考研數學（數學三）模擬試卷1（共208題）

考研數學（數學三）模擬試卷1（共9套）（共208題）考研數學（數學三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)＝則f(x)在點x＝0處()．A、極限不存在B、極限存在但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導D、可導標準答案：C知識點解析：應利用下列結論判別之．設則當α＞0時，f(x)在x＝0處連續(xù)；當α＞1時f(x)在x＝0處可導．當a＞β＋1時，f(x)的導函數在x＝0處連續(xù)．由上述結論知α＝1／2＞0，因而f(x)在x＝0處連續(xù)但不可導．僅(C)入選．2、已知函數在(一∞，＋∞)內連續(xù)可導，則()．A、a＝2，b＝3B、a＝－2，b＝－3C、a＝3，b＝2D、a＝－3，b＝－2標準答案：A知識點解析：下面介紹一個簡化左、右導數計算的方法：(1)設f(x)在[x0，x0＋δ](δ＞0)上連續(xù)，在(x0，x0＋δ)內可導，且f′(x)存在，則f′(x)；(2)設f(x)在[x0－δ，x0](δ＞0)上連續(xù)，在(x0－δ，x0)內可導，且f′(x)存在，則f′(x)．可用上法求之，也可用左、右導數定義求出a、b．因f(x)在x＝0處可導，故(0)，即a＝2．又因f(x)在x＝0處連續(xù)，故f(0＋0)＝f(0－0)，即故3＝b．僅(A)入選．3、dx＝()．A、1／e一1B、1—1／eC、2／eD、2(1—1／e)標準答案：D知識點解析：為去掉根號，需分區(qū)間積分．4、方程y″－3y′＋2y＝excos2x的特解形式y(tǒng)*＝()．A、Aexcos2xB、xex(Acosx＋Bsin2x)C、ex(Acos2x＋Bsin2x)D、x2ex(Acos2x＋Bsin2x)標準答案：C知識點解析：先求出其特征根，再考察1±2i是否是其特征根．因f(x)＝excos2x，λ＝1，ω＝2，需考察1±2i是否是特征方程的根．因特征方程r2一3r＋2＝0的根為r1＝2，r2＝1，故1±2i不是它的根．其特解形式為y*＝ex(Acos2x＋Bsin2x)．僅(C)入選．5、設A是m×n矩陣，齊次線性方程組AX＝0，r(A)＝n—5，α1，α2，α3，α4，α5是該方程組5個線性無關的解向量，則方程組AX＝0的一個基礎解系是()．A、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α5，α5＋α1B、α1－α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α5，α5＋α1C、α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4＋α5，α5＋α1D、α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α5，α5－α1標準答案：A知識點解析：上述各選擇項中的向量均為AX＝0的解向量，這是顯然的．關鍵要確定哪一組向量線性無關．可利用下述結論觀察求出：已知向量組α1，α2，…，αs(s≥2)線性無關．設β1＝α1±α2，β2＝α2±α3，…，βs－1＝αs－1±αs，βs＝αs±α1其中s為向量組中的向量個數．又設上式中帶負號的向量個數為k，則(1)當s與k的奇偶性相同時，向量組β1，β2，…，βr線性相關；(2)當x與k的奇偶性相反時，向量組β1，β2，…，βr線性無關．解一本題中s＝5(奇數)，只有(A)中向量組帶負號的個數k＝0(偶數)，由上述結論即知(A)中向量組線性無關，因而它們?yōu)锳X＝0的一個基礎解系．僅(A)入選．而(B)、(C)、(D)中向量組帶負號的個數分別為k＝1，k＝3，k＝5，均為奇數，與s的奇偶性相同，故它們均分別線性相關．解二由線性相關的定義易知，選項(D)中向量組線性相關．因(α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α4)＋(α4－α5)＋(α5－α1)＝0，至于(B)、(C)中的向量組也可用矩陣表示法證明線性相關．例如對于(B)，有[α1－α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α5，α5＋α1]＝[α1，α2，α3，α4，α5]＝1.1.1+(一1).1.1+0—0—0—0＝0．而＝1.1.1＋(－1).1.1＋0－0－0－0＝0，故選項(B)中向量組線性相關．同理，可證選項(C)中向量組也線性相關．6、已知A，B為三階矩陣，且有相同的特征值1，2，2，則下列命題：①A，B等價；②A，B相似；③若A，B為實對稱矩陣，則A，B合同；④行列式｜A一2E｜＝｜2E—A｜中；命題成立的有()．A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：C知識點解析：要充分利用特征值的作用，它可以確定矩陣的秩，可以確定矩陣的行列式．利用這些可檢驗上述諸命題．由題設知A，B的秩相同，r(A)＝r(B)＝3，因此A，B等價；若A，B為實對稱矩陣，則其正負慣性指數相同，從而A，B合同；矩陣A－2E與2E－A均有一個特征值為零，故行列式｜A一2E｜＝｜2E一A｜＝0．但由A，B有相同的特征值，推導不出A，B相似．故僅(C)入選．7、設隨機事件A和B滿足關系式，則必有()．A、A∪B＝ΩB、AB＝C、A—B＝D、＝Ω標準答案：C知識點解析：利用事件的運算性質(摩根律等)判別．由得到故僅(C)入選．8、設總體X～N(μ，σ2)，其中μ已知，σ2＞0為未知參數，X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，則σ2的置信度為1一α的置信區(qū)間為()．A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：μ已知，找出服從χ分布的統(tǒng)計量，再利用置信度的定義，列出關系式，解出σ2所滿足的不等式即為所求．由于μ已知，取統(tǒng)計量于是由置信度的含義得到故σ2的置信度為1－α的置信區(qū)間為選項(D)中的區(qū)間．僅(D)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝___________．標準答案：知識點解析：先將分子有理化，再利用無窮小等價代換或直接用洛必達法則求之·解一解二原式＝這里直接用到等價無窮小代換tanx－sinx～x3／2(x→0)．10、由曲線x2＋(y－2a)2≤a2所圍成平面圖形繞x軸旋轉得到的旋轉體體積等于__________．標準答案：4π2a3知識點解析：按x軸上的曲邊梯形繞x軸旋轉所得旋轉體體積公式計算即可．Vx＝2dx＝16πa.πa2＝4π2a3．其中y1＝2a＋．11、已知f′(x)＝arctan(x－1)2，f(0)＝0，則f(x)dx＝___________．標準答案：知識點解析：利用題設將f(x)化為變限積分，從而將所求定積分化為二重積分求之．因為被積函數的導數已知，也可直接用分部積分法求之．f(x)＝f(x)一f(0)＝f′(t)dt＝arctan(t一1)2dt，則arctan(t－1)2dt]dx＝arctan(t－1)2dtdx，其中積分區(qū)域(見右圖)為D＝｛(t，x)｜0≤t≤x，0≤x≤1｝．交換上述二重積分的積分次序得到12、設z＝z(u)，且u＝φ(u)＋P(t)dt，其中z(u)為可微函數，且φ′(u)連續(xù)，φ′(u)≠1，P(t)連續(xù)，則p(y)＝__________．標準答案：0知識點解析：給出隱函數u及其自變量x，y所滿足的等式，為求有關偏導數，常利用此式設出輔助函數F(x，y，u)＝0，再利用有關公式求出相關的偏導數設F(x，y，u)＝u－φ(u)－p(t)dt，則Fu＝1—φ′(u)，Fx＝－p(x)，Fy＝一[一p(y)]＝p(y)，13、A，B均是n階矩陣，且A2一2AB＝E，則秩r(AB－BA＋A)＝___________．標準答案：n知識點解析：利用可逆矩陣性質：由A(A一2B)＝E，得到(A一2B)A＝E，從而AB＝BA．