河南省鄭州市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題

河南省鄭州市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2x-y+1>0

1.設(shè)關(guān)于％，〉的不等式組｛x+m<0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足%-2%=2,則m的

y-m>Q

取值范圍是（）

421

A.（-00,--）B.（--,0）C.D.(-00,--)

3

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

由約束條件，作出可行域如上圖所示陰影部分AABC,要使可行域存在，必有機(jī)<-2m+1,可行域包

括y=1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)A（一〃，,l—2帆）在直線y=1的上方，且5（一加,加）在直線

m<—2m+1

y=gx_l的下方，，c12

故有<1-2m>——m-1,解得加<一§選D.

2

1,

m<——m-1

12

點(diǎn)睛：平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃的一類重要題型，在解答本題時(shí)，關(guān)鍵是畫好可行域，分析目標(biāo)函

數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案.

2.已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8,超過2年的概率為0.6,若一個(gè)這種元件使用到1年

時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為（）

A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48

【答案】A

【解析】

【分析】

記事件A：該元件使用壽命超過1年，記事件8:該元件使用壽命超過2年，計(jì)算出P(A)和P(AB),利用

/?、P(AB\

條件概率公式可求出所求事件的概率為P(B|A)=方寸.

【詳解】

記事件A:該元件使用壽命超過1年，記事件B-.該元件使用壽命超過2年,

則P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.6,

因此，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為

。但力多，嘿"75,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查條件概率的計(jì)算，解題時(shí)要弄清楚兩個(gè)事件的關(guān)系，并結(jié)合條件概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問

題和計(jì)算能力，屬于中等題.

3.已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱，當(dāng)xw(0,+co)時(shí)，/(x)=log2X,若a=/(—3),

b=心,c=f(2),則上c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱，所以y=/(%)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(x)=log2x,函數(shù)單增，

。=/(-3)=/(3)；0=c=/(2),

因?yàn)?>2〉：，且函數(shù)單增，故/⑶>/⑵>/1),即a〉c〉6,故選D.

4.“讀整本的書”是葉圣陶語文教育思想的重要組成部分，整本書閱讀能夠擴(kuò)大閱讀空間。某小學(xué)四年

級以上在開學(xué)初開展”整本書閱讀活動(dòng)”，其中四年1班老師號(hào)召本班學(xué)生閱讀《唐詩三百首》并背誦古

詩，活動(dòng)開展一個(gè)月后，老師抽四名同學(xué)(四名同學(xué)編號(hào)為L2,3,4)了解能夠背誦古詩多少情況，四名同

學(xué)分別對老師做了以下回復(fù)：

1說：“2比4背的少”；

2說：“1比3背的多”；

3說：“我比4背的多"；

4說：“3比2背的多”.

經(jīng)過老師測驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，四名同學(xué)能夠背誦古詩數(shù)各不相同，四名同學(xué)只有一個(gè)說的正確，而且是背誦的最少

的一個(gè).四名同學(xué)的編號(hào)按能夠背誦數(shù)量由多到少組成的四位數(shù)是（）

A.4231B.3241C.2413D.4312

【答案】A

【解析】

【分析】

分別假設(shè)四位同學(xué)是說正確的人，排除矛盾情況，推理得到答案

【詳解】

假設(shè)1正確，其他都錯(cuò)誤，則1最少，2比4背的少，1比3背的少，3比4少，3比2少

順序?yàn)椋?231

假設(shè)2正確，其他錯(cuò)誤，則2最少，根據(jù)1知：2比4多，矛盾，排除

假設(shè)3正確，其他錯(cuò)誤，則3最少，根據(jù)2知：1比3少，矛盾，排除

假設(shè)4正確，其他錯(cuò)誤，則4最少，根據(jù)3知：3比4少，矛盾，排除

故答案選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了邏輯推理，依次假設(shè)正確的人，根據(jù)矛盾排除選項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.

