第7章-小波與小波變換

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第7章小波與小波變換2008-07-011第7章小波與小波變換目錄

7.1小波介紹7.1.1小波簡(jiǎn)史7.1.2小波概念7.1.3小波分析7.1.4小波定義7.2哈爾函數(shù)7.2.1哈爾基函數(shù)7.2.2哈爾小波函數(shù)7.2.3函數(shù)的規(guī)范化7.2.4哈爾基的結(jié)構(gòu)7.3哈爾小波變換7.4規(guī)范化算法7.5二維哈爾小波變換7.5.1二維小波變換舉例7.5.2二維小波變換方法27章小波與小波變換

在某種分辨率下無(wú)法發(fā)現(xiàn)的特性，在另一分辨率下將很容易被發(fā)現(xiàn)。

物體尺寸小、對(duì)比度不高—用高分辨率查看物體尺寸大、對(duì)比很強(qiáng)—用低分辨率查看

在不同的時(shí)間有不同的頻率分析—引入小波37章小波與小波變換7.1小波介紹1807:JosephFourier傅立葉理論指出，一個(gè)信號(hào)可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開(kāi)式小波簡(jiǎn)史小波變換(wavelettransform)是什么老課題：函數(shù)的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform

傅里葉哈爾小波變換47章小波與小波變換7.1小波介紹1、只有頻率分辨率而沒(méi)有時(shí)間分辨率可確定信號(hào)中包含哪些頻率的信號(hào)，但不能確定具有這些頻率的信號(hào)出現(xiàn)在什么時(shí)候2、要考慮所有時(shí)間域的信息，不能反映局部信息的特征57章小波與小波變換7.1小波介紹1909:AlfredHaarAlfredHaar對(duì)在函數(shù)空間中尋找一個(gè)與傅立葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來(lái)被命名為哈爾小波(Haarwavelets)67章小波與小波變換7.1小波介紹1945:Gabor開(kāi)發(fā)了短時(shí)傅里葉變換STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的時(shí)間-頻率關(guān)系圖

77章小波與小波變換7.1小波介紹1980：Morlet20世紀(jì)70年代，在法國(guó)石油公司工作的年輕地球物理學(xué)家JeanMorlet提出小波變換

(wavelettransform，WT)的概念。

20世紀(jì)80年代,開(kāi)發(fā)了連續(xù)小波變換

(continuouswavelettransform，CWT)1986：Y.Meyer法國(guó)科學(xué)家Y.Meyer與其同事創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)用縮放(dilations)與平移(translations)均為2j(j≥0的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展87章小波與小波變換7.1小波介紹1988：Mallat算法法國(guó)科學(xué)家Stephane

Mallat提出多分辨率概念，從空間上形象說(shuō)明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法[1]該算法統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交小波基的所有方法，其地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位97章小波與小波變換7.1小波介紹(續(xù)8)小波理論與工程應(yīng)用Inrid

Daubechies于1988年最先揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系[2]，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)在信號(hào)處理中，自從Stephane

Mallat和Inrid

Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系之后，小波分析在信號(hào)(如聲音和圖像)處理中得到極其廣泛的應(yīng)用107章小波與小波變換7.1小波介紹小波(wavelet)是什么

在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅在有限的時(shí)間范圍內(nèi)，它的平均值等于零117章小波與小波變換7.1小波介紹(續(xù)1)部分小波許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開(kāi)發(fā)者的名字命名，例如，Moret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開(kāi)發(fā)的db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開(kāi)發(fā)的圖7-1正弦波與小波——部分小波127章小波與小波變換7.1小波分析小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間-尺度（時(shí)間-頻率）分析方法，它具有多分辨率分析（MultiresolutionAnalysis）的特點(diǎn)。小波分析方法是一種窗口大?。创翱诿娣e）固定但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。它被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡.它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì),在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力.137章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析小波分析/小波變換

---變換目的是獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系1、小波變換對(duì)一個(gè)函數(shù)在空間和時(shí)間上進(jìn)行局部化的一種數(shù)學(xué)變換通過(guò)平移母小波獲得信號(hào)的時(shí)間信息

