考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷2（共340題）

考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷2（共9套）（共340題）考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當x→0時，f(x)與g(x)是等價無窮小，令F(x)＝，G(x)＝，則當x→0時，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：D知識點解析：2、設F(x)＝，則F(x)()．A、為正常數(shù)B、為負常數(shù)C、為零D、取值與x有關標準答案：A知識點解析：3、設，則當x→0時，兩個無窮小的關系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：C知識點解析：因為，所以兩無窮小同階但非等價，選4、A、單調減少B、無界C、連續(xù)D、有第一類間斷點標準答案：C知識點解析：因為f(x)在(0，2)內只有第一類間斷點，所以g(x)在(0，2)內連續(xù)，選（C）。5、設f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：6、設函數(shù)f(x)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：7、A、等于0B、大于0C、小于0D、不能確定標準答案：B知識點解析：8、若由曲線y＝，曲線上某點處的切線以及x＝1，x＝3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、標準答案：知識點解析：10、標準答案：知識點解析：11、標準答案：4－π知識點解析：12、設f(x)滿足等式xf’(x)一f(x)＝，且f(1)＝4，則＝____________。標準答案：知識點解析：13、設函數(shù)y＝y(tǒng)(x)滿足，且y(1)＝1，則＝___________。標準答案：知識點解析：14、標準答案：a＝ln2知識點解析：15、標準答案：知識點解析：16、設連續(xù)非負函數(shù)f(x)滿足f(x)f(一x)＝1，則＝__________。標準答案：1知識點解析：17、在區(qū)間[一1，1]上的最大值為__________．標準答案：ln3知識點解析：18、設f(x)的一個原函數(shù)為，則＝_________。標準答案：知識點解析：19、標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、設f(x)連續(xù)，且f(x)＝，求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：因為(x2ex)’＝(x2＋2x)ex，知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析28、標準答案：知識點解析：暫無解析29、標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、設F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當x≥0時，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析32、標準答案：知識點解析：暫無解析33、計算標準答案：知識點解析：暫無解析34、標準答案：知識點解析：暫無解析35、標準答案：知識點解析：暫無解析36、標準答案：知識點解析：暫無解析設S(x)＝37、證明：當nπ≤x＜(n＋1)π時，2n≤S(x)＜2(n＋1)；標準答案：知識點解析：暫無解析38、求標準答案：知識點解析：暫無解析39、設f(x)在[0，＋∞)上連續(xù)，非負，且以T為周期，證明：標準答案：對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n＋1)T，知識點解析：暫無解析40、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)＝0，.證明：存在ξ∈(0，1)，使得標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、累次積分可以寫成A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設S是平面x+y+z=4被圓柱面x2+y2=1截出的有限部分，則曲面積分的值是A、0B、C、D、π標準答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、交換積分次序：=___________標準答案：知識點解析：暫無解析4、=____________標準答案：知識點解析：暫無解析5、交換積分次序：=____________標準答案：知識點解析：暫無解析6、=_____________標準答案：知識點解析：暫無解析7、=_____________標準答案：知識點解析：暫無解析8、設曲線C為，則=_____________標準答案：知識點解析：暫無解析9、設C為橢圓，則=_____________標準答案：πab知識點解析：暫無解析10、設u=x2+y2+z2，則div(gradu)=__________標準答案：6知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共40題，每題1.0分，共40分。)11、計算二重積分，其中D是直線y=2，y=x和雙曲線xy=1所圍成的平面區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析12、計算標準答案：知識點解析：暫無解析13、計算，其中區(qū)域D由y=x2，y=4x2，y=1所圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析14、計算，其中D由直線x=一2，y=0，y=2以及曲線所圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析15、計算，其中D：x2+y2≤4．標準答案：9π知識點解析：暫無解析16、計算，其中D由不等式x2+y2≤x+y所確定．標準答案：知識點解析：暫無解析17、計算，D是由(0≤t≤2π)與x軸所圍成的區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求，其中D是由y=x3，y=1，x=一1所圍成的區(qū)域，f(u)是連續(xù)函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設f(x，y)是定義在區(qū)域0≤x≤1，x≤y≤1上的二元連續(xù)函數(shù)，f(0，0)=一1，求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析20、設f(x，y)在單位圓x2+y2≤1上有連續(xù)的偏導數(shù)，且在邊界上取值為零，f(0，0)=2001，試求極限標準答案：2001知識點解析：暫無解析21、計算三重積分，其中Ω為曲線繞z軸旋轉一周的曲面與平面z=2，z=8所圍成的空間區(qū)域．標準答案：336π知識點解析：暫無解析22、求積分，其中Ω為球面x2+y2+z2=z所圍的球體．標準答案：知識點解析：暫無解析23、計算，其中Ω由不等式x2+y2+z2≥z和x2+y2+z2≤2z所確定．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設f(x)連續(xù)，，其中Ω由不等式0≤z≤h，x2+y2≤t2所確定．試求：標準答案：知識點解析：暫無解析25、計算，其中Ω由平面z=0，z=1及曲面x2+y2=2圍成．標準答案：知識點解析：暫無解析26、計算標準答案：2πa2知識點解析：暫無解析27、計算，其中C為雙紐線(x2+y2)2=a2(x2一y2)標準答案：知識點解析：暫無解析28、計算，其中S為錐面z2=x2+y2介于z=0及z=1之間的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析29、計算，其中S為上半球面標準答案：πa3知識點解析：暫無解析30、計算，其中S為球面x2+y2+z2=R2．標準答案：知識點解析：暫無解析31、計算，其中C為以A(1，0)，B(0，1)，C(一1，0)，D(0，一1)為頂點的正方形閉路．標準答案：0知識點解析：暫無解析32、計算曲線積分，其中L為區(qū)域0＜x＜π，0＜y＜sinx邊界的正方向圍線．標準答案：知識點解析：暫無解析33、計算，其中C為由點A(2a，0)到點B(0，0)的上半圓周(x—a)2+y2=a2(y≥0)．標準答案：知識點解析：暫無解析34、計算，其中C為從點A(一a，0)到點B(a，0)的上半橢圓(y≥0)．標準答案：一π知識點解析：暫無解析35、計算，其中C為拋物線上從點A(1，π)到點B(2，π)的有向曲線段．標準答案：1+π知識點解析：暫無解析36、求曲線積分的值，其中L為(x一a)2+(y一b)2=1的正向．標準答案：①當原點不包含在L所限定區(qū)域內時，I=0；②當原點包含在L所限定區(qū)域內時，I=π；③當原點在L上時，原積分無意義．知識點解析：暫無解析37、計算，其中C：，若從x軸正向看去，C的方向為逆時針方向．標準答案：一4π知識點解析：暫無解析38、計算，其中∑為球面x2+y2+z2=1的外側位于x≥0，y≥0的部分．