5.設(shè)集合4={（甬,孫瑪,4三）1%e{-1,0,1}/=123,4,5},那么集合A中滿足條件

"1旦石|+|/|+|七|+|七1+小上3"的元素個(gè)數(shù)為（）

A.60B.90C.120D.130

【答案】D

【解析】

【分析】

從"10芯|+|/I+1演I+1七I+1思區(qū)3",且ae{—1,0,1},，=1,2,3,4,5入手，

|不|+1/I+1七I+1%I+1/I可能取1，2,3,分3種情況討論七種-L0,1的個(gè)數(shù)，再求5個(gè)元素的排列

個(gè)數(shù)，相加即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)?14王|+|%2l+IW+l/l+l%區(qū)3",且可C{—1,0,1},，=1,2,3,4,5,

所以|玉|+|9|+|%1+1乂1+1%|可能取1,2,3,

當(dāng)|七|+|々|+|七|+|乂1+以1=1時(shí)，

冷/，毛中有1個(gè)1或T，4四個(gè)0,所以元素個(gè)數(shù)為C：+C；=10；

當(dāng)|%|+|々1+1w1+1乂1+1毛1=2時(shí)，

%,尤2，演，/，天中有2個(gè)1，3個(gè)0,或1個(gè)1,1個(gè)-1,3個(gè)0,或2個(gè)-1,3個(gè)0,所以元素個(gè)數(shù)為

《+（^+6=10+10+20=40,

當(dāng)|不|+|%21+1毛1+1工41+1毛1=3時(shí)，

%,%，&，%4，毛中有3個(gè)1,2個(gè)0,或2個(gè)1,1個(gè)-1,2個(gè)0,或2個(gè)—1,1個(gè)1,2個(gè)0,或3個(gè)-1,2

個(gè)0,元素個(gè)數(shù)為竊+《盤+CG+盤=10+30+30+10=80,

故滿足條件的元素個(gè)數(shù)為10+40+80=130,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類討論思想，考查了求排列數(shù)，對I%I+1々I+1%I+1ZI+1*51的值和對％中—1,0」的個(gè)

數(shù)進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵，屬于難題.

6.設(shè)m,ncR,若直線痛:+〃y=2與圓好+/1=i相切，則用+〃的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.（7,—2][2,+8）

C.[—2叵2"D.（—，―2@u[26”）

【答案】C

【解析】

22

分析：由直線〃式+胡=2與圓光2+9=1相切，得/2+〃2=4,從而加=2,進(jìn)而

2

（加+”）2=m-+1+2mn<4+2x2-8,由此能求出m+〃的取值范圍.

詳解：直線〃優(yōu)+〃y=2與圓V+y2=i相切，

二圓心（0,0）到直線的距離d=J,/,=1，

解得m2+n2=4f

(m+"J=機(jī)2+〃2+2mn<4+2x2=8,

-2A/2<m+n<2&，

加+〃的取值范圍是[—20,26].

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查代數(shù)和取值范圍的求法，考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.

5345

7.若(2x-3)=a0+axx+a2f+a3x+a4x+a5x,則a0+ax+2a2+3a3+4a4+5a5為()

A.—233B.10C.20D.233

【答案】A

【解析】

【分析】

對等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)x=l時(shí)，求出ai+2a2+3a3+4a4+5as的值，再求出a。的值，即可得出答案.

【詳解】

對等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，得：

2X5(2x-3)4=ai+2a2X+3a3X2+4a4X3+5asx4,

令x=l,得10=ai+2a2+3a3+4a4+5as；

又ao=(-3)5=-243,

ao+ai+2a2+3a3+4a4+5as=-243+10=-1.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查了賦值法求解二項(xiàng)展開式的系數(shù)和的方法，利用導(dǎo)數(shù)

得出式子ai+2a2+3a3+4a4+5as是解題的關(guān)鍵.