由于A(A一2B)＝E，且A，A一2B均是n階矩陣知，A可逆，且A一2B是A的逆矩陣，故A(A一2B)＝(A一2B)A＝E，即A2一2AB＝A2一2BA，可見AB＝BA，從而r(AB—BA＋A)＝r(A)＝n．14、設X，Y為相互獨立的隨機變量，且X～N(1，2)，Y服從參數λ＝3的泊松分布，則D(XY)＝__________．標準答案：27知識點解析：利用公式D(XY)＝E(XY)2一[E(XY)]2求之．由題設易知E(X)＝1，D(X)＝2，E(y)＝D(y)＝3．因D(XY)＝E(XY)2一[E(XY)]2＝E(X2Y2)一[E(XY)]2，又X，Y獨立，故有E(X2Y2)＝E(X2)E(Y2)，E(XY)＝E(X)E(Y)＝1×3＝3．于是E(X2Y2)＝E(X2)E(Y2)＝[D(X)＋(E(X))2][D(Y)＋(E(Y))2]＝3×12＝36．故D(XY)＝E(X2Y2)一[E(XY)]2＝36—9＝27．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、已知an＝x2(1一x)ndx，證明級數an收斂，并求這個級數的和．標準答案：由式②得收斂，故正項函數an收斂．又由式②與式①得到故所以該級數收斂，其和為．知識點解析：先求出an的分式表示式，再證明其部分和有極限．求出此極限也就求出了該級數的和．其中，可利用公式(x一a)n(b一x)mdx簡化求出an的分式表示式．16、某工廠生產甲、乙兩種產品，當這兩種產品的產量分別為x和y(單位：噸)時的總效益函數為R(x，y)＝15x＋34y—x2一2xy一4y2一36(單位：萬元)．已知生產甲種產品每噸需支付排污費用1萬元，生產乙種產品每噸需支付排污費2萬元．(1)在不限制排污費用支出的情況下，這兩種產品的產量各為多少時總利潤最大?最大總利潤是多少?(2)當限制排污費用總量為6萬元時，這兩種產品的產量各為多少時總利潤最大?最大總利潤又是多少?標準答案：(1)扣除排污費用后即得總利潤函數：L(x，y)＝R(x，y)－x－2y＝14x＋32y－x2一2xy－4y2一36．令解得x＝4，y＝3是唯一駐點．因駐點唯一，且實際問題又存在最大值，故L(x，y)的最大值必在駐點(4，3)達到，所以當甲、乙兩種產品的產量分別為4噸和3噸時，可獲得最大利潤，且最大利潤為maxL＝14×4＋32×3—42一2×4×3—4×32一36＝40(萬元)．(2)由題設知，應在條件x＋2y＝6下求L(x，y)的最大值．構造拉格朗日函數：F(x，y，λ)＝L(x，y)＋λ(x＋2y－6)令解得x＝2，y＝2，λ＝－6．因駐點(2，2)唯一，且實際問題又存在最大值，故L(x，y)在條件x＋2y＝6下的最大值必在駐點(2，2)處達到．所以，當甲、乙兩種產品均是2噸時，可獲得最大利潤：maxL＝14×2＋32×2—22一2×2×2—4×22一36＝28(萬元)．知識點解析：列出總利潤函數的表示式，然后分別按無條件極值和有條件極值求之．17、求微分方程y″＋4y＝sin2x滿足條件y(0)＝0，y′(0)＝1的特解．標準答案：可求得特征方程r2＋4＝0，得r＝2i．于是方程對應齊次方程通解為Y＝C1cos2x＋C2sin2x．又設非齊次方程的特解為y*＝x(Acos2x＋Bsin2x)，代入方程，有A＝一，B＝0．故原方程的通解為y＝Y＋y*＝C1cos2x＋C2sin2x－xcos2x．將條件y(0)＝0，y′(0)＝1代入，得C1＝0，C2＝．故滿足條件的特解為，y＝xcos2x．知識點解析：先求特征方程的根，再確定特解的形式．求出通解后，使用初始條件求出所要求的特解．18、函數f(x)在[0，＋∞)上可導，且f(0)＝1，滿足等式f′(x)＋f(x)一f(t)dt＝0．(1)求導數f′(x)；(2)證明：當x≥0時，成立不等式e－x≤f(x)≤1．標準答案：(1)整理后有等式(x＋1)f′(x)＋(x＋1)f(x)一f(t)dt＝0，求導得到(x＋1)f″(x)＋(x＋2)f′(x)＝0．設u(x)＝f′(x)，則兩邊積分得到lnu(x)＝一x—ln(x＋1)＋lnC，u(x)＝即(2)由f′(x)＝一e－x①且x≥0，則有不等式一e－x≤一e－x≤0兩邊在[0，x]上積分，利用式①有e－x一1≤f(x)一f(0)≤0，即有不等式e－x≤f(x)≤1．知識點解析：先在所給等式兩邊求導得到f(x)的二階微分方程．為求f′(x)，視f′(x)為因變量，化為一階微分方程而求之．求出f′(x)的表示式后再放縮化為不等式，最后積分即可得到f(x)的不等式．19、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且在(a，b)內可微，又對于(a，b)內的x，有g′(x)≠0，則在(a，b)內存在一個ξ，使標準答案：令F(x)＝[f(x)－f(a)][g(b)一g(x)]．下面對F(x)驗證其滿足羅爾定理的全部條件，顯然有F(a)＝0，F(b)＝0．又F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，由羅爾定理知，存在ξ∈(a，b)，使F′(ξ)＝0，即f′(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)－f(a)]g′(ξ)＝0．由g′(ξ)≠0得到知識點解析：先找出輔助函數F(x)．下面用湊導數法求之．將待證等式中的ξ改為x，式f′(x)[g(b)一g(x)]一g′(x)[f(x)－f(a)]＝0，②即[f(x)一f(a)]′[g(b)一g(x)]＋[f(x)一f(a)].[g(b)一g(x)]′＝0，亦即{[f(x)f(a)][g(b)一g(x)]}′＝0因而應作F(x)＝[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．20、設有Am×n，Bn×m，已知En－AB可逆，證明En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A．標準答案：(En－BA)[En＋B(En－AB)－1A]＝En－BA＋B(En－AB)－1A－BAB(En－AB)－1A＝En－BA＋(B—BAB)(En－AB)－1A＝EnBA＋B(En－AB)(En－AB)－1A＝En－BA＋BA＝En．故En－BA可逆，且(En－BA)－1＝En＋B(En－AB)－1A知識點解析：只需證[En一BA][En＋B(En一BA)－1A]＝E．21、設矩陣A與B相似，且(1)求a，b的值；(2)求可逆矩陣P，使P－1AP＝B．標準答案：(1)首先將A的特征多項式分解成λ的因式的乘積．為此將｜λE一A｜中不含λ的某素消成零，使其所在的列(或行)產生λ的一次因式．＝(λ一2)[λ2一(a＋3)λ＋3(a－1)]．因B的3個特征值為2，2，b，由A～B可知，A與B有相同的特征值，故A的特征值為λ1＝λ2＝2，λ3＝b．由于2是A的二重特征值，故2是方程λ2一(a＋3)λ＋3(a－1)＝0的根．把λ1＝2代入上式即得a＝5，因而有｜λE－A｜＝(λ－2)(λ2一8λ＋12)＝(λ－2)2(λ一6)．于是b＝λ3＝6．(2)解線性方程組(2E—A)X＝0，(6E—A)X＝0分別得到對應于λ1＝λ2＝2，λ3＝6的特征向量α1＝[1，一1，0]T，α2＝[1，0，1]T；α3＝[1，一2，3]T令P＝[α1，α2，α3]，有P－1AP＝B，于是P＝[α1，α2，α3]即為所求．知識點解析：先求出A的3個特征值λ1，λ2，λ3，再分別求出A的對應于λi的特征向量αi(i＝1，2，3)，則可求出可逆矩陣P＝[α1，α2，α3]．22、設隨機變量X～N(0，1)，求Y＝e3X＋1的概率密度．標準答案：因X～N(0，1)，故X的概率密度為φ(x)＝e－x2／2，一∞＜x＜＋∞．因Y＝e3X＋1，故y＝e3x＋1為單調增加函數．而故y的概率密度函數為知識點解析：若X的概率密度為fX(x)，隨機變量Y＝φ(X)的概率密度fY(y)的求法如下．(1)若φ′(x)＞0即y＝φ(x)為單調增加函數，則fY(y)＝fX[φ－1(y)][φ－1(y)]′，其中x＝φ－1(y)是y＝φ(x)的反函數．(2)若φ′(x)＜0即y＝φ(x)為單調減少函數，則fY(y)＝－fX[φ－1(y)][φ－1(y)]′，其中x＝φ－1(y)為y＝φ(x)的反函數．