高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)培優(yōu)講義第1講 平面向量的概念和線性運(yùn)算學(xué)生

第1講平面向量的概念和線性運(yùn)算

I玩前必備］

1.向量的有關(guān)概念

（1）向量的定義及表示：既有大小又有方向的量叫做向量.以4為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的向量記作加\也可用黑

體的單個(gè)小寫字母a,b,c,…來表示向量.

（2）向量的長度（模）：向量苗的大小即向量苗的長度（模），記為漏.

2.幾種特殊向量

名稱定義備注

零向量長度為0的向量零向量記作0,其方向是任意的

單位

長度等于1個(gè)單位的向量單位向量記作刖，刖=高

向量

平行方向相同或相反的非零向量（也叫共

0與任意向量共線

向量線向量）

相等相等向量一定是平行向量，平行向量

長度相等且方向相同的向量

向量不一定是相等向量

相反

長度相等且方向祖反的兩個(gè)向量若a,b為相反向量，則@=一b

向量

a

單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量南和一

3.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

(1)交換律：

a+b=b+a；

求兩個(gè)向量和的三角形法則

加法(2)結(jié)合律：

運(yùn)算平行四邊形

(a+b)+c=

法則

a+(b+c)

▲

求a與b的相反向

減法量一b的和的運(yùn)a—b=a+(—b)

a

算叫做a與b的差三角形法則

|Aa|=|2||a|；當(dāng)40

時(shí)?，歷的方向與a的

A(//a)=(z/z)a；

求實(shí)數(shù)2與向量a方向相同;當(dāng)丸<0時(shí),

數(shù)乘?+〃)a=%a+〃a；

的積的運(yùn)算2a的方向與a的方向

A(a+b)=za+Ab

相反;當(dāng)2=0時(shí)，za

=0

▲向量加法的多邊形法則

(多個(gè)向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接，Q+0+C表示從始點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量，只關(guān)心始

點(diǎn)、終點(diǎn).

4.共線向量定理

向量a(aK①與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得b=2a.

只有a#0才保證實(shí)數(shù)Z的存在性和唯一性.

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一向量概念的理解

例1判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①若aWZ>,則a—■定不與占共線；

②若乙則A、B、C、。四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);

③在平行四邊形A8C。中，一定有矗=比；

④若向量a與任一向量力平行，則a=0;

⑤若a=Z>,b—c,則a=c；

⑥若a〃b,b//c,則a〃c.

［題型練透］

1.判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①若向量。與b同向，且|0|>|加，則a>b；

②若向量同=血，則。與b的長度相等且方向相同或相反；

③對(duì)于任意同=|加，且。與〃的方向相同，則。=方；

④向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.

2.下列說法正確的是（）

A.向量直與）是共線向量，則A,B,C,。必在同一直線上

B.向量”與。平行，則。與6的方向相同或相反

C.向量彳萬與向量而是兩平行向量

D.單位向量都相等

3.給出下列四個(gè)命題：①若@=0,則a=0；②若@=|臼，則。=6或。=—b；③若a〃匕，則⑷=|臼；④若a

//b,b//c,則a〃c.其中，正確的命題有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

題型二向量的線性運(yùn)算

例2（2020?安徽合肥二模）在△ABC中，BD=1'BC,若漏=a,~AC=b,則方方=（）

A.^a+|bB.|a+|b

「1212L

D.^a—

例3在△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,AO為8C邊上的高，。為AO的中點(diǎn)，若布=元宿+

M，其中九〃CR，則入+〃等于（）

A.1B.Z

C.|D/|

例4設(shè)點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A在線段5c外，|前F=16,\AB+AC\=\A^-AC\,則|加|

=（）

A.8B.4

C.2D.1

［題型練透］

1.（2018?全國I）在△A8C中，AD為8C邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，則而等于（）

A^AB—^ACB.^AB—^AC

C^AB+^ACD.^AB+^AC

2.(2020?威海模擬)在平行四邊形ABC。中，E,尸分別為邊BC,CQ的中點(diǎn)，若A8=xAE+yA尸(x,y￡R),

則x—y=.