8.已知S,是等差數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和，且Sg=9S3,則｛%｝的通項(xiàng)公式可能是()

A.an=2n+2B.an=2n—2c.an=2n+\D.an=2n-\

【答案】D

【解析】

【分析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化Sg=9S3為d=2q,故％=(2〃—l)q,分析即得解

【詳解】

由題意，等差數(shù)列｛g｝,且Sg=9S3

g?3x2

可得9%x=9義(3卬+=〃)

故d=2.

所以％=ax+(ji—X)d=a｛+2(〃_l)q=(2n-V)ax

當(dāng)。1=1時(shí)，an=2n-l

則｛4｝的通項(xiàng)公式可能是an=2n-l

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9.在ABC中，內(nèi)角43,C所對的邊分別為a,伍c,已知(a+Z?—c)(a+Z?+c)=3a〃，且c=4,則

7LBC面積的最大值為()

A.8出B.4上c.2A/3D.@

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考察的是解三角形公式的運(yùn)用，可以化簡(。+6-c)(。+8+c)=3?得出角C的大小以及M的最大

值，然后得出結(jié)果.

【詳解】

^a+b—c\^a+b+c\=3ab

(a+Z?)2-c1-3ab

ci~+b—(?=cib

a2+b2-c2

cosc=—,C=60

lab2

a2+b2-ab=c2

c1>2ab-ab>解得a6V16

所以SMC=ga入sinC<4也

【點(diǎn)睛】

在解三角形過程中，要對一些特定的式子有著熟練度，比如說t2、成等等，根據(jù)這些式子就要

聯(lián)系到我們的解三角形的公式當(dāng)中去.

10.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從

全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()

A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣法

【答案】D

【解析】

試題分析：由于樣本中男生與女生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面存在差異性，因此所采用的抽樣方法是分層

抽樣法，故選D.

考點(diǎn)：抽樣方法.

11.已知定義在R上的偶函數(shù)/■(九)=e"/—cosx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，記。=/(0.32),

03

b=f(2),c=f(k+log36),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出左=-1,得至！J/(x)=eW—cosx,再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及余弦函數(shù)單調(diào)性，

得到/(%)="—cosx在(0,不)上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?(x)=B"Lcos光是定義在R上的偶函數(shù)，

所以〃T)=/⑴，即e網(wǎng)一cosl=-cos(-l)，即*=*+Z,

所以陽=|4+2],解得：k=-l,所以/(力=陰—cosx,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex-cosx,因?yàn)閥=/是單調(diào)遞增函數(shù)，>=cosx在似])上單調(diào)遞減，

所以/(x)=/-cosx在(0,上單調(diào)遞增，

203

又0<0.3=0.09<log36-l=log32<l<2<n,

所以/(0.32)<"log36—l)<〃2°3),即0<c4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由函數(shù)單調(diào)比較大小，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.

X2-1,%<1

12.已知函數(shù)/(x)=Inx，若關(guān)于％的方程2[〃X)T+(1—2w)/(司—相=0有5個(gè)不同的

----,九21

實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.卜1,4B.(0,+CO)c.fo,D.11,口

【答案】C

【解析】

【分析】

Inx

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)尸一的單調(diào)性并求得最值，求解方程2[f(x)]2+(l-2m)f(x)-m=l得到f(x)

x

』或￡(x)=-g.畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

2

【詳解】

由y'=1,解得x=e,

當(dāng)x￡(1,e)時(shí)，寸＞1,函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x￡(e,+8)時(shí)，寸＜1,函數(shù)為減函數(shù).

當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值為f(e)

e

方程2[f(x)方(1-2m)f(x)-m=l化為[f(x)-m][2f(x)+1]=1.

解得f(x)=m或f(x).

2

如圖畫出函數(shù)圖象：

可得m的取值范圍是(1,-).

e

(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，

意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解答關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是利

用導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確畫出函數(shù)/(%)的圖像，其二是化簡2[〃切2+(1?2間〃力—m=0得到f(X)二m或f(X)

~"2,

二、填空題：本題共4小題

13.為強(qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇2天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好

為連續(xù)2天的概率是.