上述兩種情況可合并為fY(y)＝fX[φ－1(y)][φ－1(y)]′｜．23、保險公司為50個集體投保人提供醫(yī)療保險．假設他們醫(yī)療花費相互獨立，且花費(單位：百元)服從相同的分布律當花費超過一百元時，保險公司應支付超過百元的部分；當花費不超過一百元時，由患者自己負擔費用．如果以總支付費X的期望值E(X)作為預期的總支付費，那么保險公司應收取總保險費為(1＋θ)E(X)，其中θ為相對附加保險費．為使公司獲利的概率超過95％，附加保險費θ至少應為多少？(已知Ф(1．41)＝0．92，Ф(1．62)＝0．95)標準答案：假設第i個設保人員醫(yī)療花費為那么保險公司支付第i個人的費用為Xi獨立同分布，且E(Xi)＝0×0．5＋0．5×0．4＋2×0．1＝0．4，E()＝0×0．5＋(0．5)2×0．4＋22×0．1＝0．5，D(Xi)＝E()一[E(Xi)]2＝0．5一(0．4)2＝0．34．總支付費用為X＝Xi，E(x)＝50×0．4＝20，D(x)＝50×0．34＝17．由獨立同分布中心極限定理知，X近似服從正態(tài)分布N(20，17)．依題意知，附加保險費θ應使P((1＋θ)E(X)一X≥0)≥0．95，即已知Ф(1．62)＝0．95，Ф(x)為x的單調函數，所以θ應滿足＝0．33，即θ至少取0．33．知識點解析：首先要弄清題意，分析題中變量之間的關系及各變量所服從的分布，當分布未知時，注意中心極限定理的應用．考研數學（數學三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若(an+1一an)()．A、收斂且其和為0B、收斂且其和為aC、收斂且其和為a一a1D、發(fā)散標準答案：C知識點解析：利用級數收斂的定義求之．求部分和Sn的極限前要先化簡Sn．因為(an+1一an)=(a2一a1)+(a3一a2)+(a4一a3)+…，其部分和Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1，由題設有(an+1一a1)=a一a1，故由級數收斂的定義知，該級數收斂且其和為a一a1，僅(C)入選．2、設函數f(x)三階可導，且滿足f"(x)+[f’(x)]2=x，又f’(0)=0．則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由于將x=0代入所給方程，得到f"(0)=0，不能用二階導數判別法判別拐點的存在，下面用三階導數判別之．將x=0代入所給方程，得到f"(0)=0．在所給方程兩端對x求導，得到f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，則f"’(0)=1一0=1＞0．由極限的保號性知f"(x)在x=0的左、右兩側異號，故(0，f(0))為f(x)的拐點，僅(C)入選．3、設D={(x，y)|x2+y2＜R2}，則sin(x一y)dxdy=()．A、0B、1C、πD、∞標準答案：A知識點解析：因D關于x軸及關于y軸均具有對稱性，應注意考查被積函數的奇偶性，盡量使用對稱性及奇偶性簡化計算．因D關于y軸對稱，而sinxcosy關于x為奇函數，故同理，因D關于x軸對稱，而cosxsiny關于y為奇函數，故僅(A)入選，若積分區(qū)域D關于y軸(或x軸)對稱，且f(x，y)關于x(或關于y)為奇函數，當f(x，y)在D上連續(xù)時，必有4、差分方程yt一2yt一1=b(b為常數)的通解是()．A、yt=A2t+bB、yt=2t一bC、yt=A(一2)t+bD、yt=A2t一b標準答案：D知識點解析：所給差分方程視為yt一2yt一1=b．1t．因2≠1(特征根不等于底數)，故其特解形式為yt*=C(C為待定常數)，代入差分方程即得C一2C=b，C=一b，故yt*=一b．易知其齊次方程的通解為又yt*=一b，故其通解為yt=yt+yt*=A．2t一b，其中A為任意常數，僅(D)入選．5、A是n階矩陣，下列命題中錯誤的是()．A、若A2=E，則一1必是A的特征值B、若秩(A+E)＜n，則一1必是A的特征值C、若A中各列元素之和均為一1，則一1必是A的特征值D、若A是正交矩陣，且特征值乘積小于0，則一1也必是A的特征值．標準答案：A知識點解析：利用特征值定義討論之．對于具有特殊性質的矩陣，要靈活運用特征值定義。一對于(A)，若A2=E，A的特征值的取值范圍是±1，但并不保證A必有特征值1或一1，例如可見(A)不正確，僅(A)入選．6、設隨機變量X1～N(0，1)，X2～B(1，1/2)，X3服從于參數為λ=1的指數分布．設則矩陣A一定是()．A、可逆矩陣B、不可逆矩陣C、正定矩陣D、反對稱矩陣標準答案：A知識點解析：先根據隨機變量Xi(1=1，2，3)的分布求出期望E(Xi)、E(Xi2)與方差D(Xi)．因E(X1)=0，D(X1)=1，E(X12)=D(X1)+E2(X1)=1，E(X2)=np=1．(1/2)=1/2，D(X2)=np(1一p)=1．(1/2)(1/2)=1/4，E(X22)=D(X2)+E2(X2)=1/4+1/4=1/2，E(X3)=1，D(X3)=1，E(X32)=D(X3)+E2(X3)=2，故A為可逆矩陣，所以僅(A)入選．7、對任意兩個隨機事件A，B，已知P(A一B)=P(A)，則下列等式不成立的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：利用事件的運算法則及全集分解公式判別之．全集分解公式如下：由P(A—B)=P(A)一P(AB)=P(A)可知P(AB)=0．(A)中左端P(A—B)=P(A)一P(AB)=P(A)，故(C)不成立．僅(C)入選．8、已知隨機變量X，Y，Z相互獨立，且X～N(μ，σ2)，P(X＜0)=0．2，則P(μ＜5X+4Y一3Z＜7μ)=()．A、0．3B、0．4C、0．5D、0．6標準答案：A知識點解析：利用題設條件先求出隨機變量函數5X+4Y一3Z的正態(tài)分布，再利用標準正態(tài)分布及P(X＜0)=0．2，求出所求概率．由于X，Y，Z是相互獨立的正態(tài)隨機變量，因此5X+4Y一3Z也是正態(tài)隨機變量．又E(5X+4Y一32)=5E(X)+4E(Y)一3E(Z)=5μ一4μ=μ，D(5X+4Y一32)=25D(X)+16D(Y)+9D(Z)=25σ2+16(σ2/2)+9(σ2/3)=36σ2，所以5X+4Y一3Z～N(μ，36σ2)．=0．8一0．5=0．3．僅(A)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、積分∫一55|x2—2x一3|dx=________．標準答案：知識點解析：先將被積函數寫成分段函數的形式，然后再分段積分．|x2一2x一3|—|(x+1)(x一3)|=原式=∫一5一1(x2一2x一3)如+∫一13(一x2+2x+3)dx+∫35(x2一2x一3)dx10、已知z=uυ，u=則dz=________．標準答案：知識點解析：依照復合函數求導法求之．11、微分方程y"+4y=2x2在原點處與y=x相切的特解是________．標準答案：知識點解析：先求出特征根，再設出特解形式，代入原方程求之．原方程所對應齊次方程的特征方程為r2+4=0，解得r1．2=±2i．故齊次方程通解為Y=c1cos2x+c2sin2x．設y*=ax2+bx+c是原方程的一個特解，代入原方程，比較兩邊系數可得故原方程的通解為y=Y+y**=c1cos2x+c2sin2x+由初始條件y|x=0=0，y’|x=0=1，可得c1=于是，所求的特解為12、設A*為A的伴隨矩陣，矩陣B滿足A*B一A一1+2B，則B=________．標準答案：知識點解析：先將所給的矩陣方程化為以B為因子矩陣的方程，為此，先在方程兩邊左乘A以消去A*。在方程A*B=A一1+2B兩邊左乘A得到AA*B=|A|B=E+2AB，即(|A|E一2A)B=E，故B=(|A|E一2A)一1．易求得|A|=4，則13、已知三階方陣A的三個特征值為1，一1，2，相應特征向量分別為則P一1AP=________．標準答案：C知識點解析：同一個特征值的特征向量的線性組合仍為該特征值的特征向量，P中向量的次序應與對角陣中對應的特征值的次序一致．據此確定選項．注意β1==2α1，β2==一2α2，β3==2α3仍分別為特征值1，一1，2的特征向量，故P一1AP=僅(C)入選．