第11章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性

第11章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性11.1問題的提出11.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性11.3線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性11.4對(duì)偶原理11.5線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型11.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解11.7系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)11.8傳遞函數(shù)陣與能控性、能觀測性的關(guān)系

11.1問題的提出

經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入輸出特性,輸出量即被控量,只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的,輸出量便可以受控,且輸出量總是可以被測量的,因而不需要提出能控性和能觀測性的概念。

現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)變化的過程;輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y(t)的變化。能控性和能觀測性可以定性地描述輸入u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力、輸出y(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的反映能力。

狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述,判別系統(tǒng)的能控性和能觀測性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達(dá)式。

例11-1根據(jù)以下狀態(tài)空間表達(dá)式,說明系統(tǒng)的能控性和能觀測性。

解(1)狀態(tài)空間表達(dá)式寫成方程組形式為

從狀態(tài)方程來看,輸入u不能控制狀態(tài)變量x1,所以狀態(tài)變量x1是不能控的;從輸出方程看,輸出y不能反映狀態(tài)變量x2,所以狀態(tài)變量x2是不能觀測的。即狀態(tài)變量x1不能控、能觀測;狀態(tài)變量x2能控、不能觀測。

(2)狀態(tài)空間表達(dá)式寫成方程組形式為

由于狀態(tài)變量x1、x2都受控于輸入u,所以系統(tǒng)是能控的;輸出y能反映狀態(tài)變量x1,又能反映狀態(tài)變量x2的變化,所以系統(tǒng)是能觀測的。即狀態(tài)變量x1能控、能觀測;狀態(tài)變量x2能控、能觀測。

(3)狀態(tài)空間表達(dá)式寫成方程組形式為

從狀態(tài)方程看,輸入u能對(duì)狀態(tài)變量x1、x2施加影響,似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是能控的;從輸出方程看,輸出y能反映狀態(tài)變量x1、x2的變化,似乎系統(tǒng)是能觀測的。實(shí)際上,這個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量既不是完全能控的,也不是完全能觀測的。要解釋和說明這一情況,就必須首先弄清楚能控性和能觀測性的嚴(yán)格定義及判別方法。

11.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

11.2.1時(shí)變系統(tǒng)的能控性1.能控性的概念設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中,x(t)為n維狀態(tài)向量;u(t)為r維輸入向量;y(t)為m維輸出向量;A(t)為n×n系統(tǒng)矩陣;B(t)為n×r輸入矩陣;C(t)為m×n輸出矩陣。

1)狀態(tài)能控性

如果施加一個(gè)無約束的控制信號(hào)u(t),在有限的時(shí)間tf>t0內(nèi),能將系統(tǒng)的任意一個(gè)非零初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到任一終止?fàn)顟B(tài)x(tf),則稱該系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)在t=t0時(shí)為狀態(tài)能控的。否則,系統(tǒng)就是不完全能控的或簡稱不能控的。

2)輸出能控性

輸出能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出。若系統(tǒng)存在一個(gè)輸入信號(hào)u(t),在有限的時(shí)間tf>t0內(nèi),能將輸出量y(t)=0轉(zhuǎn)移到任意給定的輸出y(tf)=yf,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是輸出能控的。

2.線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)

1)Gram(格拉姆)矩陣

2)狀態(tài)能控性的實(shí)用判別準(zhǔn)則

設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中,A(t),B(t)對(duì)時(shí)間t分別是n-2階和n-1階連續(xù)可微的,構(gòu)造一個(gè)序列Mk,使

令

如果存在一個(gè)有限的時(shí)刻tf>0,使得

則該系統(tǒng)在[0,tf]上是狀態(tài)完全能控的。

需要指出,此判據(jù)只是一個(gè)充分條件,不是必要條件。

3)輸出的能控性判據(jù)

系統(tǒng)的被控量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài),而是系統(tǒng)的輸出,因此系統(tǒng)的輸出量是否能控也是一個(gè)重要的問題。

系統(tǒng)在t0時(shí)刻輸出能控的充要條件是:在一個(gè)有限時(shí)間tf>t0內(nèi),使得屬于時(shí)間[t0,tf]內(nèi)的τ,連續(xù)脈沖響應(yīng)矩陣G(t,τ)的所有行向量是線性無關(guān)的。