標準答案：知識點解析：暫無解析39、計算，其中∑為半球面的內側．標準答案：知識點解析：暫無解析40、計算，其中∑為x2+y2+z2=1的外側．標準答案：12π知識點解析：暫無解析41、計算．其中∑是由曲線x=ey(0≤y≤a)繞x軸旋轉而成的旋轉面外側．標準答案：知識點解析：暫無解析42、計算，其中∑為(x—a)2+(y一b)2+(z—c)2=R2的外側．標準答案：知識點解析：暫無解析計算43、∑為z=的上側．標準答案：2π知識點解析：暫無解析44、∑為上半橢球面(z≥0)的上側．標準答案：2π知識點解析：暫無解析45、計算其中∑為區(qū)域Ω的外側，Ω由不等式z≥，x2+y2+z2≥1和x2+y2+z2≤4所確定，f(u)有連續(xù)一階導數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析46、求線密度為常數(shù)的擺線x=a(t一sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤π)的重心．標準答案：知識點解析：暫無解析47、求柱面x2+y2=ax(a＞0)位于球面x2+y2+z2=a2內的部分的面積．標準答案：4a2知識點解析：暫無解析48、求密度為常數(shù)ρ、半徑為R的球體對于它的一條切線的轉動慣量．標準答案：知識點解析：暫無解析49、已知曲線積分．其中A為常數(shù)，φ(x)有連續(xù)一階導數(shù)，φ(1)=1，L是繞(0，0)點一周的任意正向簡單閉曲線，試求φ(x)及A．標準答案：由原題可推得沿任何一條不包含原點在內的簡單閉曲線積分為零．從而可得，在任何一個不含原點在內的單連通域內該線積分與路徑無關，則有，從而可解出φ(x)=x2，求出A=2π．知識點解析：暫無解析50、設L是圓周(x一a)2+(y一a)2=1的逆時針方向，f(x)恒正且連續(xù)，試證標準答案：利用格林公式，再注意由對稱性知，其中D：(x-a)2+(y-a)2≤1知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設，其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4d。B、b=-4d。C、a=4c。D、a=-4c。標準答案：D知識點解析：當x→0時，由帶佩亞諾型余項的泰勒公式可知，tanx，ln(1-2x)均為x的一階無窮?。欢?-cosx，均為x的二階無窮小，所以即a=-4c，故選D。2、f(x)=則f(x)在x=0處()A、極限不存在。B、極限存在，但不連續(xù)。C、連續(xù)但不可導。D、可導。標準答案：C知識點解析：由f’+(0)，f’-(0)都存在可得，f(x)在x=0右連續(xù)和左連續(xù)，所以f(x)在x=0連續(xù)；但f’+(0)≠f’-(0)，所以f(x)在x=0處不可導。所以選C。3、設f(x)為可導函數(shù)，且滿足條件，則曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為()A、2。B、-1。D、-2。標準答案：D知識點解析：將題中極限條件兩端同乘2，得由導數(shù)定義可知，f’(1)=-2，故選D。4、設f(x)有二階連續(xù)導數(shù)，且f’(0)=0，，則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點。D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點。標準答案：B知識點解析：根據(jù)極限的保號性，由=1可知，存在x=0的某鄰域Uδ(0)，使對任意x∈Uδ(0)，都有，即f’’(x)＞0。從而函數(shù)f’(x)在該鄰域內單調增加。于是當x＜0時，有f’(x)＜f’(0)=0；當x＞0時，f’(x)＞f’(0)=0，由極值的第一判定定理可知，f(x)在x=0處取得極小值。故選B。5、函數(shù)f(x，y)=arctan在點(1，0)處的梯度向量為()A、-i。B、i。C、-j。D、j。標準答案：D知識點解析：則gradf｜(1,0)=j，故選D。6、設D為單位圓x2+y2≤1，I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x3+y3)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，則()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I3。D、I1＜I3＜I2。標準答案：D知識點解析：積分域D關于兩個坐標軸都對稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3，y5是y的奇函數(shù)，則由于在D內｜x｜≤1，｜y｜≤1，則x6+y6≤x4+y4，于是從而有I1＜I3＜I2。故選D。7、設常數(shù)λ＞0，且級數(shù)()A、發(fā)散。B、條件收斂。C、絕對收斂。D、斂散性與λ有關。標準答案：C知識點解析：取an=，顯然滿足題設條件。而此時于是由比較判別法知，級數(shù)絕對收斂，故選C。8、已知微分方程y’’+6y’+y=0的每個解都在區(qū)間(0，+∞)上有界，則實數(shù)b的取值范圍是()A、[0，+∞)。B、(-∞，0]。C、(-∞，4]。D、(-∞，+∞)。標準答案：A知識點解析：微分方程y’’+6y’+y=0的特征方程為r2+br+1=0，特征根為(1)b2＜4時，原方程通解為(2)b2=4時，原方程通解為(3)b2＞4時，原方程通解為由以上解的形式可知當b≥0時，每個解都在[0，+∞)上有界，故選A。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)9、設，則a=_______。標準答案：ln2知識點解析：10、設y=y(x)由方程確定，則y’’(0)=_______。標準答案：-2π知識點解析：將x=0代入方程x=可得y=1，即y(0)=1。在方程兩邊對x求導，得所以y’’(0)=-2π。11、=________。標準答案：知識點解析：因為，所以12、曲線pθ=1相應于的一段弧長s=_________。標準答案：知識點解析：由已知可得。則13、grad=_______。標準答案：i+j+k知識點解析：令u=xy+，則14、設z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=_______。標準答案：知識點解析：在方程兩端對x求偏導得同理可得所以15、交換積分次序=______。標準答案：知識點解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖1-6-4所示，則有16、設Γ為曲線從z軸正向往z軸負向看去為順時針方向，則I=(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=___________。標準答案：-2π知識點解析：利用格林公式計算。設C為圓x2+y2=1的順時針方向，由x-y+z=2可知z=2-x+y，則17、已知冪級數(shù)在x=1處條件收斂，則冪級數(shù)的收斂半徑為_________。標準答案：1知識點解析：冪級數(shù)在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點，其收斂半徑為1，因此冪級數(shù)收斂半徑也為1。18、微分方程xy’’+3y’=0的通解為________。標準答案：知識點解析：令p=y’，則原方程化為p’+=0，其通解為p=Cx-3。因此三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)19、設f(x)=標準答案：知識點解析：暫無解析20、設f(x)在(-1，1)內具有二階連續(xù)導數(shù)，且f’’(x)≠0。證明：(Ⅰ)對于任意的x∈(-1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；(Ⅱ)標準答案：(Ⅰ)由拉格朗13中值定理，對任意的x∈(-1，1)，x≠0，存在θ(x)∈(0，1)使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)。又由f’’(x)連續(xù)且f’’(x)≠0知，f’’(x)在(-1，1)不變號，則f’(x)在(-1，1)嚴格單調，θ唯一。(Ⅱ)對f’(θx)使用f’’(0)的定義。由(Ⅰ)中的式子，則有解出θ，令x→0取極限得知識點解析：暫無解析21、設曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1-x2交于點A，過坐標原點O和點A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D。(Ⅰ)求D繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積V(a)；(Ⅱ)求a的值，使V(a)為最大。標準答案：y=ax2與y=1-x2的交點為，直線OA的方程為(Ⅰ)旋轉體的體積當a＞0時，得V(a)的唯一駐點a=4。當0＜a＜4時，V’(a)＞0；當a＞4時，V’(a)＜0。故a=4為V(a)的唯一極大值點，即為最大值點。知識點解析：暫無解析22、設z=標準答案：將上式分別代入原式可得知識點解析：暫無解析23、計算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1-x}}。