2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第08講 一元一次不等式（組）及其應(yīng)用（講義）（原卷版）

第08講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用目錄一、考情分析二、知識建構(gòu)TOC\o"1-3"\n\p""\h\z\u考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)題型01不等式的概念及意義題型02列不等式題型03取值是否滿足不等式題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)二一元一次不等式題型01判斷一元一次不等式題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值題型03求一元一次不等式解集題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集題型05一元一次不等式整數(shù)解問題題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問題題型08含絕對值的一元一次不等式題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍考點(diǎn)三一元一次不等式組題型01一元一次不等式組定義題型02解不等式組題型03求不等式組整數(shù)解題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍題型05由不等式組的解集求參數(shù)題型06與不等式組有關(guān)的新定義問題題型07根據(jù)程序圖解不等式組題型08不等式組與方程的綜合考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用題型01利用一元一次不等式解決實(shí)際問題題型02利用一元一次不等式組解決實(shí)際問題考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測不等式及不等式的基本性質(zhì)結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式(組)的解法及應(yīng)用題時有考察.其中不等式性質(zhì)、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.而不等式（組）相關(guān)的應(yīng)用題常會和其它考點(diǎn)(如二元一次方程組、二次函數(shù)等)結(jié)合考察，常以解答題形式出現(xiàn)，此時難度上升，需要小心應(yīng)對.對于一元一次不等式（組）中含參數(shù)問題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)過程中扎實(shí)掌握．一元一次不等式能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集一元一次不等式組會用數(shù)軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集.不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題.考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)一、不等式的相關(guān)概念不等式的定義：用不等號“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.二、不等式的性質(zhì)基本性質(zhì)1若a>b，則a±c>b±c若a<b，則a±c<b±c基本性質(zhì)2若a>b,c>0，則ac>bc（或ac基本性質(zhì)3若a>b,c<0，則ac<bc（或ac11.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.2.常見的不等號有：≠，>，≥，<，≤五種.3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號畫空心圓點(diǎn).4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值.2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值.3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.5.在列不等式時，要注意抓住問題中的一些關(guān)鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同時要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號．另外，對一些實(shí)際問題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際．6.運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項：1）不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子．3）等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數(shù)或分母．4）運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時,要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,在乘(或除以)同一個數(shù)時,必須先弄清楚這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號要改變方向.題型01不等式的概念及意義【例1】以下表達(dá)式：①4x+3y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+bA．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式1-1】（2023湖里區(qū)模擬）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標(biāo)注“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D．每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克題型02列不等式【例2】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．“m不是負(fù)數(shù)”表示為m>0 B．“m不大于5”表示為m<5C．“n與4的差是正數(shù)”表示為n?4>0 D．“n不等于4”表示為n>4【變式2-1】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考二模）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米．若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關(guān)系為（

）A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500【變式2-2】（2023南寧市模擬）a是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（

）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)題型03取值是否滿足不等式【例3】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在?2,?2,1,?3四個數(shù)中，滿足不等式x<A．－2 B．－3 C．?2 【變式3-1】（2021·四川南充·統(tǒng)考中考真題）滿足x?3的最大整數(shù)x是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-2】（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）當(dāng)x=4時，不等式成立的是（

）A．x+1<4 B．12x>2 C．2x+1<5 題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)【例4】（2023·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如果x<?3，那么下列不等式成立的是（）A．x2>?3x B．x2≥?3x C．x2【變式4-1】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>b，則下列不等式變形不正確的是（

）A．a(chǎn)?2>b?2 B．?2a>?2b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)【變式4-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，且a?b>c?d，下列說法一定正確的是（

）A．若b=d，則a>c B．若a=c，則b>dC．若b>d，則a>c D．若a>c，則b>d【變式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)校考三模）設(shè)x，y，c為實(shí)數(shù)，則（

）A．若x＞y，則x+3c>y?2c B．若xC．若x＞y，則xc2>y題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)【例5】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）實(shí)數(shù)a，A．?a?c>?b?c B．a(chǎn)c>bc C．a(chǎn)?b=a?b D．【變式5-1】（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．?2a>?2b D．a(chǎn)【變式5-2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．2a>2b D．a(chǎn)+2<b+2【變式5-3】（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考三模）如圖所示，數(shù)軸上有O、A、B、C四點(diǎn)位置與各點(diǎn)所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，d?5=d?c，則D點(diǎn)的位置（

