考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷1（共210題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷1（共9套）（共210題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的以下結(jié)論正確的是()A、若f’(x)=0，則f(x0)必是一極值B、若f"(x)=0，則點(diǎn)(x0，f(x0))必是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)C、若極限存在(n為正整數(shù))，則f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且有D、若f(x)在x0處可微，則f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有界標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A不一定正確，反例：f(x)=x3，x=0時(shí)f’(0)=0，此點(diǎn)非極值點(diǎn)。選項(xiàng)B不一定正確，需加條件：f"(x)在x0點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)。選項(xiàng)C所給的只是必要條件，即僅在子列上收斂，這是不夠的。同時(shí)n趨近于無(wú)窮一般專指正無(wú)窮，所以式中的只是趨近于0+的。選項(xiàng)D可微的函數(shù)必連續(xù)，從而函數(shù)在該點(diǎn)的某鄰域內(nèi)必然有界。故選D。2、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則()A、函數(shù)∫0xt2[f(t)+f(一t)]dt必是奇函數(shù)B、函數(shù)∫0xt2[f(t)-f(一t)]dt必是奇函數(shù)C、函數(shù)∫0x[f(t)]3dt必是奇函數(shù)D、函數(shù)∫0xf(t3)dt必是奇函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x)=x2[f(x)+f(一x)]，由題設(shè)知F(x)是(一∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，且F(一x)=(一x)2[f(一x)+f(x)]=x2[f(x)+f(一x)]=F(x)，即F(x)是偶函數(shù)，于是對(duì)任意的x∈(一∞，+∞)，G(x)=ft2f(t)+f(一t)]dt=∫0xF(t)dt，滿足即G(x)是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A正確。注意：也可舉例說(shuō)明選項(xiàng)B，C，D都不正確。為此設(shè)f(x)=x，于是x2[f(x)一f(一x)]=x2[x一(一x)]=2x3，它們都是(一∞，+∞)上的偶函數(shù)，這表明選項(xiàng)B，C，D都不正確。故選A。3、設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()A、只有1條B、只有2條C、至少有3條D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)于t0處曲線切線的方向向量為τ={1，一2t0，3t02}，該切線(平面)與平面x+2y+z=4平行與該平面的法向量n={1，2，1}垂直因此只有兩條切線與平面平行。故選B。5、設(shè)A是5×4矩陣，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量的極大線性無(wú)關(guān)組是()A、α1，α3B、α2，α4C、α2，α3D、α1，α2，α4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由Aη1=0知α1+α2一2α3+α4=0。①由Aη2=0知α2+α4=0。②因?yàn)閚—r(A)=2，所以r(A)=2，所以可排除選項(xiàng)D；由②知α2，α4線性相關(guān)，故應(yīng)排除選項(xiàng)B；把②代入①得α1，一2α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除選項(xiàng)A；如果α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)=r(2α3，α2，α3，一α2)=r(α2，α3)=1與r(A)=2相矛盾，因此α2，α3線性無(wú)關(guān)。故選C。6、設(shè)那么(P-1)2008A(Q2009)-1=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P，Q均為初等矩陣，因?yàn)镻-1=P，且P左乘A相當(dāng)于互換矩陣A的1，3兩行，那么P2008A表示把A的1，3兩行互換2008次，從而(P-1)22008A=P2008A=A。又(Q2009)-1=(Q-1)2009，且而Q-1右乘A相當(dāng)于把矩陣A的第2列加至第1列，那么A(Q2009)-1=A(Q-1)2009表示把矩陣A的第2列的2009倍加至第1列。故選B。7、設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，P(ABC)=0，且0＜P(C)＜1，則一定有()A、P(ABC)=P(4)P(B)P(C)B、P[(A+B)|C]=P(A|C)+P(B|C)C、P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A：由于不知道P(A)或P(B)是否為零，因此選項(xiàng)A不一定成立。選項(xiàng)B：P[(A+B)C]=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一P(ABC)=P(AC)+P(BC)，可見(jiàn)選項(xiàng)B正確。選項(xiàng)C：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)，由于不能確定P(AB)，P(AC)，P(BC)的概率是否全為零，因此選項(xiàng)C不一定成立。8、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，X1，X2，X3，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2分別是該樣本的均值和方差，若統(tǒng)計(jì)量F～F(1，n一1)，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(u，υ)為二元可微函數(shù)，z=f(x2y，3yx)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：2yx2y-1f’+3yxlnyf’2知識(shí)點(diǎn)解析：由多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有11、若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，則級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、已知α=(a，1，1)T是矩陣的逆矩陣的特征向量，那么a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α是矩陣A-1屬于特征值λ0的特征向量，由定義A-1α=λ0α，知α=λ0A.α，即14、從正態(tài)總體N(μ，σ2)中抽取一容量為16的樣本，S2為樣本方差，則________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：將第二個(gè)方程對(duì)t求導(dǎo)并注意y=y(t)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、將函數(shù)展開(kāi)成x一2的冪級(jí)數(shù)，并求出其收斂域。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)函數(shù)u(x，y)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，1為自點(diǎn)O(0，0)沿曲線γ=sinx至點(diǎn)A(π，0)的有向弧段，求下面曲線積分：∫l=(yu(x，y)+xyu’(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu’y(x，y)+ey2一x)dy。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(u，υ)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f’u(u，υ)+f’u(u，υ)=sin(u+υ)eu+υ，求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=一2e-2xf(x，x)+e-2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]，在條件f’u(u，υ)+f’υ(u，υ)=sin(u+υ)eu+υ，即f’1(u，υ)+f’2(u，υ)：sin(u+υ)eu+υ中令u=x，υ=x得f’1(x，x)+f’2(x，x)=sin(2x)e2x，于是y(x)滿足一階線性微分y’(x)+2y(x)=sin2x。通解為y(x)=e-2x[∫sin2x．e2xdx+C]，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)和g(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，并設(shè)在(a，b)內(nèi)f(x)g’(x)一f’(x)≠0，證明在(a，b)內(nèi)至多存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：(反證法)：假設(shè)在(a，b)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，令φ(x)=f(x)e-g(x)，則φ’(x)=e-g(x)[f’(x)一f(x)g’(x)]。因?yàn)棣?ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)ξ介于ξ1，ξ2之間，使φ’(ξ)=0，即e-g(ξ)[f’(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]=0，于是有f’(ξ)一f(ξ)g’(ξ)=0，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立。故在(a，b)內(nèi)至多存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A=(αij)m×n，y=(y1，y2，…，yn)T，b=(b1，b2，…，bm)T，x=(x1，x2，…，xn)T，證明方程組Ay=b有解的充分必要條件是方程組無(wú)解(其中0是n×1矩陣)。