【答案】|

【解析】

試題分析：考查古典概型的計(jì)算公式及分析問題解決問題的能力.從5個(gè)元素中選2個(gè)的所有

可能有10種，其中連續(xù)有ahbqcdde共4種，故由古典概型的計(jì)算公式可知恰好為連續(xù)2天的概率是

p=—=_.

105

考點(diǎn)：古典概型的計(jì)算公式及運(yùn)用.

14.若函數(shù)二（二）=一3二；+：二；+2二二在￡,+工）上存在單調(diào)增區(qū)間，則實(shí)數(shù)二的取值范圍是.

【答案】（一：,+K）

【解析】

試題分析：二（二）=一二：+二+2二=一（二一9；+彳+二二.當(dāng)二eg，+工）時(shí)，二（二）的最大值為

二0=2二+3,令2二解得二＞一］所以a的取值范圍是+x）.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

15.若函數(shù)/（力=三+。為奇函數(shù)，則/（1）=

【答案】1

【解析】

【分析】

由函數(shù)/（%）=l3+。在x=O時(shí)有意義，且/（%）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得"0）=0,求出。，再

代入求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=V+a為奇函數(shù),

所以/（。）=。3+。=0,即4=0,

所以/(x)=d,

所以/(1)=尸=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性，重點(diǎn)考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

16.如圖，正四棱柱ABC?！狝4G。的底面邊長為4,記A0cBQi=F,BCtB°=E,若

AELBF,則此棱柱的體積為.

【答案】32V2

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出直四棱柱的高h(yuǎn),求出AE,彼的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0求得h,則棱柱的體積

可求.

【詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DD[=k,又AB=BC=4,

則A(4,0,0),42,4￡|，5(4,4,0),尸(2,2,/z),

(公

：.AE=\-2,4,-,BF=(-2,-2,/z),

I2)

h2

AE±BF,/.4-8+y=0,即/z=2點(diǎn).

此棱柱的體積為4x4x2A/2=320.

故答案為32A/2.

【點(diǎn)睛】

本題考查棱柱體積的求法，考查利用空間向量解決線線垂直問題，是中檔題.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2、3、4,

乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3,某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球，

（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；

（2）若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功.某人第一次左手先取兩球，

第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

219

【答案】（1）-；（1）分布列詳見解析，E（x）：.

【解析】

試題分析：本題主要考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解

決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，在總數(shù)中去掉左右手各取一球，所取顏色相同的情況，即

所取顏色均為紅色，均為黑色、均為白色的情況；第二問，先分別求出左右手所取的兩球顏色相同的概率，

再利用獨(dú)立事件計(jì)算兩次取球的獲得成功的次數(shù)為。次、1次、1次的概率，列出分布列，利用

EX=%々+區(qū)月+…+計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

試題解析：（1）設(shè)事件H為"兩手所取的球不同色”,

依題意，X的可能取值為o,1,1.

左手所取的兩球顏色相同的概率為

18

右手所取的兩球顏色相同的概率為=1

G4

13313

---X—=----

18424

51V

尸(X=l)=二xQ-)+(l一二)x士

18418418

51v

P(X=l)=-x-=—

18472

所以X的分布列為:

X011

13

P

2472

13719

￡(^)=0x—+lx—+2

241836

考點(diǎn)：概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

g(x)=^x2-x.

18.已知函數(shù)，(x)=aln(x-a)(a＜。),

(1)若/(x)在(1"(1))處的切線與g(x)在(g,g(f)處的切線平行，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若尸(x)=/(x)-g(x),討論2x)的單調(diào)性;

(3)在(2)的條件下，若—l<a<2(ln2—1),求證：函數(shù)b(x)只有一個(gè)零點(diǎn)/,且a+l</<a+2.