A．在A的左邊 B．在A、C之間 C．在C、O之間 D．在O、B之間【變式5-4】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）m，n在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列各式正確的是（

）

A．x<x?n<x?m B．x?n<x<x?mC．x?m<x?n<x D．x<x?m<x?n題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小【例6】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）數(shù)m，m+1，?m?2m>0的大小順序是（

A．?m?2<m<m+1 B．?m?2<m+1<mC．m<m+1<?m?2 D．m<?m?2<m+1【變式6-1】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知M=x2?2x+4，N=x2以下是小明的解答：∵M(jìn)=x?12+3≥3∴M≥N．小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答．40．（2021·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？家荒＃╅喿x：（1）若a＜b，則2a﹣3＜2b﹣3，簡述理由：小明的解法：∵a＜b，∴2a＜2b，（不等式性質(zhì)2：），∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性質(zhì)1）．小亮的解法：令y＝2x﹣3，∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大．∵a＜b，∴2a﹣3＜2b﹣3．小敏的解法：∵a＜b，觀察函數(shù)y＝2x﹣3的圖象可知，圖象上點(diǎn)（a，2a﹣3）在點(diǎn)（b，2b﹣3）的左邊，而圖象由左往右呈上升趨勢，∴2a﹣3＜2b﹣3．（2）若a＜b＜0，請用兩種不同的方法比較﹣2a與﹣2（3）若a＜b＜0，比較（a+2）2+1與（b+2）2+1的大小，簡述理由．（4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接寫出﹣2a+12a+4與﹣2b+1根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個數(shù)或式子的大小可以通過求它們的差來判斷．如果兩個數(shù)或式子分別為m和n，若m-n>0，則m>n；若m-n=0，則m=n；若m-n<0，則m<n.題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式【例7】（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃└鶕?jù)不等式的性質(zhì)：若x?y＞0，則x＞y；若x?y＜0，則【變式7-1】（2019上·江西贛州·九年級?？计谥校W(xué)以致用：問題1：怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個面積最大的矩形？小學(xué)時我們就知道結(jié)論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為3cm的正方形時面積最大為9cm思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為9m小明猜測：圍成正方形時周長最小．為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：結(jié)論：在a+b?2ab(a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b?2p，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+ba+b?2ab(a,b對于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2∴a+b?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b解決問題：（1）若x>0，則x+4x?（當(dāng)且僅當(dāng)x=時取“=（2）運(yùn)用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；（3）當(dāng)x>?1時，求y=x【變式7-2】（2022·山東日照·日照市新營中學(xué)?？级＃?002年國際數(shù)學(xué)大會的會徽設(shè)計的基礎(chǔ)是公園3世紀(jì)中四數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖（如圖1），該圖蘊(yùn)含著豐富的不等關(guān)系，例如，正方形的面積大于4個直角三角形的面積之和…設(shè)直角三角形的邊長為a，b，則S正方形>4SRT△，當(dāng)a=b時，中間小正方形收縮為一個點(diǎn)，此時正方形的面積每于4個直角三角形的面積之和，即a2綜上所述，a2+b使用上述結(jié)論，“a2+b(1)證明：“若a，b為正實(shí)數(shù)，則a+b≥2ab．當(dāng)且僅當(dāng)a=b(2)a，b均為實(shí)數(shù)，若ab為定值4，則a+b有最小值________；若a+b為定值6，則ab有最大值_________．(3)請結(jié)合函數(shù)圖象（圖2）研究y=x+1x中函數(shù)值(4)如圖3，已知P是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上任意一動點(diǎn)，O(0,0)，A(?1,a)，其中a是常數(shù)，a>0，試求S【變式7-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的濃度為ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)在△ABC中，三條邊的長度分別為a,b,c，證明：ab+c題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍【例8】（2023·重慶·重慶實(shí)驗外國語學(xué)校?？级＃┤鬭=35?2，則a的取值范圍是（A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【變式8-1】（2023路南區(qū)二模）若x<y，且a?3x?a?3y，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)?3 D．a(chǎn)?3【變式8-2】（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？既＃┮阎P(guān)于x的不等式a+2x<1的解集為x>1a+2，則a【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)x，y，a滿足x+3y+a=4，x?y?3a=0．若?1≤a≤1，t=x+y，那么t的取值范圍是．題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例9】（2023·河北保定·校考一模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b=3c，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)?b=3c?b B．C．若a>b，則a>c>b D．若a>c，則b?a>【變式9-1】（2023武威縣模擬）若x+y=3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【變式9-2】（2023德陽市一模）實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＞b且ac＜bc，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置可以是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0a≠0步驟具體做法依據(jù)注意事項去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)不等式性質(zhì)2、31）不要漏乘不含分母的項；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號分配律去括號法則1)去括號時，括號前的數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項;2)括號前面是負(fù)數(shù)時,去掉括號后,括號內(nèi)各項都要變號；3）括號前面是正數(shù)時,去掉括號后,括號內(nèi)各項都不變號.移項把含有未知數(shù)的項移到不等式左邊，其它項都移到不等式右邊不等式性質(zhì)11）移項時不要漏項;2）將不等式中的項從一邊移到另一邊要變號.而在不等式同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把不等式變?yōu)閍x<b或合并同類項法則1）不要漏項；2）系數(shù)的符號處理要得當(dāng).系數(shù)化為1將不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到不等式的解不等式性質(zhì)2、31)不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù);2)當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號的方向發(fā)生改變.1.一元1.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1.2.進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時，要根據(jù)不等號兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論．3.在解一元一次不等式時,上述的五個步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.題型01判斷一元一次不等式【例1】（2021·全國·九年級假期作業(yè)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：?3<0，a+b，x=3，x2+2xy+y2，x≠5，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2021·陜西·九年級專題練習(xí)）下列各式中，是一元一次不等式的有（