標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性：設(shè)方程組Ay=b有解，則對(duì)滿足ATx=0的向量x0，bTx0=yTATx0=yT×0=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型A的一個(gè)特征值。(Ⅰ)試用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用正交變換；(Ⅱ)求f在條件x12+x22+x32=1下的最小值，并求最小值點(diǎn)(x1，x2，x3)；(Ⅲ)如果A*+kE是正定矩陣，求K的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：得到矩陣A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=一2。對(duì)λ1=λ2=7，解齊次方程組(7E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α1=(1，一2，0)T，α2=(1，0，一1)T。對(duì)λ=一2，解齊次方程組(一2E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(2，1，2)T。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)二維隨機(jī)變量(x，Y)在區(qū)域D上均勻分布，其中D={(x，y)}|x|+|y|≤1}。又設(shè)U=X+Y，V=X一Y，試求：(Ⅰ)U和V的概率密度f(wàn)U(u)與fV(υ)；(Ⅱ)U和V的協(xié)方差Cov(U，V)和相關(guān)系數(shù)ρUV。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)總體X的概率密度為其中θ＞0，μ，θ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本。(Ⅰ)試求μ，θ的最大似然估計(jì)量(Ⅱ)判斷是否為θ的無(wú)偏估計(jì)量，并證明。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)為微分方程y’一xy=g(x)滿足y(0)=1的解，其中g(shù)(x)=∫0xsin[(x—t)2]dt，則有()A、在點(diǎn)x=0處f(x)取極大值B、在點(diǎn)x=0處f(x)取極小值C、點(diǎn)(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、點(diǎn)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，點(diǎn)(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知，y’(0)一0，y"=y+xy’+g’(x)，y"(0)=1+g’(0)，又g(x)∫0xsin(u2)du,g’(x)=sin(x2)，g’(0)=0，所以y"(0)=1＞0，故選(B)．2、設(shè)y=y(x)在[0，+∞)可導(dǎo)，在x∈(0，+∞)處的增量滿足△y(1+△y)=a，當(dāng)△x→0時(shí)a是△x的等價(jià)無(wú)窮小，又y(0)=1，則y(x)=()A、1+xB、(1+x)[一ln(1+x)+1]C、D、ln(1+x)+1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y(0)=1，得C=1，所以y=(1+x)[一ln(1+x)+1]，故應(yīng)選(B)．3、設(shè)平面區(qū)域D1={(x，y)|0≤z≤1，1一x≤y≤1}，則I1，I2，I3的大小關(guān)系為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I1＜I3＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于D1D2，記D3=D2—D1={(x，y)|0＜x＜1，≤y＜1一x}，當(dāng)(x，y)∈D3時(shí)，x+y＜1，從而有l(wèi)n(x+y)＜0，所以I2—I1=即有I2＜I1，而當(dāng)(x，y)∈D2且(x，y)≠(0，1)，(1，0)時(shí)，ln(x+y)＞所以I2＞I3．綜上可知I3＜I2＜I1，應(yīng)選(B)．4、設(shè)函數(shù)f(x)在[一1，1]上有定義，在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則f’(0)=0是級(jí)數(shù)斂的()A、充分必要條件B、充分條件，而非必要條件C、必要條件，而非充分條件D、既非充分條件，又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如果級(jí)數(shù)由此可得f(0)=0，假若f’(0)≠0，不妨設(shè)f’(0)＞0，則有從而得知從某項(xiàng)起，級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且發(fā)散，與題設(shè)矛盾，故必有f’(0)=0．另外，當(dāng)f’(0)=0時(shí)，未必有f(0)=0，如取f(x)=1+x2，則此時(shí)=f(0)=1≠0，級(jí)數(shù)發(fā)散，綜上可知，選(C)．5、已知，B是3階非零矩陣，且AB=0，則()A、a=1時(shí)，B的秩必為1B、a=1時(shí)，B的秩必為2C、a=一3時(shí)，B的秩必為1D、a=一3時(shí)，B的秩必為2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查秩的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．由AB=0，得r(A)+r(B)≤3．若a=1，則r(A)=1，從而r(B)≤2．又B是3階非零矩陣，即r(B)≥1，故r(B)=1或r(B)=2．若a=一3，則r(A)=2，從而r(B)≤1，又r(B)≥1，所以r(B)=1，故應(yīng)選(C)．6、下列矩陣中，正定矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查具體數(shù)字矩陣正定的判定，屬于基礎(chǔ)題．(A)中a33=一3＜0，(B)中二階順序主子式=0，(C)中|A|=0，均不是正定矩陣，(D)中三個(gè)順序主子式△1=2，△2=6，△3=5，均大于零，故應(yīng)選(D)．7、設(shè)正態(tài)總體X～N(u，σ2)，X1，X2，…，Xn為其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為，若的值()A、與μ和σ都有關(guān)B、與μ和σ都無(wú)關(guān)C、與μ有關(guān)，與σ無(wú)關(guān)D、與μ無(wú)關(guān)，與σ有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查正態(tài)總體樣本均值的分布及一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化，是一道有一定難度的綜合題．8、設(shè)(X，y)服從二維正態(tài)分布，其聯(lián)合概率密度為，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查二維正態(tài)分布的邊緣分布及正態(tài)總體的三大抽樣分布，是一道有一定難度的綜合題．二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度為由題設(shè)知μ1=μ2=0，σ12=σ22=22，ρ=0．由于二維正態(tài)分布的邊緣分布一定是一維正態(tài)分布且相關(guān)系數(shù)ρ=0的充分必要條件是X與Y獨(dú)立，從而X～N(0，22)，y～N(0，22)，且X與Y獨(dú)立，于是故應(yīng)選(D)．進(jìn)一步分析，(A)、(B)、(C)明顯錯(cuò)誤．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)=∫0x(t2+2t+3)dt，則標(biāo)準(zhǔn)答案：2(x2+2x+3)．知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=x2+2x+3=2f’(x)=2(x2+2x+3)．10、方程y"+y’2=0的通解為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=ln(x+c1)+c2．知識(shí)點(diǎn)解析：11、函數(shù)在點(diǎn)M(1，1，1)處沿曲面2z=x2+y2在點(diǎn)M處的外法線方向1的方向?qū)?shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：曲面2x=x2+y2在點(diǎn)M(1，1，1)處的外法線向量為(1，1，一1)，又因?yàn)?2、設(shè)曲線C為圓周x2+y2=R2，則(x+2y)2ds=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：57cR3．知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)，若存在秩大于1的三階矩陣B使得BA=0，則An=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于BA=0，則r(B)+r(A)≤3，又因?yàn)閞(B)＞1，所以r(A)≤3—r(B)≤1顯然r(A)≥1，所以r(A)=1，即矩陣A的各行對(duì)應(yīng)成比例，于是14、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相，互獨(dú)立，且X～N(0，1)，Y～N(0，2)，則D(X2+Y2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以X2與Y2相互獨(dú)立，D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)．由于X～N(0，1)，所以X2～χ2(1)，故D(X2)=2，Y～N(0，2)，則則D(Y2)=8，所以D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)=2+8=10．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)=a(a≠0)，求n及a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)l為從點(diǎn)A(一1，0)沿曲線y=x—x3到點(diǎn)B(1，0)的有向弧段，求第二類曲線積分I=∫L(exsinx+3y—cosy)dx+(xsiny—y)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：做水平輔助線與曲線y=x—x3構(gòu)成兩個(gè)封閉曲線．位于第一象限中的封閉曲線記為l1，為負(fù)向；位于第三象限中的記為l3，為正向．對(duì)于前兩個(gè)積分用格林公式，第三個(gè)積分直接以y=0代入計(jì)算．