11.2.2定常系統(tǒng)的能控性

1.能控性的概念

設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

式中,A為n×n矩陣;B為n×r矩陣;C為m×n矩陣;D為m×r矩陣。

1)狀態(tài)能控性

如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t),能在[t0,tf]有限時(shí)間間隔內(nèi),使得系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf),則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是能控的。

若系統(tǒng)所有狀態(tài)變量中至少有一個(gè)狀態(tài)變量不能控制時(shí),則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,或簡稱系統(tǒng)是不能控的。只有系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的,才稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,簡稱系統(tǒng)是能控的。

狀態(tài)完全能控可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明,如圖11-1所示。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)P1,P2,…,Pn,那么相平面上的P點(diǎn)是能控狀態(tài)。假如能控狀態(tài)“充滿”整個(gè)狀態(tài)空間,即對(duì)于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入u(t),使得在有限時(shí)間間隔內(nèi),將此狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài),則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全能控。圖11-1能控狀態(tài)的圖形說明

2)輸出能控性

若系統(tǒng)存在一分段連續(xù)的輸入信號(hào)u(t),在有限時(shí)間[t0,tf]內(nèi),能將任一輸出量y(t0)轉(zhuǎn)移到任意給定的輸出y(tf),則稱系統(tǒng)是輸出能控的。

2.能控性的判據(jù)

例11-2判別下列狀態(tài)方程的可控性。

2)輸出的能控性

設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

系統(tǒng)輸出能控的充要條件是,m×(nr+r)矩陣

的秩為m。

例11-3考慮由下式確定的系統(tǒng):

試分析系統(tǒng)的輸出能控性。

解rank[cb

cAb]=rank[-12]=1=m,所以系統(tǒng)是輸出能控的。

系統(tǒng)的輸出能控性和狀態(tài)能控性是兩個(gè)完全不同的概念,二者之間沒有必然的聯(lián)系,不能把二者混淆。一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)能控并不意味著其輸出能控,同樣,一個(gè)系統(tǒng)的輸出能控,也不意味著其狀態(tài)能控。

11.2.3狀態(tài)能控性條件的標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)

當(dāng)線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),判定系統(tǒng)的能控性有比較簡便的方法,即可以依據(jù)狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B進(jìn)行直觀判斷。因此,標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)也稱為直觀性判據(jù)。

1.對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型

設(shè)線性定常系統(tǒng)

具有互不相同的實(shí)特征值,則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是:系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型

例11-5判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。

2.約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

例11-6判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。

解(1)系統(tǒng)是能控的。

(2)系統(tǒng)是不能控的。

(3)系統(tǒng)是能控的。

(4)系統(tǒng)是不能控的。

(5)系統(tǒng)是不能控的。

11.3線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性

11.3.1時(shí)變系統(tǒng)的能觀測性1.能觀測性的概念設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

2.線性時(shí)變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

2)能觀測性的實(shí)用判別準(zhǔn)則

設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中,A(t),C(t)對(duì)時(shí)間t分別是n-2階和n-1階連續(xù)可微的,構(gòu)造一個(gè)序列Ci,使

11.3.2定常系統(tǒng)的能觀測性

1.能觀測性的概念

設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

如果對(duì)于任一給定的輸入u(t),存在一有限觀測時(shí)間tf>t0,使得在[t0,tf]期間測量到的y(t),能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0),則稱此狀態(tài)是能觀測的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測的,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的,簡稱系統(tǒng)是能觀測的。

2.能觀測性的判別準(zhǔn)則

對(duì)于n階線性定常系統(tǒng)

能觀測性的判別有四個(gè)判據(jù),這四個(gè)判據(jù)是等價(jià)的,每一個(gè)都是系統(tǒng)能觀測性的充要條件。

例11-8判別下列系統(tǒng)的能觀測性。

需要強(qiáng)調(diào)的是:

(1)在能觀測性定義中之所以把能觀測性規(guī)定為對(duì)初始狀態(tài)的確定,是因?yàn)橐坏┐_定了初始狀態(tài),便可根據(jù)給定輸入u(t),利用狀態(tài)方程的解

就可以求出各個(gè)瞬間狀態(tài)。

(2)能觀測性表示的是y(t)反應(yīng)狀態(tài)向量x(t)的能力,考慮到輸入信號(hào)u(t)所引起的輸出是可計(jì)算出的,所以在分析能觀測性問題時(shí),常令u(t)=0,這樣只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)來考慮能觀測性問題。