14、設X1，X2，…，X7為來自總體X～N(0，1)的簡單隨機樣本，隨機變量Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，則當C=________時，服從參數為________的t分布．標準答案：；2．知識點解析：利用t分布的典型模式求之．由Xi～N(0，1)和χ2分布的典型模式CY=C[(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2]應服從參數為2的χ2分布：這是因為X1+X2+X3～N(0，3)，同法，可得又X1+X2+X3與X4+X5+X6相互獨立，故又X7～N(0，1)，所以其中C=參數為n=2．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、將函數f(x)=在x=0處展成冪級數．標準答案：所給函數的分母和分子均為多項式，為將其展為x的冪級數，應先將其化為的形式，再按等比級數展開之．另外，也可將函數變形，化為已知其展開式的函數的代數和簡化求之．知識點解析：暫無解析16、某工廠生產甲、乙兩種產品，當這兩種產品的產量分別為x和y(單位：噸)時的總效益函數為R(x，y)=15x+34y一x2一2xy一4y2一36(單位：萬元)．已知生產甲種產品每噸需支付排污費用1萬元，生產乙種產品每噸需支付排污費2萬元．(1)在不限制排污費用支出的情況下，這兩種產品的產量各為多少時總利潤最大？最大總利潤是多少？(2)當限制排污費用總量為6萬元時，這兩種產品的產量各為多少時總利潤最大？最大總利潤又是多少？標準答案：(1)扣除排污費用后即得總利潤函數：L(x，y)=R(x，y)一x一2y=一14x+32y一x2—2xy一4y2一36．令解得x=4，y=3是唯一駐點．因駐點唯一，且實際問題又存在最大值，故L(x，y)的最大值必在駐點(4，3)達到，所以當甲、乙兩種產品的產量分別為4噸和3噸時，可獲得最大利潤，且最大利潤為maxL=14×4+32×3一42一2×4×3一4×32一36=40(萬元)．(2)由題設知，應在條件x+2y=6下求L(x，y)的最大值．構造拉格朗日函數：解得x=2，y=2，λ=一6．因駐點(2，2)唯一，且實際問題又存在最大值，故L(x，y)在條件x+2y=6下的最大值必在駐點(2，2)處達到．所以，當甲、乙兩種產品均是2噸時，可獲得最大利潤：maxL=14×2+32×2一22一2×2×2一4×22一36=28(萬元)．知識點解析：列出總利潤函數的表示式，然后分別按無條件極值和有條件極值求之．17、求微分方程y"+4y=sin2x滿足條件y(0)=0，y’(0)=1的特解．標準答案：可求得特征方程r2+4=0，得r=2i．于是方程對應齊次方程通解為Y=C1cos2x+C2sin2x．又設非齊次方程的特解為y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入方程，有故原方程的通解為y=Y+y*=C1cos2x+C2sin2x一將條件y(0)=0，y’(0)=1代入，得C1=0，C2=故滿足條件的特解為知識點解析：先求特征方程的根，再確定特解的形式，求出通解后，使用初始條件求出所要求的特解。18、函數f(x)在[0，+∞)上可導，且f(0)=1，滿足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0．(1)求導數f’(x)；(2)證明：當x≥0時，成立不等式e一x≤f(x)≤1．標準答案：(1)整理后有等式(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0，求導得到(x+1)f"(x)+(x+2)f’(x)=0．設u(x)=f’(x)，則兩邊積分得到lnu(x)=一x一ln(x+1)+lnC，由f(0)=1，得f’(0)=一1代入u(x)可得C=一1．兩邊在[0，x]上積分，利用式①有e一x一1≤f(x)一f(0)≤0，即有不等式e一x≤f(x)≤1．知識點解析：先在所給等式兩邊求導得到f(x)的二階微分方程，為求f’(x)，視f’(x)為因變量，化為一階微分方程而求之．求出f’(x)的表示式后再放縮化為不等式，最后積分即可得到f(x)的不等式．19、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且在(a，b)內可微，又對于(a，b)內的x，有g’(x)≠0，則在(a，b)內存在一個ξ，使標準答案：先找出輔助函數F(x)．下面用湊導數法求之．將待證等式中的ξ改為x，式①化為f(x)[g(b)一g(x)]一g’(x)[f(x)一f(a)]=0，②即[f(x)一f(a)]’[g(b)一g(x)]+[f(x)一f(a)]．[g(6)一g(x)]’=0，亦即{[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)])’一0．因而應作F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．令F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．下面對F(x)驗證其滿足羅爾定理的全部條件，顯然有F(a)=0，F(b)=0．又F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，由羅爾定理知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)一f(a)]g’(ξ)=0．由g’＜(ξ)≠0得到知識點解析：暫無解析20、設有Am×n，Bm×n，已知En一AB可逆，證明En一BA可逆，且(En一BA)一1=En+B(En一AB)一1A．標準答案：(En一BA)[En+B(En一AB)一1A]=En一BA+B(En一AB)一1A一BAB(En一AB)一1A=En一BA+(B—BAB)(En一AB)一1A=En一BA+B(En一AB)(En一AB)一1A=En一BA+BA=En．故En一BA可逆，且(En一BA)一1=E+B(En一AB)一1A．知識點解析：只需證[En一BA][En+B(En一BA)一1A]=E．21、設矩陣A與B相似，且(1)求a，b的值；(2)求可逆矩陣P，使P一1AP=B．標準答案：(1)首先將A的特征多項式分解成λ的因式的乘積．為此將|λE一A|中不含λ的某元素消成零，使其所在的列(或行)產生λ的一次因式。=(λ一2)[λ2一(a+3)λ+3(a一1)]．因B的3個特征值為2，2，6，由A～B可知，A與B有相同的特征值，故A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=b．由于2是A的二重特征值，故2是方程λ2一(a+3)λ+3(a一1)=0的根，把λ1=2代入上式即得a=5，因而有|λE一A|=(λ一2)(λ2一8λ+12)=(λ一2)2(λ一6)．于是b=λ3=6．(2)解線性方程組(2E一A)X=0，(6E一A)X=0分別得到對應于λ1=λ2=2，λ3=6的特征向量α1=[1，一1，0]T，α2=[1，0，1]T；α3=[1，一2，3]T，易驗證α1，α2，α3線性無關．令P=[α1，α2，α3]，有P一1AP=B，于是P=[α1，α2，α3]即為所求．知識點解析：先求出A的3個特征值λ1，λ2，λ3，再分別求出A的對應于λi的特征向量αi(i=1，2，3)，則可求出可逆矩陣P=[α1，α2，α3]．22、設隨機變量X～N(0，1)，求y=e3X+1的概率密度．標準答案：若X的概率密度為fX(x)，隨機變量Y=φ(X)的概率密度fY(y)的求法如下．(1)若φ’(x)＞0即y=φ(x)為單調增加函數，則fY(Y)=fX[φ一1(y)][φ一1(y)]’，其中X=φ一1(y)是y=φ(x)的反函數．(2)若φ’(x)＜0即y=φ(x)為單調減少函數，則fY(y)=一fX[φ一1(y)][φ一1(y)]’，其中x=φ一1(y)為y=φ(x)的反函數．上述兩種情況可合并為fY(y)=fX[φ一1(y)]|[φ一1(y)]’]．因X～N(0，1)，故X的概率密度為一∞＜x＜+∞．因Y=e3X+1，故y=e3x+1為單調增加函數．