浙江省浙江大學(xué)附中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期全真模擬考試試題含解析

PAGE26-浙江省浙江高校附中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期全真模擬考試試題（含解析）一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用肯定值的幾何意義求出集合，然后再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算、肯定值的幾何意義解不等式，考查了基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法，將復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為，再利用復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因復(fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知雙曲線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程可得，即得，再依據(jù)雙曲線方程確定焦點(diǎn)位置，即得結(jié)果.【詳解】焦點(diǎn)在軸上，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.4.若，滿意約束條件，則的最大值是（）A.8 B.4 C.2 D.6【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)約束條件畫出可行域，再轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，把求目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成求截距的最值問題.【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：由，解得，由，得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)，直線的截距最大，此時(shí)最大，此時(shí)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定函數(shù)的奇偶性，再視察在接近于0且大于0時(shí)的函數(shù)值正負(fù)可得．【詳解】由題意，所以是偶函數(shù)，解除B，C，在接近于0且大于0時(shí)，，，得，解除A．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由解析式選擇函數(shù)圖象，解題時(shí)可用解除法，通過確定函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等解除，再由特殊的函數(shù)值、函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的改變趨勢(shì)等解除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．6.設(shè)，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先利用基本不等式證明充分性成立，再舉反例說明必要性不成馬上可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.所以“”是“”的充分條件.反之，當(dāng)，時(shí)，但是，所以“”是“”的不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用、充分條件與必要條件，屬于中檔題.7.設(shè)，已知隨機(jī)變量的分布列為012那么，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，的改變是（）A.減小 B.增大 C.先減小后增大 D.先增大后減小【答案】B【解析】【分析】首先計(jì)算出，再計(jì)算，依據(jù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】，.此時(shí)關(guān)于且開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為.故時(shí)，單調(diào)遞增.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的概念，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)期望的概念，屬于簡潔題.8.已知向量滿意，，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采納數(shù)形結(jié)合的方法，依據(jù)題意可知，然后假設(shè)，可得，理解意義，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：則由，如圖記由，把坐標(biāo)代入計(jì)算化簡可得，則故表示點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離如圖則最小值為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，數(shù)形結(jié)合，化繁為簡，形象直觀，考查分析實(shí)力以及計(jì)算實(shí)力，屬中檔題.9.如圖中，點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】采納數(shù)形結(jié)合，計(jì)算，通過作協(xié)助線可得二面角的平面角，并計(jì)算，然后進(jìn)行比較，大小，并依據(jù)利用函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】作交于點(diǎn)，延長，作交于點(diǎn)作//，且，連接如圖設(shè)，由點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)則所以所以，由，所以二面角的平面角為又所以則所以則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即又，而函數(shù)在遞減所以綜上：，同理：故A正確故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的大小，本題難點(diǎn)在于計(jì)算，，留意學(xué)問的交叉應(yīng)用，考驗(yàn)分析實(shí)力以及邏輯推理實(shí)力，嫻熟駕馭公式，屬難題.10.已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，則下列正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，遞增，遞增B.當(dāng)時(shí)，遞增，遞減C.當(dāng)時(shí)，遞增，遞減D.當(dāng)時(shí)，遞減，遞減【答案】B【解析】【分析】設(shè)，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)即可得到答案.【詳解】解：設(shè)，單調(diào)遞減，畫出圖像如圖所示：由圖像知，所以對(duì)于當(dāng)時(shí)，不妨確定的位置，依據(jù)，把標(biāo)到圖上，如圖所示：由圖像知，，所以，所以，始終依據(jù)圖像推下去可得：對(duì)于數(shù)列，所以奇數(shù)項(xiàng)，全部偶數(shù)項(xiàng).從作圖過程可以看出：，所以可得：數(shù)列遞增數(shù)列，遞減數(shù)列.當(dāng)時(shí)，不妨確定的位置，依據(jù)，把標(biāo)到圖上，如圖所示：由圖像知，，所以，始終依據(jù)圖像推下去可得：對(duì)于數(shù)列，所以奇數(shù)項(xiàng)，全部偶數(shù)項(xiàng).從圖像可以看出：，所以：數(shù)列遞減數(shù)列，遞增數(shù)列.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實(shí)力，屬于綜合題.二、填空題11.______；若，則______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可得結(jié)果.【詳解】，由，所以故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟識(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算定律，屬基礎(chǔ)題.12.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是___________；表面積是____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由三視圖可得該幾何體是四棱錐，依據(jù)三視圖中數(shù)據(jù)，求出底面積與高可得棱錐的體積，再求出四個(gè)側(cè)面的面積，與底面積求和可得四棱錐的表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的四棱錐，圖中直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，棱柱的高為4，四棱錐的底面是矩形，面積為，四個(gè)側(cè)面中，三個(gè)直角三角形面積分別為一個(gè)等腰三角形，面積為，所以該四棱錐的體積為，表面積為，故答案為，.【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查體積、表面積以及空間想象實(shí)力和抽象思維實(shí)力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象實(shí)力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).視察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要留意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等”，還要特殊留意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡潔組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形態(tài)，依據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形態(tài).13.在中，，點(diǎn)在邊上，且，，，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)余弦定理可得，再利用正弦定理求,即得,最終依據(jù)正弦定理求.【詳解】依據(jù)余弦定理得所以，依據(jù)余弦定理得所以，由正弦定理得因此依據(jù)正弦定理故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.14.已知，則______；______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用賦值法即可求出，再依據(jù)，，比較系數(shù)即可求出.【詳解】令，則，解得，由由，所以.

