學(xué)論文線性方程組的求解及應(yīng)用

②追趕法在一些實(shí)際問(wèn)題中，例如解常微分方程邊值問(wèn)題，解熱傳導(dǎo)以及船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)等中，都會(huì)要求解系數(shù)矩陣為對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組簡(jiǎn)記為Ax=f其中A滿足下列對(duì)角占優(yōu)條件：由系數(shù)矩陣A的特點(diǎn)，可以將A分解為兩個(gè)三角陣的乘積，即A=LU.其中L為下三角矩陣，U為上三角矩陣.下面說(shuō)明這種分解是可能的.設(shè)其中為待定未知量,比較上式兩端得由，下面用歸納法證明從而可以由（15）式求得證明：式（15）對(duì)于i=1是成立的.現(xiàn)設(shè)（15）對(duì)i-1成立，求證對(duì)i亦成立.由歸納假設(shè)，又由于式（15）及A的假設(shè)條件，有也就是，由式（14）得到這就是說(shuō)，由A的假設(shè)條件完全確定了,實(shí)現(xiàn)了A的LU分解.求解Ax=f等價(jià)于解兩個(gè)三角方程組Ly=f與Ux=y,先后求解y與x，從而得到以下解三對(duì)角方程組的追趕法公式：步1：計(jì)算的遞推公式步2：解Ly=f：步3：解Ux=y:將計(jì)算系數(shù)及的過(guò)程稱為追的過(guò)程，將計(jì)算方程組的解的過(guò)程稱為趕的過(guò)程.追趕法公式實(shí)際上就是把Gauss消去法用到求解三對(duì)角方程組上去的結(jié)果.迭代法迭代法就是用某種極限過(guò)程去逐步逼近線性方程組精確解的方法.迭代法具有存儲(chǔ)單較較少、程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、原始系數(shù)矩陣在計(jì)算過(guò)程中始終不變的優(yōu)點(diǎn)，但存在收斂性及收斂速度方面的問(wèn)題.迭代法是解大型系數(shù)矩陣方程組（尤其是由微分方程離散后得到的大型方程組）的重要方法.下面將介紹迭代法的一些基本理論及Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法（SOR）.定理6（迭代法基本原理）【9】設(shè)有方程組x=Bx+f,對(duì)于任意初始向量x(0)及任意f，解此方程的迭代解法（即x(k+1)=Bx(k)+f)收斂的充要條件是ρ(B)<1.Jacobi迭代法設(shè)有方程組記作Ax=b（16）A為非奇異矩陣且aij不等于0(i=1,2,3,…,n).將A分裂為A=D-L-U，其中將式（16）第i(i=1,2,…,n)個(gè)方程組用aii去除再移項(xiàng)，得到等價(jià)方程組（17）簡(jiǎn)記為x=B0x+f,其中B0=I-D-1A=D-1(L+U)，f=D-1b對(duì)于方程組（17）應(yīng)用迭代法，得到（16）的Jacobi迭代公式（18）設(shè)x(k)已經(jīng)算出，由式（18）可計(jì)算下一次迭代向量x(k+1)顯然迭代公式的矩陣形式為.Gauss-Seidel迭代法由Jacobi方法迭代公式可知，迭代的每一步計(jì)算過(guò)程，都是用x(k)的全部分量來(lái)計(jì)算x(k+1)的所有分量，顯然在計(jì)算第i個(gè)分量xi(k+1)時(shí)，已經(jīng)計(jì)算出x1(k+1),x2(k+1),…xi-1(k+1)沒(méi)有被利用.從直觀上來(lái)看，最新計(jì)算出來(lái)的分量可能要比舊的分量要好一些.因此，對(duì)這些最新計(jì)算出來(lái)的第k+1次近似x(k+1)加以利用，就會(huì)得到所謂解的Gauss-Seidel迭代法.或?qū)懗缮厦娴诙€(gè)式子利用了最新計(jì)算出來(lái)的變量x1(k+1),第i個(gè)式子利用了計(jì)算出來(lái)的最新分量xj(k+1)寫(xiě)成矩陣形式Dx(k+1)=b+Lx(k+1)+Ux(k+1),(D-L)x(k+1)=b+Ux(k),若設(shè)（D-L)-1存在，則x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b于是Gauss-Seidel迭代公式的矩陣形式為x(k+1)=Gx(k)+f,其中G=(D-L)-1U,f=(D-L)-1b逐次超松弛迭代解法逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel方法的一種加速方法，是解大型系數(shù)矩陣方程組的有效方法之一，它具有計(jì)算公式簡(jiǎn)單，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存較少等優(yōu)點(diǎn)，但需要選擇好的加速因子（即最佳松弛因子）.