【答案】⑴a=-1(2)見解析(3)見解析

【解析】

分析：(1)先求一階導(dǎo)函數(shù)/'(x),k=f'(x0),用點(diǎn)斜式寫出切線方程

(2)先求一階導(dǎo)函數(shù)尸(x)=0的根，求解/'(x)>0或/'(x)<0的解集，判斷單調(diào)性。

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，求出極值畫出函數(shù)的示意圖，分析函數(shù)廠(%)只有一個(gè)零點(diǎn)餐的等價(jià)條件是極小

值大于零，函數(shù)尸(%)在(a+l,+a))是減函數(shù)，故必然有一個(gè)零點(diǎn)。

詳解：(1)因?yàn)閺V(x)=，一，所以尸。)=/一；又/信［=一:。

X—u112)2

由題意得二=一［,解得a=-1

l-o2

(2)F(x)=f(x)-g(x)=aln(x-o)-+x(a<0)?其定義域?yàn)?a,+?o)，

又產(chǎn)〈"=’-一x+i=-x-+(a+l)x,令尸，(x)=onx=o或x=a+|。

x-ax-a

①當(dāng)。+1〉0即-1<。<0時(shí)，函數(shù)尸(x)與尸(x)隨.V的變化情況如下：

當(dāng)xw(0,a+l)時(shí)，尸(x)>0,當(dāng)xe(a,0)U(a+1,+s)時(shí)，尸(%)<0。

所以函數(shù)廠(X)在(0M+I)單調(diào)遞增，在(a,o)和(a+L+w)單調(diào)遞減

②當(dāng)a+l=0即a=—1時(shí)，F(xiàn)7x)=——<0,

V7x+1

所以，函數(shù)E(x)在(-L+8)上單調(diào)遞減

③當(dāng)a+1<0即。<-1時(shí)，函數(shù)F(x)與F'(x)隨X的變化情況如下：

當(dāng)xe(a+l,O)時(shí)，F(xiàn),(x)>0,當(dāng)尤e(a,a+l)u(0,+oo)時(shí),F,(x)<0?

所以函數(shù)八X)在(a+L0)單調(diào)遞增在(a,a+1)和(0,內(nèi))上單調(diào)遞減

(3)證明：當(dāng)—l<a<2(ln2—1)<0時(shí)，

由①知，/(x)的極小值為b(0),極大值為尸(。+1).

因?yàn)镕(0)=aln(-a)>0,F(a+1)=--(a+1)2+(a+1)=—(1-a2)>0

22

且又由函數(shù)/(x)在(a+L”)是減函數(shù)，可得尸(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)

又因?yàn)槭?a+2)=aln2_—ci_ci——5a[a—2(in2_1)]<0,

所以函數(shù)"(x)只有一個(gè)零點(diǎn)/,且a+l<Xo<a+2.

點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求在某點(diǎn)(%,%)切線方程利用左=/(%)，y=f(毛)即可，方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、

兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)三種思想的轉(zhuǎn)化，為解題思路提供了靈活性，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的一個(gè)基本工具在使

用。

123

19.在△ABC中，己知tanC=M，cos(A-3)=M，A〉3

(1)求sin(A+3)的值；

(2)求cos2A的值.

?小自、1263

【答案】⑴—;(2)--

1365

【解析】

【分析】

(1)通過tanC=m，可計(jì)算出C角正弦及余弦值，于是通過誘導(dǎo)公式可得答案；

(2)通過cos(A—3)=|,可得sin(A—B)=g,再利用cos2A=cos[(A+B)+(A—B)]可得答案.