通過(guò)縮放母小波的寬度(或稱尺度)獲得信號(hào)的頻率特性對(duì)母小波的平移和縮放操作是為計(jì)算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表局部信號(hào)和小波之間的相互關(guān)系對(duì)比傅立葉變換提供了頻率域的信息，但丟失了時(shí)間域的局部化信息小波分析中常用的三個(gè)基本概念：1、連續(xù)小波變換2、離散小波變換3、小波重構(gòu)147章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)1)連續(xù)小波變換(continuouswavelettransform，CWT)傅立葉分析用一系列不同頻率的正弦波表示一個(gè)信號(hào)一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析用母小波通過(guò)移位和縮放后得到的一系列小波表示一個(gè)信號(hào)一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析小波變換可理解為用經(jīng)過(guò)縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號(hào)比用平滑的正弦波更有效，或者說(shuō)對(duì)信號(hào)的基本特性描述得更好157章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)CWT的變換過(guò)程示例，見(jiàn)圖7-3，可分如下5步小波ψ(t)和原始信號(hào)f(t)的開(kāi)始部分進(jìn)行比較計(jì)算系數(shù)C——該部分信號(hào)與小波的近似程度；C值越高表示信號(hào)與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復(fù)步驟1和2，……直到信號(hào)結(jié)束擴(kuò)展小波，如擴(kuò)展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復(fù)步驟1~4圖7-3連續(xù)小波變換的過(guò)程167章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)3)連續(xù)小波變換用下式表示該式含義：小波變換是信號(hào)f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)Ψ之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和CWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C

，這些系數(shù)是縮放因子(scale)和位置(position)的函數(shù)離散小波變換(discretewavelettransform，DWT)用小波的基函數(shù)(basisfunctions)表示一個(gè)函數(shù)的方法小波的基函數(shù)序列或稱子小波(babywavelets)函數(shù)是由單個(gè)小波或稱為母小波函數(shù)通過(guò)縮放和平移得到的縮放因子和平移參數(shù)都選擇2j(j>0的整數(shù))的倍數(shù)，這種變換稱為雙尺度小波變換(dyadicwavelettransform)177章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)4)圖7-5離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數(shù)、縮放因子和時(shí)間關(guān)系，見(jiàn)圖7-5圖(a)是20世紀(jì)40年代使用Gabor開(kāi)發(fā)的短時(shí)傅立葉變換(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的圖(b)是20世紀(jì)80年代使用Morlet開(kāi)發(fā)的小波變換得到的187章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)5)執(zhí)行DWT的有效方法用Mallat在1988年開(kāi)發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法[1]DWT的概念見(jiàn)圖7-6。S表示原始的輸入信號(hào)；通過(guò)兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào)圖7-6雙通道濾波過(guò)程A表示信號(hào)的近似值，大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量197章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)6)小波分解樹(shù)與小波包分解樹(shù)由低通濾波器和高通濾波器組成的樹(shù)原始信號(hào)通過(guò)一對(duì)濾波器進(jìn)行的分解叫做一級(jí)分解。信號(hào)的分解過(guò)程可以迭代，即可進(jìn)行多級(jí)分解。小波分解樹(shù)(waveletdecompositiontree)用下述方法分解形成的樹(shù)：對(duì)信號(hào)的高頻分量不再繼續(xù)分解，而對(duì)低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量，見(jiàn)圖7-7小波包分解樹(shù)(waveletpacketdecompositiontree)用下述方法分解形成的樹(shù)：不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量，見(jiàn)圖7-8207章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)7)圖7-7小波分解樹(shù)217章小波與小波變換小波分解圖示227章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)8)圖7-8三級(jí)小波包分解樹(shù)注：信號(hào)的表示也可以有其它的分解組合237章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)9)圖7-9降采樣過(guò)程注意：在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍例如，如果原始信號(hào)的數(shù)據(jù)樣本為1000個(gè)，通過(guò)濾波之后每一個(gè)通道的數(shù)據(jù)均為1000個(gè)，總共為2000個(gè)。于是,根據(jù)(Nyquist)采樣定理就提出了采用降采樣的方法：

即在每個(gè)通道中每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)中取一個(gè)，得到的離散小波變換的系數(shù)(coefficient)分別用cD和cA表示，見(jiàn)圖7-9247章小波與小波變換小波分析對(duì)信號(hào)的處理(1)一維小波變換

信號(hào)的主體，保留原信號(hào)的絕大部分能量具有較少的能量，為原信號(hào)的細(xì)節(jié)信息257章小波與小波變換267章小波與小波變換277章小波與小波變換%使用db1在第3層進(jìn)行分解[c,l]=wavedec(s,3,'db1');c中存放三層小波變換后的所有系數(shù)l中存放的ca3cd3cd2cd1c的長(zhǎng)度。設(shè)s的長(zhǎng)度為2000，則l=[250;250;500;1000;2000]287章小波與小波變換297章小波與小波變換307章小波與小波變換(2)二維小波變換317章小波與小波變換