l1與l3所圍成的有界閉區(qū)域分別記為D1與D3．于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)的單調(diào)增加的正函數(shù)，t∈[a，b]，由y=f(x)，y=f(a)，x=t所圍的圖形的面積為S1(t)，由y=f(x)，y=f(b)，x=t所圍成的圖形的面積為S2(t)．(Ⅰ)證明：存在唯一的t0∈(a，b)，使S1(t0)=S2(t0)；(Ⅱ)問(wèn)函數(shù)S1(t)+S2(t)是否有最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)S1(t)=∫at[f(x)一f(a)]dx，S2(t)=∫tb[f(b)一f(x)]dx．令F(t)=S1(t)一S2(t)=∫at[f(x)一f(a)]dx—∫at[f(b)一f(x)]dx，則F’(t)=f(t)一f(a)+f(b)一f(t)=f(b)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求曲面4z=3x2+3y2一2xy上的點(diǎn)到平面x—y—z=1的最短距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面上的點(diǎn)設(shè)為(x，y，z)，它到平面x—y—z=1的距離為在約束條件3x2+3y2一2xy一4z=0下求d2的最小值，設(shè)F(x，y，z，λ)一(x—y一z一1)2+λ(3x2+3y2一2zy一4z)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(u)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：由高斯公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知下列非齊次線性方程組：(Ⅰ)求解方程組(a)．(Ⅱ)當(dāng)方程組(b)中的參數(shù)a，b，c為何值時(shí)，方程組(a)與(b)同解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對(duì)(a)中的增廣矩陣作初等行變換，取x4為自由變量，令x4=1，代入(a)所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，求得x3=一2，x2=一5，x1=6，故(a)所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為ξ=(6，一5，一2，1)T．令x4=0，代入(Ⅰ)中，得x3=一1，x2=一4，x1=6，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無(wú)關(guān)的三維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求矩陣B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩陣A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩陣P，使得P一1AP為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)對(duì)照A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B，可知(Ⅱ)因?yàn)棣?undefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、(Ⅰ)證明X和Y是相互獨(dú)立的．(Ⅱ)求(Z1，Z2)的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)X和Y的邊緣概率密度函數(shù)分別是fX(x)，fY(y)，則所以，X～E(1)，Y～E(1)．由于f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y是相互獨(dú)立的．(Ⅱ)由于Z1的取值為1，2，Z2的取值為3，4，因此(Z1，Z2)的取值為(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)．P(Z1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其均值和方差分別為與S2．若E(X)=u，D(X)=σ2，記yi—Xi一．求(Ⅰ)Yi與Yi(i≠j)的相關(guān)系數(shù)；(Ⅱ)若f(Y1+Yn)2是σ2的無(wú)偏估計(jì)量，求常數(shù)c．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)閄1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，所以X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且同分布，故E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，先算協(xié)方差：Cov(Yi，Yi)=Cov(Xi，Xi)一Xundefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(0)不是f(x)的極值，點(diǎn)(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析2、設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n為正整數(shù)，則f’(0)=A、(-1)n-1(n-1)!．B、(-1)n(n-1)!．C、(-1)n-1n!．D、(-1)nn!．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、已知E(X)=1，E(X2)=3，用切比雪夫不等式估計(jì)P{一1＜X＜4}≥a，則a的最大值為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：D(X)=2，由切比雪夫不等式得則a的最大值為，選(C)．6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：7、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：8、(2010年試題，6)設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=0,若A的秩為3，則A相似于()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由A2+A=0得｜A2+A｜=｜A+E｜=0，即0和一1是矩陣A的所有可能特征值．又A的秩為3，且其為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，故一1是A的三重特征值，即知A相似于故正確答案為D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，則t的取值范圍是__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1/2知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：3E知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：7/8知識(shí)點(diǎn)解析：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，設(shè)原積分中兩部分的積分區(qū)域分別如圖所示，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，下列四個(gè)無(wú)窮小量關(guān)于x的階數(shù)最高的是()．A、2x3－x5B、－2C、－1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(1)因而僅(D)入選．2、在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)方程+sinx一1=0()．A、無(wú)實(shí)根B、有且僅有一個(gè)實(shí)根C、有且有兩個(gè)實(shí)根D、有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)f(x)=+sinx一1，注意到當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＞0，所以只需在[0，1]上討論f(x)=0的根的情況．f(0)=－1＜0，f(1)=1+sin1＞0，由零點(diǎn)定理知，f(x)在[0，1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根．但當(dāng)X∈(0，1)時(shí)，f′(x)=x－1／3+cosx＞0．這說(shuō)明f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加，因此f(x)=0在(0，1)內(nèi)最多只有一個(gè)實(shí)根．綜上所述，f(x)=0在(0，1)內(nèi)只有唯一實(shí)根，從而方程+sinx一1=0在[0，+∞)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根．僅(B)入選．3、設(shè)y=f(x)二階可導(dǎo)，且f′(x)＞0，f″(x)＜0，令△y=f(x+△x)－f(x)，當(dāng)△x＜0時(shí)，則()．A、△y＜dy＜0B、△y＞dy＞0C、dy＜△y＜0D、dy＞△Ay＞>0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由f′(x)＞0及f″(x)＜0可知函數(shù)y=f(x)的圖形是單調(diào)上升且是凸的．值得注意的是當(dāng)△x＜0時(shí)，由下圖可知△y＜0，且dy=f′(x)△x＜0，由圖易看出｜△y｜＞｜dy｜，故△y＜dy＜0，僅(A)入選．4、設(shè)F(t)=f(x2+y2+z2)dv，其中f為連續(xù)函數(shù)，f(0)=0，f′(0)=1，則=()．A、πB、4π／5C、3π／5D、2π／5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F(t)=f(x2+y2+z2)dv=f(ρ2).ρ2sinφdρ5、設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，先交換A的第i列與第j列，然后再交換第i行與第j行得到的矩陣記為B，則下列五個(gè)關(guān)系：(1)｜A｜=｜B｜；(2)r(A)=r(B)；(3)A≌B；(4)A～B；(5)AB中正確的有()．A、(1)，(2)B、(1)，(2)，(3)C、(1)，(3)，(5)D、(1)，(2)，(3)，(4)，(5)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)有EijAEij=B，Eij有些什么性質(zhì)呢?(1)｜Eij｜=－1，因而｜Eij｜｜Eij｜=1，故｜Eij｜｜A｜｜Eij｜=｜B｜，即｜A｜=｜B｜．