新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點總結(jié)與題型精練專題21 空間向量與立體幾何(原卷版)

專題21空間向量與立體幾何【考綱要求】1、理解空間向量的概念、運算、基本定理，理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；2、會用待定系數(shù)法求平面的法向量，能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系；3、體會向量方法在研究幾何問題中的作用，掌握利用向量法法求空間角的方法。一、空間向量及其運算【思維導(dǎo)圖】1、空間向量的有關(guān)概念空間向量：空間中，既有大小又有方向的量；空間向量的表示：一種是用有向線段表示，SKIPIF1<0叫作起點，SKIPIF1<0叫作終點；一種是用小寫字母SKIPIF1<0（印刷體）表示，也可以用（而手寫體）表示．向量的長度（模）：表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作或．向量的夾角：過空間任意一點SKIPIF1<0作向量SKIPIF1<0的相等向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫作向量SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0，規(guī)定SKIPIF1<0．如圖：零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為0．規(guī)定：0與任意向量平行．單位向量：長度為1的空間向量，即．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共線向量（平行向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合．平行于記作，此時．SKIPIF1<0=0或SKIPIF1<0=．共面向量：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．要點詮釋：（1）數(shù)學(xué)中討論的向量是自由向量，即與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)．只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移；（2）當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．（3）對于任意一個非零向量，我們把SKIPIF1<0叫作向量的單位向量，記作SKIPIF1<0．SKIPIF1<0與同向．（4）當SKIPIF1<0=0或時，向量平行于，記作；當SKIPIF1<0=SKIPIF1<0時，向量SKIPIF1<0垂直，記作SKIPIF1<0．2、空間向量的基本運算空間向量的基本運算：運算類型幾何方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則：SKIPIF1<0加法交換率：SKIPIF1<0加法結(jié)合率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02三角形法則：SKIPIF1<0向量的減法三角形法則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量的乘法SKIPIF1<0是一個向量，滿足：SKIPIF1<0>0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向；SKIPIF1<0<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異向；SKIPIF1<0=0時，SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0向量的數(shù)量積1．SKIPIF1<0是一個數(shù)：SKIPIF1<0；2．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、空間向量基本定理【思維導(dǎo)圖】共線定理：兩個空間向量、（≠），//的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使．共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的一對實數(shù)SKIPIF1<0，使．要點詮釋：（1）可以用共線定理來判定兩條直線平行（進而證線面平行）或證明三點共線．（2）可以用共面向量定理證明線面平行（進而證面面平行）或證明四點共面．空間向量分解定理：如果三個向量SKIPIF1<0不共面，那么對空間任一向量SKIPIF1<0，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.要點詮釋：（1）空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底；（2）由于零向量可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面，就隱含著它們都不是零向量0．（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．三、空間向量的直角坐標運算【思維導(dǎo)圖】空間向量的直角坐標運算空間兩點的距離公式若，，則①；②；③SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0．空間向量運算的的坐標運算設(shè)，，則①；②；③；④；⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，；②．要點詮釋：（1）空間任一點SKIPIF1<0的坐標的確定：過SKIPIF1<0作面SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，在面SKIPIF1<0中，過SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．如圖：（２）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是．（３）與任意空間向量平行或垂直．四、空間向量的應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】用向量方法討論垂直與平行圖示向量證明方法線線平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0的方向向量）線線垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0的方向向量）線面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直線的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）．線面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直線的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）面面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）（SKIPIF1<0分別是平面，的法向量）面面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是平面，的法向量）用向量方法求角圖示向量證明方法異面直線所成的角（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上不同的兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上不同的兩點）直線和平面的夾角（其中直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為）二面角SKIPIF1<0（平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0）用向量方法求距離 圖示向量證明方法點到平面的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量）與平面平行的直線到平面的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的公共法向量）兩平行平面間的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個公共法向量）【題型匯編】題型一：空間向量及其運算題型二：空間向量的應(yīng)用【題型講解】題型一：空間向量及其運算一、單選題1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)一模（理））如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·北京昌平·二模）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0//SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<04．（2022·天津三中三模）在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·江西新余·二模（文））已知長方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，點P滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2二、多選題1．（2022·山東棗莊·一模）如圖，平行六面體SKIPIF1<0中，以頂點SKIPIF1<0為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0D．平行六面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0題型二：空間向量的應(yīng)用一、單選題1．（2022·廣西南寧·一模（理））在正方體SKIPIF1<0中O為面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的中心.若E為SKIPIF1<0中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））在正四棱錐SKIPIF1<0中，底面邊長為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，點P是底面ABCD內(nèi)一動點，且SKIPIF1<0，則當A，P兩點間距離最小時，直線BP與直線SC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·北京·二模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，則線段SKIPIF1<0上的動點P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·江西上饒·二模（理））如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0內(nèi)一動點，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·山西臨汾·二模（文））如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點C在圓O上，當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為60°時，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°6．（2022·四川雅安·二模）如圖，長方體SKIPIF1<0中，點E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動點（異于所在棱的端點）.給出以下結(jié)論：①在F運動的過程中，直線SKIPIF1<0能與AE平行；②直線SKIPIF1<0與EF必然異面；③設(shè)直線AE，AF分別與平面SKIPIF1<0相交于點P，Q，則點SKIPIF1<0可能在直線PQ上.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、多選題1．（2022·廣東汕頭·二模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點P在線段SKIPIF1<0上運動，則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．異面直線AP與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<02．（2022·廣東梅州·二模）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0在體對角線SKIPIF1<0上（含端點），則