2025屆高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)測評第10章10.3變量的相關性與統(tǒng)計案例含解析新人教B版

PAGE10-核心素養(yǎng)測評六十一變量的相關性與統(tǒng)計案例(20分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.為了判定兩個分類變量X和Y是否有關系，應用獨立性檢驗法算得χ2等于5，又已知P(χ2≥3.841)=0.05，P(χ2≥6.635)=0.01，則下列說法正確的是()A.有95%的把握認為“X和Y有關系”B.有95%的把握認為“X和Y沒有關系”C.有99%的把握認為“X和Y有關系”D.有99%的把握認為“X和Y沒有關系”【解析】選A.依題意χ2=5，且P(χ2≥3.841)=0.05，因此有95%的把握認為“X和Y有關系”.2.下面四個圖中反映出回來模型的擬合精度較高的為 ()A.圖① B.圖② C.圖③ D.圖④【解析】選A.依據(jù)圖中顯示的分布狀況即可看出，圖①顯示的點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，所以擬合精度較高.3.(多選)“吸煙有害健康,吸煙會對身體造成損害”.美國癌癥協(xié)會探討表明,起先吸煙年齡X分別為16歲、18歲、20歲和22歲者,其得肺癌的相對危急度Y依次為15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸煙支數(shù)U分別為10,20,30者,其得肺癌的相對危急度V分別為7.5,9.5和16.6,用r1表示變量X與Y之間的線性相關系數(shù),用r2表示變量U與V之間的線性相關系數(shù),則下列說法錯誤的是 ()A.r1=r2 B.r1>r2>0C.0<r1<r2 D.r1<0<r2【解析】選ABC.由題意可知,起先吸煙年齡遞增時,得肺癌的相對危急度呈遞減趨勢,所以吸煙年齡與得肺癌的危急度呈負相關,所以r1<0,同理可知,得肺癌的危急度與每天吸煙支數(shù)呈正相關,所以r2>0.因此可得r1<0<r2.4.為探討語文成果和英語成果之間是否具有線性相關關系,統(tǒng)計兩科成果得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同),用回來直線=x+近似地刻畫其相關關系,依據(jù)圖形,以下結論最有可能成立的是 ()A.線性相關關系較強,的值為1.25B.線性相關關系較強,的值為0.83C.線性相關關系較強,的值為-0.87D.線性相關關系太弱,無探討價值【解析】選B.散點圖里變量的對應點分布在一條直線旁邊,且比較密集,故可推斷語文成果和英語成果之間具有較強的正線性相關關系,且直線斜率小于1.5.(2024·南昌模擬)某公司在2015～2024年的收入與支出如表所示:收入x(億元)2.22.64.05.35.9支出y(億元)0.21.52.02.53.8依據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回來方程為y=0.8x+a,依此估計2024年該公司收入為8億元時支出為 ()A.4.2億元 B.4.4億元C.5.2億元 D.5.4億元【解析】選C.依據(jù)表中數(shù)據(jù),計算QUOTE=QUOTE×(2.2+2.6+4.0+5.3+5.9)=4,QUOTE=QUOTE×(0.2+1.5+2.0+2.5+3.8)=2,所以=2-0.8×4=-1.2,所以回來直線方程為=0.8x-1.2,計算x=8時=0.8×8-1.2=5.2(億元),即2024年該公司收入為8億元時的支出為5.2億元.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·長春模擬)某同學將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點圖如圖所示,并得到其回來直線的方程為l1:=0.68x+,計算其相關系數(shù)為r1,相關指數(shù)為QUOTE.經(jīng)過分析確定點F為“離群點”,把它去掉后,再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計算得到回來直線的方程為l2:=x+0.68,相關系數(shù)為r2,相關指數(shù)為QUOTE.以下結論中,不正確的序號是________.

①r1>0,r2>0 ②QUOTE>QUOTE③=0.12 ④0<<0.68【解析】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關,故r1>0,r2>0,且r1<r2,故QUOTE<QUOTE,故①正確,②不正確.又回來直線l1:=0.68x+必經(jīng)過樣本點的中心(3.5,2.5),所以=2.5-0.68×3.5=0.12,③正確.回來直線l2:=x+0.68必經(jīng)過樣本點的中心(3,2),所以2=×3+0.68,所以=0.44,也可干脆依據(jù)圖象推斷0<<0.68(比較兩直線的傾斜程度),故④正確.答案:②7.某學校社團為調查學生課余學習圍棋的狀況，隨機抽取了100名學生進行調查.依據(jù)調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖如圖所示，將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”. 世紀金榜導學號依據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷_________(填“有”或“沒有”)95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關.

非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計【解析】由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“圍棋迷”有100×0.25=25人，從而2×2列聯(lián)表如下所示：非圍棋迷圍棋迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2=QUOTE=QUOTE≈3.030，因為3.030<3.841，所以沒有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關.答案：沒有8.下表為“民安生鮮超市”的員工工作年限x(單位:年)與平均月薪y(tǒng)(單位:千元)的比照表.x3456y2.53λ4.5利用最小二乘法求得y關于x的線性回來方程為=0.7x+0.35,則(4,3),(5,λ),(6,4.5),這三個樣本點中落在回來直線上方的個數(shù)為______個.