而故Y的概率密度函數為知識點解析：暫無解析23、保險公司為50個集體投保人提供醫(yī)療保險．假設他們醫(yī)療花費相互獨立，且花費(單位：百元)服從相同的分布律當花費超過一百元時，保險公司應支付超過百元的部分；當花費不超過一百元時，由患者自己負擔費用．如果以總支付費X的期望值E(X)作為預期的總支付費，那么保險公司應收取總保險費為(1+θ)E(X)，其中θ為相對附加保險費．為使公司獲利的概率超過95％，附加保險費θ至少應為多少？(已知Ф(1．41)=0．92，Ф(1．62)=0．95)標準答案：假設第i個設保人員醫(yī)療花費為那么保險公司支付第i個人的費用為Xi獨立同分布，且E(Xi)=0×0．5+0．5×0．4+2×0．1=0．4，E(Xi2)=0×0．5+(0．5)2×0．4+22×0．1=0．5，D(Xi)=E(Xi2)一[E(Xi)]2=0．5一(0．4)2=0．34．總支付費用為E(X)=50×0．4=20，D(X)=50×0．34=17．由獨立同分布中心極限定理知，X近似服從正態(tài)分布N(20，17)．依題意知，附加保險費θ應使P((1+θ)E(X)一X≥0)≥0．95，已知Ф(1．62)=0．95，Ф(x)為x的單調函數，所以θ應滿足即θ至少取0．33．知識點解析：首先要弄清題意，分析題中變量之間的關系及各變量所服從的分布，當分布未知時，注意中心極限定理的應用．考研數學（數學三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)=則f(x)的可去間斷點的個數為()．A、1B、2C、3D、0標準答案：C知識點解析：先找出f(x)的間斷點，再用可去間斷點的下述定義判別其個數，若f(x0+0)=f(x0一0)即f(x)在x=x0處極限存在，但其極限值不等于在該點的函數值，則該點為可去間斷點．顯然，x=0，1，一1為f(x)的間斷點，即f(x)在x=0，一1，1處的極限均存在，且f(x)在這些點處又無定義，故x=0，一1，1均為f(x)的可去間斷點．僅(C)入選．2、設f(x)在x=0處3階可導，且f’(0)=0，f"(0)=0，f"(x)＞0，則()．A、x=0是f(x)的極小值點B、x=0是f(x)的極大值點C、在點(0，f(0))的左、右鄰域曲線y=f(x)分別為凹與凸D、在點(0，f(0))的左、右鄰域曲線y=f(x)分別為凸與凹標準答案：D知識點解析：利用泰勒展開式及相關概念的定義判別之．由泰勒公式及題設得到f(x)=f(0)+f’(0)x+f""(0)x3+o(x3)，f(x)一f(0)=f"(0)x3+o(x3)．故當|x|充分小且x＜0時，f(x)一f(0)＜0；當x＞0時，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是極值，排除(A)、(B)．又將f"(x)按皮亞諾余項展開，有f"(x)=f"(0)+f""(0)z+o(x)=f""(0)x+o(x)．當|x|充分小且x＜0時，f"(x)＜0(因f""(0)＞0)，故曲線y=f(x)在點(0，f(0))的左側鄰域為凸．當x＞0時，因f""(0)＞0，故f"(x)＞0，則曲線y=f(x)在點(0，f(0))的右側鄰域為凹．僅(D)入選．3、函數f(x)=|x3+x2—2x|arctanx的不可導點的個數是()．A、3B、2C、1D、0標準答案：B知識點解析：利用下述判別法判別．設f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a處連續(xù)．若φ(a)=0，則f(x)在x=a處可導且f’(a)=φ(a)=0；若φ(a)≠0，則f(x)在x=a處不可導．為此，常將函數中含絕對值部分的子函數分解為一次因式|x一a|的乘積。因f(x)可分解成f(x)=|x(x2+x一2)larctanx=|x(x+2)(x一1)|arctanx=|x||x+2||x一1|arctanx．顯然arctanx在x=0，一2，1處連續(xù)．因|x||x+2||x一1||arctanx=|x|φ1(x)，其中φ1(x)|x=0=|x+2||x一1|arctanx|x=0=0，故f(x)在x=0處可導．|x||x+2||x一1|arctanx=|x一1|(|x||x+2|arctanx)=|x一1|φ2(x)，而當x一l時，φ2(x)|x=1=|x||x+2|arctanx|x=1≠0，故f(x)在x=1處不可導．又|x||x+2||x一1|arctanx=|x+2|(|x||x一1|arctanx)=|x+2|φ3(x)，φ3(x)|x=一2=|x||x一1|arctanx|x=一2≠0，故f(x)在x=一2處不可導．僅(B)入選．4、設I=xydxdy，其中D由曲線y=y=一x和y=所圍成，則I的值為()．A、1/6B、1/12C、1/24D、1/48標準答案：D知識點解析：D的示意圖如右圖所示，需分段求出I．將區(qū)域D分為兩部分，在第一象限的部分記為D1，在第二象限的部分記為D2(見右圖)．求出y=一x與y=的交點為僅(D)入選．5、設α為四維列向量，αT為α的轉置，若則αTα=()．A、3B、6C、9D、4標準答案：D知識點解析：由所給的矩陣等式觀察出α的元素，從而易求出αT．因則α=[1，一1，1，1]T，αT=[1，一1，1，1]，故αTα=[1，一1，1，1][1，一1，1，1]T=1?1+(一1)(一1)+1．1+1．1=4．僅(D)入選．6、設向量組α1，α2，α3，β1線性相關，向量組α1，α2，α3，β2線性無關，則對于任意常數k，必有()．A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關B、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關D、α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關標準答案：A知識點解析：可用線性無關的定義證明．由于k為任意常數，令k取某些特殊值也可用排錯法判別。對于任意常數k，證明(A)成立．設l1α1+l2α2+l3α3+l4(kβ1+β2)=0下證l4=0．若l4≠0，則kβ1+β2可由α1，α2，α3線性表示，由題設知β1能由α1，α2，α3線性表示，因而β2能由α1，α2，α3線性表示，這與α1，α2，α3，β2線性無關相矛盾，所以l4=0，則上述等式可化為l1α1+l2α2+l3α3=0．而α1，α2，α3線性無關，故l1=0，l2=0，l3=0，所以α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關．僅(A)正確。當k=0時，顯然(B)、(C)不成立。當k=1時，(D)不成立．事實上，由題設α1，α2，α3，β2線性無關，如果α1，α2，α3，β1+β2線性相關，而α1，α2，α3線性無關，β1，α1，α2，α3線性相關，則β1能由α1，α2，α3線性表示，而β2不能，于是β1+β2不能由α1，α2，α3線性表示，所以(D)不成立，僅(A)入選．7、設隨機變量X1和X2相互獨立同分布(方差大于零)，令X=X1+aX2，Y=X1+bX2(a，b均不為零)．如果X與y不相關，則()．A、a與b可以是任意實數B、a和b一定相等C、a和b互為負倒數D、a和b互為倒數標準答案：C知識點解析：利用X和Y不相關的充要條件判別之．X與Y不相關的充分必要條件是PXY=0，即cov(X，Y)=0．cov(X，Y)=cov(X1+aX2，X1+bX2)=D(X1)+(a+b)cov(X1，X2)+abD(X2)．由于X1與X2獨立同分布，有cov(X1，X2)=0，且D(X1)=D(X2)．于是因而a與b互為負倒數．僅(C)入選．8、設隨機變量Xi～(i=1，2)，且P(X1X2=0)=1，則P(X1=X2)等于()．A、0B、1/4C、1/2D、1標準答案：A知識點解析：利用邊緣分布與聯合分布的關系及題設P(X1X2=0)=1求之．由題設有P(X1X2≠0)=1一P(X1X2=0)=1一1=0．