設(shè)有方程組Ax=b(19)，其中為非奇異矩陣，且aii不等于0（i=1,2,…,n),分解A為A=D-L-U設(shè)已知第k次迭代向量x(k+1)的分量xj(k+1）(j=1,2,…,i-1),要求計(jì)算分量xi(k+1)首先用Gauss-Seidel迭代法定義輔助量（20）：再把xi(k+1)取為xi(k)與某一個(gè)平均值（即加權(quán)平均），得到（21）用（20）式代入（21）式，就得到解方程組Ax=b的逐次超松弛迭代公式（22）其中ω稱為松弛因子，或?qū)懗娠@然，ω=1時(shí)，解式（19）的SOR方法就是Gauss-Seidel迭代法，ω<1時(shí)，解式（22）為低松弛法，當(dāng)ω>1時(shí)，稱式（22）為超松弛法.四、解線性方程組的MATLAB命令MATLAB求解線性方程組：AX=B或XA=B在MATLAB中，求解線性方程組時(shí)，主要采用除法運(yùn)算符“/”和“\”.如：X=A\B表示求矩陣方程AX＝B的解A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B；X＝B/A表示矩陣方程XA=B的解，而B(niǎo)/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就B*inv(A).對(duì)方程組X＝A\B，要求A和B用相同的行數(shù)，X和B有相同的列數(shù)，它的行數(shù)等于矩陣A的列數(shù)，方程X＝B/A同理.2.如果矩陣A不是方陣，其維數(shù)是m×n，則有：m＝n，恰定方程，求解精確解；m>n，超定方程，尋求最小二乘解；m<n不定方程，尋求基本解，其中至多有m個(gè)非零元素.針對(duì)不同的情況，MATLAB將采用不同的算法來(lái)求解.（1）恰定方程組恰定方程組由n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般形式可用矩陣，向量寫(xiě)成如下形式：Ax=b其中A是方陣，b是一個(gè)列向量；在線性代數(shù)教科書(shū)中，最常用的方程組解法有：（1）利用Cramer公式來(lái)求解法；（2）利用矩陣求逆解法，即x=A\b；（3）利用Gauss消去法；（4）利用LU法求解.一般來(lái)說(shuō)，對(duì)維數(shù)不高，條件數(shù)不大的矩陣，上面四種解法所得的結(jié)果差別不大.前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計(jì)算.MATLAB中，出于對(duì)算法穩(wěn)定性的考慮，行列式及逆的計(jì)算大都在LU分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行.在MATLAB中，求解這類方程組的命令十分簡(jiǎn)單，直接采用表達(dá)式：x=A\b.在MATLAB的指令解釋器在確認(rèn)變量A非奇異后，就對(duì)它進(jìn)行LU分解，并最終給出解x；若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會(huì)提醒用戶注意所得解的可靠性.如果矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣A接近奇異時(shí)，MATLAB將給出警告信息；如果發(fā)現(xiàn)A是奇異的，則計(jì)算結(jié)果為inf，并且給出警告信息；如果矩陣A是病態(tài)矩陣，也會(huì)給出警告信息.注意：在求解方程時(shí)，盡量不要用inv(A)*b命令，而應(yīng)采用A\b的解法.因?yàn)楹笳叩挠?jì)算速度比前者快、精度高，尤其當(dāng)矩陣A的維數(shù)比較大時(shí).另外，除法命令的適用行較強(qiáng)，對(duì)于非方陣A，也能給出最小二乘解.（2）超定方程組對(duì)于方程組Ax=b，A為n×m矩陣，如果A列滿秩，且n>m.則方程組沒(méi)有精確解，此時(shí)稱方程組為超定方程組.線性超定方程組經(jīng)常遇到的問(wèn)題是數(shù)據(jù)的曲線擬合.對(duì)于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）來(lái)尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來(lái)求，即x=pinv(A),所得的解不一定滿足Ax=b，x只是最小二乘意義上的解.左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最可靠；廣義逆法是建立在對(duì)原超定方程直接進(jìn)行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快；五、應(yīng)用1.煉油廠模型某石油公司有5個(gè)煉油廠，每個(gè)煉油廠都生產(chǎn)5種石油產(chǎn)品：汽油、柴油、煤油、機(jī)油、液態(tài)石油氣.已知從1桶原油中，第一個(gè)工廠生產(chǎn)出的汽油、柴油、煤油、機(jī)油、液態(tài)石油氣分別是30、24、18、12、9L；第二、三、四、五個(gè)工廠從1桶原油中生產(chǎn)的這五種油分別是28、25、20、10、9；31、23、19、11、10；29、22、17、13、8；27、26、20、13、10L.