(2)因｜Eij｜≠0，故Eij可逆，所以r(EijA)=r(A)，r(AEij)=r(A)，故r(B)=r(EijAEij)=r(AEij)=r(A)．(3)由EijAEij=B說(shuō)明了A≌B(A與B等價(jià))．(4)因=Eij，故EijAEij=AEij=B，所以A～B(A與B相似)．(5)因Eij=，故EijAEij=AEij=B，所以AB(A與B合同)．因此，選項(xiàng)(D)正確．6、設(shè)A為m×s矩陣，B為s×n矩陣，要使ABX=0與BX=0為同解方程組的充分條件是()．A、r(A)=mB、r(A)=sC、r(B)=sD、r(B)=n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：顯然BX=0的解為ABX=0的解．反之，設(shè)ABX=0的解為BX0，當(dāng)r(A)=s時(shí)，因B為s×n矩陣，故A(BX)=0只有零解，從而BX=0，即ABX=0的解也為BX=0的解，亦即當(dāng)r(A)=s時(shí)，ABX=0與BX=0同解．7、某班組共有員工10人，其中女員工3人．現(xiàn)選2名員工代表，至少有1名員工當(dāng)選的概率是()．A、27／45B、36／45C、21／45D、24／45標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：基本事件的總數(shù)為，即10名員工選2名的組合數(shù)，至少有一名女員工當(dāng)選，其中所含的基本事件數(shù)為．因而所求概率為僅(D)入選．8、已知隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立，且有相同的分布如下：則D(X1+X2)=()．A、1．2B、1．0C、0．8D、0．6標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)有E(Xi)=2×0．3+3×0．4+4×0．3=3，E()=22×0．3+32×0．4+42×0．3=4×0．3+9×0．4+16×0．3=9．6，D(Xi)=E()一[E(Xi)]2=9．6—32=0．6(i=1，2)，故D(X)=D(X1)+D(X2)=0．6+0．6=1．2．僅(A)入選．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2f′(a)知識(shí)點(diǎn)解析：10、以y=c1xex+c2ex為通解的二階常系數(shù)齊次線性方程為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y″－2y′+y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，方程以r=1為二重特征根，從而特征方程為(r一1)2=0，即r2一2r+1=0，于是二階常系數(shù)齊次線性方程應(yīng)為y″－2y′+y=0．11、二重積分I==__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由下圖易知12、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=100，p=0．2的二項(xiàng)分布；Y服從參數(shù)為λ=3的泊松分布，且X與Y相互獨(dú)立，則D(2X－3Y)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：91知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，X～B(100，0．2)，Y～π(3)，因此有D(X)=npq=100×0．2×(1—0．2)=16，D(Y)=λ=3，故D(2X一3Y)=4D(X)+9D(Y)=4×16+9×3=91．13、已知三元二次型XTAX=+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩為2，則其規(guī)范形為_(kāi)__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因A=，且r(A)=2，故｜A｜=0．易求得｜A｜=－(a+2)(a一1)2．于是由r(A)=2知，a=－2．由｜λE一A｜=λ(λ一3)(λ+3)=0可知A的特征值為一3，0，3．在正交變換下該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，故其規(guī)范形為三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)14、設(shè)有拋物線Γ：y=a—bx2(a＞0，b＞0)，試確定常數(shù)a、b的值使得(1)Γ與直線y=x+1相切；(2)Γ與x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：Γ與x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為Vy=π顯然Vy中含兩個(gè)參數(shù)a與b．下求出a與b的關(guān)系．因Γ與直線y=x+1相切，即相交又相切．設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則在切點(diǎn)處兩曲線的函數(shù)值相同，且其斜率相等，因而有解之得=4(1一a)．將上述關(guān)系代入Vy中，則Vy僅含一個(gè)參數(shù)a，即Vy=2π(a2一a3)．令(Vy)′a=0得a=2／3．因而b=3／4．而當(dāng)a=2／3時(shí)，因(Vy)′a｜a=2／3=[2π(2—6a)]a=2／3=2π(2—4)＜0，故當(dāng)a=2／3，b=3／4時(shí)，Γ與直線y=x+1相切，且它們所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積最大．知識(shí)點(diǎn)解析：先求出旋轉(zhuǎn)體體積的表示式，然后利用拋物線Γ與直線y=x+1相切的條件求出參數(shù)a和b的關(guān)系，將體積化為一個(gè)參數(shù)的函數(shù)，由取最大值的條件得到a、b的取值．15、計(jì)算I=(x+y+z)2dv，其中Ω為由球面x2+y2+z2=2和拋物面z=x2+y2所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：因(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx中xy+yz為y的奇函數(shù)，Ω關(guān)于平面xOz對(duì)稱，故(xy+yz)dv=0．又Ω關(guān)于平面yOz也對(duì)稱，而xz為x的奇函數(shù)，故(x2+y2+z2)dv．由x2dv，其中Ω1={x，y，z)｜x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2,x≥0)．利用柱面坐標(biāo)易求得同法可求得故(x2+y2+z2)dxdydz=一89)．知識(shí)點(diǎn)解析：注意到Ω關(guān)于z軸即平面xOz對(duì)稱，要充分利用被積函數(shù)的子函數(shù)的奇偶性以簡(jiǎn)化計(jì)算，計(jì)算時(shí)用柱面坐標(biāo)系求之．16、計(jì)算線積分(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中c是曲線x2+y2+z2=2Rx，x2+y2+z2=2ax(z＞0，0＜a＜R)且按此方向進(jìn)行，使它在球的外表面上所圍區(qū)域∑在其左方．標(biāo)準(zhǔn)答案：由球面方程x2+y2+z2=2Rx，易求得球面法線方向余弦為由斯托克斯公式，得由于曲面∑關(guān)于坐標(biāo)面xOz對(duì)稱，而函數(shù)f2(x，y，z)=y關(guān)于變量y為奇函數(shù)，因而ydS=0，而zdσ=Rπa2，其中Dxy為坐標(biāo)面xOy上x2+y2+z2=2ax所圍成的區(qū)域，所以原積分=2πa2R．知識(shí)點(diǎn)解析：利用斯托克斯公式的另一種形式：將第二類空間曲線積分直接化為第一類曲面積分計(jì)算，其中cosα、cosβ、cosγ是∑上各點(diǎn)法線方向的余弦．曲面∑由方程z=z(x，y)給出，當(dāng)∑取上側(cè)時(shí)，有17、展開(kāi)函數(shù)f(x)=為傅里葉級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(這里用到cosnπ=(一1)n(n為整數(shù)))=0．(這里用到sinnπ=0(n為整數(shù)))所給函數(shù)滿足收斂定理?xiàng)l件(在端點(diǎn)x=±π處f(x)連續(xù)且f(π)=f(－π))，由傅里葉級(jí)數(shù)公式，有知識(shí)點(diǎn)解析：求函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，先確定f(x)的周期2l，利用公式求出傅里葉系數(shù)，得到傅里葉級(jí)數(shù)若f(x)在(一l，l)內(nèi)有定義且滿足狄利克雷條件，進(jìn)一步若f(x)在[一l，l]上連續(xù)，則若f(x)在[一l，l]上連線，f(一l)=f(l)，則18、已知三階矩陣A滿足A3=2E，若B=A2+2A+E，證明B可逆，且求B－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A3=2E得到A3+E=3E，即(A+E)(A2一A+E)=3E，故A+E可逆，且(A+E)－1=(A2一A+E)／3．于是B=(A+E)2可逆，且B－1=[(A+E)2]－1=[(A+E)－1]2=[(A2一A+E)／3]2=(A2一A+E)2／9．知識(shí)點(diǎn)解析：A的元素沒(méi)有給出，利用可逆矩陣的定義證之．注意到B=A2+2A+E=(A+E)2，只需證A+E可逆．19、求正交矩陣Q，將實(shí)對(duì)稱矩陣A=化為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一因A的特征多項(xiàng)式為｜λE一A｜=(λ一2)2(λ一8)，故A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=8．現(xiàn)分別求出屬于它們的線性無(wú)關(guān)的特征向量．當(dāng)λ1=λ2=2時(shí)，解(2E一A)X=0．由得到屬于λ1=λ2=2的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α1=[一1，1，0]T，α2=[一1，0，1]T．用施密特方法將α1與α2正交化，為此令β1=α1=[一1，1，0]T，則β2=α2于是β1，β2為相互正交的特征向量．當(dāng)λ3=8時(shí)，解(8E－A)X=0．因由基礎(chǔ)解系的簡(jiǎn)便求法知，屬于λ=8的特征向量為α3=[1，1，1]T．將β1，β2，α3單位化分別得到則所求的正交矩陣Q=[η1，η2，η3]=方法二因A有二重特征值λ1=λ2=2，可用基礎(chǔ)解系正交化的方法求出正交矩陣．已知α1=[一1，1，0]T為屬于λ1=2的一個(gè)特征向量．設(shè)屬于λ1=2的另一特征向量為[x1，x2，x3]T=X．下求X使之與α1正交．因X為λ1=2的另一特征向量，故必滿足系數(shù)矩陣為①的方程，即故x1+x2+x3=0．