設X1的取值為x1，x2，x3，X2的取值為y1，y2，y3，則由X1的邊緣分布得到p11+p12+p12=0+p12+0=P(X1=—1)=,則p12=;p31+p32+p33=0+p32+0=P(X1=1)=,則p32=;又由X2的邊緣分布得到p11+p21+p31=0+p21+0=P(X2=一1)=,則p21=;p13+p23+p33=0+p23+0=P(X2=1)=,則p23=;由X2的邊緣分布得到p12+p22+p32=1/4+p22+1/4=P(X2=0)=1/2，則p22=0．故所以P(x1=y1)=0，P(x2=y2)=0，P(x3=y3)=0，即P(X1=X2)=0．僅(A)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若函數y=[f(x2)]，其中f為可微的正值函數，則dy=________．標準答案：知識點解析：y為冪指函數，為求其導數，可先用取對數法或換底法處理，再用復合函數求導法則求之．10、標準答案：arctane一π/4．知識點解析：分母提取因子n，再使用定積分定義求之．=arctanex|01=arctane一π/4．11、∫0+∞dx∫x2xdy=________．標準答案：知識點解析：直接先求內層積分無法求出．可變更積分次序，再用r函數計算較簡；也可用分部積分法求之．12、差分方程yx+1一的通解是________．標準答案：知識點解析：先求對應的齊次差分方程的通解，再求特解。齊次差分方程yn+1一yx=0的特征方程為λ一=0，解得特征根λ=，故齊次差分方程的通解為(特征根不等于底數)，故其特解為yx*=代入原方程得A=故所求通解為13、設隨機變量X和Y的聯合概率分布為則X和Y的協(xié)方差cov(X，Y)=________．標準答案：0．056．知識點解析：由定義或同一表格法分別求出X，Y與XY的分布，再求其期望。由表易知因此E(X)=0×0．40+1×0．60=0．60，E(Y)=(一1)×0．18+0×0．50+1×0．32=0．14，E(XY)=(一1)×0．08+0×0．70+1×0．22=0．14．從而cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0．056．14、設X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N(0，σ2)(σ＞0)的簡單隨機樣本，標準答案：知識點解析：利用協(xié)方差的有關性質，特別是線性性質求之。由于Xi，Xj(i≠j)獨立，cov(Xi，Xj)=0，又cov(Xi，Xi)=D(Xi)=σ2，則三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，f(0)=0，當x＞0時，f(x)＞0．證明對任意自然數k，存在ξ∈(0，1)，使標準答案：將上式中的ξ改為x，并將上式改寫為f’(x)f(1一x)一kf(x)f(1一x)=0．令g(x)=一[f(1一x)]k，應作輔助函數F(x)=f(x)g(x)，則F’(x)=[f(x)g(x)]’={f(x)[f(1一x)]k}’=f’(x)[f(1一x)]k一k[f(1一x)]k一1f(1一x)f(x)．令F(x)=f(x)[f(1一x)]k，則由羅爾定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)[f(1一ξ)]k一k[f(1一ξ)]k一1f’(1一ξ)f(ξ)=0．整理即得知識點解析：暫無解析16、求方程y"+y=4sinx的通解．標準答案：對應的齊次方程的特征方程為r2+1=0，解得r=±i，則齊次方程的通解為Y=C1cosx+C2sirix．因0±i=±i為特征方程的根，故所給方程的特解形式為y*=x(acosx+bsinx)=axcosx+bxsinx，代入原方程并比較兩邊的系數得a=一2，b=0．所以y*=一2xcosx于是所給方程的通解為y=Y+y*=C1cosx+C2sinx一2xcosx．知識點解析：暫無解析17、計算D是圖中的陰影區(qū)域．標準答案：區(qū)域D可視為兩圓域之差(見右圖)，從而所求積分可化為兩圓域上的二重積分之差，且用極坐標系計算．設D1為大圖，D2為小圖，則知識點解析：暫無解析18、已知某產品總產量的變化率為問：(1)投產多少年后可使平均產量達最大值，此最大值是多少？(2)在達到平均年產量最大時，再生產3年，求這3年的平均年產量．標準答案：(1)t年后平均年產量為得唯一駐點t=3．因當t＞3時，＜0；當t＜3時，＞0，故t=3為極大值點．因駐點唯一，該點也是最大值點，最大值為=10e一1．(2)知識點解析：首先要算出t年后平均年產量的表示式，再按微積分中的一般方法求出極(最)大值點即可。19、設f(x)在(0，+∞)內連續(xù)，f(1)=3，且∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，其中x，y∈(0，+∞)，求f(x)．標準答案：在等式兩邊依次對x，y求導，有y(xy)=∫1yf(t)dt+yf(x)，xf(xy)=xf(y)+∫1xf(t)dt．①在式①兩邊對x求導得到f(xy)+xyf’(xy)=f(y)+f(x)．②取x=1，由式②得到f(y)+yf’(y)=f(y)+3，得f’(y)=，積分得f(y)=31ny+C．由f(1)=3，知C=3，所以f(y)=3(lny+1)，即f(x)=3(lnx+1)．知識點解析：在所給等式兩邊分別對x，y求導．為去掉積分號需對x兩次求導，再將f(1)=3代入化為f(y)所滿足的一階微分方程解之，求得f(y)，即f(x)．20、設有2個四元齊次線性方程組：方程組①和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，求出所有的非零公共解？若沒有，則說明理由．標準答案：關于(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，可以用下列幾種方法求之．把(Ⅰ)、(Ⅱ)聯立起來直接求解，設聯立方程組的系數矩陣為A，用初等行變換將其化為含最高階單位矩陣的矩陣，直接寫出其基礎解系，從而求出所有的非零公共解．由于n一r(A)=4一3=1，基礎解系是[一1．，1，2，1]T，從而方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)有公共解，且所有的非零公共解為k[一1，1，2，1]T，k是任意非零實數：通過(I)與(Ⅱ)各自的通解尋找公共解，為此，先求方程組(Ⅱ)的基礎解系為η1=[0，1，1，0]T，η2=[一1，一1，0，1]T．下求方程組(Ⅰ)的基礎解系，由知，其基礎解系含2個解向量：ξ1=[0，0，1，0]T，ξ2=[一1，1，0，1]T．那么k1ξ1+k2ξ2，l1η1+l2η2分別是(Ⅰ)、(Ⅱ)的通解，令其相等，則有k1[0，0，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T=l1[0，1，1，0]T+l2[一1，一1，0，1]T，由此得[一k2，k2，k1，k2]T=[一l2，l1一l2，l1，l2]T．比較兩個向量對應分量得到k1=l1=2k2=2l2所有非零公共解是2k2[0，0，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T=k2[一1，1，2，1]T，其中k2為非零任意常數．知識點解析：兩個齊次線性方程組的公共解可用多種方法求得．21、設A為三階矩陣，有三個不同特征值λ1，λ2，λ3，對應的特征向量依次為α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．(1)證明：β不是A的特征向量；(2)β，Aβ，A2β線性無關；(3)若A3β=Aβ，計算行列式|2A+3E|．標準答案：(1)可用反證法證之；(2)用線性無關定義證明；(3)因β，Aβ，A2β線性無關，用矩陣表示法可求出A的相似矩陣B，由|A|=|B|得|2B+3E|=|2A+3E|．(1)證一假設β為A的特征向量，則存在λ0，使Aβ=λ0β，即A(α1+α2+α3)=λ0＜α1+α2+α3)，得(λ1一λ0)α1+(λ2一λ0)α2+(λ3一Ao)α3=0．由α1，α2，α3線性無關知λ1=λ0=0，λ2一λ0=0，λ3一λ0=0，從而有λ1=λ2=λ3，這與已知條件矛盾，因此β不是A的特征向量．