現(xiàn)在需要104620L汽油，88010L柴油，68660L煤油，43240L機(jī)油，33690L液態(tài)石油氣.本著節(jié)約資源與提高效益的原則，問(wèn)給這5個(gè)工廠各安排多少桶原油來(lái)生產(chǎn)恰好滿足這一需要？解：設(shè)分給5個(gè)煉油廠的原油桶數(shù)分別為x1,x2,x3,x4,x5根據(jù)題意我們可以得到以下方程組：方程組的系數(shù)行列式所以方程組有唯一解.經(jīng)計(jì)算知，D1=864000，D2=702000，D3=648000，D4=626400，D5=1080000，所以即給第一、二、三、四、五個(gè)工廠分別安排800,650,600，580,1000桶原油生產(chǎn)正好滿足需要.用MATLAB實(shí)現(xiàn)如下：2.游船問(wèn)題某公園在湖的周圍設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)游船出租點(diǎn)，游客可以在任意一處租船，也可以在任意一處還船.工作人員估計(jì)租船和還船的情況如下表示：還船處甲乙丙借船處甲乙0.80.20.2000.8丙0.20.20.6即從甲處租的船中有80%的在甲處還船，有20%的在乙處還船，等等.為了游客的安全，公園同時(shí)要建立一個(gè)游船維修站.問(wèn)游船修檢修站建在那個(gè)點(diǎn)最好？顯然，游船檢修站應(yīng)該修在擁有船只最多的那個(gè)出租點(diǎn).但是，由于租船和還船的隨機(jī)性，今天擁有船只最多的出租點(diǎn)不一定以后也經(jīng)常擁有最多的船只.因此我們希望知道經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的經(jīng)營(yíng)以后擁有船只最多的那個(gè)出租點(diǎn).我們假定公園里的船只基本上每天都被人租用，設(shè)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的經(jīng)營(yíng)，甲、乙、丙處分別有x1,x2,x3只船，則x1,x2,x3應(yīng)該滿足以下的要求：整理可得，即這表明，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的經(jīng)營(yíng)以后，甲、乙、丙三個(gè)出租點(diǎn)分別擁有游船總數(shù)的.用MATLAB實(shí)現(xiàn)如下：由此不難看出，游船檢修站應(yīng)設(shè)在擁有船只最多的甲處最為合適.六．總結(jié)本文的主要內(nèi)容就是以行列式、矩陣為工具討論一些簡(jiǎn)單的線性方程組解的存在性、求解方法、解的結(jié)構(gòu)以及應(yīng)用.經(jīng)過(guò)深入的學(xué)習(xí)我們發(fā)現(xiàn)一些方程組的系數(shù)矩陣大多比較復(fù)雜，我們利用高等代數(shù)中的解法并不能得到它的解，就試圖用數(shù)值分析中的直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些變形和迭代法的一些基本理論及Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法，以及最小二乘法，并試圖應(yīng)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)類軟件如MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)求解.在實(shí)際學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題最后的求解過(guò)程都是求解線性方程組，因此學(xué)習(xí)線性方程組對(duì)大學(xué)生具有重要意義.參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1988.[2]張禾瑞,郝鈵新．高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[3]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1996.[4]許紹元,趙禮峰.高等師范院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究與實(shí)踐[J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2(2004),64-68.[5]許紹元,陳亮.實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科研能力的體會(huì)[J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2(2003),53-56.[6]趙樹(shù)嫄.線性代數(shù)(第三版[M]).北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2006.[7]史明仁.線性代數(shù)600證明題