②又X與α1正交，有XTα1=0，即一x1+x2=0．③聯(lián)立式②、式③得到故X=[一1／2，一1／2，1]T，則α1，X，α3為兩兩正交的向量組，將其單位化得到于是所求的正交矩陣為Q=[η1，η2，η3]=知識(shí)點(diǎn)解析：一般用施密特正交化的方法求出正交矩陣Q，使Q－1AQ為對(duì)角矩陣．但如A的特征值中含有一個(gè)二重特征值，也可不必用施密特正交化的方法，而用基礎(chǔ)解系正交化的方法求出正交矩陣Q，使Q－1AQ為對(duì)角陣．其一般步驟是先求出二次型矩陣的特征值、特征向量，將屬于同一特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，再將所有特征向量單位化，使這些正交單位特征向量為列向量所構(gòu)成的矩陣即為所求的正交矩陣，它也是正交變換的變換矩陣．20、已知ξ、η相互獨(dú)立，且都服從N(0，1／2)的分布，求E(｜ξ一η｜)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因ξ與η相互獨(dú)立，且都服從N(0，1／2)的分布，故ξ一η服從正態(tài)分布，又E(ξ一η)=E(ξ)一E(η)=0，D(ξ一η)=D(ξ)+D(η)=1，因而ξ一η～N(0，1)．故知識(shí)點(diǎn)解析：先根據(jù)題設(shè)求出ξ一η的分布，再利用期望定義求之．21、設(shè)X和Y為獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在區(qū)間[0，1]上服從均勻分布，Y的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布函數(shù)Fz(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題設(shè)可知，X的概率密度函數(shù)為而FZ(z)=P(Z≤z)=f(x，y)dxdy，其中區(qū)域D為一∞＜x+y≤z．因而為求出FZ(z)，必須先求出聯(lián)合概率密度f(wàn)(x，y)．由上述fY(y)與fX(x)的表示式易求得因f(x，y)取非零值的定義域的邊界點(diǎn)為(0，0)，(0，1)，(1，2)，(0，2)，相應(yīng)地，x+y=z的可能取值為0，1，2，3．因而z應(yīng)分下述情況分別求出分布函數(shù)Fz(z)：(1)z≤0；(2)0＜z≤1；(3)1＜z≤2；(4)2＜z≤3；(5)z＞3．于是當(dāng)z≤0時(shí)，f(x，y)=0，則FZ(z)=0．當(dāng)0＜z≤1時(shí)，則當(dāng)1＜z≤2時(shí)(參見(jiàn)下圖)，則當(dāng)2＜z≤3時(shí)，則FZ(z)=1一(3一z)3．當(dāng)z＞3時(shí)，易求得FZ(z)=1．綜上得到知識(shí)點(diǎn)解析：由獨(dú)立性即可寫出(X，Y)的概率密度函數(shù)．求X、Y的線性函數(shù)的分布函數(shù)一般直接按定義求之．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且f’(x0)＞0，則存在δ＞0，使得()。A、f(x)在區(qū)間(x0－δ，x0＋δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)＞f(x0)在區(qū)間(x0，x0＋δ)內(nèi)成立，但在區(qū)間(x0－δ，x0)內(nèi)不成立C、f(x)＞f(x0)在區(qū)間(x0－δ，x0)內(nèi)成立，但在區(qū)間(x0，x0＋δ)內(nèi)不成立D、f(x)＞f(x0)當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)成立標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有從而由極限的保號(hào)性(不等式性質(zhì))知，存在δ＞0，使得當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)，有這表明：當(dāng)x0＜x＜x0＋δ時(shí)，f(x)＞f(x0)，而當(dāng)x0－δ＜x＜x0時(shí)，f(x)＜f(x0)，僅(B)入選。注意條件“f(x)在點(diǎn)x＝x0處可導(dǎo)，且f’(x0)＞0”不足以保證f(x)在點(diǎn)x＝x0的某一鄰域內(nèi)單調(diào)增加，如果進(jìn)一步假設(shè)導(dǎo)函數(shù)f’(x)在點(diǎn)x＝x0處連續(xù)，就可保證f(x)在點(diǎn)x＝x0的某一鄰域內(nèi)單調(diào)增加了。雖然f’(x)＝1，但f’(x)在任何區(qū)間(0，δ)內(nèi)無(wú)窮次地改變符號(hào)，所以f(x)不可能在任何區(qū)間(－δ，δ)內(nèi)單調(diào)增加，因而(A)中結(jié)論是錯(cuò)誤的。2、下列結(jié)論中不正確的是()。A、z＝f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則它在點(diǎn)(x0，y0)處必連續(xù)B、z＝f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則它在點(diǎn)(x0，y0)處沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在C、z＝f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則f’x，f’y在點(diǎn)(x0，y0)處必連續(xù)D、z＝f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則它在點(diǎn)(x0，y0)處的偏導(dǎo)數(shù)必存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：解因不存在，故f’x(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)，所以(C)不正確，僅(C)入選。3、微分方程(x2－1)dy＋(2xy－cosx)dx＝0滿足初始條件y(0)＝1的特解是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解一原方程可化為x2dy＋2xydx－dy－dsinx＝d(x2y)－d(y＋sinx)＝d(x2y－y－sinx)＝0，兩邊積分得到x2y－y－sinx＝y(tǒng)(x2－1)－sinx＝c。由y(0)＝1得－1－0＝c，即c＝－1，故，僅(A)入選。解二原方程可化為，直接套用公式，得到由y｜x＝0＝1得c＝－1，故滿足初始條件的特解為，僅(A)入選。4、設(shè)S是平面x＋y＋z＝4被圓柱面x2＋y2＝1截出的有限部分，則曲面積分＝()。A、0B、C、D、π標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解由題設(shè)條件知D：x2＋y2≤1，且z(x，y)＝4－x－y，f(x，y，z)＝y(tǒng)，故z’x＝－1，z’y＝－1，則因D關(guān)于x軸對(duì)稱，而被積函數(shù)y關(guān)于y為奇函數(shù)，故僅(A)入選。5、設(shè)A是5×4矩陣，B是四階矩陣，滿足2AB＝A，B*是B的伴隨矩陣，若A的列向量線性無(wú)關(guān)，則秩r(B*)＝()。A、0B、1C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解一由2AB＝A得A(2B－E)＝0，從而r(A)＋(2B－E)≤4，又因A是5×4矩陣，A的列向量線性無(wú)關(guān)，由此知秩r(A)＝4，從而秩r(2B－E)＝0，即2B－E＝0。于是B＝E，r(B)＝r(E)＝r(E)＝4，故r(B*)＝4，僅(D)入選。解二因A為列滿秩，故秩(A)＝4，則由2AB＝A得到r(2AB)＝r(A)＝4，而r(2AB)＝r(AB)＝r(B)，故r(B)＝r(2AB)＝r(A)＝4。于是秩(B*)＝4，僅(D)入選。6、下列二次型中，正定的二次型是()。A、f1(x1，x2，x3)＝x12＋5x22－x32＋4x1x2＋6x1x3＋8x2x3B、f2(x1，x2，x3)＝2x12＋x32－2x1x2＋2x1x3＋2x2x3C、f3(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋2x32－2x1x2＋4x2x3D、f4(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋7x32＋2x1x2＋4x1x3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解一用排除法，可知僅(D)入選。(A)f1中有一x32項(xiàng)，故取(x1，x2，x3)＝(0，0，1)≠0時(shí)，有f1(0，0，1)＝－1<0，因此f1不正定。(B)f2中缺x22項(xiàng)，故取(x1，x2，x3)＝(0，1，0)≠0時(shí)，有f2(0，1，0)＝0，因此f2不正定。(C)f3(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋2x32－2x1x2＋4x2x3＝(x1－x2)2＋2x22＋2x32＋4x2x3＝(x1－x2)2＋2(x1＋x2)2，取(x1，x2，x3)＝(1，1，－1)≠0，有f3(1，1，－1)＝0，因此f3不正定。解二f4(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋7x32＋2x1x2＋4x1x3＝(x1＋x2＋2x3)2＋2x22－4x2x3＋3x32＝(x1＋x2＋2x3)2＋2(x2－x3)2＋x32，因正慣性指數(shù)p＝3＝n(未知量個(gè)數(shù))，故f4正定f4的對(duì)應(yīng)矩陣為其各階順序主子式均大于零：故f4正定，僅(D)入選。7、設(shè)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立，且E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)存在，則下列等式中不成立的是()，下列表示式中的a，b均為常數(shù)。A、E(aX±bY)＝aE(X)±bE(Y)B、E(aX·bY)＝abE(X)·E(Y)C、D(aX＋bY)＝a2D(X)＋b2D(Y)D、D(aX－bY)＝a2D(X)－b2D(Y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解對(duì)于隨機(jī)變量線性組合的方差，有如下等式成立：D(aX±bY)＝a2D(X)＋b2D(Y)±2abcov(X，Y)，而對(duì)于X，Y獨(dú)立的情形，因cov(X，Y)＝0，故D(aX±bY)＝a2D(X)＋b2D(Y)，僅(D)入選。8、設(shè)隨機(jī)變量列X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n充分大時(shí)，X1，X2，…，Xn，…依概率收斂于其共同的數(shù)學(xué)期望，只要X1，X2，…，Xn，…，()。