因α1，α2，α3是屬于不同特征值的特征向量，故α1+α2+α3必不是A的特征向量．(2)設k1β+k2Aβ+k3A2β=0，則(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ23)α3=0．由α1，α2，α3線性無關，得因上方程組的系數矩陣的行列式為三階范德蒙行列式，又因λ1≠λ2≠λ3，故該方程組只有零解，故k1=k2=k3=0．所以β，Aβ，A2β線性無關．(3)由題設有A[p，A[β，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]令P=令P=[β，Aβ，A2β]，則P可逆，且于是P一1(2A+3E)P=2B+3E，從而|2A+3E|=|2B+3E|=知識點解析：暫無解析22、(1)設X1，X2，…，Xn是來自參數為λ的泊松分布總體的一個樣本，試求λ的最大似然估計量和矩估計量．(2)設X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，X的概率密度為試求λ的矩估計．標準答案：(1)泊松分布的分布律為P(X=x)=x=0，1，2，…，其最大似然函數為(2)待求參數雖然只有一個，但由于X的一階矩等于零，即∫一∞+∞xf(x)dx=0，需考慮其二階矩∫一∞+∞x2(x)dx作矩估計，因而樣本二階矩為故λ的矩估計量為知識點解析：未知參數的矩估計量可用樣本原點矩代替同階的總體原點矩即可，為此，應先求出總體原點矩。為求λ的最大似然估計，先寫出最大似然函數，再對參數求出其導數．令其等于0，求出用樣本表示參數的式子．23、設隨機變量X服從(0，2)上的均勻分布，Y服從參數λ=2的指數分布，且X，Y相互獨立，記隨機變量Z=X+2Y．(1)求Z的概率密度；(2)求E(Z)，D(Z)．標準答案：由題設X，Y相互獨立，且先求Z的分布函數(參考右圖)．為此將f(x，y)取正值的區(qū)域的兩個邊界點(0，0)，(2，0)分別代入z=x+2y得到z=0，z=2．因而對z需分z≤0，0＜z＜2，z≥2，三種情況討論：當z≤0時，Fz(z)=0；當0＜z＜2時，Fz(z)=P(X+2Y≤z)=(2)直接用期望、方差的運算性質計算．由于E(X)=1，D(X)=且X，Y相互獨立，故E(Z)=E(X+2y)=E(X)+2E(Y)=1+1=2，D(Z)=D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)=知識點解析：(1)先求Z的分布函數，根據Z的取值范圍分段求出，再求概率密度．(2)利用X，Y的期望和方差的運算法則求之，不宜用Z的密度函數用定義法求E(Z)和D(Z)．考研數學（數學三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設{xn}與{yn}均無界，{zn}有界，則()A、{xn+yn}必無界．B、{xnyn}必無界．C、{xn+zn}必無界．D、{xnzn}必無界．標準答案：C知識點解析：用反證法證明{xn+zn}必無界．設{zn+zn}有界，且由題設{zn}有界，則存在M＞0與M1＞0，對一切n，｜zn+zn｜≤M與｜zn｜≤M1，有｜xn｜=｜xn+zn一zn｜≤｜xn+zn｜+｜zn｜≤M+M1，從而{xn}有界，與題設矛盾．故應選(C)．2、設f(x)=，F(x)=∫—1xf(t)dt，則F(x)在x=0處()A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導．D、可導．標準答案：C知識點解析：具體計算出F(x)如下．當x≤0時，F(x)=∫—1xf(t)dt=∫—1xetdt=ex—e—1；當x＞0，F(x)=∫—1xf(t)dt=∫—10etdt+∫0xt2dt=1—e—1+．再討論(A)、(B)、(C)、(D)哪個選項正確．即F(x)在x=0處左、右導數不相等，故F(x)在x=0處不可導，故應選(C)．3、設是f(x)的一個原函數，對于下述兩個反常積分(Ⅰ)=∫0+∞x4f’(x)dr，(Ⅱ)=∫0+∞x3f"(x)dx，正確的結論是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：4、由方程2y3一2y2一b—2xy+y—x2=0確定的函數y=y(x)()A、沒有駐點．B、有駐點但不是極值點．C、駐點為極小值點．D、駐點為極大值點．標準答案：C知識點解析：將所給方程兩邊對x求導數，y看成由此式確定的x的函數，則有6y2y’一4yy’+2y+2xy’+y’一2x=0，(6y2一4y+2x+1)y’+2(y—x)=0．先考慮駐點，令y’=0，得y=x．再與原方程聯立：得2x3一2x2+2x2+x—x2=0，即x(2x2一x+1)=0．由于2x2一x+1=0無實根，故得唯一實根x=0，相應地有y=0．在此點有y’=0．故不選(A)．再看此點是否為極值點，求二階導數．由將x=0，y=0，y’—0代入，得y"(0)=2＞0，所以該駐點為極小值點．選(c)．5、設A，B是n階可逆矩陣，滿足AB=A+B．則下列關系中不正確的是()A、｜A+B｜=｜A｜｜B｜．B、(AB)—1=A—1B—1．C、(A—E)x=0只有零解．D、B—E不可逆．標準答案：D知識點解析：因A，B滿足AB=A+B，兩邊取行列式，顯然有｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜，(A)正確．由AB=A+B，移項，提公因子得AB=A=A(B—E)=B，A(B—E)=B—E+E，(A—E)(B—E)=E．故A—E，B—E都是可逆矩陣，且互為逆矩陣，從而知方程組(A—E)x=0只有零解，(C)正確．B—E不可逆是錯誤的，(D)不正確．又因(A—E)(B—E)=E，故(B—E)(A—E)=E，從而有BA一A—B+E=E，BA=A+B，得AB=BA，則(AB)—1=(BA)—1=A—1B—1，故(B)正確．因此(A)、(B)、(C)是正確的，應選(D)．6、設A是3階實對稱矩陣，λ1，λ2，λ3是A的三個特征值，且滿足a≥λ1≥λ2≥λ3≥6，若A～μE是正定陣，則參數μ應滿足()A、μ＞b．B、μ＜b．C、μ＞a．D、μ＜a．標準答案：B知識點解析：A一μE的特征值為λ1一μ，λ2一μ，λ3—μ，且滿足a—μ≥λ1一μ≥λ2一μ≥λ3一μ≥b一μ．當b一μ＞0即μ＜b時，A一μE的全部特征值大于等于正值，故A一μE是正定矩陣，應選(B)．(A)中μ＞b，即b一μ＜0，A一μE的全部特征值大于等于負值，不能確定A一μE的正定性．(C)中μ＞a，即a一μ＜0，A一μE的全部特征值小于等于負值，A一μE是負定矩陣．(D)中μ＜a，即a一μ＞0，A一μE的全部特征值小于等于正值，不能確定A一μE的正定性．7、設連續(xù)函數F(x)是分布函數，且F(0)=0，則也可以作為新分布函數的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：應用分布函數的必要條件排除，由于Gi(x)(i=1，2，3，4)是分段函數形式，x=1是分界點，于是立即想到要判斷Gi(x)=Gi(1)=0是否成立．因為0≤F(1)≤1，經計算得=F(1)+F(1)≠0．利用排除法，可得正確選項為(C)．8、隨機變量X～N(2，4)，Y～N(2，5)，且D(X+Y)=DX—DY+14，則下列正確的是()A、E(XY)=EX．EY+2(DX—DY)．B、D(X—Y)=DY．C、X，Y獨立．D、X，Y不相關．標準答案：B知識點解析：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX—DY+14，把DX=4，DY=5代入上式，得Cov(X，Y)=2≠0，故(C)、(D)錯誤．(A)選項不成立，因為E(XY)=Cov(X，Y)+EX．EY=2+2×2=6，而EX．EY+2(DX—DY)=2×2+2(4—5)=2．(B)選項成立，因為D(X—Y)=DX+DY一2Cov(X，Y)=4+DY一2×2=DY．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設y(x)是微分方程y"+(x+1)y’+x2y=x的滿足y(0)=0，y’(0)=1的解，并設存在且不為零，則正整數k=_________，該極限值=_________．