圖像信號(hào)像素點(diǎn)間一般都具有相關(guān)性，相鄰行、列之間的相關(guān)性最強(qiáng)，其相關(guān)性系數(shù)呈指數(shù)規(guī)律衰減，通過(guò)小波變換可以將信號(hào)從一個(gè)正交矢量空間變換到另一個(gè)正交矢量空間，即從空間域變換到頻率域，使變換后各信號(hào)分量之間的相關(guān)性很小，或者不相關(guān)327章小波與小波變換337章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)10)小波重構(gòu)重構(gòu)概念把分解的系數(shù)還原成原始信號(hào)的過(guò)程叫做小波重構(gòu)(waveletreconstruction)或合成(synthesis)，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換(inversediscretewavelettransform，IDWT)兩個(gè)過(guò)程在使用濾波器做小波變換時(shí)包含濾波和降采樣兩個(gè)過(guò)程，在小波重構(gòu)時(shí)也包含升采樣和濾波兩個(gè)過(guò)程，見(jiàn)圖7-10升采樣是在兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)之間插入“0”，目的是把信號(hào)的分量加長(zhǎng)，其過(guò)程見(jiàn)圖7-11347章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)11)圖7-10小波重構(gòu)方法圖7-11升采樣的方法升采樣濾波濾波升采樣357章小波與小波變換7.1小波介紹——小波分析(續(xù)12)重構(gòu)濾波器濾波器關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號(hào)。在信號(hào)的分解期間，降采樣會(huì)引進(jìn)畸變，這種畸變叫做混疊(aliasing)。這就需要在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊低通分解濾波器(L)和高通分解濾波器(H)以及重構(gòu)濾波器(L'和H')構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)叫做正交鏡像濾波器(quadraturemirrorfilters，QMF)系統(tǒng)，如圖7-12所示圖7-12正交鏡像濾波器系統(tǒng)367章小波與小波變換7.1.4小波定義

小波由一個(gè)定義在有限區(qū)間的函數(shù)來(lái)構(gòu)造，該小波可以成為母小波或者基本小波。

小波基函數(shù)可以由縮放和平移母小波來(lái)生成。

a為縮放因子，b為平移因子本教材采用離散小波變換，i為縮放因子，j為平移因子377章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)7.2.1哈爾基函數(shù)基函數(shù)是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，可以用來(lái)構(gòu)造任意給定的信號(hào)，如用基函數(shù)的加權(quán)和表示哈爾基函數(shù)(Haarbasisfunction)定義在半開(kāi)區(qū)間[0，1)上的一組分段常值函數(shù)集生成矢量空間V0的常值函數(shù)387章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)(續(xù)1)生成矢量空間V1的常值函數(shù)

397章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)(續(xù)2)生成矢量空間V2的常值函數(shù)可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數(shù)和由它生成的矢量空間Vj，……407章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)(續(xù)3)為了表示矢量空間中的矢量，每一個(gè)矢量空間都需要定義一個(gè)基(basis)，哈爾基定義為為生成矢量空間而定義的基函數(shù)也叫做尺度函數(shù)(scalingfunction)。哈爾基尺度函數(shù)定義為其中，j為尺度因子，使函數(shù)圖形縮小或放大

i為平移參數(shù)，使函數(shù)沿x軸方向平移417章小波與小波變換

定義了基和矢量空間，可以把由2j個(gè)像素的組成的一維圖像看成矢量空間Vj中的一個(gè)矢量，這些矢量都在單位區(qū)間[0,1)上定義的函數(shù)，所以Vj矢量空間中的每一個(gè)矢量也被包含在Vj+1矢量空間中。

對(duì)于一個(gè)對(duì)象，越近，看的細(xì)節(jié)越多近看的東西會(huì)包括遠(yuǎn)處看到的東西427章小波與小波變換對(duì)于一個(gè)對(duì)象，越近，看的細(xì)節(jié)越多近看的東西會(huì)包括遠(yuǎn)處看到的東西矢量空間Vj的性質(zhì)437章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)(續(xù)4)7.2.2哈爾小波(函數(shù))最古老和最簡(jiǎn)單的小波，定義為生成矢量空間W0的哈爾小波447章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)(續(xù)5)生成矢量空間W1的哈爾小波