A、服從同一離散型分布B、有相同的數(shù)學(xué)期望C、服從同一連續(xù)型分布D、有相同的泊松分布標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解一因?yàn)殡S機(jī)變量列X1，X2，…，Xn，…服從辛欽大數(shù)定律的條件是：各個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，而且數(shù)學(xué)期望存在，顯然4個(gè)選項(xiàng)中只有(D)滿足此條件，僅(D)入選。解二可用排除法判別之，選項(xiàng)(A)、(C)雖然服從同一分布，但不能保證數(shù)學(xué)期望存在，故排除(A)、(C)，而選項(xiàng)(B)中缺少同分布這一條件，也應(yīng)排除，僅(D)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：4x3f’1＋2xf’2＋x4yf"11－yf"22知識(shí)點(diǎn)解析：解＝3x2f＋x3yf’1－xyf’2。值得注意的是，f’1，f’2與f一樣都是關(guān)于的函數(shù)，即再次對(duì)x或y求偏導(dǎo)時(shí)，也必須運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得到＝4x3f’1＋2xf’2＋x4yf"11－yf"22。10、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：[－3，1)知識(shí)點(diǎn)解析：解一原級(jí)數(shù)可化為，則故即－3＜x＜1。當(dāng)x＝1時(shí)，得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)為P＝1／2＜1的級(jí)數(shù)，故發(fā)散。當(dāng)x＝－3時(shí)，得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)為P＝1／2＞0的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂，故所給冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[－3，1)。解二因?yàn)樗缘氖諗繀^(qū)間為(－2，2)。再由－2＜x＋1＜2可解得－3＜x＜1，即收斂區(qū)間為(－3，1)，關(guān)于端點(diǎn)處的斂散性的討論同解一。11、微分方程yy"－(y’)2＝y(tǒng)4滿足y(0)＝1，y’(0)＝1的特解為y＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：解令y’＝P，則，代入原方程，得到＝y(tǒng)2(2∫ydy＋c1)＝y(tǒng)2(y2＋c1)由初始條件y(0)＝1，y’(1)＝1得到c1＝0，于是p＝y(tǒng)2，則再由初始條件y(0)＝1，得到c2＝－1，故。12、設(shè)常數(shù)a>0，L為擺線一拱，0≤t≤2π，則I＝∫Lyds＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、已知三階矩陣A的特征值1，2，3，則[(3A)*]－1的最大特征值是＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：解因[(3A)*]－1＝(33－1A*]－1故[(3A)*]－1的三個(gè)特征值為，最大的特征值為。14、已知(X，Y)的聯(lián)合分布律為：則X，Y的相關(guān)系數(shù)ρXY＝＿＿＿＿＿＿＿＿。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：解一先將聯(lián)合分布律改寫為下述表格形式，在此同一表格中可求出X，Y及XY的分布律：因而X，Y及XY的分布律分別為：故E(X)＝0．45，E(Y)＝0．55，E(XY)＝P(X＝1，Y＝1)＝0．25，cov(X，Y)＝E(X，Y)－E(X)E(Y)＝0．25－0．45×0．55＝0．0025。D(X)＝p1(1－p1)＝0．45×(1－0．45)＝0．45×0．55，D(Y)＝P2(1－P2)＝0．55×(1－0．55)＝0．55×0．45，解二由聯(lián)合分布表易求得P1＝P(X＝1)＝0．45，P2＝P(Y＝1)＝0．55。由上述結(jié)論得到E(X)＝0．45，D(X)＝0．45(1－0．45)＝0．45×0．55，E(Y)＝0．55，D(Y)＝0．55(1－0．55)＝0．55×0．45，E(XY)＝P(X＝1，Y＝1)＝0．25，則cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0．25－0．45×0．55，三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)＝0，f(1)＝1。證明15、存在c∈(0，1)，使得f(c)＝；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)＝f(x)－1／2，則F(0)＝f(0)－1／2＝－1／2＜0，F(xiàn)(1)＝f(1)－1／2＝1－1／2＝1／2＞0。由零點(diǎn)(介值)定理知，存在c∈(0，1)，使F(c)＝0，即f(c)＝1／2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、存在ξ≠η∈(0，1)，使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：在[0，c]及[c，1]上對(duì)f(x)分別使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得于是＝2c＋2(1－c)＝2，得證。知識(shí)點(diǎn)解析：注意上面利用(1)的結(jié)論證明了(2)的結(jié)論，但(1)的結(jié)論也可由(2)的結(jié)論推出。事實(shí)上，由得到2f2(c)－2cf(c)－f(c)＋c＝f(c)[2f(c)－1]－c[2f(c)－1]＝[f(c)－c][2f(c)－1]＝0。因f(x)不一定滿足f(x)＝x，故有2f(c)－1＝0，即f(c)＝1／2。17、設(shè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：解因在[－1，3]內(nèi)有f(x)的兩個(gè)瑕點(diǎn)0與2，故所求的積分是瑕積分。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、將展為x－1的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域。標(biāo)準(zhǔn)答案：＝1－x＋x2－…＋(－1)nxn＋…，－1＜x＜1，得到(2)由于級(jí)數(shù)①的收斂區(qū)間為－1＜＜1，即－1＜x＜3，級(jí)數(shù)②的收斂區(qū)間為－1＜＜1，即－3＜x＜5，故級(jí)數(shù)③的收斂區(qū)間為－1＜x＜3，但在x＝－1與x＝3處，級(jí)數(shù)③發(fā)散，故收斂域?yàn)?－1，3)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)ABCDA為一矩形回路，其中A＝A(－1，1)，B＝B(－1，－1)，C＝C(ξ，－1)，D＝D(ξ，1)，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：解當(dāng)ξ＜0時(shí)，在矩形回路中連續(xù)可導(dǎo)，易求得。由格林公式即得。當(dāng)ξ＞0時(shí)，這時(shí)矩形回路含有原點(diǎn)，為挖掉這個(gè)原點(diǎn)以r＜min(1，ξ)為半徑作圓，則可在以圓外到ABCDA所圍的區(qū)域D內(nèi)使用格林公式：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知n維向量α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，如果n維向量β不能由α1，α2，…，αs線性表出，而γ可由α1，α2，…，αs線性表出，證明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ線性無(wú)關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：證一利用拆項(xiàng)重組法及線性無(wú)關(guān)的定義證之。由題設(shè)γ可由α1，α2，…，αs線性表出，可設(shè)γ＝c1α1＋c2α2＋…＋csαs，又令k1α1＋k2(α1＋α2)＋…＋ks(αs＋αs－1)＋k(β＋γ)＝0。將其拆項(xiàng)重組得到(k1＋k2＋kc1)α1＋(k2＋k3＋kc2)α2＋…＋(ks＋kcs)αs＋kβ＝0。因α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，而β不能由α1，α2，…，αs線性表出，故α1，α2，…，αs，β線性無(wú)關(guān)，因而k＝0，k1＋k2＋kc1＝0，k2＋k3＋kc2＝0，…，ks＋kcs＝0，即k1＋k2＝0，k2＋k3＝0，…，ks－1＋ks＝0，ks＝0，解得k1＝k2＝…＝ks－1＝ks＝0，即α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ線性無(wú)關(guān)。證二注意到α1，α2，…，αs，β線性無(wú)關(guān)，γ＝c1α1＋c2α2＋…＋csαs，由而α1，α2，…，αs，β線性無(wú)關(guān)，由矩陣表示法即知α1，α2，…，αs，β＋γ線性無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A是n階方陣，A＋E可逆，且f(A)＝(E－A)(E＋A)－1。證明：21、[E＋f(A)](E＋A)＝2E；標(biāo)準(zhǔn)答案：[E＋f(A)](E＋A)＝E＋A＋f(A)(E＋A)＝E＋A＋(E－A)(E＋A)－1(E＋A)＝E＋A＋E－A＝2E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、f[f(A)]＝A。標(biāo)準(zhǔn)答案：f[f(A)]＝[E－f(A)][E＋f(A)]－1，由(上題)可知[E＋f(A)]－1＝，故f[f(A)]＝[E－f(A)](E＋A)／2＝[E－(E－A)(E＋A)－1](E＋A)／2＝(E＋A)／2－(E－A)(E＋A)－1(E＋A)／2＝(E＋A)／2－(E－A)／2＝A。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量(ξ，η)的概率密度為試求23、(ξ，η)的分布函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：將φ(x，y)定義域中的邊界線段延長(zhǎng)為直線，它們將整個(gè)平面分成5個(gè)子區(qū)域：①D1：x≤0或y≤0時(shí)，F(xiàn)(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝∫－∞x∫－∞yφ(x，y)dxdy＝＝0。