標準答案：2；一知識點解析：10、=_________．標準答案：(e2一1)知識點解析：由上、下限知，積分區(qū)域D=D1∪D2={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)∪{(x，y)}｜lny≤x≤1，1≤y≤e}={(x，y)｜0≤y≤ex，0≤x≤1}．11、微分方程滿足初始條件y(1)=1的特解是_________。標準答案：y=xe1—x知識點解析：此微分方程為一階齊次方程，令y=ux，有，原方程化為u+—ulnu=0，u｜x=1=1得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去掉絕對值號，得lnu=C1x+1，u=，以u｜x=1=1代入得C1=一1，u=e1—x，故原方程的解為y=xe1—x．12、∫02πxsin8xdx=_________．標準答案：知識點解析：∫02πxsin8xdx=∫2π0(2π—t)sin8(2π一t)(一dt)=∫02π2nsin8tdt—∫02πtsin8tdt，13、設α1=(1，一2，1，0，0)T，α2=(3，一6，2，1，0)T，α3=(5，一6，0，0，1)T，α4=(1，一2，0，1，0)T都是齊次線性方程組∑aijxj=0，i=1，2，3，4(*)的解向量，且(*)的任一解向量可以由α1，α2，α3，α4線性表出，則方程組的通解為_________．標準答案：k1α1+k2α2+k3α3(或k1α1+k2α3+k3α4)，其中k1，k2，k3為任意常數知識點解析：方程組(*)的基礎解系是α1，α2，α3，α4的極大線性無關組，其通解為α1，α2，α3，α4的極大線性無關組的全部線性組合．對(α1，α2，α3，α4)作初等行變換，可知α1，α2，α3(或α1，α3，α4)是α1，α2，α3，α4的極大線性無關組．故(*)的通解為k1α1+k2α2+k3α3(或k1α1+k2α3+k3α4)．14、已知隨機變量X與Y都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且P(X＞0，Y＞2μ}=a，則P{X≤0，Y≤2μ}=_________．標準答案：a知識點解析：記A={X＞0}，B={Y＞2u}，由題設知三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設F(x)=∫—∞+∞｜x一t｜dt，求F"(x)．標準答案：將第一個積分作積分變量代換，令t=一u，并將變換后的u仍記為t，并與第二項合并，注意到這兩個反常積分都是收斂的，于是知識點解析：暫無解析16、設D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2)，計算｜xy—1｜dσ．標準答案：作出區(qū)域D，如圖所示．在D中作曲線y=，將區(qū)域D分成D1，D2及D3．知識點解析：暫無解析17、(Ⅰ)敘述二元函數z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微及微分的定義；(Ⅱ)證明下述可微的必要條件定理：設z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y；(Ⅲ)舉例說明(Ⅱ)的逆定理不成立．標準答案：(Ⅰ)定義：設z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域U內有定義，(x0+△x，y0+△y)∈U．增量△z=f(x0+△x，y0+△y)—f(x0，y0)A△x+B△y+o(ρ)，(*)其中A，B與△x和△y都無關，ρ==0，則稱f(x，y)在點(x0，y0)處可微，并稱為z=f(x，y)在點(x0，y0)處的微分．(Ⅱ)設z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則(*)式成立．令△y=0，于是(Ⅲ)當f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)存在時，z=f(x，y)在點(x0，y0)處未必可微．反例：f’y(0，0)=0．兩個偏導數存在．以下用反證法證出f(x，y)在點(0，0)處不可微．若可微，則有△f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+o(ρ)，極限值隨k而異，(**)式不成立，所以不可微．知識點解析：暫無解析18、設常數a＞0，討論曲線y=ax與曲線y=2lnx的公共點的個數．標準答案：曲線y=2lnx的定義域為x＞0，故只要考慮右半平面x＞0上曲線y=2lnx與y=ax的公共點即可．令f(x)=ax一2lnx，知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、設A=．X是2階方陣．(Ⅰ)求滿足AX一XA=O的所有X；(Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2階單位陣．問方程是否有解，若有解，求滿足方程的所有X；若無解．說明理由．標準答案：顯然方程組中第1個和第4個方程相互矛盾，故矩陣方程AX一XA=E無解．知識點解析：暫無解析21、已知A=，求A的特征值，并討論A可否相似對角化．標準答案：故有λ1=1+a，λ2=a，λ3=1一a．看特征值是否有重根，對任意a，λ1=1+a≠λ2=a．知識點解析：暫無解析22、在線段(0，1)上隨機投擲2個點，該兩點的距離為X．試求：(Ⅰ)X的概率密度fX(x)；(Ⅱ)X的數學期望EX．標準答案：(Ⅰ)設在(0，1)上隨機投擲兩點X1，X2(0＜X1＜1，0＜X2＜1)，則(X1，X2)服從區(qū)域(0，1)×(0，1)上的二維均勻分布，令X=｜X1一X2｜∈[0，1)．當X＜0時，FX(x)=0；當X≥1時，FX(x)=1；當0≤x＜1時，FX(x)=P(X≤x}=P{｜X1一X2｜≤x}=(1--x)2×2=1一(1一x)2，其中D如圖中陰影部分所示．知識點解析：暫無解析23、設X1，X2，…，Xn為來自總體X的一個簡單隨機樣本，X的概率密度為標準答案：(Ⅰ)似然函數為：L(θ)=，xi＞θ，i=1，2，…，n．顯然L(θ)是θ的單調增函數，因此θ的最大似然估計量為=Xmin．又Xmin的密度函數為g(x)=ne-n(x-θ)，x＞θ，故知識點解析：暫無解析考研數學（數學三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)=若f(x)在x=0處可導且導數不為零，則k為()．A、3B、4C、5D、6標準答案：C知識點解析：因為f(x)在x=0處可導．所以k一2=3，即k=5，選(C)．2、曲線的漸近線條數為()．A、3條B、2條C、1條D、0條標準答案：A知識點解析：3、設冪級數(3x+1)n在x=一1處收斂，則級數()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性不能確定標準答案：A知識點解析：令3x+1=t，則級數當t=一2時收斂，故級數的收斂半徑R≥2，因為1＜R，所以當t=1時，級數絕對收斂，即級數絕對收斂，應選(A)．4、設f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，，則()．A、f(x，y)在(0，0)處不可偏導B、f(x，y)在(0，0)處可偏導但不可微C、fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)處可微分D、fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)處可微分標準答案：D知識點解析：由得f(0，0)=1，因為所以其中a為當(x，y)→(0，0)時的無窮小，于是△f=f(x，y)-f(0，0)=0×x+0×y+，故f(x，y)在(0，0)處可微，且fx’(0，0)=fy’(0，0)=0，選(D)．5、設A為m×n矩陣，且r(A)=m＜n，則下列結論正確的是()．A、A的任意m階子式都不等于零B、A的任意m個列向量線性無關C、方程組AS=b一定有無數個解D、矩陣A經過初等行變換化為標準答案：