標準答案：如圖1-6-10所示，在極坐標中知識點解析：暫無解析24、設P為橢球面S：x2+y2+z2-yz=1上的動點，若S在點P的切平面與xOy面垂直，求P點的軌跡C，并計算曲面積分其中∑是橢球面S位于曲線C上方的部分。標準答案：(Ⅰ)切平面法向量的分量Fx=2x，F(xiàn)y=2y-z，F(xiàn)z=2z-y，因切平面與xOy面垂直，所以2x×0+(2y-z)×0+(2z-y)×1=0，即z=因此軌跡C為(Ⅱ)記∑方程為z=z(x，y)，由第一類曲面積分可得由x2+y2+z2-yz=1兩邊分別同時對x，y求偏導，得因為x2+y2+z2-yz=1。所以知識點解析：暫無解析25、設冪級數(shù)在(-∞，+∞)內收斂，其和函數(shù)y(x)滿足y’’-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1。(Ⅰ)證明an=，n=0，1，2，…；(Ⅱ)求y(x)的表達式。標準答案：(Ⅰ)記y(x)=，代入微分方程y’’-2xy’-4y=0有故有(n+2)(n+1)an+2-2nan-4an=0，即有(Ⅱ)由初始條件y(0)=0,y’(0)=1，知a0=0，a1=1。于是根據(jù)遞推關系式an+2=，有a2n=0，a2n+1=。故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設直線，則過直線L1且平行于L2的平面方程為_________．標準答案：x一3y＋z＋2＝0知識點解析：所求平面的法向量為n＝{1，0，一1}×{2，1，1}＝{1，一3，1}，又平面過點(1，2，3)，則所求平面方程為π：(x一1)一3(y一2)＋(z一3)＝0，即π：x一3y＋z＋2＝0．2、點M(3，一1，2)到直線的距離為__________．標準答案：知識點解析：直線的方向向量為s＝{1，1，一1}×{2，一1，1}＝{0，一3，一3}，顯然直線經(jīng)過點M0(1，一1，1)，，則點M(3，一1，2)到直線的距離為3、兩異面直線之間的距離為___________．標準答案：7知識點解析：s1＝{4，一3，1}，s2＝{一2，9，2}，n＝{4，一3，1}×{一2，9，2}＝{一15，一10，30}，過直線L2且與L1平行的平面方程為π：一15x一10(y＋7)＋30(z一2)＝0，即π：3x＋2y一6z＋26＝0，4、設點M1(1，一1，一2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，則點M3到向量的距離為__________．標準答案：知識點解析：5、直線繞z軸旋轉一周的旋轉曲面方程為__________．標準答案：x2＋y2一z2＝1知識點解析：設M(x，y，z)為旋轉曲面∑上的任意一點，該點所在的圓對應與直線L上的點為M0(x0，y0，z)，圓心為T(0，0，z)，由，得x2＋y2＝x02＋y02．因為M0(x0，y0，z)∈L，所以，即x0＝1，y0＝z，于是曲面方程為∑：x2＋y2一z2＝1．6、設直線l過點M(1，一2，0)且與兩條直線垂直，則l的參數(shù)方程為___________．標準答案：知識點解析：直線l1的方向向量為s1＝{2，0，1}×{1，一1，3}＝{1，一5，一2}，直線l2的方向向量為s2＝{1，一4，0}，則直線l的方向向量為s＝s1×s2＝(一8，一2，1)，直線l的方程為，參數(shù)方程為二、解答題(本題共32題，每題1.0分，共32分。)設f(x)在(一a，a)(a＞0)內連續(xù)，且f'(0)＝2．7、證明：對0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得；標準答案：知識點解析：暫無解析8、求．標準答案：知識點解析：暫無解析9、標準答案：知識點解析：暫無解析10、設f(x)有界，且f’(x)連續(xù)，對任意的x∈(一∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．證明：｜f(x)｜≤1．標準答案：令φ(x)＝exf(x)，則φ’(x)＝ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)＝0，則φ(x)＝φ(x)一φ(一∞)＝，兩邊取絕對值得，所以｜f(x)｜≤1．知識點解析：暫無解析11、設f(x)在(一∞，＋∞)上有定義，且對任意的x，y∈(一∞，＋∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x—y｜．證明：．標準答案：因為(b一a)f(a)＝，知識點解析：暫無解析12、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對任意的x∈[0，1]，證明：標準答案：因為0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，從而知識點解析：暫無解析13、設f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調增加，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析14、設f(x)在(0，＋∞)內連續(xù)且單調減少．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調減少．證明：當0＜k＜1時，標準答案：知識點解析：暫無解析16、設f’(x)在[0，1]上連續(xù)且｜f’(x)｜≤M．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導，f(0)＝0，令。證明：．標準答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)＝f’(ξ)x，其中ξ介入0與x之間，因為f(0)＝0，所以｜f(x)｜＝｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，從而．知識點解析：暫無解析18、設f’(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)一f(0)＝1．證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析19、(x)在[a，b]上連續(xù)可導，且f(a)＝0．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析20、(x)在[a，b]上連續(xù)可導，且f(a)＝f(b)＝0．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析21、設f(x)在[a，b]上連續(xù)可導，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[0，1]上二階可導，且f"(x)＜0．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析23、設f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導且f"(x)≥0．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析24、設f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．證明積分不等式：標準答案：知識點解析：暫無解析25、設直線y＝ax與拋物線y＝x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x＝1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1．(1)確定a，使S1＋S2達到最小，并求出最小值；(2)求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積．標準答案：(1)直線y＝ax與拋物線y＝x2的交點為(0，0)，(a，a2)．知識點解析：暫無解析26、求曲線y＝3一｜x2一1｜與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線y＝3旋轉所得的旋轉體的體積．標準答案：顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù)，只研究曲線的右半部分繞y＝3旋轉所成的體積．知識點解析：暫無解析27、求橢圓與橢圓所圍成的公共部分的面積．標準答案：根據(jù)對稱性，所求面積為第一象限圍成面積的4倍，先求第一象限的面積.知識點解析：暫無解析設點A(1，0，0)，B(0，1，1)，線段AB繞x軸一周所得旋轉曲面為S．28、求旋轉曲面的方程；標準答案：知識點解析：暫無解析29、求曲面S介于平面z＝0與z＝1之間的體積．標準答案：對任意的x∈[0，1]，垂直于z軸的截口圓面積為．A(z)＝π(x2＋y2)＝π(2z2一2z＋1)于是知識點解析：暫無解析30、計算標準答案：知識點解析：暫無解析31、計算標準答案：知識點解析：暫無解析32、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析33、證明：標準答案：知識點解析：暫無解析34、證明：當x≥0時，f(x)＝的最大值不超過.標準答案：當x＞0時，令f’(x)＝(x—x2)sin2nx＝0得x＝1，x＝kπ(k＝1，2，…)，當0＜x＜1時，f’(x)＞0；當x＞1時，f’(x)≤0(除x＝kπ(k＝1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x＝1為f(x)的最大值點，f(x)的最大值為f(1)．