故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了賦值法求二項(xiàng)式綻開式的項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于中檔題.15.疫情期間某醫(yī)院須要支配5名醫(yī)生去，，三家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少一名醫(yī)生，若醫(yī)生甲去醫(yī)院，則醫(yī)生乙去醫(yī)院；若醫(yī)生甲不去醫(yī)院，則醫(yī)生乙去醫(yī)院，則這樣的排法共有______種.【答案】【解析】【分析】分類探討，當(dāng)醫(yī)生甲去醫(yī)院，則醫(yī)生乙去醫(yī)院；若醫(yī)生甲不去醫(yī)院，則醫(yī)生乙去醫(yī)院，由分類加法計(jì)算原理以及分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)即可求解.【詳解】甲去醫(yī)院，醫(yī)生乙去醫(yī)院，余下人可分為人去；人去或人去，共有，甲不去醫(yī)院，醫(yī)生乙去醫(yī)院，當(dāng)甲去時(shí)，余下人可分為人去；人去或人去，共有，當(dāng)甲去時(shí)，余下人可分為人去；人去或人去，共有，所以這樣的排法共有.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的應(yīng)用、分類分步計(jì)數(shù)原理，考查了分類探討的思想，屬于中檔題.16.已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若存在以為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用得到關(guān)于的方程，再聯(lián)立，用含的式子表示出，只需滿意，得出離心率的范圍.【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)時(shí)，是的兩條中位線，若以為直徑的圓過原點(diǎn)，則有,，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),又點(diǎn)，所以，，則，又，所以，，得，即只需，整理得：解得，又，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查離心率取值范圍問題，難度較大，解答時(shí)肯定要敏捷轉(zhuǎn)化，列出滿意條件的含的關(guān)系式，依據(jù)關(guān)系式化簡求解離心率的取值范圍.17.對(duì)隨意，不等式恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為，記，則原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，畫出的圖像，然后用數(shù)形結(jié)合和圖像變換的思想來解題即可.【詳解】解：不等式等價(jià)于，記，則原不等式等價(jià)于.所以，不等式恒成立等價(jià)于不等式恒成立.而，且圖像如下圖所示：可以看作是向左或向右平移個(gè)單位，不等式恒成立可以看作是的圖像在的上方或函數(shù)值相等.所以要使的圖像在的上方或函數(shù)值相等只能把的圖像向左平移至少1個(gè)單位得到，如下圖所示：所以：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查肯定值不等式、圖像變換、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于綜合性題目.三、解答題18.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值和的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)是奇函數(shù)，求函數(shù)的值域．【答案】（Ⅰ），的單調(diào)遞增區(qū)間是（Ⅱ）【解析】【分析】(I)化簡為即可求解;(II)由定義在上的奇函數(shù)可得，即可求出，進(jìn)而表示出，利用三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所?令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）由是奇函數(shù)，得，所以.又，得，所以，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的最值.三角恒等變換的公式運(yùn)用，留意奇函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用、求值的運(yùn)算.19.如圖，已知矩形中，，，為的中點(diǎn)，將沿著折起，使得.（1）求證：；（2）若是中點(diǎn)，求直線與平面的所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，，為的中點(diǎn)，在中，由勾股定理可得.由，同理在中，得到.由線面垂直的判定定理證明面即可.（2）結(jié)合（1）以為原點(diǎn)，為軸，過垂直于面方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和的坐標(biāo)，設(shè)直線與平面的所成角，由求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以在中，，所以.又因?yàn)椋栽谥?，因?yàn)椋?又，所以面，又面，所以.（2）以為原點(diǎn)，為軸，過垂直于面方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面的所成角，所以與面所成角的正弦值為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，向量法求直線與平面所成的角，還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題..20.已知是公比的等比數(shù)列，且滿意，，數(shù)列滿意：.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，求證：.【答案】（1）；；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先依據(jù)條件解得即得通項(xiàng)公式；利用條件可得，再與原式兩式相減可得的通項(xiàng)公式；（2）先放縮，再利用裂項(xiàng)相消法證得不等式.【詳解】解：（1）因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，所以因?yàn)椋?，所以，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)①②將②乘2得到③①－③，得，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以（2）因?yàn)槎?，所以因此【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和、放縮法證不等式、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式，考查綜合分析論證與求解實(shí)力，屬較難題.21.如圖，已知拋物線，點(diǎn)是圓上的隨意一點(diǎn).過點(diǎn)作兩直線分別交拋物線于點(diǎn)，，，，使得.（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，證明：//軸；（2）求面積的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得，分別假設(shè)坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)在拋物線上，計(jì)算可得是的兩根，然后運(yùn)用韋達(dá)定理可得即可.（2）假設(shè)直線的方程，可得，然后由（1）可知，，依據(jù)，用表示，最終依據(jù)的范圍，可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，，由，得，即，，將點(diǎn)代入拋物線，得，同理設(shè)，得，所以是方程的兩個(gè)根.有，所以，//軸（2），整理得令，得由則，，得【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的應(yīng)用，本題難點(diǎn)在于得到是的兩根，以及，考驗(yàn)分析實(shí)力以及邏輯推理實(shí)力，屬難題.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若，對(duì)隨意的恒成立，求的范圍；（2）設(shè)，證明：對(duì)隨意的，有唯一零點(diǎn).（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1