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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)和復數(shù),則為A. B. C. D.2.已知,,則()A. B. C.3 D.43.若,則()A. B. C. D.4.從集合中隨機選取一個數(shù)記為,從集合中隨機選取一個數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.5.設集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個6.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95447.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A. B.C. D.8.下列函數(shù)中,值域為R且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.9.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為810.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦至少有2個陽爻的概率是()A. B. C. D.11.設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.12.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形,點是棱的中點,點是棱靠近的三等分點,且三棱錐的體積為2,則四棱柱的體積為______.14.設f(x)=etx(t>0),過點P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點為Q,曲線C過點Q的切線交x軸于點R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.15.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.16.已知正方形邊長為,空間中的動點滿足,,則三棱錐體積的最大值是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.18.(12分)聯(lián)合國糧農組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關關系,我們以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標,請完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國糧農組織計劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸,問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.19.(12分)如圖,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若為的中點,求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.20.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對于任意,.21.(12分)交通部門調查在高速公路上的平均車速情況,隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員,統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員,其中平均車速超過的有30人,不超過的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認為,家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關;平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體,隨機調查3輛家庭轎車,記這3輛車中,駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為,假定抽取的結果相互獨立,求的分布列和數(shù)學期望.參考公式:其中臨界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知函數(shù),設為的導數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達式,并證明你的結論.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點睛】熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵,復數(shù)問題高考必考,常見考點有:點坐標和復數(shù)的對應關系,點的象限和復數(shù)的對應關系,復數(shù)的加減乘除運算,復數(shù)的模長的計算.2.A【解析】

根據(jù)復數(shù)相等的特征,求出和,再利用復數(shù)的模公式,即可得出結果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模,屬于基礎題.3.D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結果.【詳解】∵,∴,故選D【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關系式的應用,主要考查學生的運算能力和轉化能力,屬于基礎題型.4.A【解析】

設事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,分別計算出,再利用公式計算即可.【詳解】設事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.5.A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點:集合的運算.6.C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉化為,結合正態(tài)分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎題.7.A【解析】

,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學生轉化與化歸的思想,是一道中檔題.8.C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;B.,值域為,奇函數(shù),排除;C.,值域為,奇函數(shù),滿足;D.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用.9.D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關系,可判斷二者平均數(shù)的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.10.C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選:C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.11.B【解析】

由圓過原點,知中有一點與原點重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫出點坐標,代入拋物線方程求出參數(shù),可得點坐標,從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過原點,所以原點是圓與拋物線的一個交點,不妨設為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點坐標為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題,解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點,從而是等腰直角三角形,于是可得點坐標,問題可解,如果僅從方程組角度研究兩曲線交點,恐怕難度會大大增加,甚至沒法求解.12.A【解析】

由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用,三角形的面積公式,考查了學生的運算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.12【解析】

由題意,設底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積,即可求解?!驹斀狻坑深}意,設底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,則直四棱柱的體積為,又由三棱錐的體積為,解得,即直四棱柱的體積為?!军c睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計算問題,其中解答中正確認識幾何體的結構特征,合理、恰當?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關鍵,著重考查了推理與運算能力,以及空間想象能力,屬于中檔試題。14.【解析】

計算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導數(shù)S′,由S′=0得t=1,當t>1時,S′>0,當0<t<1時,S′<0,∴t=1為極小值點,也為最小值點,∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求面積的最值問題,意在考查學生的計算能力和應用能力.15.【解析】

根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進而由雙曲線的幾何性質可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質,關鍵是分析a、b之間的關系,屬于基礎題.16.【解析】

以為原點,為軸,為軸,過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系,設點,根據(jù)題中條件得出,進而可求出的最大值,由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點,為軸,為軸,過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系,則,,,設點,空間中的動點滿足,,所以,整理得,,當,時,取最大值,所以,三棱錐的體積為.因此,三棱錐體積的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

(1)根據(jù)三角形內切圓的性質證得,由此判斷出點的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因為圓E為△ABC的內切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓(點不在軸上),所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,(2)因為,故四邊形為平行四邊形.當直線l的斜率不存在時,則四邊形為為菱形,故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當直線l的斜率存在時,設直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD,∵點D在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程,考查橢圓中四邊形面積的計算,考查橢圓中的定值問題,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1)見解析;(2)能夠滿足.【解析】

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),結合以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標的要求即可完成表格;(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程,由線性回歸方程預測2020年的糧食需求量,即可作出判斷.【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件,對數(shù)據(jù)處理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由題意可知,變量與之間具有線性相關關系,由(1)中表格可得,,,,.由上述計算結果可知,所求回歸直線方程為,利用回歸直線方程,可預測2020年的糧食需求量為:(萬噸),因為,故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.【點睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預測應用,屬于基礎題.19.(1)見解析(2)【解析】

(1)設EC與DF交于點N,連結MN,由中位線定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中點為G,連結BG,EG,則可證四邊形ABGD是矩形,由面面垂直的性質得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,從而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入體積公式即可計算出體積.【詳解】(1)證明:設與交于點,連接,在矩形中,點為中點,∵為的中點,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中點為,連接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的長即為四棱錐的高,在梯形中,,∴四邊形是平行四邊形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面,將空間問題轉化為平面問題求解,注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法:求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決.②等積法:等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三棱錐的高時,這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高,而通過直接計算得到高的數(shù)值.20.(Ⅰ),(Ⅱ)見解析【解析】

(1)根據(jù)導數(shù)的運算法則,求出函數(shù)的導數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點,利用函數(shù)在切點處的導數(shù)值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上,列出方程組,求出,值;(2)首先將不等式轉化為函數(shù),即將不等式右邊式子左

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