因為當x≥0時，sinx≤x，所以當x∈[x，1]時，(x—x2)sin2nx≤(x—x2)x2n＝x2n＋1一x2n＋2，知識點解析：暫無解析35、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：f(tx1＋(1一t)x2)≤tf(x1)＋(1一t)f(x2)．證明：標準答案：知識點解析：暫無解析36、設f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內二階可導，且f"(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負連續(xù)函數(shù)，且證明：標準答案：知識點解析：暫無解析37、令f(x)＝x一[x]，求極限標準答案：因為[x＋m]＝[x]＋m(其中m為整數(shù))，所以f(x)＝x一[x]是以1為周期的函數(shù)，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表達式為對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得n≤x＜n＋1，則知識點解析：暫無解析38、為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口．設井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／s的速度從抓斗中漏掉．現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?標準答案：設拉力對空斗所做的功為W1，則W1＝400×30＝12000(J)．設拉力對繩所做的功為W1，任取[x，x＋dx][0，30]，dW2＝50(30—x)dx，則設拉力對污泥做功為W3，任取[t，t＋dt][0，10]，dW3＝(2000—20t)×3dt，則，拉力克服重力所做的功為W＝W1＋W2＋W3＝91500(J)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設f(x)在x＝a處可導，且f(a)≠0，則｜f(x)｜在x＝a處()．A、可導B、不可導C、不一定可導D、不連續(xù)標準答案：A知識點解析：不妨設f(a)＞0，因為f(x)在x＝a處可導，所以f(x)在x＝a處連續(xù)，于是存在δ＞0，當｜x一a｜＜δ時，有f(x)＞0，于是＝f’(a)，即｜f(x)｜在x＝a處可導，同理當f(a)＜0時，｜f(x)｜在x＝a處也可導，選(A)．2、設ξ為f(x)＝arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，則為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：3、設f(x)在x＝a處二階可導，則等于()．A、一f"(a)B、f"(a)C、2f"(a)D、標準答案：D知識點解析：4、設f(x)在x＝0處二階可導，f(0)＝0且，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y＝f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y＝f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：5、設f(x)在x＝a處的左右導數(shù)都存在，則f(x)在x＝a處()．A、一定可導B、一定不可導C、不一定連續(xù)D、連續(xù)標準答案：D知識點解析：因為f(x)在x＝a處右可導，所以存在，于是，即f(x)在x＝a處右連續(xù)，同理由f(x)在x＝a處左可導，得f(x)在x＝a處左連續(xù)，故f(x)在x＝a處連續(xù)，由于左右導數(shù)不一定相等，選(D)．6、f(x)g(x)在x0處可導，則下列說法正確的是()．A、f(x)，g(x)在x0處都可導B、f(x)在x0處可導，g(x)在x0處不可導C、f(x)在x0處不可導，g(z)在x0處可導D、f(x)，g(x)在x0處都可能不可導標準答案：D知識點解析：令顯然f(x)，g(x)在每點都不連續(xù)，當然也不可導，但f(x)g(x)≡一1在任何一點都可導，選(D)．7、f(x)在x0處可導，則｜f(x)｜在x0處()．A、可導B、不可導C、連續(xù)但不一定可導D、不連續(xù)標準答案：C知識點解析：由f(x)在x0處可導得｜f(x)｜在x0處連續(xù)，但｜f(x)｜在x0處不一定可導，如f(x)＝x在x＝0處可導，但｜f(x)｜＝｜x｜在x＝0處不可導，選(C)．8、設f(x)為二階可導的奇函數(shù)，且x＜0時有f"(x)＞0，f’(x)＜0，則當x＞0時有()．A、f"(x)＜0，f’(x)＜0B、f"(x)＞0，f’(x)＞0C、f"(x)＞0，f’(x)＜0D、f"(x)＜0，f’(x)＞0標準答案：A知識點解析：因為f(x)為二階可導的奇函數(shù)，所以f(一x)＝一f(x)，f’(一x)＝f’(x)，f"(一x)＝一f"(x)，即f’(x)為偶函數(shù)，f"(x)為奇函數(shù)，故由x＜0時有f"(x)＞0，f’(x)＜0，得當x＞0時有f"(x)＜0，f’(x)＜0，選(A)．9、設f(x)為單調可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2)＝4，f’(2)＝，f’(4)＝6，則g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為，所以選(B)．10、設f(x)在x＝a的鄰域內有定義，且f＋’(a)與f－’～(a)都存在，則()．A、f(x)在x＝a處不連續(xù)B、f(x)在x＝a處連續(xù)C、f(x)在x＝a處可導D、f(x)在x＝a處連續(xù)可導標準答案：B知識點解析：因為f＋’(a)存在，所以存在，于是＝f(a)，即f(x)在x＝a處右連續(xù)，同理由f－’(a)存在可得f(x)在x＝a處左連續(xù)，故f(x)在x＝a處連續(xù)，選(B)．11、下列命題成立的是()．A、若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜＜δ內連續(xù)B、若f(x)在x0處可導，則存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜＜δ內可導C、若f(x)在x0的去心鄰域內可導，在x0處連續(xù)且存在，則f(x)在x0處可導，且f’(x0)＝D、若f(x)在x0的去心鄰域內可導，在x0處連續(xù)且不存在，則f(x)在x0處不可導標準答案：C知識點解析：暫無解析12、則f(x)在x＝0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)不可導C、可導但f’(x)在x＝0處不連續(xù)D、可導且f’(x)在x＝0處連續(xù)標準答案：D知識點解析：13、函數(shù)f(x)在x＝1處可導的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：14、設f(x)連續(xù)可導，g(x)連續(xù)，且，又f’(x)＝一2x2＋，則()．A、x＝0為f(x)的極大點B、x＝0為f(x)的極小點C、(0，0)為y＝f(x)的拐點D、x＝0既不是f(x)極值點，(0，0)也不是y＝f(x)的拐點．標準答案：C知識點解析：即當x∈(一δ，0)時，f"(x)＞0；當x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，故(0，0)為y＝f(x)的拐點，應選(C)．15、下列說法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：16、下列說法中正確的是()．A、若f’(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內單調減少B、若f(x)在x0取極大值，則當x∈(x0一δ，x0)時，f(x)單調增加，當x∈(x0，x0＋δ)時，f(x)單調減少C、f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D、f(x)為偶函數(shù)，f"(0)≠0，則f(x)在x＝0處一定取到極值標準答案：D知識點解析：17、設f(x)二階連續(xù)可導，，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y＝f(x)的拐點D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y＝f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：18、設f(x)在x＝0的鄰域內連續(xù)可導，g(x)在x＝0的鄰域內連續(xù)，且，又，則()．