457章小波與小波變換7.2哈爾函數(shù)(續(xù)6)生成矢量空間W2的哈爾小波467章小波與小波變換哈爾小波生成的矢量空間Wj包含在矢量空間Vj+1中，其實(shí)Wj，就是細(xì)節(jié),為Vj和Vj+1的正交互補(bǔ)空間477章小波與小波變換7.3哈爾小波變換求有限信號(hào)的均值和差值的過(guò)程[例7.1]假設(shè)有一幅分辨率只有4個(gè)像素P0、P1、P2、P3的一維圖像，對(duì)應(yīng)的像素值或稱圖像位置的系數(shù)分別為

[9735]

計(jì)算該圖像的哈爾小波變換系數(shù)步驟1：計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素?cái)?shù)目變成了2個(gè)，即新的圖像的分辨率是原來(lái)的1/2，相應(yīng)的像素值為（9+7）/2=8(3+5)/2=4

[84]–平均像素值487章小波與小波變換7.3哈爾小波變換(續(xù)1)步驟2：求差值。為能從2個(gè)像素組成的圖像重構(gòu)由4個(gè)像素組成的原始圖像，就需要存儲(chǔ)一些圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)。方法是把像素對(duì)的第一個(gè)像素值減去這個(gè)像素對(duì)的平均值，或者使用這個(gè)像素對(duì)的差值除以2

（9-7）/2=1(3-5)/2=-1

原始圖像用兩個(gè)均值和兩個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示為

[84

1-1][像素均值，細(xì)節(jié)值]步驟3：重復(fù)步驟1和2，把由第一步分解得到的圖像進(jìn)一步分解成分辨率更低的圖像和細(xì)節(jié)系數(shù)。其結(jié)果，整幅圖像表示為

[621-1]497章小波與小波變換7.3哈爾小波變換(續(xù)2)把由4個(gè)像素組成的一幅圖像用一個(gè)平均像素值和三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示，這個(gè)過(guò)程稱為哈爾小波變換(Haarwavelettransform)，也稱哈爾小波分解(Haarwaveletdecomposition)。這個(gè)概念可以推廣到使用其他小波基的變換特點(diǎn)：(1)變換過(guò)程中沒(méi)有丟失信息，因?yàn)槟軌驈乃涗浀臄?shù)據(jù)中重構(gòu)出原始圖像。(2)對(duì)這個(gè)給定的變換，可從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出各種分辨率的圖像。(3)通過(guò)變換之后產(chǎn)生的細(xì)節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，為圖像壓縮提供了一種途徑，如去掉微不足道的系數(shù)分辨率平均值細(xì)節(jié)系數(shù)4[9735]2[84][1-1]1[6][2]表7-1哈爾變換過(guò)程507章小波與小波變換7.3哈爾小波變換(續(xù)3)哈爾小波變換在例7.1中的求均值和差值的過(guò)程實(shí)際上就是一維小波變換的過(guò)程，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法重新描述哈爾小波變換I(x)圖像用V2中的哈爾基表示517章小波與小波變換7.3哈爾小波變換(續(xù)4)I(x)圖像用V1和W1中的函數(shù)表示

生成V1矢量空間的基函數(shù)為和，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為和，I(x)可表示為

527章小波與小波變換7.3哈爾小波變換(續(xù)5)I(x)圖像用V0、W0和W1中的函數(shù)表示

生成矢量空間V0的基函數(shù)為，生成矢量空間W0的小波函數(shù)為，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為

和，I(x)可表示為537章小波與小波變換7.4規(guī)范化的小波變換規(guī)范化的小波變換

求像素均值和細(xì)節(jié)差值時(shí)除用的是非規(guī)范化算法除用的是

2

具體看書(shū)本107頁(yè)的例子547章小波與小波變換7.5二維哈爾小波變換二維小波變換過(guò)程（P109）1、圖像塊矩陣A2、每一行執(zhí)行一維小波變換，求均值和細(xì)節(jié)值，直到完成

每一行元素的第一個(gè)元素為該行像素的平均值，其余為細(xì)節(jié)值3、對(duì)矩陣的每一列執(zhí)行一維小波變換，求均值和細(xì)節(jié)值，直到完成

左上角的元素為整個(gè)圖像塊的像素平均值，其余為細(xì)節(jié)值4、最后去掉矩陣中的某些細(xì)節(jié)值，重構(gòu)的圖像質(zhì)量可以接