(3)從輸出方程y(t)=Cx(t)可以看出,如果輸出量y(t)的維數(shù)等于狀態(tài)變量x(t)的維數(shù),并且C陣是非奇異的,則x(t)=C-1y(t),顯然這是不需要觀測時(shí)間的。而在一般情況下輸出量的維數(shù)總是小于狀態(tài)變量的維數(shù),只有在不同時(shí)刻多測量幾組數(shù)據(jù)y(t0),y(t1),…,y(tf),使之能夠組成n個(gè)方程式,才能唯一地求出n個(gè)狀態(tài)變量。但是如果t0,t1,…,tf相隔太近,則y(t0),y(t1),…,y(tf)幾個(gè)方程雖然在結(jié)構(gòu)上是獨(dú)立的,但其數(shù)值可能相差無幾,因此,在能觀測性定義中觀測時(shí)間應(yīng)滿足tf>t0的要求。

11.3.3狀態(tài)能觀測性的標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)

與能控性類似,當(dāng)線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),判定系統(tǒng)的能觀測性有比較簡便的方法,即可以使用直觀性判據(jù)。

1.對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型

設(shè)線性定常系統(tǒng)

例11-10判別下列系統(tǒng)的能觀測性。

2.約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

若線性定常系統(tǒng)具有重實(shí)特征值,且每一個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是:系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

中,

例11-11-判別下列系統(tǒng)的能觀測性。

解(1)系統(tǒng)能觀測。

(2)系統(tǒng)不能觀測。

(3)系統(tǒng)能觀測。

(4)系統(tǒng)能觀測。

例11-12判別下列系統(tǒng)的能觀測性。

11.4對(duì)偶原理

11.4.1線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系考慮由下述狀態(tài)空間表達(dá)式描述的系統(tǒng)Σ1:式中,A為n×n矩陣;B為n×r矩陣;C為m×n矩陣。

以及由下述狀態(tài)空間表達(dá)式描述的系統(tǒng)Σ2:

式中,AT為n×n矩陣;BT為r×n矩陣;CT為n×m矩陣。

稱系統(tǒng)Σ1和系統(tǒng)Σ2是互為對(duì)偶的,即系統(tǒng)Σ1是系統(tǒng)Σ2的對(duì)偶系統(tǒng),反之系統(tǒng)Σ2是系統(tǒng)Σ1的對(duì)偶系統(tǒng)。

1.系統(tǒng)Σ1和系統(tǒng)Σ2的結(jié)構(gòu)圖圖11-2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2.對(duì)偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之間的關(guān)系

對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置。

系統(tǒng)Σ1的傳遞函數(shù)矩陣為

系統(tǒng)Σ2的傳遞函數(shù)矩陣為

而

3.對(duì)偶系統(tǒng)特征方程式之間的關(guān)系

對(duì)偶系統(tǒng)特征方程式相同,即

11.4.2對(duì)偶原理

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)Σ2狀態(tài)能觀測(狀態(tài)能控)時(shí),系統(tǒng)Σ1才是狀態(tài)能控(狀態(tài)能觀測)的,反之亦然。這種能控性與能觀測性的對(duì)偶關(guān)系稱為對(duì)偶原理。

為了驗(yàn)證這個(gè)原理,下面寫出系統(tǒng)Σ1和Σ2的狀態(tài)能控和能觀測的充要條件。

1.系統(tǒng)Σ1狀態(tài)能控和能觀測的充要條件

(1)狀態(tài)能控的充要條件是n×nr維能控性矩陣

的秩為n。

(2)狀態(tài)能觀測的充要條件是n×nm維能觀測性矩陣

的秩為n。

2.系統(tǒng)Σ2狀態(tài)能控和能觀測的充要條件

(1)狀態(tài)能控的充要條件是n×nm維能控性矩陣

的秩為n。

(2)狀態(tài)能觀測的充要條件是n×nr維能觀測性矩陣

的秩為n。

11.5線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型

對(duì)于單變量系統(tǒng),因?yàn)橹挥形ㄒ坏囊唤Mn個(gè)線性無關(guān)向量,所以當(dāng)原系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),其表示方法是唯一的。而對(duì)于多變量系統(tǒng),n個(gè)線性無關(guān)向量的選取不再唯一,所以,將原系統(tǒng)變換為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),其表示方法也不再唯一。

11.5.1系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型

1.能控標(biāo)準(zhǔn)型

如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可以化為以下形式:

