Gauss型求積公式省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

Gauss型求積公式我們能否經(jīng)過節(jié)點(diǎn)選擇將求積公式代數(shù)精度從n

或者n+1提升到2n+1？問題：若求積公式中含有2n+2個(gè)待定參數(shù)由前面討論已經(jīng)知道，以a=x0<x1<…<xn=b為節(jié)點(diǎn)N-C求積公式代數(shù)精度普通為n或n+1,這時(shí)節(jié)點(diǎn)簡單地按照閉式等距方式確定。對一個(gè)求積公式而言，假如不固定節(jié)點(diǎn)位置，在節(jié)點(diǎn)數(shù)目不變情況下，代數(shù)精度能否提升，最多能到達(dá)多少?高斯型求積公式討論就是最高代數(shù)精度求積公式.第1頁一、Gauss型求積公式定義：把含有n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)含有2n+1次代數(shù)準(zhǔn)確度插值型求積公式

稱為Gauss型求積公式，其求積節(jié)點(diǎn)（k=0，1，……n）稱為高斯點(diǎn)，系數(shù)稱為高斯系數(shù)。

Remark：結(jié)構(gòu)Gauss型求積公式關(guān)鍵在于確定高斯點(diǎn)，再由n＋1個(gè)高斯點(diǎn)結(jié)構(gòu)基函數(shù)，從而得到高斯系數(shù)。第2頁節(jié)點(diǎn)，不過怎樣確定？只要求解例試結(jié)構(gòu)高斯求積公式思緒：第3頁定理：插值型求積公式中節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)充要條件是，在[a,b]上，以這些點(diǎn)為零點(diǎn)n+1次多項(xiàng)式與任意次數(shù)不超過n多項(xiàng)式P(x)正交，即第4頁證實(shí)：

必要性：設(shè)是高斯點(diǎn)，于是對任意次數(shù)不超出n多項(xiàng)式P(x)，次數(shù)不超出2n+1。

故有

第5頁充分性：設(shè)對于任意次數(shù)不超出2n+1多項(xiàng)式設(shè)除f(x)商為p(x),余項(xiàng)為q(x)。第6頁所給求積公式是插值型，其代數(shù)精度最少為n。

所以求積公式最少含有2n＋1次代數(shù)準(zhǔn)確度。對于2n+2次多項(xiàng)式有而故求積公式代數(shù)準(zhǔn)確度是2n+1。證畢第7頁兩條結(jié)論：

①．高斯型求積公式一定是插值型求積公式，其系數(shù)由高斯點(diǎn)唯一確定。②．高斯型求積公式是代數(shù)精度最高求積公式（2n＋1次）。第8頁當(dāng)高斯點(diǎn)確定以后，高斯系數(shù)也能夠由插值型求積公式中系數(shù)公式確定.即可由線性方程組確定。第9頁二、Legendre多項(xiàng)式n＋1次Legendre多項(xiàng)式為：其性質(zhì)有1、n+1次Legendre多項(xiàng)式與任意不超出n次多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]上正交。2、n+1次Legendre多項(xiàng)式n+1個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間[-1,1]內(nèi)。第10頁例：一次Legendre多項(xiàng)式及其零點(diǎn)為：

二次Legendre多項(xiàng)式及其零點(diǎn)為：

三次Legendre多項(xiàng)式及其零點(diǎn)為：第11頁三、Gauss-Legendre求積公式為零點(diǎn)。一點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：第12頁實(shí)際上我們能夠給出任意次Gauss-Legendre求積公式在任意區(qū)間上節(jié)點(diǎn)與系數(shù)，從而得到任意區(qū)間上Gauss-Legendre求積公式。三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為：實(shí)際上，作變換即可將區(qū)間[a,b]變換到[-1,1]上：第13頁nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889第14頁(2)求出pn(x)n個(gè)零點(diǎn)x1,x2,…xn即為Gsuss點(diǎn).

(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為W(x)正交多項(xiàng)式pn(x).(3)計(jì)算積分系數(shù)

Gauss型求積公式結(jié)構(gòu)方法第15頁利用Schmidt正交化過程，變?yōu)檎换湍軌驅(qū)⒍囗?xiàng)式基函數(shù)第16頁解

按Schemite正交化過程作出正交多項(xiàng)式:

2點(diǎn)Gauss公式.求積分例：第17頁故兩點(diǎn)Gauss公式為

積分系數(shù)為P2(x)兩個(gè)零點(diǎn)為

第18頁例利用兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算解:因?yàn)闉榕己瘮?shù)高斯求積公式截?cái)嗾`差為第19頁區(qū)間[0,)上權(quán)函數(shù)W(x)=e-xGauss型求積公式,稱為Gauss-Laguerre求積公式,其Gauss點(diǎn)為Laguerre多項(xiàng)式零點(diǎn).

四、Gauss-Laguerre求積公式公式Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到.由所以,對[0,+)上權(quán)函數(shù)W(x)=1積分,也能夠結(jié)構(gòu)類似Gauss-Laguerre求積公式:第20頁nxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.2228466041199273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947第21頁五、Gauss-Hermite求積公式公式Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到.nxkAknxkAk2±0.70710678110.88622692546±0.4360774119±1.3358490704±2.35060497360.7246295952000453000993±1.224744871300.29540897511.81635900064±0.5246476232±1.65068012380.80491409000.08131283547±0.8162878828±1.6735516287±2.651961356300.42560725260.05451558280.00097178120.81026461755±0.9585724646±2.02870400.39361932310.01995324210.9453087204區(qū)間(-

,)上權(quán)函數(shù)W(x)=

Gauss型求積公式,稱為Gauss-Hermite求積公式,其Gauss點(diǎn)為Hermite多項(xiàng)式零點(diǎn).

第22頁六、Gauss型求積公式截?cái)嗾`差定理：

設(shè)在內(nèi)只有2n+2階導(dǎo)數(shù)，則高斯型求積公式余項(xiàng)為：證實(shí)：

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