公開課“線段的垂直平分線”

線段的垂直平分線

授課教師：羅貞剛?cè)私贪姘四昙?jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.1軸對(duì)稱（2）ABL實(shí)際問題

在318國道的同側(cè)，有兩個(gè)化工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見(即該醫(yī)院到兩個(gè)工廠的距離相等)，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？318國道[探究1]

如圖．木條l與AB釘在一起，直線l垂直平分AB，P1，P2，

p3，…是直線l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3，…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？想一想(1)用直尺量出AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3…討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律.AP1=BP1、AP2=BP2、

AP3=BP3…

即點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A的距離與它們到點(diǎn)B的距離分別相等.試一試

(2)如果把線段AB沿直線l對(duì)折，你有什么發(fā)現(xiàn)？

線段P1A與P1B、線段P2A與P2B、線段P3A與P3B……都是重合的，因此它們也分別相等.說一說由此我們可以得出垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．做一做

已知：直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)Ｐ在直線ｌ上求證：PA=PB證法一（利用兩個(gè)三角形全等）．如圖，因?yàn)閘⊥AB，所以∠

PCA=∠PCB=900在△APC和△BPC中PC=PC∠PCA=∠PCBAC=BC所以△APC≌△BPC（SAS）所以PA=PB.｛看一看

證法二：利用軸對(duì)稱性質(zhì)．

由于點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，且直線l⊥AB，將線段AB沿直線l對(duì)折，線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的．ABL解決實(shí)際問題

在318國道的同側(cè)，有兩個(gè)化工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？318國道

解：將A、B兩廠分別看作點(diǎn)A、點(diǎn)B，318國道看作直線l，作線段AB的垂直平分線，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.OAB.C.D練一練

在V型公路（∠AOB）內(nèi)部，有兩個(gè)村莊C、D.你能選擇一個(gè)紡織廠的廠址P，使點(diǎn)P到V型公路的距離相等，且使C、D兩村的工人上下班的路程一樣嗎？

解：連接CD，作線段CD的垂直平分線MN，作∠AOB的角平分線交MN于P，P點(diǎn)即為所求.

數(shù)學(xué)問題探討：

已知:如圖，在Rt△ABC中，∠A=90度，AB=3，AC=5，BC邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E。求△ABE的周長。ABCED

解:因?yàn)镈E是BC的垂直平分線,

所以BE=EC（垂直平分線的性質(zhì)）.

因?yàn)椤鰽BE的周長=AB+AE+BE，所以△ABE的周長=AE+EC+AB=AC+AB=5+3=8.ABCED議一議

反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？[探究2]

如右圖．用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢？為什么？畫一畫

1．用平面圖形將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．作線段AB，取其中點(diǎn)P，過P作直線l，在l上取點(diǎn)P1，連結(jié)AP1、BP1．

2．討論：要使l與AB垂直，AP1、BP1應(yīng)滿足什么條件？

如圖，若AP1=BP1，那么沿l將圖形折疊后，A與B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即l與AB垂直．當(dāng)AP2=BP2時(shí)，亦然．說一說線段垂直平分線的判定：

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．也就是說在[探究2]圖中，只要使箭端到弓兩端的端點(diǎn)的距離相等，就能保持射出箭的方向與木棒垂直．

已知：如圖，PA=PB，求證：P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上.

證法一：取AB中點(diǎn)C，連接PC，在△PAC和△PBC中，

PA=PB,

｛

AC=BCPC=PC所以△PAC≌△PBC（SSS）所以∠PCA=∠PCB因?yàn)椤螾CA+∠PCB=180°所以∠PCA=∠PCB=90°.所以PC垂直于AB.所以P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上.

P

BCA證法二：過點(diǎn)P作PC垂直于AB，垂足為C

PABC練一練

已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC.

求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.ABCON

解:因?yàn)镺N是AB的垂直平分線，所以O(shè)A=OB（垂直平分線的性質(zhì)），又因?yàn)镺A=OC，所以O(shè)B=OC，所以點(diǎn)O在BC的垂直平分線上（垂直平分線的判定）.

課堂小結(jié)

通過本節(jié)課你學(xué)到了什么？線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.所以，線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．

上海為了成功舉辦世博會(huì)，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、