(shù)周期特點可知只需分析以，，為頂點的三角形為等腰直角三角形即可，由垂直關(guān)系可得平面對量數(shù)量積為零，進(jìn)而求得的通項公式，代入即可得到結(jié)果.【詳解】由，得：，，，，，……若為等腰直角三角形，則解得：，即同理若為等腰直角三角形，則同理若為等腰直角三角形，則以此類推，可得：故答案為：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠依據(jù)正弦函數(shù)周期性的特點確定所分析成等腰直角三角形的三個頂點的位置，進(jìn)而由垂直關(guān)系得到平面對量數(shù)量積為零，構(gòu)造方程求得結(jié)果.三、解答題（要求寫出過程，共70分）17.按要求完成下列各題（1）已知，求的值；（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可知，依據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果；（2）將不等式變?yōu)椋Y(jié)合正切函數(shù)圖象可確定的范圍，進(jìn)而求得解集.【詳解】（1）（2）由得：，，不等式的解集為【點睛】本題考查三角函數(shù)值求解、依據(jù)三角函數(shù)值域求解自變量的取值范圍的問題，涉及到誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；本題中求解三角不等式的關(guān)鍵是能夠結(jié)合正切函數(shù)圖象確定角整體所處的范圍.18.已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及模的運(yùn)算即可得解；（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可，特殊要留意向量與不能共線.【詳解】解：（1）因為，且，則，又，所以，即，故或；（2）由，則，由，解得，又與不共線，則，解得，故與的夾角為銳角時，實數(shù)的取值范圍為：.【點睛】本題考查了向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點考查了運(yùn)算實力，屬基礎(chǔ)題.19.函數(shù)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式和當(dāng)時的單調(diào)減區(qū)間；(Ⅱ)的圖象向右平行移動個長度單位,再向下平移1個長度單位,得到的圖象,用“五點法”作出在內(nèi)的大致圖象.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)圖象見解析.【解析】分析】(Ⅰ)由函數(shù)的最大值為,可求得的值，由圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為可求得周期，從而確定的值，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不式可得單調(diào)減區(qū)間，取特殊值即可得結(jié)果；(Ⅱ)利用函數(shù)圖象的平移變換法則，可得到的解析式，列表、描點、作圖即可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)的最大值是3,∴A+1=3即A=2.∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,∴最小正周期T=π,∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x?≤+2kπ,kZ,即+kπ≤x≤+kπ,kZ,∵x[0,π],∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[,].(Ⅱ)依題意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),列表得：描點連線得g(x)在[0,π]內(nèi)的大致圖象.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的解析式、單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象變換及“五點法”作圖，屬于中檔題.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：(1)代換法：①若,把看作是一個整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；②若,則利用誘導(dǎo)公式先將的符號化為正，再利用①的方法，或依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進(jìn)行求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場銷售價與上市時間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖（2）的拋物線段表示.（1）寫出圖（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/kg，時間單位：天.）【答案】（1）；；（2）從2月1日起先的第50天時，上市的西紅柿純收益最大【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)圖象可知為分段函數(shù)，每一段均為依次函數(shù)；為二次函數(shù)；由函數(shù)圖象所過點即可求得函數(shù)解析式；（2）令，得到函數(shù)解析式，純收益最大即為最大；分別在和兩種狀況下，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定最大值點和最大值，綜合可得最終結(jié)論.【詳解】（1）由圖（1）可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為由圖（2）可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為（2）設(shè)時刻的純收益為，則即當(dāng)時，配方得到當(dāng)時，取得區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，配方整理得到：當(dāng)時，取得區(qū)間上的最大值為綜上所述，在區(qū)間上的最大值為，此時即從月日起先的第天時，上市的西紅柿純收益最大【點睛】本題考查依據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式、利用函數(shù)模型求解實際問題，涉及到二次函數(shù)最值的求解問題；關(guān)鍵是能夠精確的構(gòu)造出函數(shù)模型，利用函數(shù)的思想來解決問題.21.如圖，為的中線的中點，過點的直線分別交兩邊于點，設(shè)，懇求出的關(guān)系式，并記（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，且，求實數(shù)的取值范圍．（參考：三角形的面積等于兩邊長與這兩邊夾角正弦乘積的一半．）【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用表示可知；由三點共線可知，由此得到，從而構(gòu)造方程消掉變量即可得到所求函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)，則，由（1）中結(jié)論可表示為關(guān)于的函數(shù)；利用，結(jié)合換元法可將問題轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)值域的求解問題，通過參數(shù)的范圍，結(jié)合對號函數(shù)單調(diào)性可確定最值，進(jìn)而得到所求范圍.【詳解】（1）為的中點，為的中點又三點共線，故，消去得：當(dāng)與重合時，，此時（2）設(shè)的面積為則面積令，則，當(dāng)時，；當(dāng)或時，【點睛】本題考查平面對量基本定理的應(yīng)用、函數(shù)解析式和值域的求解問題；涉及到平面對量基本定理的應(yīng)用、對號函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用等學(xué)問；易錯點是在求解函數(shù)解析式時，忽視自變量的范圍限制，造成求解錯誤.22.定義在上的函數(shù)，若已知其在內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值，且當(dāng)時函數(shù)取得最大值為；當(dāng)，函數(shù)取得最小值為．（1）求出此函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖像保持橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)，再將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)，已知函數(shù)的最大值為，求滿意條件的的最小值；（3）是否存在實數(shù)，滿意不等式？若存在，求出的范圍（或值），若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）利用最大值和最小值確定和，進(jìn)而得到；利用可求得的取值，進(jìn)而得到所求函數(shù)解析式；（2）由圖象平移和伸縮變換原則得到，由與函數(shù)的單調(diào)性可知只有當(dāng)，同時取得時，函數(shù)取最大值，由此可得到，依據(jù)得到最終結(jié)果；（3）由偶次根式被開方數(shù)大