【解析】由表中的數(shù)據(jù),可得QUOTE=QUOTE=4.5,QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為樣本點的中心(QUOTE,QUOTE)肯定在回來直線上,所以QUOTE=0.7×4.5+0.35,解得λ=4.故當x=4時,=0.7×4+0.35=3.15>3,所以點(4,3)在回來直線=0.7x+0.35的下方;當x=5時,=0.7×5+0.35=3.85<4,所以點(5,λ)在回來直線=0.7x+0.35的上方;當x=6時,=0.7×6+0.35=4.55>4.5,所以點(6,4.5)在回來直線=0.7x+0.35的下方.綜上,三個樣本點中落在回來直線=0.7x+0.35上方的有1個.答案:1三、解答題9.(10分)(2024·全國卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回來模型.依據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;依據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值.(2)你認為用哪個模型得到的預料值更牢靠?并說明理由. 世紀金榜導學號【解析】(1)利用模型①,該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值為=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型②,該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值為=99+17.5×9=256.5(億元).(2)利用模型②得到的預料值更牢靠.理由如下:方法一:從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的改變趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的旁邊,這說明從2010年起先環(huán)境基礎設施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的改變趨勢,因此利用模型②得到的預料值更牢靠.方法二:從計算結果看,相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預料值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預料值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預料值更牢靠.(15分鐘35分)1.(5分)已知某次考試之后,班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本,他們的數(shù)學、物理成果(單位:分)對應如表:學生編號12345678數(shù)學成果6065707580859095物理成果7277808488909395給出散點圖如圖:依據(jù)以上信息,推斷下列結論:①依據(jù)散點圖,可以推斷數(shù)學成果與物理成果具有線性相關關系;②依據(jù)散點圖,可以推斷數(shù)學成果與物理成果具有一次函數(shù)關系;③從全班隨機抽取甲、乙兩名同學,若甲同學數(shù)學成果為80分,乙同學數(shù)學成果為60分,則甲同學的物理成果肯定比乙同學的物理成果高.其中正確的個數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由散點圖知,各點都分布在一條直線旁邊,故可以推斷數(shù)學成果與物理成果具有線性相關關系,但不能推斷數(shù)學成果與物理成果具有一次函數(shù)關系,故①正確,②錯誤;若甲同學數(shù)學成果為80分,乙同學數(shù)學成果為60分,則甲同學的物理成果可能比乙同學的物理成果高,故③錯誤.綜上,正確的個數(shù)為1.2.(5分)通過隨機詢問110名性別不同的學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女合計愛好402060不愛好203050合計6050110由χ2=QUOTE算得，χ2=QUOTE≈7.8.可以得到的正確結論是 ()A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.有99.9%的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D.有99.9%的把握認為“愛好該項運動與性別無關”【解析】選A.依據(jù)獨立性檢驗的定義，由χ2≈7.8>6.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”.3.(5分)在2019年3月15日那天,某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調查,5家商場的售價價格x99.5m10.511銷售量y11n865由散點圖可知,銷售量y與價格x之間有較強的線性相關關系,其線性回來方程是=-3.2x+40,且m+n=20,則其中的n=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=8+QUOTE,QUOTE=QUOTE=6+QUOTE.回來直線肯定經(jīng)過樣本點的中心(QUOTE,QUOTE),即6+QUOTE=-3.2QUOTE+40,即3.2m+n=42.又因為m+n=20,即QUOTE解得QUOTE答案:104.(10分)已知某企業(yè)近3年的前7個月的月利潤(單位:百萬元)如折線圖所示: 世紀金榜導學號(1)試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤最高?(2)通過計算推斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢.(3)試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)(如表),用線性回來的擬合模式估計第3年8月份的利潤.月份x1234利潤y(單位:百萬元)4466相關公式:=QUOTE=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解析】(1)由折線圖可知5月和6月的月平均利潤最高.(2)第1年前7個月的總利潤為1+2+3+5+6+7+4=28(百萬元),第2年前7個月的總利潤為2+5+5+4+5+5+5=31(百萬元).第3年前7個月的總利潤為4+4+6+6+7+6+8=41(百萬元),所以這3年的前7個月的總利潤呈上升趨勢.(3)因為QUOTE=2.5,QUOTE=5,12+22+32+42=30,1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以=QUOTE=0.8,所以=5-2.5×0.8=3.因此線性回來方程為=0.8x+3.當x=8時,=0.8×8+3=9.4.所以估計第3年8月份的利潤為9.4百萬元.5.(10分)(2024·珠海模擬)某種儀器隨著運用年限的增加,每年的維護費相應增加.現(xiàn)對一批該儀器進行調查,得到這批儀器自購入運用之日起,前5年平均每臺儀器每年的維護費用大致如表:年份x(年)12345維護費y(萬元)0.71.21.62.12.4(1)依據(jù)表中所給數(shù)據(jù),試建立y關于x的線性回來方程=x+.(2)若該儀器的價格是每臺12萬元,你認為應當運用滿五年換一次儀器,還是應當運用滿八年換一次儀器?并說明理由.參考公式:用最小二乘法求線性回來方程=x+的系數(shù)公式:=QUOTE=QUOTE,=QUOTE-QUOTE. 世紀金榜導學號【解析】(1)QUOTE=3,QUOTE=1.6,QUOTE=9,QUOTE