9.5離散型隨機(jī)變量及其分布列均值與方差

9.5離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性離散型隨機(jī)變量及其分布列通過求離散型隨機(jī)變量的分布列,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)2.能確定隨機(jī)變量,求出隨機(jī)變量發(fā)生的概率,正確列出分布列離散型隨機(jī)變量的均值(期望)與方差通過求離散型隨機(jī)變量的期望和方差,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)3.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,并能根據(jù)分布列正確求出期望與方差,解決實(shí)際問題0—1(兩點(diǎn))分布通過求兩點(diǎn)分布,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下面結(jié)論正確的是().A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量B.離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的C.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和D.均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān)2.(對接教材)設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量ξ表示一次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(ξ=0)等于().A.0 B.13C.12 3.(對接教材)已知隨機(jī)變量X的分布列如下:X101P111設(shè)Y=2X+3,則E(Y)=.

4.(易錯自糾)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)5.(模擬演練)(2024·江蘇鎮(zhèn)江期初考試)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,若E(X)=13X201Pa1bA.4981 B.89 C.2327離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)典例1(1)袋中裝有編號為1~6的同樣大小的6個球,先從袋中隨機(jī)取3個球,設(shè)X表示取到的3個球中的最大號碼,求X的分布列.(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為PX=①求常數(shù)a的值;②求PX≥③求P1101.求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點(diǎn):(1)確定隨機(jī)變量的取值;(2)求每個取值所對應(yīng)的概率;(3)利用所有概率之和為1來檢驗(yàn).2.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用:(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗(yàn),以保證每個概率值均為非負(fù)值;(2)若X為隨機(jī)變量,則Y=aX+b(a,b為常數(shù))仍然為隨機(jī)變量,求其分布列時可先求出相應(yīng)的隨機(jī)變量的值,再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列.訓(xùn)練1有一個公用亭,觀察使用過的人的流量,設(shè)在某一時刻,有n個人正在使用或等待使用的概率為P(n),且P(n)與時刻t無關(guān),統(tǒng)計(jì)得到P(n)=12A.0 B.1C.3263 D.離散型隨機(jī)變量的均值(期望)與方差典例2(1)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下,則D(ξ)的取值范圍是().ξ202P11214A.0,34 B.[0,3]C.34(2)(多選)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=13A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=41.求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能取值,寫出隨機(jī)變量的分布列,正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.2.比較期望、方差的大小,首先要弄清隨機(jī)變量取某值時對應(yīng)的隨機(jī)事件的含義并確定合理的概率計(jì)算方法,列出分布列,一般作差比較大小.訓(xùn)練2(多選)有兩盒乒乓球,每盒3個球分別標(biāo)記為2,3,4,其中一盒均未使用過,另一盒3個球都已使用過.現(xiàn)從兩個盒子中各任取1個球,設(shè)球的號碼分別為a,b,若事件“點(diǎn)P(a,b)恰好落在直線x+y=n上”對應(yīng)的隨機(jī)變量為X,P(X=n)=pn,X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),D(X),則().A.p6=3p4 B.P(5≤X≤7)=79C.E(X)=5 D.D(X)=01(兩點(diǎn))分布典例3袋內(nèi)有形狀、大小都相同的10個白球,5個紅球,從中摸出2個球,記X=0,兩球全紅,1,兩球非全紅,訓(xùn)練3已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=34P(X=1)=a,則a=().A.23 B.12 C.13均值、方差在決策中的應(yīng)用在決策中為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),減少風(fēng)險(xiǎn),甚至利用風(fēng)險(xiǎn),就必須在多個可供選擇的決策中,選擇一個最優(yōu)的決策.一般情況下,人們利用期望與方差進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策.典例某機(jī)器生產(chǎn)商對一次性購買兩臺機(jī)器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案:方案一:交納延保金6000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過2次每次收取維修費(fèi)1500元.方案二:交納延保金7740元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過4次每次收取維修費(fèi)a元.某工廠準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種機(jī)器,現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)維修的次數(shù),統(tǒng)計(jì)得下表:維修次數(shù)0123機(jī)器臺數(shù)20104030用以上100臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這兩臺機(jī)器超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以所需延保金與維修費(fèi)用之和的期望值為決策依據(jù),該工廠選擇哪種延保方案更合算?利用期望與方差進(jìn)行決策的方法:(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時,則先求隨機(jī)變量ξ1,ξ2的期望,當(dāng)E(ξ1)=E(ξ2)時,不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩個隨機(jī)變量的偏離程度,偏離程度小的更好.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.(3)若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時,一般先計(jì)算期望,若相等,則由方差來確定哪一個更好.若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時,應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論,即是選擇較理想的平均水平,還是選擇較穩(wěn)定.訓(xùn)練某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個項(xiàng)目供選擇:項(xiàng)目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項(xiàng)目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和針對以上兩個投資項(xiàng)目,請你為投資公司選擇一個合理的項(xiàng)目,并說明理由.一、單選題1.某船隊(duì)若出海后天氣好,可獲得5000元;若出海后天氣壞,將損失2000元;若不出海也要損失1000元.根據(jù)預(yù)測知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是().A.2000元 B.2200元C.2400元 D.2600元2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為下表,則常數(shù)C的值為().X01P9C2C38CA.23 B.13C.23或3.設(shè)ξ的分布列如下表所示,又設(shè)η=2ξ+5,則E(η)等于().ξ1234P1111A.76 B.176 C.173 4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=23P(X=1)=a,則a=().A.23 B.12 C.13二、多選題5.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù)):X01234P0.10.20.40.2a則下列計(jì)算結(jié)果正確的有().A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.36.若14X012Ppp21pp2A.P(X=2)的值最大B.P(X=0)<P(X=1)C.E(X)隨著p的增大而減小D.E(X)隨著p的增大而增大三、填空題7.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=x)=ax+b(x=1,0,1),其中a,b∈R.若E(ξ)=13,則D(ξ)=8.現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

