人教版九年級數(shù)學上冊《實際問題與二次函數(shù)（第3課時）》示范教學設計

實際問題與二次函數(shù)（第3課時）教學目標1．通過探究學習，讓學生能夠獨立分析并表示出實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，會運用二次函數(shù)的頂點坐標求出實際問題的最大值（或最小值）．2．通過探索商品銷售中的最大利潤問題的過程，讓學生體會二次函數(shù)模型在最優(yōu)化問題中的應用．教學重點利用二次函數(shù)的最大值（或最小值）解決實際問題中的最值問題．教學難點運用二次函數(shù)知識求實際問題中的最大值或最小值，并注意自變量取值范圍的限制．教學過程知識回顧1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如果a＞0，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大．如果a＜0，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大．2．一般地，當a＞0(a＜0)時，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是最低（高）點，也就是說，當x＝時，二次函數(shù)有最?。ù螅┲担驹O計意圖】通過復習已經(jīng)學過的二次函數(shù)知識，為新課“二次函數(shù)實際應用——最大利潤問題”作鋪墊．新知探究一、探究學習【問題】某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流討論．教師提示：（1）設每件漲價x元，每星期少賣____件，實際賣出___________件，銷售額為__________________元，買進商品需付_______________元．（2）設每件降價x元，每星期多賣____件，實際賣出___________件，銷售額為__________________元，買進商品需付_______________元．學生根據(jù)提示，分小組討論交流，并派代表發(fā)言，教師板書．【答案】解：（1）設每件漲價x元，每星期少賣10x件，實際賣出(300－10x)件，銷售額為(60＋x)(300－10x)元，買進商品需付40(300－10x)元．因此，所得利潤y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y＝－10x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤30．配方，得y＝－10(x－5)2＋6250，當x＝5時，y最大，也就是說，在漲價的情況下，漲價5元，即定價65元時，利潤最大，最大利潤是6250元．（2）設每件降價x元，每星期多賣20x件，實際賣出(300＋20x)件，銷售額為(60－x)(300＋20x)元，買進商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利潤y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤20．配方，得y＝－20(x－2.5)2＋6125，當x＝2.5時，y最大，也就是說，在降價的情況下，降價2.5元，即定價57.5元時，利潤最大，最大利潤是6125元．對比（1）（2）兩種情況，當定價65元時，每星期的利潤最大，最大利潤是6250元．【歸納】利用二次函數(shù)解決利潤最大問題的一般策略：（1）明確利潤、單價、銷售量之間的關系，根據(jù)題意列出二次函數(shù)的解析式．（2）討論最大值時可借助頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，然后利用二次函數(shù)的性質確定最大值．（3）在求商品利潤最大的問題時，要注意實際問題中自變量的取值范圍，有時根據(jù)頂點坐標求出的函數(shù)的最大值并不一定是實際問題的最大值，實際問題的最大值應在自變量的取值范圍內取得．【設計意圖】通過探索商品銷售中的最大利潤問題的過程，引導學生學會分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關系，并學會用已經(jīng)學過的二次函數(shù)知識探索如何解決實際問題中的最大利潤問題，讓學生體會二次函數(shù)模型在最優(yōu)化問題中的應用．二、典例精講【例1】某種文化衫，平均每天銷售40件，每件盈利20元．市場調查反映：在成本不變的情況下，若每件降價1元，則每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件應降價多少元？【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流討論，并派代表發(fā)言，教師板書．【答案】解：設每件應降價x元，每天的利潤為y元，由題意，得y＝(20－x)(40＋10x)＝－10x2＋160x＋800＝－10(x－8)2＋1440(0＜x＜20)．當x＝8時，y有最大值1440．即當每件降價8元時，每天的盈利最多．【例2】某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為20元/千克，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（單位：千克）與銷售單價x（單位：元/千克）滿足一次函數(shù)解析式：y＝－2x＋80．設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為W元(x≥20)．（1）求W與x之間的函數(shù)解析式；（2）該產(chǎn)品銷售價定為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流討論，并派代表發(fā)言，教師板書．【答案】解：（1）由題意，得W＝(x－20)y＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600，故W與x的函數(shù)解析式為W＝－2x2＋120x－1600(x≥20)；（2）W＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，∵－2＜0，∴當x＝30時，W有最大值，W最大＝200．即該產(chǎn)品銷售價定為30元/千克時，每天銷售利潤最大，最大利潤為200元．【設計意圖】通過例1與例2的講解與練