A、x＝0是f(x)的極大值點B、x＝0是f(x)的極小值點C、(0，f(0))是曲線y＝f(x)的拐點D、x＝0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是曲線y＝f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：19、設f(x)二階連續(xù)可導，且，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y＝f(x)的拐點D、x＝0是f(x)的駐點但不是極值點標準答案：C知識點解析：20、設函數(shù)f(x)滿足關系f"(x)＋f’2(x)＝x，且f’(0)＝0，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是y＝f(x)的拐點D、(0，f(0))不是y＝f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由f’(x)＝0得f"(0)＝0，f"(x)＝1一2f’(x)f"(x)，f"(0)＝1＞0，由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，f’’’(x)＞0，再由f"(0)＝0，得故(0，f(0))是曲線y＝f(x)的拐點，選(C)．21、下列說法正確的是()．A、設f(x)在x0二階可導，則f"(x)在x＝x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(x)在(a，b)內有唯一的極值點，則該極值點一定為最值點標準答案：D知識點解析：令但不存在，所以(A)不對；若最大值在端點取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．22、設f(x)在[a，＋∞)上二階可導，f(a)＜0，f’(a)＝0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，＋∞)內的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標準答案：B知識點解析：因為f’(a)＝0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)＝f(a)＋f’(a)(x一a)＋≥f(a)＋(x一a)2，其中ξ介于a與x之間，而＝＋∞，故＝＋∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，＋∞)內至少有一個零點．又因為f’(a)＝0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，＋∞)單調增加，所以零點是唯一的，選(B)．23、設k＞0，則函數(shù)f(x)＝lnx一＋k的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標準答案：C知識點解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，由f’(x)＝＝0得x＝e，當0＜x＜e時，f’(x)＞0；當x＞e時，f’(x)＜0，由駐點的唯一性知x＝e為函數(shù)f(x)的最大值點，最大值為f(e)＝k＞0，又，于是f(x)在(0，＋∞)內有且僅有兩個零點，選(C)．二、填空題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)24、設兩曲線y＝x2＋ax＋b與一2y＝一1＋xy3在點(一1，1)處相切，則a＝___________，b＝____________.標準答案：a＝b＝3知識點解析：因為兩曲線過點(一1，1)，所以b一a＝0，又由y＝x2＋ax＋b得＝a一2，再由一2y＝一1＋xy3得，且兩曲線在點(一1，1)處相切，則a一2＝1，解得a＝b＝3．25、標準答案：知識點解析：26、設f(x)在x＝1處一階連續(xù)可導，且f’(1)＝一2，則＝____________.標準答案：1知識點解析：27、標準答案：2x(1＋4x)e8x知識點解析：28、設f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，f(0)＝0，又在(一1，1)內f’(x)＝｜x｜，則＝___________.標準答案：知識點解析：因為在(一1，1)內f’(x)＝｜x｜，所以在(一1，1)內f(x)＝由f(0)＝0得f(x)＝故29、若f(x)＝2nx(1一x)n，記Mn＝，則＝____________。標準答案：知識點解析：30、設f(x)在x＝a的鄰域內二階可導且f’(a)≠0，則＝__________.標準答案：知識點解析：31、標準答案：0知識點解析：當x＝0時，t＝0；當t＝0時，由y＋ey＝1，得y＝0．32、標準答案：知識點解析：33、設y＝y(tǒng)(x)由yexy＋xcosx一1＝0確定，求dy｜x＝0＝_________．標準答案：－2dx知識點解析：當x＝0時，y＝1，將yexy＋xcosx一1＝0兩邊對x求導得34、標準答案：知識點解析：35、設函數(shù)y＝y(tǒng)(x)由確定，則y＝y(tǒng)(x)在x＝In2處的法線方程為___________．標準答案：知識點解析：當x＝In2時，t＝±1；當t＝±1時，y＝0．(1)當t＝一1時，(2)當t＝1時，36、設f(x)＝在x＝1處可微，則a＝___________，b＝___________．標準答案：a＝2，b＝－1知識點解析：因為f(x)在x＝1處可微，所以f(x)在x＝1處連續(xù)，于是f(1一0)＝f(1)＝1＝f(1＋0)＝a＋b，即a＋b＝1．由f(x)在x＝1處可微得a＝2，所以a＝2，b＝一1．37、設F(x)＝，其中f’(x)在x＝0處連續(xù)，且當x→0時，F(xiàn)’(x)～x2，則f’(0)＝__________．標準答案：知識點解析：38、標準答案：1知識點解析：39、設f(x，y)可微，f(1，2)＝2，fx’(1，2)＝3，fy’(1，2)＝4，φ(x)＝f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)＝__________．標準答案：47知識點解析：因為φ’(x)＝fx’[x，f(x，2x)]＋fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)＋2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)＝fx’[1，f(1，2)]＋fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)＋2fy’(1，2)]＝3＋4×(3＋8)＝47．40、曲線的斜漸近線為__________．標準答案：y＝2x－4知識點解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)41、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析42、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析43、證明：標準答案：當x∈[1，2]時有當x∈[2，3]時有……當x∈[n，n＋1]時有從而有又當x∈[1，2]時，當x∈[2，3]時，……當x∈[n一1，n]時，從而有故于是由夾逼定理得知識點解析：暫無解析44、設f(x)＝a1ln(1＋x)＋a2ln(1＋2x)＋…＋anln(1＋nx)，其中a1，a2，…，an為常數(shù)，且對一切x有｜f(x)｜≤｜ex一1｜．證明：｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．標準答案：當x≠0時，由｜f(x)｜≤｜ex一1｜得，知識點解析：暫無解析45、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析46、設函數(shù)f(x)可導且，對任意的x0，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，證明：存在且滿足方程f(x)＝x．標準答案：xn＋1一xn＝f(xn)一f(xn－1)＝f’(ξn)(xn一xn－1)，因為f’(x)≥0，所以xn＋1一xn與xn一xn－1同號，故{xn}單調．即{xn}有界，于是存在，根據(jù)f(x)的可導性得f(x)處處連續(xù)，等式xn＋1＝f(xn)兩邊令n→∞，得，原命題得證．知識點解析：暫無解析47、56．設f(x)在[a，＋∞)上連續(xù)，且存在．證明：f(x)在[a，＋∞)上有界．標準答案：設＝A，取ε0＝1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當x＞X0時，｜f(x)一A｜＜1，從而有｜f(x)｜≤｜A｜＋1．又因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質，存在k＞0，當x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M＝max{｜A｜＋1，k)，對一切的x∈[a，＋∞)，有｜f(x)｜≤M．知識點解析：暫無解析48、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，任取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．