四、解答題9.(2023·山東聊城統(tǒng)考三模)已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品,其中甲箱中有4件正品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.(1)現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱,再從乙箱中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品,求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率;(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到能將次品全部找出時檢測結(jié)束,已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用15元,設(shè)X表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.10.(2024·江蘇揚(yáng)州模擬考試)政府舉辦“全民健身乒乓球比賽”,比賽規(guī)則為:每隊(duì)4人,2男(男1號,男2號),2女(女1號,女2號),比賽時第一局兩隊(duì)男1號進(jìn)行單打比賽,第二局兩隊(duì)女1號進(jìn)行單打比賽,第三局兩隊(duì)各派一名男女運(yùn)動員參加混雙比賽,第四局兩隊(duì)男2號進(jìn)行單打比賽,第五局兩隊(duì)女2號進(jìn)行單打比賽,五局三勝,先勝3局的隊(duì)獲勝,比賽結(jié)束.某隊(duì)中的男甲和男乙兩名男隊(duì)員,在比賽時,甲單打獲勝的概率為23,乙單打獲勝的概率為35,若甲排1號,男女混雙獲勝的概率為23(1)記X表示男甲排1號時,該隊(duì)第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局?jǐn)?shù),求X的分布列.(2)若要該隊(duì)第一局和男女混雙這兩局比賽獲勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望大,甲、乙兩人誰排1號?加以說明.11.泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布,由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列為P(X=k)=λkk!A.2e4 B.4e4C.12.(2023·江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測)某購物中心準(zhǔn)備進(jìn)行擴(kuò)大規(guī)模,在制定末來發(fā)展策略時,對中心的現(xiàn)有顧客滿意度進(jìn)行了一個初步的現(xiàn)場調(diào)查,分別調(diào)查顧客對購物中心的商品質(zhì)量、服務(wù)質(zhì)量、購物環(huán)境、廣告宣傳的滿意程度.調(diào)查時將對被抽中的每個顧客從這四個問題中隨機(jī)抽取兩