3.如圖，在直角梯形ABC。中，~DC=^AB,~BE=2EC,且混'=r7了+s就，則\\

2r+3s-'||

4.(2017?全國H)設(shè)非零向量a,。滿足|a+》|=|a-)|,則()I

A.a.LbB.\a\=\b\

C.a//bD.\a\>\b\

題型三兩向量共線定理

例5設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.

(1)若A^=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)%,使儂+b和a+處共線.

例6已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且(而'+員)，~AD=LAC,若B,O,。三點(diǎn)共線，則f=()

A-4B-3

C.^D?|

［題型練透］

1.(2020?新泰市第二中學(xué)高一期中)設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量.

(1)若礪=2"-5,而=34+瓦元="-35,求證：4B,。三點(diǎn)共線；

(2)若8G+防與%+25共線，求實(shí)數(shù)%的值；

(3)若麗=&+尻及=20-36,①=24-％5,且4C,。三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)攵的值.

2.已知G為△ABC的重心，令瓦§=a,元=6,過點(diǎn)G的直

線分別交A8,AC于P,Q兩點(diǎn)，且不A=,而=疝.則

m〃

題型四共線定理的推廣及應(yīng)用

［共線定理J己知面，鉗為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，設(shè)左=》-灰+丫7港'，貝IJA,B,C三點(diǎn)共線的

充要條件為x+y=\.

［推廣形式］如圖所示，直線￡）E〃A8,C為直線DE上任一點(diǎn)，設(shè)元=上滯+）］港\E

（x,yGR）.

當(dāng)直線QE不過點(diǎn)P時(shí)，直線PC與直線AB的交點(diǎn)記為F,因?yàn)辄c(diǎn)F在直線AB上，P/

所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若"0區(qū)+〃同（九〃GR）,則7+"=1.由△B4B與△PEQ相似，知必存在

一個(gè)常數(shù)〃?6R,使得衣=m~^,則下不=，M喬=機(jī)廠灰+〃川港.

又PC—xPA+yPB（x,yGR）,所以x+y=?d+加〃=機(jī)

以上過程可逆.因此得到結(jié)論：~PC+y~PB,則x+尸見定值），反之亦成立.

例7如圖，在正六邊形ABC0EF中，尸是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)/=。而D

+瓦丁（a,夕GR）,則a+夕的取值范圍是.

AB

例8如圖所示，A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與B4的延長線交于圓。外的一點(diǎn)￡）,若友

=〃?蘇'+〃n，則機(jī)+〃的取值范圍是.

w

［題型練透］

1.如圖，在扇形。45中，乙4。8=爭C為弧A8上的動(dòng)點(diǎn)，若衣『方才十》石方，V.

則x+3y的取值范圍是./

［玩轉(zhuǎn)練習(xí)］）

1.如圖，在正六邊形ABCDEf■中，前+宣+釬=（）

A.0B.-fiE

CTADDTCF

2.設(shè)a是非零向量，2是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與2a的方向相反B.a與乃a的方向相同

C.|一加冽a|D.|-2a|^|z|-a

3.設(shè)向量a,b不共線，~AB=2a+pb,"sc=a+b,W=a—2b,若4,B,0三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值

為（）

A.-2B.-1

C.1D.2

\AC\

5.（多選）已知等邊三角形ABC內(nèi)接于。O,。為線段。4的中點(diǎn)，則同=（

2—?1—>

A.]BA+48CB.

2―>1—>

CTBA+17EDqBA+gAE

6.（多選）設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)平面向量，已知陽'=a+sina-b,其中。6（0,2兀），逮=2a-b.若P,Q,

R三點(diǎn)共線，則角a的值可以為（）

7.如圖，在△4BC中，點(diǎn)/）在線段BC上，且滿足BD=、）C,過點(diǎn)。的直線分別

交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若前~AN=n7C,貝lj（

A.機(jī)+〃是定值，定值為2

B.2機(jī)+”是定值，定值為3

C.：+:是定值，定值為2

D康2+：1是定值，定值為3

8.在△ABC中，點(diǎn)。在線段8c的延長線上，且就=3蒼，點(diǎn)。在線段CO上（與點(diǎn)C,。不重合），若下方

=x二宿+（1—x）就，則x的取值范圍是.

9.已知向量a,b不共線，且c=7a+b,d=a+（2z-l）b,若c與d同向，則實(shí)數(shù)2=.

10.（一題兩空）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角