）個．①a?3＜2；②?x?1x＞3；③x?y＜0；④A．1 B．2 C．3 D．0題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值【例2】已知23（m+4）x|m|–3+6＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（

A．4 B．±4 C．3 D．±3【變式2-1】若m?1xm?3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則mA．0 B．1 C．?1 D．±1【變式2-2】若(k?1)xk+3≥0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k題型03求一元一次不等式解集【例3】（2023·湖南長沙·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列變形中正確的是（

）A．由?2x<1，得x<?12 B．由2x+1>3x?1C．由2x+1>x?1，得x>2 D．由x+2<2x?2，得x【變式3-1】（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）不等式x?32≥1的解集為【變式3-2】（2022·安徽宣城·統(tǒng)考一模）解不等式：2x?3<x+1題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集【例4】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）不等式3x＋1＜2x的解在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【變式4-1】（2023下·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)校考開學(xué)考試）不等式x?1≥2x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．B．C． D．【變式4-2】（2021·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）一個不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（

）A．x+2>0 B．x?2<0 C．2x≥4 D．2?x<0【變式4-3】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）解不等式x?13≥題型05一元一次不等式整數(shù)解問題【例5】（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）整式313?m(1)當(dāng)m＝2時，求P的值；(2)若P的取值范圍如圖所示，求m的負(fù)整數(shù)值．【變式5-1】（2022下·廣東江門·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）求一元一次不等式1?8+x【變式5-2】（2023·陜西咸陽·?？级＃┙獠坏仁剑?x+86【變式5-3】（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考模擬預(yù)測）先化簡，再求值：(12?x?1)÷x2與一元一次不等式的特殊解有關(guān)的解題方法：類型一求一元一次不等式特殊解的方法解決此類問題的關(guān)鍵：正確求出不等式的解集，再根據(jù)題目要求求出其特殊解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問題．類型二已知一元一次不等式解集（整數(shù)解）求字母的取值．解決此類問題的關(guān)鍵：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)作常數(shù)看待解不等式，再根據(jù)題目中的限制條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍【例6】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的不等式x?b≥0恰有兩個負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（