標準答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，顯然有m≤f(xi)≤M(i＝1，2，…，n)，注意到ki＞0(i＝1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i＝1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1＋k2＋…＋kn)m≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)≤(k1＋k2＋…＋kn)M，即，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設y(x)是微分方程y"+(x一1)y’+x2y=e滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標準答案：A知識點解析：微分方程y"+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，則y"(0)=2，于是=1，選(A)．2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式為()．A、(ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x標準答案：D知識點解析：方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特征方程為λ2一2λ一3=0，特征值為λ1=一1，λ2=3，故方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式為x(ax+b)e-x，選(D)．3、設φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關解，則該方程的通解為()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1標準答案：D知識點解析：因為φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)為方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(z)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1一C2或C1+C2+C3=1，選(D)．二、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)4、設f(x)是連續(xù)函數(shù)．標準答案：(1)y’+ay=f(x)的通解為y=[∫0xf(t)e"dt+C]e，由y(0)=0得C=0，所以y=e∫0xf(t)e"dt．(2)當x≥0時，｜y｜=e-ax｜∫0xf(t)eatdt｜≤e-ax∫0x｜f(t)｜eatdt≤ke-ax∫0xeatdt=e-ax(eax—1)，因為e-ax≤1，所以｜y｜≤(eax一1)．知識點解析：暫無解析5、設有微分方程y’—2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(一∞，+∞)求連續(xù)函數(shù)y(x)，使其在(一∞，1)及(1，+∞)內都滿足所給的方程，且滿足條件y(0)=0．標準答案：當x＜1時，y’一2y=2的通解為y=C1e2x一1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x一1；當x＞1時，y’一2y=0的通解為y=C2e2x，根據(jù)給定的條件，y(1+0)=C2e2=y(1一0)=e2一1，解得C3=1一e-2，y=(1一e-2)e2x，補充定義y(1)=e2一1，則得在(一∞，+∞)內連續(xù)且滿足微分方程的函數(shù)知識點解析：暫無解析6、設f(x)二階連續(xù)可導，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+xy2]dy=0為全微分方程，求f(x)及該全微分方程的通解．標準答案：令P(x，y)=xy(x+y)一f(x)y，Q(x，y)=f’(x)+x2y，因為[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0為全微分方程，所以，即f"(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2，由f(0)=0，f’(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2一2．原方程為[xy2一(2cosx+sinx)y+2y—]dx+(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)一2(ycosxdx+sinxdy)+(—ysinxdx+cosxdy)=0，即d(x2y2+2xy一2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解為x2y2+2xy一2ysinx+ycosx=C．知識點解析：暫無解析7、利用變換x=arctant將方程化為y關于t的方程，并求原方程的通解．標準答案：故原方程通解為y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx一2．知識點解析：暫無解析8、設f(x)為偶函數(shù)，且滿足f’(x)+2f(x)一3∫0xf(t一x)dt=一3x+2，求f(x)．標準答案：∫0xf(t一x)dt=一∫0xf(t一x)d(x一t)一∫0xf(—u)du=∫0xf(u)du，則有f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=—3x+2，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)是奇函數(shù)，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．將f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=一3x+2兩邊對x求導數(shù)得f"(x)+2f’(x)一3f(x)=一3，其通解為f(x)=C1ex+C2e-3x+1，將初始條件代入得f(x)=1．知識點解析：暫無解析9、設二階常系數(shù)線性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標準答案：將y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xx=cex，則有解得a=一3，b=2，c=一1，原方程為y"一3y’+2y=一ex．原方程的特征方程為λ2一3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，則y"一3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解為y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知識點解析：暫無解析10、設u==0，求f(x)．標準答案：f(r)=lnr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=lnx2．知識點解析：暫無解析11、設函數(shù)f(x)在[0，+∞)內可導，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0．(1)求f’(x)；(2)證明：當x≥0時，e-x≤f(x)≤1．標準答案：(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0，兩邊求導數(shù)，得(x+1)f"(x)=—(x+2)f’(x)→f’(x)=．再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=一1，所以C=一1，于是f’(x)=(2)當x≥0時，因為f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)一e-x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e-x=e-x≥0，由→g(x)≥0≥f(x)≥e-x(x≥0)．知識點解析：暫無解析12、設y=y(x)二階可導，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)將x=x(y)所滿足的微分方程=0變換為y=y(x)所滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標準答案：代入原方程得y"一y=sinx，特征方程為r2一1=0，特征根為r1，2=±1，因為i不是特征值，所以設特解為y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=一sinx，于是方程的通解為y=C1ex+C2e-x一sinx，由初始條件得C1=1，C2=一1，滿足初始條，件的特解為y=e-x—e-x一sinx．知識點解析：暫無解析13、設函數(shù)f(x，y)可微，，求f(x，y)．標準答案：即f(x，y)=φ(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e-xsiny．知識點解析：暫無解析14、設函數(shù)f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．將曲線y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉一周得旋轉體體積為，求：(1)f(x)；(2)f(x)的極值．