其中:

則稱式(11-12)為系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型,且該系統(tǒng)一定是完全能控的。原因是與此狀態(tài)空間表達(dá)式相對(duì)應(yīng)的能控性判別矩陣為

2.將能控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式化為能控標(biāo)準(zhǔn)型

設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中:

例11-13已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試判別系統(tǒng)的能控性。如系統(tǒng)能控,將狀態(tài)空間表達(dá)式化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。

解(1)首先判別能控性:

(2)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型:

11.5.2系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)型

1.能觀測標(biāo)準(zhǔn)型

如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可以化為以下形式:

其中:

則稱式(11-14)為系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)型,且該系統(tǒng)一定是完全能觀測的。原因是與此狀態(tài)空間表達(dá)式相對(duì)應(yīng)的能觀測性判別矩陣

例11-14已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性,如能觀測將狀態(tài)空間表達(dá)式化為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。

解(1)首先判別能觀測性:

(2)化為能觀測標(biāo)準(zhǔn)型:

即能觀測標(biāo)準(zhǔn)型為

11.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能控就稱系統(tǒng)不能控,那么不能控系統(tǒng)就含有能控和不能控兩種狀態(tài)變量;系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能觀測就稱系統(tǒng)不能觀測,那么不能觀測系統(tǒng)就含有能觀測和不能觀測兩種狀態(tài)變量。從能控性、能觀測性角度出發(fā),狀態(tài)變量可分解成能控能觀測狀態(tài)變量能控不能觀測狀態(tài)變量不能控能觀測狀態(tài)變量不能控不能觀測狀態(tài)變量四類。由相應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)軸構(gòu)成的子空間也分成四類,并把系統(tǒng)也相應(yīng)分成四類子系統(tǒng),稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。．

11.6.1系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解

設(shè)不能控線性定常系統(tǒng)為

在不引起混淆的情況下,為書寫簡單,后面各式中省略時(shí)間t,其能控性判別矩陣的秩為k(k<n),即rankUc=k<n,則存在非奇異變換

將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為

其中

非奇異變換陣圖11-3按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解示意圖

例11-15設(shè)線性定常系統(tǒng)

判斷系統(tǒng)的能控性。若系統(tǒng)不能控,將系統(tǒng)按能控性進(jìn)行規(guī)范分解。

解(1)判斷能控性:

(2)構(gòu)造按能控性進(jìn)行規(guī)范分解的非奇異變換陣Tc:

(3)變換后的系統(tǒng)為

(4)按能控性分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中,能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

11.6.2系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解

設(shè)不能觀測線性定常系統(tǒng)為

其能觀測性判別矩陣Vo的秩為k(k<n),即rankVo=k<n,則存在非奇異變換

將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為

其中

非奇異變換陣圖11-4按能觀測性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解示意圖

例11-16設(shè)線性定常系統(tǒng)

判斷系統(tǒng)的能觀測性。若系統(tǒng)不能觀測,將系統(tǒng)按能觀測性進(jìn)行規(guī)范分解。

解(1)判斷能觀測性:

(2)構(gòu)造按能觀測性進(jìn)行規(guī)范分解的非奇異變換陣To:

在保證To-1非奇異的條件下,任取t3T=[001],故而

(3)變換后的系統(tǒng)為

(4)按能觀測性分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中,能觀測子系統(tǒng)為

不能觀測子系統(tǒng)為

11.6.3按能控性和能觀測性分解

若線性定常系統(tǒng)

其狀態(tài)不完全能控又不完全能觀測,其能控判別矩陣Uc和能觀測性判別矩陣Vo的秩分別小于n,則存在非奇異變換

將原狀態(tài)空間表達(dá)式變換為

其中

即

通過以上非奇異變換將一個(gè)系統(tǒng)分解成為如下四個(gè)子系統(tǒng):

(1)能控又能觀測的子系統(tǒng)Σco:

(2)能控但不能觀測的子系統(tǒng)Σco:

(3)不能控但能觀測的子系統(tǒng):

(4)不能控且不能觀測的子系統(tǒng)

這四個(gè)系統(tǒng)可以用圖11-5表示?？梢?只要確定了變換矩陣T,只需經(jīng)過一次變換便可對(duì)系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。但T的構(gòu)造涉及較多線性空間的概念,比較麻煩,有興趣的同學(xué)可參考相關(guān)資料,在此不再贅述。圖11-5系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解后的結(jié)構(gòu)圖