）A．?3<b<?2 B．?3<b≤?2 C．?3≤b≤?2 D．?3≤b<?2【變式6-1】（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式x+m<1只有3個正整數(shù)解，則m的取值范圍是．【變式6-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元一次不等式x?2<n+3有且只有5個正整數(shù)解，則n的取值范圍是．【變式6-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的不等式x+t≥2x?3恰有3個正整數(shù)解，則t的取值范圍是．【變式6-4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知x=3是關(guān)于x的不等式3x?ax+12題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問題【例7】（2022下·廣西·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b都有a⊕b=aa?b+1，如：2⊕5=22?5A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)>3【變式7-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算“a☆b”為：當(dāng)a≥b時，a☆b=a+b；當(dāng)a<b時，a☆b=a?b．例如：1☆(?2)=1+(?2)=?1，A．m>2 B．m>5 C．2<m<5 D．m<2或m>5【變式7-3】（2023海港區(qū)一模）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b（a≠0）都有a*b=ba﹣a+b，等式右邊是通常的加、減、除運(yùn)算，比如2*1=12﹣2+1=﹣（1）求4*5的值：（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范圍，并在如圖所示的數(shù)軸上表示出來．【變式7-4】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）定義一種新的運(yùn)算※，對于任意實(shí)數(shù)a和b，規(guī)定a※b=ab2+ab+a(1)求5※?2(2)若m?2※2>14，求題型08含絕對值的一元一次不等式【例8】（2020·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式x?2的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因為x+1=x??1，所以x+1的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與⑴.發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式x+1+⑵.探究問題：如圖，點(diǎn)A,B,P分別表示的是?1,?????2,?????∵x+1+x?2的幾何意義是線段PA與∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，PA+PB=3;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時PA+PB>3∴x+1+⑶.解決問題：①.x?4+x+2的最小值是②.利用上述思想方法解不等式：x+3③.當(dāng)a為何值時，代數(shù)式x+a+【變式8-1】（1）【閱讀理解】“a”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以“a≥2”可理解為：數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于2①“a<2”可理解為②請列舉兩個符號不同的整數(shù)，使不等式“|a|>2”成立，列舉的a的值為和．我們定義：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|<m，|x|>m”（m為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對值不等式，能使一個絕對值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對值不等式的解集．（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式．由上圖可以得出：絕對值不等式x>1的解集是x<?1或x>1絕對值不等式x≤3的解集是?3≤x≤3①不等式x≥4的解集是②不等式|12x|<2（3）【拓展應(yīng)用】解不等式x+1+【變式8-2】數(shù)學(xué)實(shí)驗室：A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a?b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和?2的兩點(diǎn)之間的距離表示為；(3)若x表示一個有理數(shù)，且?3<x<1，則x?1+x+3＝(4)若x表示一個有理數(shù)，且x?1+x+3＞4，則有理數(shù)x的取值范圍是題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍【例9】（2023·湖南衡陽·?？级＃┮阎P(guān)于x的方程2x+4=m?x的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（

）A．m≤43 B．m≥43 C．【變式9-1】（2023泗水縣一模）如果關(guān)于x的方程2x+mx?1=1的解是非負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m≤?1 B．m≥?1 C．m≤?1且m≠?2 D．m≥?1且m≠0【變式9-2】（2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實(shí)驗初級中學(xué)校考一模）若不等式3x+2≤4x?1的最小整數(shù)解是方程23x?13mx=1考點(diǎn)三一元一次不等式組一元一次不等式組的概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．不等式組解集的確定有兩種方法：1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．解一元一次不等式組的一般步驟：求出不等式組中各不等式的解集.將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來.在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集.1.在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數(shù)軸來表示不等式組的解集的.1.在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數(shù)軸來表示不等式組的解集的.2.利用數(shù)軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.題型01一元一次不等式組定義【例1】（2020·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列各式不是一元一次不等式組的是（

）A．{x?1>3x?3<2 B．{a?1<0b+2>0 C．【變式1-1】下列不等式組：①x>?2x<3，②x>0x+2>4，③x2+1<xx2+2>4A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型02解不等式組【例2】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一元一次不等式組x?1≥0x<2的解集為（

A． B．C． D．【變式2-1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：2+x>7?4x,x<【變式2-2】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）解不等式組3x?1題型03求不等式組整數(shù)解【例3】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：2x?1【變式3-1】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：x?12【變式3-2】（2022·上海楊浦·?？家荒＃┫然啠偾笾担?x2+x÷（1﹣x?1x2【變式3-3】（2023太原五中二模）解不等式組：3x+6?5(x?2)x?5題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）不等式組x<mx≥3有4個整數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A．6≤m≤7 B．6<m<7 C．6≤m<7 D．6<m≤7【變式4-1】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-2】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x?a>0,7?2x>5僅有3個整數(shù)解，則aA．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【變式4-3】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的不等式組2x+5>03x?k<4只有3個整數(shù)解，則整數(shù)kA．?4 B．?3 C．?2 D．?1【變式4-4】（2023·黑龍江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?a<03x?9>0只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是題型05由不等式組的解集求參數(shù)【例5】（2023菏澤市三模）若不等式組x+13<x2?1x<4mA．m≤2 B．m<2 C．m≥2 D．m>2【變式5-1】（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x<2，則a的取值范圍是【變式5-2】（2023扎蘭屯市三模）若不等式組x+8<4x?1x>m的解集為x＞3，則m的取值范圍．【變式5-3】（2023·江蘇連云港·?？级＃╆P(guān)于x、y的方程組2x?y=2a+7x+y=4a?4的解滿足x>0，y<0，求實(shí)數(shù)a題型06與不等式組有關(guān)的新定義問題【例6】（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部?？家荒＃┒x新運(yùn)算：a?b=2a?b+3．例如，5?4=2×5?4+3，則不等式組0.5?x>?22x?5>3x+1的解集為(