②D2：0＜x≤1，0＜y≤2時(shí)，F(xiàn)(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝∫－∞x∫－∞yφ(x，y)dxdy③D3：x＞1，0＜y≤2時(shí)，F(xiàn)(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X＜1，0＜Y≤y)④D4：0＜x≤1，y＞2時(shí)，F(xiàn)(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X≤x，0≤Y≤2)⑤D5：x＞1，y＞2時(shí)，F(xiàn)(x，y)＝P(X≤x，Y≤y)＝P(0≤X≤1，0≤Y≤2)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、食用加碘鹽對(duì)人的身體有利，但鹽中含碘量過(guò)多，則會(huì)對(duì)身體有害，國(guó)家有關(guān)部門規(guī)定：每公斤食用鹽內(nèi)含碘量不得超過(guò)20mg，現(xiàn)對(duì)某廠生產(chǎn)的食鹽進(jìn)行抽查，隨機(jī)地抽出16包(每包1kg)，測(cè)量每包含碘量的平均值為24mg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S＝2．6mg，設(shè)每包含碘量服從正態(tài)分布N(μ，σ2)。問(wèn)該廠生產(chǎn)的加碘鹽的含碘量是否合格?(α＝0．05)，并求μ的置信度為95%的置信區(qū)間。參考數(shù)據(jù)：t0．05(15)＝1．7531，t0．05(16)＝1．7459，t0．025(15)＝2．1315，t0．025(16)＝2．1199。標(biāo)準(zhǔn)答案：解(1)H0：μ＝μ0＝20，H1：μ＞μ0＝20。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為H0的拒絕域?yàn)镽＝{T＞tα(n－1)}。計(jì)算觀測(cè)值為t＝＝6．1538，查表得tα(n－1)＝t0．05(15)＝1．7531。因6．1538＞1．7531，即t＞tα(n－1)落在拒絕域內(nèi)，拒絕H0，接受H1：μ＞μ2，即含碘量超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，不合格。(2)σ2未知，μ的置信度為1－α＝0．95即α＝0．05的置信區(qū)間為其中tα/2(n－1)＝t0．025(15)＝2．1315，代入上式即得所求的置信區(qū)間為＝(24－1．39，24＋1．39)＝(22．61，25．39)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且又設(shè)f(x)在該鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且滿足x2f"(x)一[f’(x)]2=xg(x)．則()A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、f(0)不是f(x)的極值．D、f(0)是否為f(x)的極值要由具體的g(x)決定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：故f(0)為f(x)的一個(gè)極小值．2、設(shè)f(x)在區(qū)間(一∞，+∞)上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，又設(shè)則φ(x)在區(qū)間(一∞，+∞)上()A、嚴(yán)格單調(diào)減少．B、嚴(yán)格單調(diào)增加．C、存在極大值點(diǎn)．D、存在極小值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令上式分子為Ф(x)=(x—a)f(x)一∫axf(t)dt=(x一a)f(x)一(x一a)f(ξ)=(x—a)[f(x)一f(ξ)]，其中，當(dāng)a＜x時(shí)，a＜ξ＜x，從而f(ξ)＜f(x)；當(dāng)a＞x時(shí)，a＞ξ＞x，從而f(ξ)＞f(x)．所以不論a＜x還是a＞x，總有Ф(x)＞0．所以當(dāng)x≠a時(shí)φ’(x)＞0．從而知在區(qū)間(一∞，a)與(a，+∞)上φ(x)均為嚴(yán)格單調(diào)增加．以下證明在區(qū)間(一∞，+∞)上φ(x)也是嚴(yán)格單調(diào)增加．事實(shí)上，設(shè)x2∈(a，+∞)，則其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在開(kāi)區(qū)間(a，x2)內(nèi)．同理，設(shè)x1∈(一∞，a)，則有φ(x)一φ(x1)=f(a)一f(ξ1)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上兩個(gè)不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3、設(shè)則f(x，y)在點(diǎn)O(0，0)處()A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可微．D、可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：所以f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．若在點(diǎn)0(0，0)處可微，則應(yīng)有但是上式并不成立，事實(shí)上，所以f(x，y)在點(diǎn)O(0，0)處不可微．故應(yīng)選(C)．4、下述命題①設(shè)f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)；②設(shè)f(x)在任意的閉區(qū)間[a，b]上有界，則f(x)在(一∞，+∞)上有界；③設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上為正值的連續(xù)函數(shù)，則在(一∞，+∞)上也是正值的連續(xù)函數(shù)；④設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上為正值的有界函數(shù)，則在(一∞，+∞)上也是正值的有界函數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：①與③是正確的，②與④是不正確的，理由如下：①是正確的．設(shè)x0∈(一∞，+∞)，則它必含于某區(qū)間[a，b]中，由于題設(shè)f(x)在任意閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故在x0處連續(xù)，所以在(一∞，+∞)上連續(xù)．論證的關(guān)鍵之處是：函數(shù)f(x)的連續(xù)性是按點(diǎn)來(lái)討論的，在區(qū)間上每一點(diǎn)處連續(xù)，就說(shuō)它在該區(qū)間上連續(xù)．③是正確的．設(shè)x0∈(一∞，+∞)，則f(x0)＞0，且在x0處連續(xù)．由連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則知，在x0處也連續(xù)，所以且在(一∞，+∞)上連續(xù)．②是不正確的．反例：設(shè)f(x)=x，在區(qū)間這個(gè)界與[a，b]有關(guān)，容易看出，在區(qū)間(一∞，+∞)上f(x)=x就無(wú)界了．④是不正確的．反例：f(x)=ex2，在區(qū)間(一∞，+∞)上0＜f(x)≤1，所以f(x)在(一∞，+∞)上為正值的有界函數(shù)，而在(一∞，+∞)上無(wú)界，這是因?yàn)楫?dāng)x→±∞時(shí)，故應(yīng)選(B)．5、設(shè)A，B是n階實(shí)對(duì)稱可逆矩陣．則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是()A、A，B等價(jià)．B、AB，BA相似．C、A，B合同．D、A2，B2合同．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(A)成立，A，B均是可逆矩陣，均可以通過(guò)初等行變換化成單位矩陣，即有可逆矩陣P，Q，使得PA=QB=E，即有Q－1PA=B，故AB．(B)成立，取可逆矩陣P=A，則有P－1(AB)P=A－1(AB)A=BA．故AB～BA．(D)成立，A，B是實(shí)對(duì)稱可逆矩陣，特征值分別為λi，μi(i=1，2，…，n)均不為零，Ai2，Bi2的特征值分別為λi2＞0，μi2＞0，(i=1，2，…，n)A2，B2均是正定矩陣．它們的正慣性指數(shù)均為n(負(fù)慣性指數(shù)為零)．故由排除法，應(yīng)選(C)．對(duì)于(C)，取均是可逆的實(shí)對(duì)稱矩陣，但A的正慣性指數(shù)為2，B的正慣性指數(shù)為1，故A，B不合同．6、設(shè)A是3階矩陣ξ1=(1，2，一2)T，ξ2=(2，1，一1)T，ξ3=(1，1，t)T是線性非齊次方程組Ax一b的解向量，其中b=(1，3，一2)T，則()A、t=一1時(shí)，必有r(A)=1．B、t=一1時(shí)，必有r(A)=2．C、t≠一1寸，必有r(A)=1．D、t≠一1時(shí)，必有r(A)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由ξ1，ξ2，ξ3是Ax=b的解向量，t≠一1時(shí)，r(B)=3，知ξ1，ξ2，ξ3線性無(wú)關(guān)，ξ1－ξ2，ξ2－ξ3是對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，故r(A)≤1，但A≠O(若A=0，則Ax=b無(wú)解，這和題設(shè)條件矛盾)，故必有，r(A)=1，故應(yīng)選(C)．7、將一枚均勻硬幣連續(xù)拋n次，以A表示“正面最多出現(xiàn)一次”，以B表示“正面和反面各至少出現(xiàn)一次”，則()A、n=2時(shí)，A與B相互獨(dú)立．B、n=2時(shí)，AB．C、n=2時(shí)，A與B互不相容．D、n=3時(shí)，A與B相互獨(dú)立．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)n=2時(shí)，由P(AB)≠P(A)P(B)知A與B不相互獨(dú)立，排除(A)．又P(A)＞P(B)知AB，排除(B)．A∩B=B，故A與B互不相容不成立，排除(C)．當(dāng)n=3時(shí)，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A與B相互獨(dú)立．故應(yīng)選(D)．8、設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn(n＞1)獨(dú)立同分布，其方差σ2＞0，記(1≤k≤n)，則(1≤s，t≤n)的值等于()A、B、C、σ2·max{s，t}．D、σ2·min{s，t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知f’(x)=arctan(x－1)2，f(0)=0，則∫01f(x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=f(0)+∫0xf’(t)dt=∫0xarctan(t－1)2dt，10、設(shè)f(u)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，S是曲面z=6+x2+y2(6≤z≤7)，方向取上側(cè)．