11.7系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)

11.7.1基本概念但是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或機(jī)理比較復(fù)雜時(shí),就不能根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理用分析方法建立系統(tǒng)方程,只能用實(shí)驗(yàn)的方法來確定系統(tǒng)輸入輸出描述,然后推導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)方程和輸出方程。這種由給定的傳遞函數(shù)建立與輸入輸出特征等價(jià)的系統(tǒng)方程的問題,稱為實(shí)現(xiàn)問題。

1.定義

對(duì)于給定傳遞函數(shù)陣G(s),若有一個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式

使其滿足

則稱該狀態(tài)空間表達(dá)式為傳遞函數(shù)陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。

2.實(shí)現(xiàn)條件

并不是任意一個(gè)傳遞函數(shù)陣G(s)都可以找到其實(shí)現(xiàn),通常它必須滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件,即:

(1)傳遞函數(shù)陣G(s)中的每個(gè)元Gij(s)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,r)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)。

(2)G(s)的元Gij(s)是s的嚴(yán)格真有理分式或真有理分式函數(shù),即Gij(s)的分子多項(xiàng)式的次數(shù)低于或等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)。

3.實(shí)現(xiàn)形式

(1)當(dāng)Gij(s)的分子多項(xiàng)式的次數(shù)低于分母多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí),稱Gij(s)為嚴(yán)格真有理分式。若G(s)陣中所有元都為嚴(yán)格真有理分式時(shí),其實(shí)現(xiàn)具有Σ(A,B,C)的形式。

(2)當(dāng)G(s)陣中哪怕只有一個(gè)元Gij(s)的分子多項(xiàng)式的次數(shù)等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí),實(shí)現(xiàn)就具有Σ(A,B,C,D)的形式,并且有

(3)當(dāng)G(s)陣中的元Gij(s)不是嚴(yán)格的真有理分式的傳遞函數(shù)陣時(shí),應(yīng)首先求出D,使G(s)-D為嚴(yán)格的真有理分式函數(shù)的矩陣,即

然后再根據(jù)G(s)-D尋求形式為Σ(A,B,C)的實(shí)現(xiàn)。

例11-17求傳遞函數(shù)陣

的D和C(sI-A)-1B。

解

11.7.2系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)

1.SISO系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)

對(duì)于一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng),一旦給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),便可直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。

設(shè)單變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

則其能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)矩陣為

能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)矩陣為

2.MIMO系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)

設(shè)MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為m×r維,并有如下形式:

式中,分母多項(xiàng)式為該傳遞函數(shù)矩陣的特征多項(xiàng)式;B1,B2,…,Bn均為m×r維實(shí)數(shù)矩陣。

1.能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)

能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的維數(shù)為nr,各系數(shù)矩陣為

2.能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)

能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的維數(shù)為nm,各系數(shù)矩陣為

式中,0m和Im分別表示m×m階零矩陣和單位矩陣。

例11-19試求

的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。

解首先將G(s)化成嚴(yán)格有理真分式:

比較后,可得

然后將C(sI-A)-1B寫成標(biāo)準(zhǔn)格式:

由式(11-29)知

對(duì)照得

所以有如下MIMO系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn):

同理MIMO能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為:

11.7.3最小實(shí)現(xiàn)

由于傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀測的子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,因而,對(duì)于某一傳遞函數(shù)矩陣G(s)有任意維數(shù)的狀態(tài)空間表達(dá)式與之對(duì)應(yīng)。另外,由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性,選擇不同的狀態(tài)變量時(shí),其狀態(tài)空間表達(dá)式也隨之不同,因此,對(duì)應(yīng)某一傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)是不唯一的。在無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)中,其中維數(shù)最小的一類就是最小實(shí)現(xiàn)。

1.Σ(A,B,C)為最小實(shí)現(xiàn)的條件

傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)Σ(A,B,C)

為最小實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是Σ(A,B,C)既是能控的又是能觀測的。

2.確定最小實(shí)現(xiàn)的步驟

確定任何一個(gè)具有嚴(yán)格的真有理分式的傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn),步驟如下:

(1)設(shè)傳遞函數(shù)矩陣為G(s)m×r,在求其最小實(shí)現(xiàn)時(shí),先初選一種實(shí)現(xiàn)(能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)或能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)),r為輸入變量的維數(shù),m為輸出變量