)A．x>3 B．3<x<6 C．無解 D．?1<x<6【變式6-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）定義：不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x，例如3.6=3，?3=?2，按此規(guī)定，若1?3x2=?1A．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【變式6-2】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=a?2b，若關(guān)于x的不等式組x?3>0x?a>a的解集為x>6，則a的取值范圍是．【變式6-3】．（2022·河南安陽·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：a⊕b=1?ab，則不等式組x⊕2≤3?13【變式6-4】（2023·廣東江門·江門市怡福中學(xué)?？家荒＃┒x：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程8?x=x、7+x=3x+13都是關(guān)于x的不等式組x<2?mx?2≤m的相伴方程，則題型07根據(jù)程序圖解不等式組【例7】（2022下·安徽黃山·七年級統(tǒng)考期末）運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個值x”到“結(jié)果是否>95”為一次程序操作，如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是（）A．12.75<x≤24.5 B．x<24.5 C．12.75≤x<24.5 D．x≤24.5【變式7-1】（2023宜賓市三模）如圖，這是王彬同學(xué)設(shè)計的一個計算機(jī)程序，規(guī)定從“輸入一個值x”到判斷“結(jié)果是否≥13”為一次運(yùn)行過程．如果程序運(yùn)行兩次就停止，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．4≤x＜7 C．4＜x≤7 D．x≤7【變式7-2】（2020濰坊五縣三模）如圖，一個運(yùn)算程序，若需要經(jīng)過兩次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，則x的取值范圍為()A．x>1 B．1<x?7 C．1?x<7 D．1?x?7題型08不等式組與方程的綜合【例8】（2023成都市模擬）已知a，b，c為三個非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=302a+3b+4c=100，若W=3a+2b+5c，則W的最大值為．【變式8-1】若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程x+1x?2+a2?x=3的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組?3y?2≥4?y3考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用一元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語句：1）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系，因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．2）對一些實(shí)際問題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際.有些不等關(guān)系隱含于生活常識中,如小王用50元去買單價為6元的筆記本.設(shè)買x本，求x的取值范圍時,其問題中就隱含著所花錢數(shù)不能超過50元.由此可得出不等式6x≤50.用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問題的答案.題型01利用一元一次不等式解決實(shí)際問題【例1】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知△ABC的三個內(nèi)角互不相等，如果∠A為最小的內(nèi)角，那么下列四個度數(shù)中，∠A最大可?。?/p>

）A．20° B．58° C．60°【變式1-1】．（2022·山西·中考真題）某品牌護(hù)眼燈的進(jìn)價為240元，商店以320元的價格出售．“五一節(jié)”期間，商店為讓利于顧客，計劃以利潤率不低于20%的價格降價出售，則該護(hù)眼燈最多可降價元．【變式1-2】（2021·福建福州·校考二模）小明同學(xué)在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算了一個內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個內(nèi)角的度數(shù)為．【變式1-3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗田比B塊試驗田少4畝．(1)A塊試驗田收獲水稻9600千克、B塊試驗田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？(2)為了增加產(chǎn)量，明年計劃將種植普通水稻的B塊試驗田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗田改種雜交水稻？【變式1-4】．（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進(jìn)貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價比乙品牌高6元，用1800元購進(jìn)甲品牌洗衣液的數(shù)量是用1800元購進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的45（1）求兩種品牌洗衣液的進(jìn)價；（2）若超市需要購進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進(jìn)兩種洗衣液的總成本不超過3120元，超市應(yīng)購進(jìn)甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【變式1-5】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每件成本為100元，銷售價格為120元，B產(chǎn)品每件成本為75元，銷售價格為100元，A，B兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)月全部售出．(1)第一個月該公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品的總成本為8250元，銷售總利潤為2350元，求這個月生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少件？(2)下個月該公司計劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共180件，且使總利潤不低于4300元，則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【變式1-6】（2022·山東聊城·統(tǒng)考