【詳解】

1「12

sinC12sinC=—

12-------——1;Q,所以

(1)在△ABC中，由于tanC=N，故｛cosC5解得■

sin2C+cos2C=1cosC=—

113

sin(A+B)=sin-C)=sinC=-；

53

(2)由(1)可知cos(A+5)=cos(乃一C)=—cosC=一百，而cos(A-_B)=《,A〉5,所以

4

sin(A-B)=-,所以

/so

cos2A=cos[(A+3)+(A-8)]=cos(A+-cos(A-B)-sin(A+B)-sin(A-B)=-R.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力及分析能力,

難度不大.

20.在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)MS。，，)(夕0>°)在曲線C：P=4sine上，直線I過點(diǎn)A(4,0)且

與垂直，垂足為P.

7T

(1)當(dāng)。0=§時(shí)，求為及I的極坐標(biāo)方程；

(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

【答案】(1)夕0=2指，I的極坐標(biāo)方程為psin(e+￡)=2；(2)2=4cos6(f<。<力

642

【解析】

【分析】

JT

(1)先由題意，將代入夕=4s%e即可求出已°；根據(jù)題意求出直線/的直角坐標(biāo)方程，再化為極

坐標(biāo)方程即可；

(2)先由題意得到P點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可，要注意變量的取值范圍.

【詳解】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)加(夕0，即(夕0>°)在曲線C：P=4sin。上，

所以pQ=4sin%=4siny=2A/3；

即所以《“=tan?=JJ,

因?yàn)橹本€I過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，

所以直線/的直角坐標(biāo)方程為y=—1(x—4),即x+百y—4=0；

因此，其極坐標(biāo)方程為夕cos8+\/§/7sine=4,即I的極坐標(biāo)方程為psin(^+—)=2；

6

(2)設(shè)P(九,y),貝!|左OP=2，kAP=-^-9

xx-4

2

由題意，OPLAP,所以《戶&=—1,故-=-1,整理得V+y2—4無=0,

X,-4x

因?yàn)镻在線段OM上，M在C上運(yùn)動(dòng)，所以0<x<2,0<y<2,

所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為夕2—4夕cosd=0,即2=4cose((<e<]).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

21.在某?？破罩R(shí)競賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學(xué)生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖.

甲

86

96715

868246

594

(I)若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加該知識(shí)競賽，你會(huì)選哪位？請運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)說明理由;

(II)若從甲的6次模擬測試成績中隨機(jī)選擇2個(gè)，記選出的成績中超過87分的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量求七的分

布列和均值.

【答案】(I)答案見解析；(II)答案見解析.

【解析】

【分析】

⑴由題意考查兩人的平均值均為82,方差甲乙分別為77,?,結(jié)合方差可知乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)

定，故可選擇學(xué)生乙參加知識(shí)競賽.

(2)由題意可知：￡的所有可能取值為0,1,2,結(jié)合超幾何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后

計(jì)算可得均值為E(,=g.

【詳解】

(I)學(xué)生甲的平均成績x甲=68+76+79+86+88+95=82,

n

學(xué)生乙的平均成績x乙=71+75+82+84+86+94=82,

n

又S：l='[(68-82)2+(76-82/+(79-82產(chǎn)+(86-82)2+(88-82產(chǎn)+(95-82)2]=77，

n

S-=-X[(71-82)2+(75-82)2+(82-82)2+(84-82)2+(86-82)2+(94-82)2]=-^,

n5

則X甲=X0S扯S%說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學(xué)生乙參加

知識(shí)競賽.

(H)隨機(jī)變量E的所有可能取值為0,1,2,且

唯=0)=g[，唯=1)=喪=去P代=2)=：；=*,

則S的分布列為

012

281

P

51515

所以均值E(^)=0X|+1XA+2X-1=^

22.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=l+tcosa

在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為a為參數(shù)).以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸的正半軸

y=tsma

/Imq

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為P=；——〒.點(diǎn)E的直角坐標(biāo)為(2,26),直線/與曲線

1-cos0

。交于A3兩點(diǎn).

(I)寫出點(diǎn)E的極坐標(biāo)和曲線。的普通方程；

(II)當(dāng)tane=J5時(shí)，求點(diǎn)E到兩點(diǎn)A3的距離之積.