則曲面積分標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：添平面S1：z=7(x2+y2≤1)，向下，11、橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面S的面積=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)A是n階矩陣，α，β是n維列向量，a，b，c是實(shí)數(shù)，已知標(biāo)準(zhǔn)答案：(c－b)a知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記則E(T2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)D為曲線y=x3與直線y=x圍成的兩塊區(qū)域，求二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖所示，第一象限部分記為D1，第三象限部分記為D2，于是令x=一t，則第2個(gè)積分與第1個(gè)積分可合并，第3個(gè)積分與第6個(gè)積分相抵消，第4個(gè)積分與第5個(gè)積分相抵消．于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、將函數(shù)展開(kāi)成(x一2)的冪級(jí)數(shù)，并求出其收斂范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=x一2，于是x=u+2，又因當(dāng)x=3時(shí)，上述級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x=1時(shí)，上述級(jí)數(shù)收斂，且當(dāng)x=1時(shí)，f(x)連續(xù)，故知收斂范圍為1≤x＜3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)微分方程xy’+2y=2(ex一1)．(Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求存在的那個(gè)解(將該解記為y0(x))，以及極限值(Ⅱ)補(bǔ)充定義使y0(x)在x=0處連續(xù)，求y’00(x)，并請(qǐng)證明無(wú)論x≠0還是x=0，y’0(x)均連續(xù)，并請(qǐng)寫出y’0(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)x≠0時(shí)，原方程化為由一階線性方程的通解公式，得通解其中C為任意常數(shù)．由上述表達(dá)式可知，并不是對(duì)于任何常數(shù)C，都存在，存在的必要條件是y0’(x)在x=0處連續(xù)．又顯然，y0’(x)在x≠0處也連續(xù)，故無(wú)論x≠0還是x=0，均連續(xù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)x＞0，證明：且僅在x=1處等號(hào)成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：從而知，當(dāng)O＜x＜1時(shí)，φ(x)＜0，即有F"(x)＜0．因F’(1)=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)’(x)＞0．又因F(1)=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)(x)＜0，從而知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)點(diǎn)M(ξ，η，ζ)是橢球面上第一象限中的點(diǎn)，S是該橢球面在點(diǎn)M處的切平面被三個(gè)坐標(biāo)面所截得的三角形的上側(cè)．求點(diǎn)(ξ，η，ζ)使曲面積分為最小，并求此最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面上點(diǎn)M(ξ，η，ζ)處的法向量為，切平面方程是化簡(jiǎn)即得該切平面被三坐標(biāo)面截得的三角形在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)榍驣的最小值等價(jià)于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ξ＜c的最大值，約束條件是由拉格朗日乘數(shù)法得顯然，當(dāng)ξ=a或ξ=0時(shí)，ω最小，故當(dāng)時(shí)，叫最大，I的最小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A是m×n矩陣，B是m×n矩陣，已知Em+AB可逆．(Ⅰ)驗(yàn)證En+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(Em+AB)－1A；(Ⅱ)設(shè)其中a1b1+a2b2+a3b3=0．證明：W可逆，并求W－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：在不存在歧義的情況下，簡(jiǎn)化記號(hào)，省略E的下標(biāo)m，n．(Ⅰ)因(E+BA)[E—B(E+AB)－1A]=E+BA一B(E+AB)－1A—BAB(E+AB)－1A=E+BA一B(E+AB)(E+AB)－1A=E+BA一BA=E，故E+BA可逆，且(E+BA)－1=E—B(E+AB)－1A．由(Ⅰ)知E+AB可逆，則E+BA可逆，N(E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A．反之若E+BA可逆，則E+仙可逆，且(E+AB)－1=E－A(E+BA)－1B．因?yàn)镋+BA=E+(b1，b2，b3)=E+[a1b1+a2b2+a1b3]=E+0=E，故E+BA可逆，(E+BA)－1=E．故W=E+AB可逆，且W－1=E—A(E+BA)－1B=.E.(b1，b2，b3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、(Ⅰ)設(shè)f(x1，x2，x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆線性變換將f化為規(guī)范形，并求出所作的可逆線性變換．并說(shuō)明二次型的對(duì)應(yīng)矩陣A是正定矩陣；(Ⅱ)設(shè)求可逆矩陣D，使A=DTD．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)將f(x1，x2，x3)用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，得f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x23一2x1x2+2x1x3一6x2x3一(x1－x2+x3)2+x22+5x23一4x2x3=(x1－x2+x3)2+(x2—2x3)2+x23．得廠的標(biāo)準(zhǔn)形為f(x1，x2，x3)=y12+y22+y32．所作的可逆線性變換為x=Cy，其中C=A對(duì)應(yīng)的二次型的規(guī)范形為y12+y22+y32，正慣性指數(shù)P=3=r(A)，故知A是正定矩陣(也可用定義證明，或用順序主子式全部大于零證明A是正定矩陣)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，是f(x1，x2，x3)的對(duì)應(yīng)矩陣，即f(x1，x2，x3)=xTAx．令x=Cy，其中，得f=xTAx=yTCTACy=yTEy，故CTAC=E，A=(C－1)TC－1=DTD，其中D=C－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)在某段時(shí)間內(nèi)來(lái)到證券交易所的人數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，每個(gè)來(lái)交易所的人購(gòu)買A股的概率為p．假設(shè)股民之間是否購(gòu)買A股相互獨(dú)立，試求在該段時(shí)間內(nèi)交易所X人中共有Y人買A股的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y=r表示“有r個(gè)人買A股”，X=i表示“有i個(gè)人來(lái)到交易所”，i=r，r+1，…，于是，由全概率公式有從此可看出X人中購(gòu)買A股的人數(shù)y服從參數(shù)為λp的泊松分布，所以EY=λp．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)隨機(jī)變量X在(0，1)上服從均勻分布，令隨機(jī)變量(Ⅰ)求Y的分布函數(shù)FY(y)；(Ⅱ)求Y的數(shù)學(xué)期望EY．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先畫出(0＜X＜1)的圖像．由分布函數(shù)定義FY(y)=P{Y≤y}，有當(dāng)y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y)=1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，下列四個(gè)無(wú)窮小量關(guān)于x的階數(shù)最高的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)方程()。A、無(wú)實(shí)根B、有且僅有一個(gè)實(shí)根C、有且有兩個(gè)實(shí)根D、有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：解設(shè)，注意到當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＞0，所以只需在[0，1]上討論f(x)＝0的根的情況。f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＋sin1＞0，由零點(diǎn)定理知，f(x)在[0，1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根，但當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，這說(shuō)明f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加，因此f(x)＝0在(0，1)內(nèi)最多只有一個(gè)實(shí)根。綜上所述，f(x)＝0在(0，1)內(nèi)只有唯一實(shí)根，從而方程在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根，僅(B)入選。3、若f(－x)＝f(x)(－∞＜x＜＋∞)，且x∈(0，＋∞)時(shí)f’(x)＞0，f"(x)＜0，則在(－∞，0)內(nèi)()。A、f’(x)＞0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’