人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5.5三角恒等變換 課時(shí)16 簡(jiǎn)單的三角恒等變換（2）【課件】

第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換課時(shí)16簡(jiǎn)單的三角恒等變換（2）教學(xué)目標(biāo)1.運(yùn)用三角恒等變換的方法,將形如asinx+bcosx的三角函數(shù)式合一變形為Asin(x+φ)的形式.2.能靈活運(yùn)用三角公式,通過(guò)三角恒等變換,解決三角函數(shù)的最大(小)值、周期、單調(diào)性等問(wèn)題.3.通過(guò)構(gòu)造三角函數(shù)模型,運(yùn)用三角恒等變換的方法解決實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)能夠?qū)⑿稳鏰sinx+bcosx的三角函數(shù)式變形為Asin(x+φ)的形式在將asinx+bcosx變形為Asin(x+φ)的過(guò)程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)靈活利用公式，通過(guò)三角恒等變換，解決三角函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問(wèn)題在運(yùn)用三角公式解決三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的過(guò)程中,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)能通過(guò)構(gòu)造三角函數(shù)模型,運(yùn)用三角恒等變換的方法解決實(shí)際問(wèn)題在構(gòu)造三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)如圖,一段半徑為R,圓心角為90°的扇形圓木,欲按圖中陰影部分鋸成橫斷面為四邊形OABC的木料.試問(wèn):怎樣鋸才能使截面面積最大?這是課時(shí)10中遺留的問(wèn)題,現(xiàn)在你能求出答案嗎?初探新知

【活動(dòng)】探究推導(dǎo)“合一變形”公式y(tǒng)=asinx+bcosx=Asin(x+φ)【問(wèn)題2】如何求函數(shù)y=3sinx-4cosx,x∈R的最大值?【問(wèn)題3】一般情況下,能否將函數(shù)y=asinx+bcosx化成y=Asin(x+φ)的形式?

【活動(dòng)2】“合一變形”公式:asinx+bcosx=Asin(x+φ)的剖析和理解

活動(dòng)3運(yùn)用“合一變形”公式解決實(shí)際問(wèn)題典例精析

【例1】[教材改編題]求函數(shù)f(x)＝5sinx－12cosx的周期、最大值和最小值．思路點(diǎn)撥：利用合一變形公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為Asin(x+φ)的形式,再運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)使問(wèn)題獲解.【解】

【方法規(guī)律】對(duì)于形如y=asinωx+bcosωx的函數(shù),為研究其值域、最值、周期性和單調(diào)性等問(wèn)題,?？山柚弦蛔冃喂?運(yùn)用輔助角方法,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)使問(wèn)題獲解.

【變式訓(xùn)練1】設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，求cosθ的值．【解】

【例2】

思路點(diǎn)撥：(1)這是一道關(guān)于三角函數(shù)的給角求值問(wèn)題，通過(guò)化切為弦，靈活運(yùn)用輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換，消去(約去)非特殊角的三角函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)求值．(2)這是一道關(guān)于三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題，通過(guò)靈活運(yùn)用輔助角公式，找出已知條件與所求值的角之間的聯(lián)系，使問(wèn)題獲得解決．【解】

=【方法規(guī)律】對(duì)于三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明等問(wèn)題,在進(jìn)行三角恒等變換時(shí),若遇到形如asinθ+bcosθ的結(jié)構(gòu),要能優(yōu)先想到合一變形公式,靈活地運(yùn)用輔助角方法進(jìn)行恒等變形,以達(dá)成求出三角函數(shù)式的值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式的目標(biāo),使問(wèn)題獲得解決.【變式訓(xùn)練2】

【解】

(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)矩形草坪，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，且∠POE＝θ，求當(dāng)矩形草坪的面積取最大值時(shí)θ的值．

【解】

【方法規(guī)律】凡涉及三角函數(shù)恒等變換的實(shí)際問(wèn)題,應(yīng)首先將實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建成一個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用三角函數(shù)恒等變換的公式加以解決.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題意,只有吃透題意,才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.

【解】

思路點(diǎn)撥：

(1)通過(guò)降次、合一變形將函數(shù)式變形為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究其單調(diào)性.

(2)畫(huà)出f(x)的圖形,數(shù)形結(jié)合求解.【解】【方法規(guī)律】(1)對(duì)于一些復(fù)雜的三角函數(shù)式,為研究其性質(zhì),常需要運(yùn)用三角函數(shù)恒等式,將其變形為y=Asin(ωx+φ)的形式,再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),使問(wèn)題獲解;(2)有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,不等式的解等問(wèn)題,借助函數(shù)的圖象,從形的角度入手,數(shù)形結(jié)合求解.課堂反思通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？2.你認(rèn)