【答案】⑴見解析；⑵1.

【解析】

x=pcosO

分析：⑴由極坐標(biāo)方程求出點(diǎn)E的極坐標(biāo)，運(yùn)用.八求得曲線。的普通方程

y=psmt）

⑵將加*=6代入，求出直線/的參數(shù)方程，然后計(jì)算出結(jié)果

詳解：（I）由夕2=三+/=16得Q=4,又1皿夕=￥=也,。€[0,1）得。=（,...點(diǎn)后的極坐標(biāo)

-4cos。/口4cos。"八\x=pcosO

由夕=；-----巧得夕=.、"，所以有xrsnre=4pcos。，由〈.八得

1-cos〃sin〃[y=psmt）

y2=4x,所以曲線C的普通方程為：/=4x.

（II）因?yàn)閠ana=3點(diǎn)E（2,2⑹在/上，.?.直線/的參數(shù)方程為：

X=2H—t

,2

y=2出+同;

I2

a1久

將其代入V=4%并整理得a/+射+4=0,設(shè)A3所對應(yīng)的參數(shù)分別為彳當(dāng)，且有巾2=可，

所以畫.陽川區(qū)卜印

x=pcosO

點(diǎn)睛：本題考查了極坐標(biāo)和普通方程之間的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用,八代入化簡即可，在求距離時(shí)可以運(yùn)用

y=psmt）

參數(shù)方程來解答，計(jì)算量減少

河南省鄭州市重點(diǎn)名校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足，(x—l)=/(x+l),且當(dāng)無1,0］時(shí)，f(x)=x2,函數(shù)g(x)是定

義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x〉0時(shí)，g(x)=lgx,則函數(shù)/?(%)=/(尤)-gO)的零點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

由Mx)=0,得出〃x)=g(x),轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后作出兩

個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖像即可.

【詳解】

由于/(%—l)=/(x+l),所以，函數(shù)y=/(x)的周期為2,且函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，

由人(尤)=0,得出/(%)=g(x)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)丁=/(力與函數(shù)y=g(￡)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函

數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，00(x)WL,當(dāng)x〉10時(shí)，g(x)=lgx>l,

則函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=g(x)在(IO,”)上沒有交點(diǎn)，

結(jié)合圖像可知，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖象共有11個(gè)交點(diǎn)，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的公共

點(diǎn)個(gè)數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質(zhì)，如周期性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)的體現(xiàn)，屬于中

等題.

2.設(shè)A={x||x—2區(qū)3},3={x|x<f},若A63=0,則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

A.t<—1B.t<-1C.t>5D.tN5

【答案】C

【解析】

【分析】

分別求解出集合A和。3,根據(jù)交集的結(jié)果可確定/的范圍.

【詳解】

A={x"x-2]<3}={x|-1<x<5},CRB=^.r|x>t}

ACRB=0:.t>5

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知集合A={l,2,3,4},5={y|y=3x—2,XGA},則AcB=()

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【答案】D

【解析】

因?yàn)榧螧中，x￡A,所以當(dāng)x=l時(shí)，y=3—2=1；

當(dāng)x=2時(shí)，y=3X2-2=4；

當(dāng)x=3時(shí)，y=3X3-2=7；

當(dāng)x=4時(shí)，y=3X4-2=10.

BPB={1,4)7,10).

又因?yàn)锳={1,2,3,4},所以ADB={1,4}.故選D.

4.兩個(gè)半徑都是廠(廠>1)的球和球。2相切，且均與直二面角6的兩個(gè)半平面都相切，另有一

個(gè)半徑為1的小球。與這二面角的兩個(gè)半平面也都相切，同時(shí)與球a和球Q都外切，則廠的值為()

B.5+3C.浮1D.暫

A.72+1

【答案】D

【解析】

【分析】

取三個(gè)球心點(diǎn)所在的平面，過點(diǎn)Q、Q分別作O2N±l,垂足分別為點(diǎn)過點(diǎn)。分別

作OA，/,分別得出|。4|、以及然后列出有關(guān)廠的方程，即可求出廠的值.

