第09講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）

第09講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1、根式（1）次方根的概念與性質(zhì)次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性質(zhì)①當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).這時，的次方根用符號表示.②當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作.（2）根式的概念與性質(zhì)根式概念式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).性質(zhì)①.②當(dāng)為奇數(shù)時，.③當(dāng)為偶數(shù)時，.2、實(shí)數(shù)指數(shù)冪（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是.于是，在條件下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定且.③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.（2）有理數(shù)指數(shù)冪規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義之后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①；②；③.（3）無理數(shù)指數(shù)冪對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們可以從有理數(shù)指數(shù)冪來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù).一般地，無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.3、指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是.【注】指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)：僅有自變量x；(3)系數(shù)：ax的系數(shù)是1.4、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y=a?x與y=ax的圖象關(guān)于y軸對稱過定點(diǎn)過定點(diǎn)，即時，單調(diào)性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，底數(shù)對圖象的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；②在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大.【考點(diǎn)一指數(shù)與指數(shù)冪運(yùn)算】1．（湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）下列運(yùn)算中正確的是（）A． B．C． D．2．（全國）設(shè)a>0，b>0，化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．-3a3．（上海）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R時各式子有意義的是（）A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④4．（全國）計(jì)算：（）A． B． C．3 D．5．（全國）設(shè)，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是（）A． B． C． D．6．（全國）可以化簡成（）A． B． C． D．7．（全國高一專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．8．（全國）=（）A．2 B．1 C．3 D．09．（全國）設(shè)都是正整數(shù)，且，若，則不正確的是（）A． B．C． D．10．（全國）已知正數(shù)滿足，則（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的概念】1．（全國高一單元測試）指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則a的值是（）A． B． C．2 D．42．（上海高一專題練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B．C． D．3．（全國高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)，且，則（）A．4 B．5 C．6 D．84．（萬榮縣第二中學(xué)）已知（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A．3 B．6 C．9 D．85．（全國高一單元測試）如果指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是（）A． B．2 C．3 D．46．（全國高一）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．或 B．C． D．或7．（全國高一課時練習(xí)）若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B．且C．且 D．8．（全國高一專題練習(xí)）已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．9 D．169．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（）A．不確定 B． C．1 D．10．（全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且【考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)圖象】1．（全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)(且)恒過定點(diǎn)，則（）A．1 B．3C．4 D．22．（全國高一專題練習(xí)）如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個是（）A．① B．② C．③ D．④3．（廣西南寧·高一期末）函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．（浙江高一期末）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．（云南賓川四中高一月考）函數(shù)的大致圖像是（）A． B．C． D．6．（江西上饒·高一期末）當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A．B．

C．D．

7．（北京房山·高一期末）如果函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則（）A． B． C． D．8．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)且的圖象經(jīng)過二、三、四象限，一定有A．且 B．且 C．且 D．且10．（上海高一期末）已知，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（畢節(jié)三聯(lián)學(xué)校高一期末）已知函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則（）A．5 B．6 C． D．812．（全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則m的值是（）A． B．0 C．1 D．213．（吉林四平·高一期末）函數(shù)恒過定點(diǎn)（）A． B．C． D．14．（廣東揭陽華僑高中高一月考）函數(shù)（且）的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（）A． B． C． D．15．（全國高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．16．（吉林延邊二中高一月考）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【考點(diǎn)四與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域值域問題】1．（全國高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．2．（全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，且當(dāng)時，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．4．（全國高一單元測試）函數(shù)的值域是A． B． C． D．5．（新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高一期末）若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．6．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y＝的值域是（）A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)7．（上林縣中學(xué)）若，則函數(shù)的最小值為（）A．4 B．0 C．5 D．98．（全國）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．9．（全國）函數(shù)（且，）的值域是，則實(shí)數(shù)（）A．3 B．C．3或 D．或10．（福建省安溪第一中學(xué)高一月考）設(shè)函數(shù)，.若存在，使得，則b的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)單調(diào)性】1．（全國）已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．（全國高一專題練習(xí)）設(shè)，則（）A． B． C． D．3．（浙江）已知，，，則（）A． B． C． D．4．（吉林四平·高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．5．（河南高一期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是增函數(shù)B．函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是減函數(shù)C．函數(shù)在上既是偶函數(shù)，也是增函數(shù)D．函數(shù)在上既是偶函數(shù)，也是減函數(shù)6．（全國高一課時練習(xí)）若函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．（全國高一課時練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．（全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．9．（內(nèi)蒙古通遼實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末（文））若指數(shù)函數(shù)在上遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．10．（江蘇高一課時練習(xí)）函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（－∞，0] B．[0，＋∞）C．（－∞，] D．[，＋∞）12．（全國高一單元測試）“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件13．（浙江高一期末）設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．14．（浙江高一期末）已知函數(shù)（且），對任意，當(dāng)時總有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．15．（全國）若函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)16．（全國）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【考點(diǎn)六指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用】1．（上海市第二中學(xué)）中國銀行最新存款利率一年期為：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，計(jì)算到2030年可獲得利息約18945(元)，其計(jì)算實(shí)質(zhì)采用的是（）模型.A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．指數(shù)函數(shù) D．對數(shù)函數(shù)2．（全國高一課時練習(xí)）隨著我國經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2018年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長，那么2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為（）A．元 B．元 C．元 D．3．（全國）已知光通過一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%.那么要使光的強(qiáng)度減弱到原來的以下，則至少需要通過這樣的玻璃（參考數(shù)據(jù)：）（）A．12塊 B．13塊 C．14塊 D．15塊4．（廣東深圳·高一期末）在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的倍，那么經(jīng)過天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的（）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍5．（全國高一專題練習(xí)）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為．若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?，則一個新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過的時間為（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天6．（全國高一專題練習(xí)）國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京年冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）小時.A． B． C． D．7．（湖北十堰·高一期末）在考古學(xué)中，要測定古物的年代，可以用放射性碳定年法.該方法的原理是：在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性，動植物死亡后，停止新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原有的會自動衰變.經(jīng)科學(xué)測定，的半衰期為年（設(shè)的原始量為），經(jīng)過年后，的含量（且），且有.現(xiàn)有一古物，測得其的含量為原始量的，則該古物距今的年數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．8．（浙江高一期末）某食品的保鮮時間(單位：小時)與儲藏溫度(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系(為自然對數(shù)的底數(shù)，，b為常數(shù)).若該食品在0℃時的保鮮時間是192小時，在33℃時的保鮮時間是24小時，則該食品在22時的保鮮時間是（）A．40小時 B．44小時 C．48小時 D．52小時9．（全國高一課時練習(xí)）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100毫升血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