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設函數(shù)f(x)滿足xf’(x)一2f(x)=一x，且由曲線y=f(x)，x=1及x軸(x≥0)所圍成的平面圖形為D．若D繞x軸旋轉一周所得旋轉體體積最小，求：(1)曲線y=f(x)；(2)曲線在原點處的切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形的面積標準答案：(1)由xf’(x)一2f(x)=一x→f’(x)一f(x)=一1→f(x)=x+cx2．設平面圖形D繞z軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V，則知識點解析：暫無解析16、位于上半平面的上凹曲線y=y(x)過點(0，2)，在該點處的切線水平，曲線上任一點(x，y)處的曲率與，求y=y(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(x，y)處的曲率為，又此曲線上的點(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線方程，并求函數(shù)y(x)的極值．標準答案：因為曲線是上凸的，所以y"＜0，由題設得因為曲線y=y(x)在點(0，1)處的切線方程為y=x+1，所以p｜x=0=1，從而y’=知識點解析：暫無解析18、飛機以勻速v沿y軸正向飛行，當飛機行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導彈向飛機飛去(x0＞0)，若導彈方向始終指向飛機，且速度大小為2v．(1)求導彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；(2)導彈運行方程．標準答案：(1)設t時刻導彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得知識點解析：暫無解析19、細菌的增長率與總數(shù)成正比如果培養(yǎng)的細菌總數(shù)在24小時內由100增長到400，求前12小時后的細菌總數(shù)．標準答案：設t時刻細菌總數(shù)為S，知識點解析：暫無解析20、某湖泊水量為V，每年排人湖泊中內含污染物A的污水量為，流入湖泊內不含A的水量為．設1999年底湖中A的含量為5m0，超過國家規(guī)定指標．為了治理污染，從2000年初開始，限定排人湖中含A污水的濃度不超過．問至多經(jīng)過多少年，湖中污染物A的含量降到m0以內(設湖中A的濃度是均勻的)?標準答案：設從2000年初開始，第t年湖中污染物A的總量為m，則濃度為，任取時間元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量為，則在此時間元素內污染物A的改變量為，令m=m0，得t=6ln3，即至多經(jīng)過7年，湖中污染物A的含量不超過m0．知識點解析：暫無解析21、在t=0時，兩只桶內各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時刻t＞0，從第二只桶內流出的水中含鹽所滿足的微分方程．標準答案：設在任意時刻t＞0，第一只桶和第二只桶內含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時間[t，t+dt]內有dm1=一=0，且滿足初始條件m1(0)=150，知識點解析：暫無解析22、某人的食量是2500卡／天，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運動中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時間變化．標準答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(1200+16w)，其中w為體重，知識點解析：暫無解析23、一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m，運動開始時鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問整個鏈條滑過釘子需要多長時間?標準答案：設鏈條的線密度為ρ，取x軸正向為垂直向下，設t時刻鏈條下垂x(t)m，則下垂那段的長度為(10+x)m，另一段長度為(8一x)m，此時鏈條受到的重力為(10+x)ρg一(8一x)ρg=2(x+1)ρg．鏈條的總重量為18ρ，由牛頓第二定理F=ma得知識點解析：暫無解析24、質量為1g的質點受外力作用作直線運動，外力和時間成正比，和質點的運動速度成反比，在t=10s時，速度等于50cm／s．外力為39．2cm／s2，問運動開始1min后的速度是多少?標準答案：知識點解析：暫無解析25、設非負函數(shù)f(x)當x≥0時連續(xù)可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x軸，y軸及過點(x，0)且垂直于x軸的直線圍成的圖形的面積與y=f(x)在[0，x]上弧的長度相等，求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設函數(shù)f(x)二階連續(xù)可導，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．標準答案：因為x∫0xf(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫0xf(tx)dt+e=0，可化為f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e1=0，兩邊對x求導得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=一1，λ2=一2，則方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解為C1e-x+C2e-2x．今f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e的一個特解為y0=axe-x，代入得a=1，則原方程的通解為f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=一1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e-2x+xe-x．知識點解析：暫無解析27、早晨開始下雪，整天不停，中午一掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點掃雪2km，到下午4點又掃雪1km，問降雪是什么時候開始的?標準答案：設單位面積在單位時間內降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車前進路程為S(t)，降雪開始時間為T，則H(t)=a(t—T)，又b×H(t)×△s=c×△t，知識點解析：暫無解析28、設A從原點出發(fā)，以固定速度v0沿y軸正向行駛，B從(x0，0)出發(fā)(x0＜0)，以始終指向點A的固定速度v1朝A追去，求B的軌跡方程．標準答案：知識點解析：暫無解析29、飛機在機場開始滑行著陸，在著陸時刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m／s)，飛機與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機運動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg．s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg．s2／m2)．設飛機的質量為m(kg)，求飛機從著陸到停止所需要的時間．標準答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxv2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2，摩擦力為W=u(mg—Ry)，由牛頓第二定律，有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設f(x)=則f{f[f(x)]}等于()．A、0B、1C、D、標準答案：B知識點解析：f[f(x)]=因為|f(x)|≤1，所以f[f(x)]=1，于是f{f[f(x)])=1，選(B)．2、函數(shù)f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函數(shù)B、單調函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標準答案：D知識點解析：顯然函數(shù)為偶函數(shù)，選(D)．3、設f(x)=，g(x)=∫0xsin2(x一t)dt，則當x→0時，g(x)是f(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價的無窮小D、等價無窮小標準答案：A知識點解析：故g(x)是f(x)的高階無窮小，應選(A)．4、當x→0+時，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、ln(1+x2)一x2B、+cosx一2C、ln(1+t2)dtD、—1—x2標準答案：C知識點解析：選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、設a＞0，且=1，則a=__________，b=__________．