【詳解】

因?yàn)槿齻€(gè)球都與直二面角?-/-/?的兩個(gè)半平面相切，

所以/與a、Q、。共面，

如下圖所示，過點(diǎn)a、Q分別作O2N±l,

垂足分別為點(diǎn)M,N,過點(diǎn)。分別作。4，/,

Q，?B??

后

戌

則|0眼卜。2W="，|0A|=市，|0再卜。23|=廠，|。。1|=|。。2|=r+1，

10B\=Jooj2-|QB|2=四TT,

|AB|=|OA|+\OB\=V2+V2r+1=y/2r,所以，質(zhì)工1=0—0,

等式兩邊平方得2廠+1=2產(chǎn)_4r+2，

化簡得2產(chǎn)一6廠+1=0，由于廠＞1,解得r=互口，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查球體的性質(zhì)，以及球與平面相切的性質(zhì)、二面角的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力，

屬于難題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大

降低，本題將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵.

5.已知《（左＜1,函數(shù)/。）=夕——左的零點(diǎn)分別為玉,馬（玉＜%），函數(shù)g（x）=|2-的

零點(diǎn)分別為七,%（不＜%），則（乂-玉）+（%-石）的最小值為（）

A.1B.log23C.log26D.3

【答案】B

【解析】

試題分析：由題知，產(chǎn)=1_4，2飛=1-六，2弓=1一」一，2%=1.

2k-12k-1

:.-3---E[3-X)A-X3-.XI￡[log3,-x)故選B.

l-k:4;

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、指數(shù)運(yùn)算；3、函數(shù)的最值.

6.直線y=x-i的傾斜角為（

【答案】B

【解析】

JT

試題分析：記直線y=x—1的傾斜角為。，,tane=lne=],故選B.

考點(diǎn)：直線的傾斜角.

7.設(shè)函數(shù)〃力=［，52（2-%），：<1，,則/（—2）+〃2）=（）

2,x>l,

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)x的取值計(jì)算/（-2）"（2）的值即可.

【詳解】

解：/（-2）=l+log2（2+2）=3,/（2）=22T=2,

故〃-2）+〃2）=5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)求值問題，考查對數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.

8.￡,4'-九2dx=（）

A.71B.IKC.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)定積分b：,4-爐公表示直線尤=0,尤=2,丁=0與曲線）；=,4-V圍成的圖像面積，即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)槎ǚe分,4-舊心表示直線尤=（）,九=2?=。與曲線y=J”/圍成的圖像面積，

又y=J4—3表示圓/+>2=4的一半,其中丁三0；

因此定積分\14--a表示圓3+>2=4的，,其中yN0,0<X<2,

故￡44-x2dx=；.萬.2。=7t.

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.

9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

A.16+16應(yīng)B.32+160c.48D.y

【答案】B

【解析】

【分析】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐P-ABCD，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計(jì)算表面積即可.

【詳解】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐P-，則該幾何體的表面積為：

2X-X4X4+2X-X4X4V2+4X4=32+16A/2.

22

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三視圖，空間幾何體的表面積計(jì)算，考查了學(xué)生的直觀想象能力.

ah

10.已知a力均為實(shí)數(shù)，若——+——=1(i為虛數(shù)單位)，則a+6=()

1-z1+z

A.0B.1C.2D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】

將已知等式整理為(。+〃)+(a—〃)i=2,根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：(l+z)a+(l-z)Z?=2,即：(a+b)+[a-b^i=2

a+b=2

貝！J：〈a+b=2

a-b=O

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，涉及簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.一臺(tái)機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.1,若這臺(tái)機(jī)器一周5個(gè)工作日不發(fā)生故障，可