標準答案：1，4知識點解析：6、若當，則a=__________，b=__________．標準答案：，1知識點解析：7、=__________．標準答案：知識點解析：8、=__________．標準答案：知識點解析：9、求=__________．標準答案：e知識點解析：10、=__________．標準答案：知識點解析：11、=__________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、求．標準答案：知識點解析：暫無解析13、求下列極限：標準答案：(7)由ln(1+x)=x一+o(x2)得ln(1—2x)=一2x—2x2+o(x2)，于是arctan2x[2x+ln(1—2x)]～一2x4；知識點解析：暫無解析14、求．標準答案：知識點解析：暫無解析15、求．標準答案：知識點解析：暫無解析16、求．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求．標準答案：知識點解析：暫無解析21、求．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求．標準答案：知識點解析：暫無解析23、求．標準答案：知識點解析：暫無解析24、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析25、求．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求．標準答案：知識點解析：暫無解析27、求．標準答案：知識點解析：暫無解析28、求．標準答案：知識點解析：暫無解析29、求．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，則該微分方程為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1=λ2=1，λ3=一1，其特征方程為(λ一1)2(λ+1)=0，即λ3一λ2一λ+1=0，所求的微分方程為y"’-y"-y’+y=0，選(A)．2、設φ1(x)，φ2(x)為一階非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個線性無關的特解，則該方程的通解為()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)標準答案：C知識點解析：因為φ1(x)，φ2(x)為方程y’+P(x)y=Q(x)的兩個線性無關解，所以φ1(x)一φ2(x)為方程y’+P(x)y=0的一個解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解為C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)，選(C)．3、微分方程y"一4y=e2x+x的特解形式為()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2+cxD、axe2x+bx+c標準答案：D知識點解析：y"一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為λ1=一2，λ2=2．y"一4y=e2x的特解形式為y1=axe2x，y"一4y=x的特解形式為y2=bx+c，故原方程特解形式為axe2x+bx+c，應選(D)．4、微分方程y"一4y=x+2的通解為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：微分方程y"一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為一2，2，則方程y"一4y=0的通解為C1e-2x+C2e2x，顯然方程y"一4y=x+2有特解，選(D)．二、填空題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)5、微分方程y’+ytanx=cosx的通解為_________．標準答案：知識點解析：6、設f(x)在[0，+∞)上非負連續(xù)，且，則f(x)=_______．標準答案：f(x)=2x知識點解析：7、設Y=y(x)可導，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且，其中a是當△x→0時的無窮小量，則y(x)=_________．標準答案：知識點解析：8、標準答案：知識點解析：9、微分方程y2dx+(x2一xy)dy=0的通解為________．標準答案：知識點解析：10、連續(xù)函數(shù)f(x)滿足，則f(x)=________．標準答案：2e3x知識點解析：11、微分方程(2x+3)y"=4y’的通解為_________．標準答案：知識點解析：12、yy"=1+y’2滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=0的解為________．標準答案：知識點解析：13、設y=y(x)過原點，在原點處的切線平行于直線y=2x+1，又y=y(x)滿足微分方程y"一6y’+9y=e3x，則y(x)=_______．標準答案：知識點解析：14、微分方程2y"=3y2滿足初始條件y(-2)=1，y’(一2)=1的特解為_______．標準答案：知識點解析：15、微分方程的通解為________．標準答案：ln｜x｜+C知識點解析：16、設二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，則Q(x)=_________，該微分方程的通解為_________．標準答案：Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，y=C1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))．知識點解析：顯然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12，即特征方程為λ2+λ一12=0，特征值為λ1=一4，λ2=3．因為x2+3x+2為特征方程y"+y’一12y=Q(x)的一個特解，所以Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，且通解為y=C1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))．17、以y=C1e-2x+C2ex+cosx為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為________。標準答案：y"+y’一2y=一sinx一3cosx．知識點解析：特征值為λ1=一2，λ2=1，特征方程為λ2+λ一2=0，設所求的微分方程為y"+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=一sinx一3cosx，所求微分方程為y"+y’一2y=一sinx一3cosx．18、設y"一3y’+ay=一5e-x的特解形式為Axe-x，則其通解為__________．標準答案：Y=C1e-x+C2e4x+xe-x．知識點解析：因為方程有特解Axe-x，所以一1為特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0→a=一4，所以特征方程為λ2一3λ一4=0→λ1=一1，λ2=4，齊次方程y"一3y’+ay=0的通解為y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解為Y=C1e-x+C2e4x+xe-x．19、設f(x)連續(xù)，且，則f(x)=_________．標準答案：f(x)=e-x知識點解析：三、解答題(本題共34題，每題1.0分，共34分。)20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、求微分方程xy"+2y’=ex的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、求微分方程的滿足初始條件y(1)=0的解．標準答案：知識點解析：暫無解析24、求微分方程(y—x3)dx一2xdy=0的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析25、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求微分方程的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析27、求微分方程滿足初始條件y(e)=2e的特解．標準答案：知識點解析：暫無解析28、求微分方程x2y’+xy=y2滿足初始條件y(1)=1的特解．標準答案：知識點解析：暫無解析29、求微分方程(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=0的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、求微分方程的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析32、設y=ex為微分方程xy’+P(x)y=x的解，求此微分方程滿足初始條件y(1n2)